FisicaAplicada01 21 (1)

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Fundamentos de Física
Gestão Ambiental
2017/2
Prof. Jacinto da S. Esteves
 2
Bibliografia
[1] Tipler, Paul A. Física – Volumes 1 e 2. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
[2] Resnick, R.; Halliday, D.;Krane, K.; Física – Volume 1 , 2 e 3. Rio de 
Janeiro: LTC, 2003.
[3] Okumo, Emico; Caldas, I. L. e Chow, Cecil. Física para Ciências 
Biológicas e Biomédicas. São Paulo: Harbra, 1982.
[4] Durán, José Enrique Rodas. Biofísica. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2003.
[5] Hewitt, P. G. Física Conceitual. Porto Alegre: Bookman, 2002.
[6] Tipler, Paul A. ; Llewellyn, Ralph A. Física Moderna. Rio de Janeiro: LTC, 
2006.
[7] Serway, Raymond A. e Jewett John W. Jr. Princípios de Física – Volume 
1 , 2 , 3 e 4. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
[8] Keller, F. Getty, S.W.; Skove, M. Física – Volume 1 e 2. São Paulo: Makron 
Books, 1997.
[9] Mourão Júnior, C. A. e Abramov, D. M. Curso de Biofísica. Rio de Janeiro : 
Guanabara Koogan, 2009.
[10] Gaspar, Alberto. Física. São Paulo: Editora Ática, 2002.
[11] Nussenzveig, H. Moysés, Curso de Física Básica - Mecânica. São Paulo: 
Edgard Blücher, 2002.
 3
1 Sistemas de Medidas
1-1 Grandezas Físicas
- È tudo o que pode ser mensurado.
As grandezas físicas podem ter características de “natureza” Escalar ou Vetorial.
Escalares
- São definidas apenas pelos seus respectivos módulos e geralmente acompanhados de uma 
unidade adequada.
Vetoriais
- Necessitam, além de seus respetivos módulos e das unidades, de direção e sentido.
1-2 Sistema Internacional de Unidades (SI)
Com o objetivo de eliminar multiplicidade de padrões de unidades, criou-se o SI, 
estabelecido em 1971 pela 14ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM). Tais unidades 
foram definidas para medir grandezas físicas. As grandezas foram classificadas como 
Fundamentais e Derivadas.
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Grandezas Fundamentais
- São as tidas como a base do SI, ou seja, as que dão origem a todas as outras 
grandezas.
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Quilograma padrão, constituído de uma liga de platina e irídio, guardado no 
“Bureal” Internacional de Pesos e Medidas (BIPM), Paris França.
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Grandezas Derivadas
- São as demais grandezas, obtidas das fundamentais.
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1-3 Algarismos significativos e incertezas
Supondo que para definir o diâmetro de uma moeda, oito alunos resolvem 
“tirar” a média dos valores obtidos por cada um: 
20+20+19+20+20+19+20+19
8 =19,625 mm .
O valor final do diâmetro deve ser expresso como:
- É adotado como significativo aqueles algarismos de que se tem certeza, 
acrecidos de mais um. Este último é o duvidoso.
(19,5±0,5)mm .
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Operações levando em conta o número de Algarismos Significativos
Multiplicar ou dividir dois números
Arredondar a resposta com tantos algarismos significativos quantos forem 
os do número menos precisos.
Exemplo de conta:
(2,54 m) · (3,6 m) · (1,135 m) = 10,37844 m3.
Mas o resultado deve ser apresentado como 10 m3.
Somar ou subtrair dois números
Arredondar a resposta na casa decimar que corresponde à última casa 
decimal, ocupada pelos algarismos significativos do número menos 
precisos.
Exemplo de conta:
(2,54 m) + (3,6 m) + (1,135 m) = 7,275 m.
Mas o resultado deve ser apresentado como 7,3 m.
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- Um número expresso na forma N·10n, com n inteiro e 1≤N<10.
Ex. Diâmetro de um vírus que mede 0,000000010 m, se escreve 1,0·10-8 m.
Operações em Notação Científica
Multiplicar dois números
Escreve os números em notação científica de potencia de 10, multiplica-
se as mantissas e soma-se os expoentes.
Ex:
2,5·102 · 1,0·103 = 2,5·105
Dividir dois números
Escreve os números em notação cientifica de potencia 10, divide-se as 
mantissas e subtrai-se os expoentes.
Ex:
(2,5·102) : (1,0·103) = 2,5·10-1
1-4 Notação Científica
 10
Somar ou subtrair dois números
Escreve os números de modo que as potências de 10 de todos, tenham o 
mesmo valor.
Exemplo de conta:
1,2·102 + 8,0 ·10-1 = 1200,0 ·10-1 + 8,0·10-1 = 1208,0·10-1.
Na prática, o resultado deve ser apresentado como: 1,2 ·102.
1-5 Ordem de Grandeza
- Um número arrendondado à potência de 10 mais próximo.
Ex:
A ordem de grandeza do número 850 é 103 e do 2,7·108 é 108.
1-6 Conversão de Unidades
- Basta tratar todas as unidades como grandezas algébricas.
Ex:
120 km/h = 120·1000 m / 3600 s = 33,3 m/s.
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Cinemática
2  Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
2­1 Aceleração
A aceleração mede a “velocidade da variação da velocidade”[10].
Em física a aceleração indica o “quão rápido” a velocidade de um móvel varia 
(aumenta ou diminui).
Para uma trajetória retilínea, em que a velocidade de um móvel varia, a aceleração 
média é por definição:
a¯=
Δ v
Δ t
          (2­1).
Quando a velocidade de um móvel varia a uma proporção constante, ou seja, a 
aceleração  entre  duas  posições  não  muda,  significa  que  a  aceleração  em  qualquer 
instante (instantânea) será igual a aceleração média.
a=am=
Δ v
Δ t
          (2­2).
De uma  forma genérica,  quando  se  tem o  registro da velocidade em  função do 
tempo, a aceleração é dada por:
a=
dv
dt
          (2­3).
 12
2.2 – Função da Velocidade em Relação ao Tempo
x0
x
v0 v⃗1 v⃗2
a=constante
a=
 v
 t
=
v−v0
t−t 0
⇒ v−v0=a  t−t0 ⇒ v=v0a t−t 0
“Zerando” o cronometro na posição x0 temos:
v=v0+a t (2­4)
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2.3 – Gráfico da Velocidade em Função do Tempo para MRUV
tempo
P(t0 , v0)
P(t , v)
v(t)
v(t)
O t0 t
v
v0
O  coeficiente  angular  da  reta  no 
gráfico v x t é a aceleração do móvel.
a=
v−v0
t−t 0
(2­5)
O t
v

O t
v

Se 90  < ⁰  < 180  a aceleração é α ⁰
negativa.
Se  0   < ⁰   <  90   a  aceleração  é α ⁰
positiva.
 14
2.4 – Função da Posição em Relação ao Tempo
tempoO
O módulo  do  deslocamento,  assim  como no 
MRU, no MRUV também pode ser obtido através 
do calculo da “área sob a curva”.
Δ x=t v0+
t (v−v0)
2
=v0 t+
t v−t v0
2
=
(2v0+v−v0)t
2
Δ x=( v0+v2 )t . (2­6)
Lembrando da equação (2­4), v = v0 + a t e 
substituindo a na equação (2­6) temos:
Δ x=
(v0+v0+a t) t
2
=
(2v0+a t) t
2
Δ x=v0 t+
a t 2
2
=x−x0
⇒ x=x0+v0 t+
1
2
a t2 (2­7)
Esta representa a função da posição em 
relação ao tempo.
Fazendo x0 = o 
x=v0 t+
1
2
a t 2 (2­8)
velocidade
v(t)
S=Δ x
v
v0
 15
2.5 – Relação entre velocidade e posição
Da equação (2­3) temos:
v=v0+a t ⇒ t=
v−v0
a
(2­9)
Substituindo a equação (2­9) na equação 
(2­8) temos:
x=v0 t+
1
2
a t2=v0( v−v0a )+12 a( v−v0a )
2
x=
v0 v−v0
2
a
+ 12
a
a2
(v2−2v v0+v0
2)
x=
2v0 v−2 v0
2+v2−2 v v0+v0
2
2a
=
v2−v0
2
2a
⇒ v2=v0
2+2a x (2­10)
Esta é a relação entre Velocidade e posição, 
também chamada de Equação de Torricelli.
Resumo
v=v0a t
x=v0 t
1
2
a t 2
v2=v0
22a x
(2-11)
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Exemplo 2.2
Um gato precisa se deslocar 100 m para 
alcançar um ratinho morto. Quando o gato 
começa a correr, com aceleração uniforme 
de 1 m/s², uma coruja, que está 20 m 
acima do gato, tem velocidade de 5 m/s 
(veja a figura). Se a coruja seguir uma 
trajetória retilínea, qual será sua 
aceleração para alcançar o ratinho 
juntamente com o gato?
R: a = 0,31 m/s²
Exemplo 2.1
Um corpo é solto do 
repouso em queda livre. 
Determine a posição e a 
velocidade após decorrido 
1,0, 2,0, 3,0 e 4,0 s.
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Exemplo 2.3
Uma partícula alfa (do núcleo de um átomo de Hélio) move-se no interior de um tubo 
de vácuo, reto, de 2,0 m de comprimento, que é parte de um acelerador de partículas. 
A partícula alfa entra no tubo (em t = 0) movendo-se com uma velocidade de 9,5 ·10⁵ 
m/s e sai, na outra extremidade do tubo, em t = 8,0·10⁻⁷ s. (a) Qual a aceleração da 
partícula admitindo que ela é constante? (b) Qual suavelocidade quando ela deixa o 
tubo?
Ra: a = +3,9·10¹² m/s²
Rb: v = +4,1·10⁶ m/s 
Exemplo 2.4
Você freia sua Lamborghini com uma 
aceleração constante desde a velocidade de 23,6 
m/s (aproximadamente 53 mph ou 85 km/h) 
para 12,5 m/s em uma distância de 105 m. (a) 
Qual a aceleração? (b) Quanto tempo transcorre 
neste intervalo ? (c) Se você continuar freando 
com a mesma aceleração constante, quanto 
tempo leva até que o carro pare e qual a 
distancia percorrida?
a = -1,91 m/s²
t = 5,81 s
t = 12,4 s
x = 146 m
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2.6 – Movimento dos Projéteis
Uma partícula que se move em duas dimensões, onde apenas na vertical está sujeita a 
uma aceleração, considerada constante (da gravidade) e na horizontal sua velocidade 
não  é  alterada,  desenvolve  uma  trajetória  parabólica.  Conforme  Figura  abaixo,  as 
equação desse movimento são
ax=0
vx=v0x
x=x0v0x t
na direção do eixo x:
na direção do eixo y:
ay=−g
v y=v0y−g t
y=y0v0y t−
1
2
g t2 .
Note  que  para  alturas  equivalentes,  na 
subida  e  na  decida,  os  módulos  das 
velocidades são iguais.
A velocidade do projétil terá uma componente vertical e outra horizontal ao longo 
de sua trajetória. 
(2-12)
(2-13)
θ
 19
Considerando o instante do lançamento em x0 = 0 e y0 = 0, neste instante as 
componentes da velocidade serão:
v0x=v0 cos0=constante e v0y=v0sen 0 .
Quando projétil atinge a máxima altura, a componente y de sua velocidade será nula, 
vy = 0, e:
v y=v0y−g t ⇒ v0y=gT Onde T é o tempo que o projétil levará para atingir tal altura.
Logo:
v 0 y=v0 senθ0=g T
⇒ T=
v 0
g
senθ0 (2-14)
Neste instante a altura será:
y=v0 y t−
1
2
g t 2
h=v0 T sen θ0−
1
2
g T 2 (2­15)
No instante 2T a trajetória atinge um 
afastamento máximo (alcance):
x=v0 x t
R=v0 x 2T
R=v0 · cos(θ0)· 2 ·
v0
g
· sen(θ0)
R=
v0
2
g
sen(2θ0) (2­16)
 20
Ra: t = 3,0 s
Rb: x = 58 m
Exemplo 2.5
Um estudante arremessa uma bola com velocidade inicial de 24,5 m/s, 
fazendo um ângulo de 36,9⁰ com a horizontal. (a) Calcular o tempo que a 
bola fica no ar e (b) a distancia horizontal coberta pela bola.
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Exemplo 2.6
Um helicóptero descarrega suprimentos para uma tropa acampada na clareira de 
uma floresta. A carga cai do helicóptero, a 100 m de altura, voando a 25 m/s num 
ângulo de 36,9° com a horizontal. (a) Em que ponto a carga atinge o solo? (b) Se a 
velocidade do helicóptero for constante, onde estará quando a carga atingir o solo?
Ra: x = 126 m do centro da clareira
Rb: xh = 126 m do centro da clareira
yh = 195 m de altura