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APLICAÇÕES DO LIMITE PARA A ENGENHARIA 
Aplicação 1 – Queda Livre. Uma pedra cai de uma altura de 150m a partir do repouso. 
Sabendo que a aceleração da gravidade é 9,8m/s², qual a posição e velocidade instantânea da 
pedra em uma altura qualquer? E quando ela bate no chão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
...da Física o espaço percorrido é: 
� = �� + ��� + �
�	
 ou � = 150 + 0. � − 9,8
�	
= −4,9�
 + 150 
e a velocidade é: 
� = �� + �� ou � = 0 − 9,8� = −9,8� 
...mas, pode-se calcular a velocidade instantânea usando a definição: 
� = lim
∆�→�
∆�
∆�
= lim
∆�→�
��� + ∆�� − ����
∆�
	��	 lim
�→�
��� + ℎ� − ����
ℎ
 
��	 lim
�→�
��� + � − ����
 
	��	 lim
!→�
��� + "� − ����
"
 
...note que ∆t, h, k ou i são chamados incrementos temporais e tendem a zero. 
substituindo a função s(t): 
� = 	 lim
�→�
#−4,9�� + ℎ�
 + 150$ − #−4,9���
 + 150$
ℎ
= "%&'�'()"%�çã�‼! 
� = 	 lim
�→�
#−4,9��
 + 2�ℎ + ℎ
� + 150$ − #−4,9���
 + 150$
ℎ
 
150m 
pedra 
S(t) 
[eixo escolhido] 
V0=0 m/s 
posição da pedra no tempo t0 
posição da pedra no tempo t 
zoom 
Para medir a velocidade instantânea tem que ser rápido!! 
Precisamos de duas posições e o tempo para sair de uma 
posição e chegar até a outra. Todas as propriedades ou 
variáveis do problema sofrerão um “incremento” que 
tenderá a ser zero. A variação de tempo e a variação da 
altura tendem a zero. Isso dura uma piscada!!! 
∆t = t – t0 
g 
� = 	 lim
�→�
−4,9�2�ℎ + ℎ
�
ℎ
= lim
�→�
−4,9ℎ�2� + ℎ�
ℎ
= lim
�→�
−4,9�2� + ℎ� 
� = 	−9,8� 
 
esta e a velocidade em uma posição qualquer em função do tempo, inclusive um pouquinho 
antes (olha o conceito de incremento aí de novo!) de bater no chão e ficar com velocidade 
zero! 
 
Aplicação 2 – MRUV horizontal. Um automóvel arranca o semáforo a partir do repouso com 
aceleração constante de 8m/s2. Qual a velocidade do automóvel após 3,5 segundos em km/h? 
...da Física o espaço percorrido é: 
/ = /� + ��� + �
�	
 ou / = 0 + 0. � + 8
�	
= 4�
 
...a velocidade pode ser obtida pela definição: 
� = lim
∆�→�
∆/
∆�
= lim
∆�→�
/�� + ∆�� − /���
∆�
= 	 lim
∆�→�
4�� + ∆��
 − 4���
∆�
= "%&'�'()"%�çã�‼ 
� = 	 lim
∆�→�
4��
 + 2�∆� + ∆�
� − 1,4
∆�
= lim
∆�→�
4∆��2� + ∆��
∆�
= lim
∆�→�
4�2� + ∆�� 
� = 8� 
...para o tempo de 3,5 segundos a velocidade é: 
� = 8.3,5 = 28) �⁄ = 28.3,6 = 100,8	 )/ℎ 
0 a 100 km/h em 3,5 segundos ?! Dever ser um Bugatti Veyron!!! 
 
Aplicação 3 – Petróleo e Gás. Uma plataforma de produção de petróleo tem vida útil de 
operação de 5 anos. O número de barris diários produzidos a cada ano é definido em milhares 
de barris dia, pela função polinomial: 
4 =
−�5 + 15�6 − 78�8 + 140�
5� − �
			')	)"9	:�(("�	&"á("�� 
onde (a) é o número do ano de produção. O polinômio do numerador está representando um 
índice em relação à proporção de óleo bruto na mistura total retirada do poço: óleo, gás, água 
salgada. O polinômio do numerador representa um índice associado à produtividade do poço 
em relação proporção de gás na mistura total: óleo, gás, água salgada. 
Qual a produtividade limite ao final do quinto ano? 
Ficou igual... Funciona!!! 
...vamos usar limite 
4 = lim
<→5
−�5 + 15�6 − 78�8 + 140�
5� − �
= "%&'�'()"%�&�‼! 
lim
<→5
��−�6 + 15�8 − 78�
 + 140��
��5 − ��
= lim
<→5
−�6 + 15�8 − 78�
 + 140��
5 − �
= "%&'�'(). ‼! 
lim
<→5
��8 − 10�
 + 28���5 − ��
5 − �
= lim
<→5
��8 − 10�
 + 28�� 
lim
<→5
��8 − 10�
 + 28�� = 58 − 10. 5
 + 28.5 = 15	)"9	:�(("�	&"�