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Geometria Analítica
Vetores: Perspectiva 
Algébrica
Aula 2
Prof. Nacib Mattar Jr.
Organização da Aula
 Plano cartesiano ortogonal
 Componentes de um vetor
 Inclinação de um vetor
 Espaço Tridimensional R³
 Operações com vetores
Plano Cartesiano Ortogonal
 Modelo envolvendo vetores:
Vetores no Plano Cartesiano
 Projeções nos eixos: combinação linear
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 Vetor ܱܣ  Vetor ܱܣ (ݒԦ) no Plano Cartesiano
 Vetor ܱܣ (ݒԦ): projeções em x e y  Projeções e os vetores ଓԦ e ଔԦ
• Vetor ଓԦ: ponto inicial na origem e final em (1,0) 
• Vetor ଔԦ: ponto inicial na origem e final em (0,1)
• Projeção em x:
• Projeção em y:
 Projeções e os vetores ଓԦ e ଔԦ
5 ∙ ଓԦ
3 ∙ ଔԦ
 Vetor ܱܣ como C.L. de i e j
ݒԦ = 5 ∙ ଓԦ + 3 ∙ ଔԦ
3
 Vetor ܱܣ: componentes
• ݒԦ = 5 ∙ ଓԦ + 3 ∙ ଔԦ ݒԦ é a combinação linear de ଓԦ e ଔԦ
• ݒԦ = (5,3)  Componentes de ݒԦ: coeficientes da 
combinação linear
• ݒԦ = (5,3)  ponto inicial na origem – componentes 
coincidem com as coordenadas do ponto final: A = (5,3)
• 5 é a componente de x de ݒԦ = (abscissa)
• 3 é a componente de y de ݒԦ = (ordenada)
• Versores em Թଶ: i = (1,0) e j = (0,1) 
unitários e ortogonais entre si
• Todo vetor de Թଶ pode ser escrito como 
uma combinação linear de i e j. 
 Vetor ܱܣ: módulo, direção e sentido
Módulo
 Módulo do vetor ܱܣ (ݒԦ)
 |ݒԦ| = ܽଶ ൅ ܾଶ
 |ݒԦ| = 5² ൅ 3²
 |ݒԦ| = 34 u.c.
 Direção – Determinada pelo ângulo ⊖
Direção
 tg (⊖ሻ	ൌ	௕௔
 tg (⊖ሻ	ൌ	ଷହ
 ⊖	ൌ	ângulo,	cuja	tangente	vale			ଷହ
 ⊖	ൌ	arctg ሺଷହሻ
 ⊖	ൌ	310
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Sentido
• Sentido: orientação da seta, ou seja, do 
ponto O = (0,0) para o ponto A = (5,3)
Componentes de um Vetor
 Componentes de um vetor ܣܤ  Componentes de um vetor ܣܤ
 Vetor ܣܤ: módulo  Vetor ܣܤ: módulo
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 Módulo de ݒԦ=ܣܤ:
 Módulo de ݒԦ=ܱܲ=(3,–2):
Inclinação de um Vetor
 Inclinação de um vetor ܣܤ
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 Inclinação de um vetor ܣܤ  Inclinação de ݒԦ=ܣܤ:
 Inclinação de ݒԦ=ܱܲ=(3,–2):
 Inclinação de ݒԦ=ܱܲ=(3,–2):
Espaço Tridimensional R³
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 Eixos: x, y e z  Pontos: O(0,0,0), A(3,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,4)
 Pontos: D(3,2,0), E(0,2,4) e F(3,0,4)  Pontos: P(3,2,4)
 Vetores: ܱܲ(3,2,4) e projeções sobre os eixos  Vetores ଓԦ, ଔԦ e ݇:
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 OP: combinação linear de ଓԦ, ଔԦ e ݇:
 Vetor: ݒԦ=ܱܲ=(3,2,4)
• ݒԦ = 3 ∙ ଓԦ + 2 ∙ ଔԦ + 4 ∙ ݇  ݒԦ é combinação de ଓԦ, ଔԦ e ݇
• ݒԦ = (3, 2, 4)  componentes de ݒԦ: coeficientes da 
combinação linear
• ݒԦ = (3, 2, 4)  ponto inicial na origem – componentes 
coincidem com as coordenadas do ponto final: P = (3, 2, 4)
• 5 é a componente de x de ݒԦ (abscissa)
• 3 é a componente de y de ݒԦ (ordenada)
• 4 é a componente de z de ݒԦ (cota)
Operações com Vetores
 Produto de vetor por escalar:
 Produto de vetor por escalar:R²  Produto de vetor por escalar: R²
 Componentes de 3ݒԦ: obtidas algebricamente!
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 Adição de vetores
• Dados dois vetores e , ambos 
com n componentes, o vetor é dado por:
 Adição: R²
 Produto Escalar
• Dados dois vetores e
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 Produto Escalar: R³  Produto Escalar: R³
 Produto Escalar: R³  Produto Escalar: uma segunda 
formulação
• Dados dois vetores Ԧܽ e ܾ, cada um com n componentes:
• Sendo ߙ o ângulo entre os vetores Ԧܽ e ܾ.
 Produto Escalar: uma segunda 
formulação
 Produto Vetorial: somente R³
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• Exemplo: produto vetorial • Exemplo: produto vetorial
• Exemplo: produto vetorial • Exemplo: produto vetorial