APS_Probabilidade e estatística

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
CÂMPUS CORNÉLIO PROCÓPIO 
ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
DIEGO COSTA VINHA 
LEONARDO CHYCZY KELLER 
MATHEUS GODOY LANDGRAF 
 
 
 
 
 
 
 
CONTROLE ESTATÍSTICO DA QUALIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CORNÉLIO PROCÓPIO 
2017 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Ao longo dos anos o controle de qualidade dos produtos e serviços tem se tornado de 
grande relevância no setor industrial, onde engenheiros de projetos, setores de produção e 
gerentes financeiros passaram a utilizar métodos de controle de estatístico do processo. 
Métodos gráficos são utilizados com maiores frequências nas indústrias como uma técnica de 
diagnóstico e monitoramento dos processos de produção com o intuito de identificar 
instabilidade e defeitos. O processo de fabricação tem que ser estável e capaz de ser repetido 
com pouca variabilidade ao redor do valor nominal (esperado). O controle estatístico do 
processo (CEP) em tempo real, tornou-se um método eficaz para analisar se um determinado 
processo numa linha de produção está dentro das normas de variabilidade e tendo um 
comportamento estável. As ferramentas de análise de qualidade e variabilidade mais 
importantes para o CEP são: Histograma, Gráfico de Pareto, Diagrama de causa-e-efeito, 
Diagrama de defeito-concentração, Gráfico de dispersão e Folha de verificação. É evidente que 
quando tratamos de um processo de fabricação maquinofaturado ou manufaturado sempre 
existirá uma variabilidade natural ou inerente em torno do valor nominal, por menor que seja, 
independentemente de quão cuidadoso e bem projetado foi o processo. Na esfera do controle 
estatístico da qualidade, a variabilidade natural ou “ruído de fundo”, também chamada de 
causas causais, é uma variação pequena em torno do valor nominal que está dentro do esperado, 
o que é dito estar sob o controle estatístico. Outra variabilidade no processo são as causas 
atribuídas, onde essas variabilidades aparecem devido a três fatores: máquinas sem as devidas 
calibrações, erros dos operados e/ou matérias-primas defeituosas. Essa variabilidade é grande 
quando comparada com o “ruído de fundo”, na qual é inaceitável ao processo e é considerado 
fora do controle estatístico. 
O gráfico de controle é uma técnica de monitoramento da qualidade do processo em 
tempo real, sendo possível identificar ocorrências de causa atribuídas ou variações no processo, 
para que possam ser feitos o processo de correção imediatamente antes de serem produzidas as 
unidades defeituosas em uma grande escala. Outro ponto positivo do monitoramento em tempo 
real por gráficos de controle é o fornecimento de informações úteis, para que possa ser 
programada uma melhoria no processo, pois o principal objetivo é a eliminação máxima da 
variação no processo. O gráfico de controle é ilustrado pela Fig. 1 em anexo, onde representa 
um gráfico típico de controle, dispostas as características da qualidade em função do tempo, 
pois o tratamento de qualidade de um lote é feito através da coleta de amostras. O gráfico 
contém uma linha central (LC), que representa o valor médio (nominal) da característica de 
qualidade, ou seja, o estado de controle. As duas outras linhas (LSC e LIC) representam os 
limites de variabilidades previsto no processo, caso o processo esteja sob controle, todos os 
pontos da amostra caíram dentro dos limites e nada de correção a ser feita. Tais pontos das 
amostras precisam manter uma certa aleatoriedade em torno da linha central, caso contrário, 
isso pode ser um indício de que o processo está fora de controle. Outro ponto importante que 
demonstra um processo fora de controle é o estado de run (corrida), onde alguns pontos têm 
característica crescente ou decrescente, mostrando que o processo está fora de controle, mesmo 
esses pontos estando dentro dos limites de controle. 
 
2 MÉTODO 
2.1 GRÁFICO DE CONTROLE x̅ E R ou S 
 
 As características de qualidade na maior parte das vezes podem ser expressas como uma 
medida, o que é comum monitoramentos do valor médio e sua variabilidade em torno do valor 
central. O controle é feito através da plotagem de gráficos de controle para as médias, que na 
literatura é conhecido como gráfico de x̅. Já a variabilidade do processo é controlada pelo 
gráfico R ou pelo gráfico do desvio-padrão (gráfico S). 
 Considere que a média (µ) e o desvio padrão (σ) são valores mensuráveis e conhecidos, 
onde a característica de qualidade segue então uma distribuição normal. Logo, os limites 
superiores e inferiores e a linha central podem ser encontrados como: 
 
 
 
 
 
Temos que o subíndice w é referente a amostra que mede alguma característica da 
qualidade de interesse e a constante k é o fator de multiplicação que influencia na distância dos 
limites de controle a partir da linha central, sendo uma escolha comum, k é igual a 3 . 
Pode-se reescrever a Eq. 1 com parâmetros medidos, ficando da seguinte forma 
 
 
 
 
 
LSC = μ𝑤 + kσ𝑤 
LC = μ𝑤 
LIC = μ𝑤 − kσ𝑤 
 
(1) 
LSC = μ + 3
σ
√𝑛
 
LC = μ 
LIC = μ − 3
σ
√𝑛
 
(2) 
O recomendado na prática é que o número de amostra preliminares varie entre 20 a 25 com 
tamanho 4, 5 ou 6. 
 A relação entre amplitude R, considerando que é a variável aleatória de uma amostra 
com distribuição normal proveniente de uma população normal, com parâmetros conhecidos e 
o desvio padrão daquela população, logo, podemos representar a grandeza W = R/ σ. 
Considerando que os parâmetros da distribuição de W foram determinado para qualquer 
tamanho amostral n, logo a média e o desvio-padrão da destruição podem ser escritos da 
seguinte forma: 𝜇𝑅 = 𝑑2𝜎 e 𝜎𝑅 = 𝑑3𝜎. 
Como 𝑅 = 𝜎𝑊, podemos escrever os limites superiores e inferiores de controle para o 
gráfico �̅� da seguinte maneira: 
 
 
 
Onde 𝐴2 = 3
�̅�
𝑑2√𝑛
 e , onde A2, d2 e d3 são valores tabelados. Os limites de 
controle inferior e superior e a linha central do Gráfico R podem ser definidos pelos seguintes 
parâmetros D3 e D4, sendo todos tabelados para vários tamanhos de amostras. 
 
 
 
Considerando que haja m amostra disponíveis, onde cada amostra é de tamanho n, logo, o 
desvio-padrão da i-ésima amostra é 
 
O gráfico de controle para o desvio-padrão tem os seguintes parâmetros para os limites de 
controle e a linha central 
 
LSC = �̿� + 𝐴2�̅� 
𝐿𝐶 = �̿� 
LIC = �̿� − 𝐴2�̅� 
(3) 
�̿� =
1
𝑚
∑ �̅�𝑖
𝑚
𝑖=1
 
𝐿𝑆𝐶 = 𝐷4�̅� 
𝐿𝐶 = �̅� 
𝐿𝐼𝐶 = 𝐷3�̅� 
(4) 
𝑆̅ =
1
𝑚
∑ 𝑆𝑖
𝑚
𝑖=1
 . 
𝐿𝑆𝐶 = �̅� + 3
�̅�
𝑐4
√1 − 𝑐42 
𝐿𝐶 = �̅� 
𝐿𝑆𝐶 = �̅� − 3
�̅�
𝑐4
√1 − 𝑐42 
(5) 
3 EXERCÍCIOS 
Um molde para extrusão é usado para produzir bastões de alumínio. O diâmetro dos bastões é 
uma característica crítica da qualidade. A seguinte tabela mostra os valores de �̅� e r para 20 
amostras de cinco bastões cada. Especificações sobre os bastões são 0,5035±0,0010 polegada. 
Os valores dados são os três últimos dígitos da medida; ou seja, 34,2 é lido como 0,50342. 
Amostra �̅� r 
1 34,2 3 
2 31,6 4 
3 31,8 4 
4 33,4 5 
5 35,0 4 
6 32,1 2 
7 32,6 7 
8 33,8 9 
9 34,8 10 
10 38,6 4 
11 35,4 8 
12 34,0 6 
13 36,0 4 
14 37,2 7 
15 35,2 3 
16 33,4 10 
17 35,0 4 
18 34,4 7 
19 33,9 8 
20 34,0 4 
 
(a) Usando todos os dados, encontre os limites tentativas de controle para os gráficos de �̅� 
e R, construa os gráficos e plote os dados. 
Calculando o LSC e LIC: 
Temos que as médias de �̿� e �̅�, foram obtidos com uma média aritmética simples do quadro acima,na qual foi de 34,32 e 5,65, respectivamente. Usando as equações (3) e (4), com a análise da tabela 
I nos anexos, podemos determinar os parâmetros A2, D3 D4 obtém-se os seguintes resultados 
A2 = 0,577, pois são 20 amostras de 5 bastões cada, logo n=5. 
D3 = 0 
D4 =2,115 
Os limites para o gráfico �̿� são: 
 
LSC = 37,58; LIC = 31,06 
Agora, os limites para �̅� são: 
LC = 5,65; LSC =11,94; LIC = 0 
Assim, os gráficos gerados ficam da seguinte forma: 
 
(b) Use os limites tentativas de controle do item (a) para identificar pontos fora de controle. 
Percebemos uma certa aleatoriedade dos pontos, o único ponto que está fora de 
controle é o correspondente da amostra 10. 
 
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 Com a realização desse trabalho foi possível ter uma noção de como são realizados os 
testes de controle de qualidade de um determinado produto ou lote. Esse método estudado é 
amplamente usado no setor de monitoramento, no controle e melhoria da qualidade e 
principalmente no campo da engenharia, mais especificadamente, a área de produção. 
 
5 REFERÊNCIAS 
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade 
para engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2012. xvi, 523 p. 
KREYSZIG, Erwin. Matemática superior para engenharia. 9. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, 
2009. 3 v. 
 
ANEXOS 
 
Figura 1 – Gráfico �̅� com um padrão cíclico de comportamento. 
 
 Tabela I – Fatores para construção de Gráficos de controle de Variáveis.