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6. Distâncias 6.1 Distância entre dois pontos No R2: 22 )()(||),( ABABBA yyxxABd No R3: 222 ),( )()()(|| ABABABBA zzyyxxABd 6.2 Distância entre ponto e reta || || ),( u vu d rP 22 00 ba cbyax d rP || ),( , P=(x0, y0) e r: ax+by+c=0. 6.3 Distância entre ponto e plano 222 000 cba dczbyax d P || ),( , P=(x0, y0, z0) e : ax+by+cz+d=0. 7. Cônicas Cônicas: parábola, elipse, circunferência ou hipérbole. Cônicas degeneradas: retas ou pontos. 7.1 Circunferência Equação reduzida: 22 0 2 0 Ryyxx )()( 7.2 Elipse Equação canônica: 1 )()( 2 2 0 2 2 0 b yy a xx 7.3 Hipérbole Equação canônica: 1 )()( 2 2 0 2 2 0 b yy a xx (ramos à esquerda e à direita) 1 )()( 2 2 0 2 2 0 b yy a xx (ramos acima e abaixo) 7.4 Parábola Parábola vertical: Equação geral: cbxaxy 2 Intersecções com o eixo x: a acbb x 2 42 Intersecção com o eixo y: (0, c) Vértice da parábola: a acb a b V 4 4 , 2 2 Parábola vertical: Equação geral: cbyayx 2 Intersecções com o eixo x: a acbb y 2 42 Intersecção com o eixo y: (0, c) Vértice da parábola: a b a acb V 2 , 4 42 1. Considerando os pontos A e B representados abaixo, determine a distância d(A, B). Resolução: As coordenadas dos pontos A e B são, respectivamente, (3, 4) e (7, 2). Como a distância entre dois pontos é dada por 22 ),( )()(|| ABABBA yyxxABd , vamos substituir xA por 3, xB por 7, yA por 4 e yB por 2: 22 ),( )42()37( BAd O próximo passo é calcularmos 7-3=4 e 2-4=-2: 22 ),( )2()4( BAd Elevando 4 ao quadrado e -2 ao quadrado, temos: 416),( BAd Vamos agora somar 16 e 4: 20),( BAd Finalmente, calculando a raiz quadrada de 20, temos: 47,4),( BAd Portanto, a distância entre os pontos A e B é igual a 4,47. 2. Sejam A=(2, 5, -4) e B=(3, 3, 2). Calcule d(A, B) e d(B, A). Resolução: Quando estamos tratando de pontos no R3, a distância entre A e B é dada por 222 ),( )()()(|| ABABABBA zzyyxxABd Para que possamos calcular a distância entre os pontos A e B, vamos substituir xA por 2, xB por 5, yA por 5, yB por 3, zA por -4 e zB por 2: 222 ),( ))4(2()53()23(|| ABd BA Calculando 3-2=1, 3-5=-2 e 2-(-4)=2+4=6, temos: 222 ),( 6)2(1|| ABd BA Elevando 1, -2 e 6 ao quadrado, temos, respectivamente, 1, 4 e 36: 3641||),( ABd BA Cuja soma resulta em: 41||),( ABd BA Calculando a raiz quadrada de 41, temos: 40,6||),( ABd BA que é a distância entre os pontos A e B propostos inicialmente. 3. Determine a distância entre o ponto P=(5, 7) e a reta r:y=2x+2. Resolução: A imagem abaixo apresenta a reta r:y=2x+2 e o ponto P=(5, 7). Para calcularmos a distância entre a reta r:2x+-y+2 e o ponto P=(5, 7), vamos utilizar a fórmula 22 00 ),( || ba cbyax d rP onde a, b e c são os coeficientes de x, y e o termo independente na expressão r: ax+by+c=0, respectivamente, ou seja, a=2, b=-1 e c=2 e x0 e y0 são as coordenadas do ponto P, isto é, x0=5 e y0=7. Vamos então substituir esses valores. 22 ),( )1()2( |2)7)(1()5)(2(| rPd Efetuando as multiplicações indicadas e elevando os termos 2 e -1 ao quadrado, temos: 14 |2710| ),( rPd Vamos agora somar e subtrair os termos que aparecem no numerador e no denominador. 5 |5| ),( rPd Como temos a raiz quadrada de 5 no denominador, podemos fazer a racionalização desse denominador, ou seja, vamos multiplicar numerador e denominador por 5 para que tenhamos um número racional no denominador. 5 5 . 5 5 ),( rPd Multiplicando 5 por 5 , temos 55 e multiplicando 5 por 5 , temos 5255.55.5 . Logo, 5 55 ),( rPd Vamos agora simplificar os dois números 5, o que resulta em: 5),( rPd Calculando a raiz quadrada de 5, temos: 24,2),( rPd Portanto, a distância entre o ponto P e a reta r é igual a 2,24 unidades de comprimento. 4. Sabendo que A=(1, 0, 3) e r:M=(3t+1, 2t, 5t-2), encontre a distância entre o ponto A e a reta r. Resolução: Cálculo do vetor diretor: Sabemos que r:M=(3t+1, 2t, 5t-2) que é equivalente a r:M=(1+3t, 0+2t, -2+5t) Podemos decompor então como a soma de dois vetores r:M=(1, 0, -2)+( 3t, 2t, 5t) donde r:M=(1, 0, -2)+t( 3, 2, 5) Logo, temos um vetor diretor de r: )5 ,2 ,3(u . Uma outra forma de obtermos o vetor diretor é considerarmos os coeficientes de t na expressão r:M=(3t+1, 2t, 5t-2). Note que os coeficientes são, respectivamente, 3, 2 e 5. Logo, )5 ,2 ,3(u . Vamos agora obter um ponto pertencente à reta r para determinarmos o vetor v . Sabemos que r:M=(3t+1, 2t, 5t-2) Fazendo t=0, temos M=(3(0)+1, 2(0), 5(0)-2) Vamos efetuar os produtos indicados M=(0+1, 0, 0-2) E, finalmente, somar os devidos termos M=(1, 0, -2) Como já temos um ponto M que pertence à reta r, podemos obter o vetor v tal que MAMAv Como A=(1, 0, 3) e M=(1, 0, -2), temos )2 ,0 ,1()3 ,0 ,1( v O que resulta em )5 ,0 ,0(v Finalmente, podemos calcular a distância entre A e r: || || ),( u vu d rA Primeiro vamos calcular o produto vetorial vu . Sabemos que 500 523 kji vu Para calcularmos o determinante, vamos repetir as duas primeiras colunas após a terceira coluna e efetuar ar multiplicações necessárias 01500010 00500 23523 ji jikji vu Somando os termos semelhantes, temos jivu 1510 Precisamos agora calcular o módulo de vu : jivu 1510 Para isso basta calcularmos a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada componente do vetor vu 222 0)15(10 vu Como 102=100, (-15)2=225 e 02=0, temos 0225100 vu Somando 100, 225 e 0, temos 325vu Que resulta em 03,18vu Como já temos o módulo de vu , precisamos agora do módulo de u que é dado por 2 3 2 2 2 1 uuuu Como )5 ,2 ,3(u , temos 222 523 u Vamos elevar cada termo ao quadrado 2549 u e, em seguida, efetuar a somas indicadas 38u Calculando a raiz quadrada de 38, temos 16,6u Finalmente, a distância entre A e r é 16,6 03,18 ),( rAd O que resulta em 93,2),( rAd 5. Encontre a distância entre o ponto D=(4, 1, 6) e o plano :2x+3y+z-2=0. Resolução: Podemos calcular a distância entre D e utilizando a fórmula 222 000 ),( || cba dczbyax d D onde x0, y0, z0 são as coordenadas de D e a, b, c e d são os coeficientes de :2x+3y+z-2=0, ou seja, x0=4, y0=1 e z0=6 e a=2, b=3, c=1 e d=-2. 222 ),( )1()3()2( |)2()6)(1()1)(3()4)(2(| Dd Primeiro, vamos efetuar as multiplicações e as potências indicadas 194 |2638| ),( Dd Vamos agora somar os termos que constam no numerador e também no denominador 14 |15| ),( Dd Como |15|=15, temos 14 15 ),( Dd Finalmente, vamos racionalizar o denominador. Para isso, basta multiplicarmos numerador e denominador por 14 14 14 . 14 15 ),( Dd Como 141514.15 e 141414.14 2 , temos 14 1415 ),( Dd Multiplicando 15 por 14 e dividindo o resultado por 14, a distância entre D e é igual a 01,4),( Dd 6. Qual é a equação reduzida de uma circunferência com centro em C=(2, 2) e raio r=4? Resolução: A equação reduzida de uma circunferência corresponde a 22 0 2 0 Ryyxx )()( Como C=(2, 2), temos 222 4)2()2( yx 7. Determine a equação geral de uma circunferência com centro em C=(1, 3) e raio r=3? Resolução: Para obtermos a equação geral de uma circunferência, inicialmente vamos considerar a equação reduzida 22 0 2 0 Ryyxx )()( Substituindo x0 por 1 e y0 por 3, temos 222 3)3()1( yx Vamos agora desenvolver os produtos notáveis 12)1( 22 xxx e 96)3( 22 yyy , pois sabemos que 222 2 bababa . 99612 22 yyxx Agrupando os termos semelhantes, temos 16222 yxyx 8. Qual é a cônica cuja equação corresponde a x2+y2+2x+6y=8? Resolução: Sabemos que a equação da cônica é igual a x2+y2+2x+6y=8 Precisamos agora descobrir qual é a sua forma para que, com isso, possamos determinar que cônica é essa. Pensando em produtos notáveis, podemos agrupar os termos em x e adicionar 1 e -1 a esses termos. Esse procedimento não altera a equação, mas permite que possamos escrever x2+2x+1 como (x+1)2. Mas como é possível saber que nesse caso é preciso adicionar 1 e -1? A resposta é bem simples: basta considerarmos o coeficiente de x e dividirmos esse coeficiente por 2 e, em seguida, elevarmos o resultado ao quadrado: 2:2=1 e 12=1. Agrupamos também os termos em y e acrescentamos 9 e -9 a esses termos. A escolha desses números é feita da mesma maneira que explicamos anteriormente. Nesse caso, dividimos o coeficiente de y por 2 e elevamos o resultado ao quadrado: 6:2=3 e 32=9. Dessa forma podemos escrever y2+6y+9 como sendo (y +3)2. x2+2x+1-1+ y2+6y+9-9=8 Substituindo, então, x2+2x+1 por (x+1)2 e y2+6y+9 por (y +3)2, temos (x+1)2-1+ (y +3)2-9=8 Vamos agora soma -1 e -9, o que resulta em -10 (x+1)2+ (y +3)2-10=8 Somando 10 nos dois membros, temos (x+1)2+ (y +3)2=8+10 Vamos agora somar 8 com 10 (x+1)2+ (y +3)2=18 Como a equação obtida possui o formato 22 0 2 0 Ryyxx )()( , trata-se de uma circunferência de raio 18R e centro em (-1, -3). 9. A figura abaixo apresenta uma elipse com centro na origem, semi-eixo vertical igual a 3 e semi-eixo horizontal igual a 4. Com base nessas informações, determine a equação canônica dessa elipse. Resolução: A equação canônica da elipse é 1 )()( 2 2 0 2 2 0 b yy a xx onde x0 e y0 são as coordenadas do centro da elipse e a e b são os semi-eixos da elipse. Substituindo x0 e y0 por 0 e 0, respectivamente e a e b por 4 e 3, respectivamente, temos 1 3 )0( 4 )0( 2 2 2 2 yx o que resulta em 1 916 22 yx que é a equação canônica da elipse dada. 10. Determine qual é a cônica de equação 25x2+9y2+100x+18y-116=0. Resolução: Para sabermos qual é a cônica cuja equação é 25x2+9y2+100x+18y-116=0 precisamos encontrar a sua forma padrão. Inicialmente vamos agrupar os termos em x e os termos em y. 25x2+100x+9y2+18y-116=0 Podemos agora, em relação aos termos em x, colocar 25 em evidência. Em relação aos termos em y, podemos colocar 9 em evidência. 25(x2+4x)+9(y2+2y)-116=0 Vamos agora acrescentar 4 e -4 ao termo (x2+4x) e vamos também acrescentar 1 e -1 ao termo (y2+2y). 25(x2+4x+4-4)+9(y2+2y+1-1)-116=0 Com isso, podemos utilizar os produtos notáveis para simplificarmos esses termos. A seguir iremos colocar parênteses nos termos a serem simplificados para que possamos visualizar melhor. 25((x2+4x+4)-4)+9((y2+2y+1)-1)-116=0 Podemos escrever x2+4x+4 como (x+2)2 e y2+2y+1 como (y+1)2. 25((x+2)2-4)+9((y+1)2-1)-116=0 Multiplicando 25 por (x+2)2 e por -4 e multiplicando 9 por (y+1)2 e por -1 temos 25(x+2)2-100+9(y+1)2-9-116=0 Vamos agora somar os termos -100, -9 e -116 25(x+2)2+9(y+1)2-225=0 Somando 225 nos dois membros, temos 25(x+2)2+9(y+1)2=225 Vamos agora dividir os dois membros por 225 225 225 225 )1(9 225 )2(25 22 yx Logo, temos 1 25 )1( 9 )2( 22 yx Podemos escrever 9 como sendo 32 e 25 como sendo 52 1 5 )1( 3 )2( 2 2 2 2 yx Como a equação está na forma 1 )()( 2 2 0 2 2 0 b yy a xx , temos uma elipse de centro em (-2, -1) e cujos semi-eixos medem 3 (horizontal) e 5 (vertical). 11. Determine a equação canônica da hipérbole apresentada na figura abaixo. Resolução: A forma da equação canônica da hipérbole é 1 )()( 2 2 0 2 2 0 b yy a xx Nesse caso, x0=0, y0=0, a=3 e b=1 1 1 )0( 3 )0( 2 2 2 2 yx Subtraindo os termos entre parênteses e elevando os denominadores ao quadrado, temos 1 19 22 yx que corresponde a 1 9 2 2 y x a equação canônica da hipérbole em questão. 12. Determine a equação da parábola apresentada abaixo. Resolução: Observando o gráfico, a parábola passa pelos pontos (0, 0), (5, 12) e (10, 0). Para que possamos encontrar a equação dessa parábola, vamos substituir cada um desses pontos na equação y=ax2+bx+c. Para o ponto (0, 0), temos y=ax2+bx+c 0=a(0)2+b(0)+c 0=0+0+c 0=c c=0 Para o ponto (5, 12), temos y=ax2+bx+c 12=a(5)2+b(5)+0 12=a(25)+b(5)+0 12=25a+5b Ou, de maneira equivalente, 25a+5b=12 Note que obtivemos uma equação linear com duas incógnitas. Como há uma infinidade de soluções para essa equação, no momento não é possível encontrar os valores de a e de b, mas iremos utilizá-la depois. Para o ponto (10, 0), temos y=ax2+bx+c 0=a(10)2+b(10)+0 0=a(100)+b(10)+0 0=100a+10b Ou, de maneira equivalente, 100a+10b=0 Para encontrarmos os valores de a e b, vamos resolver o sistema de equações 010100 12525 ba ba Há várias possibilidades de resolução desse sistema. Vamos utilizar o método da adição. Observe que 100:25=4. Logo, se multiplicarmos a primeira equação por -4 será possível zerarmos o coeficiente de a ao somarmos as duas equações. 010100 )4( x12525 ba ba Multiplicando cada termo da primeira equação por -4 temos 010100 4820100 ba ba Vamos agora somar as duas equações 48100 010100 4820100 b ba ba Como 4810 b Podemos multiplicar a equação por -1, o que resulta em 4810 b Dividindo os dois membros por 10, temos 10 48 b Logo 8,4b Vamos agora calcular o valor de a. O procedimento é bem simples. Basta substituirmos b por 4,8 em uma das duas equações.Independente da escolha, o resultado obtido é o mesmo. Substituindo b por 4,8 na equação 25a+5b=12 temos 25a+5(4,8)=12 Vamos multiplicar 5 por 4,8 25a+24=12 Subtraindo 24 dos dois membros temos 25a=12-24 que é igual a 25a=-12 Agora basta dividir os dois membros por 25 25 12 a Logo a=-0,48 Como a=-0,48, b=4,8 e c=0, a equação procurada é y=-0,48x2+4,8x 13. Qual é a cônica cuja equação corresponde a x2+y-10=0? Resolução: Vamos isolar a variável y. x2+y-10=0 Primeiro, vamos somar 10 nos dois membros x2+y=0+10 que é igual a x2+y=10 Agora basta subtrairmos x2 dos dois membros, o que resulta em y=-x2+10 que é uma parábola vertical com concavidade voltada para baixo. 14. Determine qual é a cônica de equação igual a y2+2x+3y+5=0. Resolução: 05322 yxy 532 2 yyx 2 532 yy x 2 5 2 3 2 2 yy x Parábola horizontal com concavidade voltada para esquerda. 15. Represente graficamente a parábola dada por x2-6x-y+5=0. Resolução: Vamos escrever essa equação sob a forma y=ax2+bx+c Sendo assim, temos y=x2-6x+5 Uma forma de representarmos graficamente uma parábola é encontrarmos as coordenadas do vértice e, caso existam, as raízes dessa equação. Depois, basta representar a parábola que passa pelos pontos encontrados. Inicialmente, calculando as raízes, temos: a acbb x .2 42 Como a=1, b=-6 e c=5 temos )1.(2 )5).(1.(4)6()6( 2 x Fazendo –(-6)=6, (-6)2=36 e 4.(1).(5)=20 temos 2 20366 x Como 36-20=16, temos 2 166 x que resulta em 2 46 x Para resolvermos esse problema, precisamos calcular, separadamente, 2 46 1 x e 2 46 2 x . Logo 5 2 10 2 46 111 xxx e 1 2 2 2 46 222 xxx Portanto, as raízes são 1 e 5. Vamos agora calcular as coordenadas do vértice utilizando a fórmula a cab a b V 4 ..4 , 2 2 Vamos substituir a por 1, b por -6 e c por 5 )1(4 )5).(1.(4)6( , )1(2 6 2 V 4 2036 , 2 6 V 4 16 , 2 6 V 4,3 V Logo, o vértice está localizado no ponto (3, -4). Sendo assim, a representação gráfica da parábola é a seguinte
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