Cálculo Integral

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Primeira Lista de Exercı´cios
Ca´lculo Integral
Prof. Flausino Lucas
Questa˜o 1. Encontre f(x) nas seguintes
condic¸o˜es:
a) f ′(x) = 2x e f(0) = 3
b) f ′(x) = x2 e f(1) = 1
c) f ′(x) = − sin(x) e f(pi) = −1
d) f ′(x) = ex e f(0) = −1
e) f ′(x) = −e−x e f(0) = 2
f) f ′(x) = x3 − 2x2 + 1 e f(2) = 10
g) f ′(x) = 3x2 + cos(x) e f(2pi) = 0
Questa˜o 2. Verifique que:
a
∫
sin axdx = − 1
a
cos(ax) + k, a 6= 0
b
∫
cos axdx = 1
a
sin(ax) + k, a 6= 0
c
∫
1
1+x2 dx = arctan(x) + k
d
∫
1√
1−x2 dx = arcsin(x) + k,−1 < x < 1
Questa˜o 3. Calcule a integral indefinida nos se-
guintes casos:
a)
∫
x3dx
b)
∫
1
x2
dx
c)
∫
2√
x3
dx
d)
∫
4
3
√
x2
dx
e)
∫
1
x
dx, x > 0
f)
∫
2
x
+
√
xdx, x > 0
g)
∫
eaxdx, a 6= 0
h)
∫
3x+ 1dx
i)
∫
1
x
+ 1
x2
dx
j)
∫
x
2+1
x
dx
k)
∫
sin(5x)dx
l)
∫
e
x+e−x
2 dx
m)
∫
cos(x/2)dx
n)
∫
5e7xdx
o)
∫
x5 + 3x3 + x+ 4dx
Questa˜o 4. Uma part´ıcula se descola sobre o eixo
x com velocidade v(t) = 2t− 3, t ≥ 0. Sabe-se que
no instante t = 0 a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o
x = 5. Determine o instante em que a part´ıcula
estara´ mais pro´xima da origem.
Questa˜o 5. Uma part´ıcula se descola sobre o eixo
x com velocidade v(t) = t + 3, t ≥ 0. Sabe-se que
no instante t = 0 a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o
x = 2.
a) Qual a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t?
b) Determine a posic¸a˜o da part´ıcula no instante
t = 2.
c) Determine a acelerac¸a˜o.
Questa˜o 6. Usando o Teorema Fundamental do
Ca´lculo, calcule as seguintes integrais definidas:
a)
∫ 1
0
x2dx
b)
∫ 1
−1 x
3 + xdx
c)
∫ 2
1
1
x2
dx
d)
∫ 5
0
x+ 3dx
e)
∫ 1
−2 x
2 − 1dx
f)
∫ 1
0
5x3 − 12dx
g)
∫ 0
1
2x+ 3dx
h)
∫ 4
1
1√
x
dx
i)
∫ 2
1
x3 + x+ 1
x3
dx
j)
∫ 1
−1 x
7 + x3 + xdx
1
k)
∫ 4
1
5x+
√
xdx
l)
∫ 1
0
(x− 3)2dx
m)
∫ 0
−pi sin(3x)dx
n)
∫ pi
3
0
sin(x) + sin(2x)dx
o)
∫ pi
2
0
cos2(x)dx. Verifique que
cos2(x) =
1
2
+
1
2
cos(2x)
p)
∫ pi
2
0
sin2(x)dx.
Questa˜o 7. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelas
retas x = 0, x = 2, pelo eixo Ox e pelo gra´fico da
func¸a˜o constante 3.
Questa˜o 8. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelo
eixo Ox e pelo gra´fico y = 3x, 0 ≤ x ≤ 1.
Questa˜o 9. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelo
eixo Ox e pelo gra´fico y = 2x2, 1 ≤ x ≤ 2.
Questa˜o 10. Calcule a a´rea da regia˜o limitada
pelo gra´fico de f(x) = x, pelo eixo Ox e pelas retas
x = −1 e x = 1. Compare o valor da a´rea com∫ 1
−1 xdx. Justifique.
Questa˜o 11. Determine a a´rea da regia˜o no plano
que e´ limitada e esta´ entre as curvas y − x2 = 0 e
y2 − x = 0.
Questa˜o 12. Calcule a a´rea da regia˜o limitada no
primeiro quadrante compreendida entre os gra´ficos
de y = x e y = x3.
Questa˜o 13. Uma part´ıcula desloca-se sobre o
eixo Ox com velocidade v(t) = sin(2t), t ≥ 0. Cal-
cule o espac¸o percorrido entre os instantes t = 0 e
t = pi.
Questa˜o 14. Em cada caso, determine a a´rea da
regia˜o A:
a) A = {(x, y) : x2 + 1 ≤ y ≤ x+ 1}
b) A = {(x, y) : x ≥ 0, x3 − x ≤ y ≤ −x2 + 5x}
c) A = {(x, y) : x > 0, 1
x2
≤ y ≤ 5− 4x2}
d) A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1,√x ≤ y ≤ 3}
Questa˜o 15. Suponha que a demanda mensal de
carne de um determinado consumidor seja dada por
p = −0, 5q + 30, 0 ≤ q ≤ 60, sendo o prec¸o p em
reais e a quantidade q em quilogramas. Suponha
que o prec¸o de mercado seja R$14, 00 o quilo.
a) Qual a quantidade q¯ consumida ao prec¸o de mer-
cado?
b) Qual o excedente do consumidor?
c) Interprete graficamente o excedente do consu-
midor.
Questa˜o 16. Um produtor de insumos agr´ıcolas
oferece ao mercado um determinado fertilizante
cuja func¸a˜o oferta segue a lei: p = 4q
2
10002 + 5, q ≥ 0,
onde p e´ o prec¸o em reais e q e´ a quantidade em
quilogramas. O prec¸o de mercado e´ de R$9, 00 o
quilo.
a) Qual a quantidade ofertada mensalmente ao
prec¸o de mercado?
b) Qual o excedente do produtor?
Questa˜o 17. Se a demanda por determinada be-
bida segue a lei p = 12− 2√q, 0 ≤ q ≤ 36 e o prec¸o
de mercado e´ de R$4, 00 o litro, qual o excedente
do consumidor nesta relac¸a˜o de compra? Interprete
graficamente.
Questa˜o 18. A oferta de determinado shampoo
para cabelos segue a lei : p = 0, 3
√
q+3. Se o prec¸o
de mercado e´ R$12, 00 o litro, qual o excedente do
produtor? Interprete graficamente.
Questa˜o 19. Calcule:
a)
∫ 1
1
2
√
2x− 1dx
b)
∫ 1
0
e3xdx
c)
∫ 1
0
x
x2+1dx
d)
∫ 4
1
2x
√
x2 + 1dx
e)
∫ 1
0
xex
2
dx
f)
∫ 0
−1 x
√
x+ 1dx
g)
∫ 1
0
x
2
1+x3 dx
h)
∫ 0
−1 x
2
√
1 + x3dx
2
Questa˜o 20. Um aluno (precipitado), ao calcu-
lar a integral
∫ 1
−1
√
1 + x2dx raciocinou da seguinte
maneira: fazendo a mudanc¸a de varia´vel u = 1+x2,
os novos extremos de integrac¸a˜o seriam iguais a 2,e
enta˜o o resultado da integral sera´ zero. Identifique
o erro neste racioc´ınio.
Questa˜o 21. Calcule:
a)
∫ 1
0
x
√
x2 + 3dx
b)
∫ 1
0
x
√
1 + 2x2dx
c)
∫√3
0
x3
√
x2 + 1dx
d)
∫ 2
1
x(x2 − 1)5dx
e)
∫ 0
−1 x
2ex
3
dx
f)
∫ 2
1
3s
1+s2 ds
g)
∫ 1
0
1
1+4sds
h)
∫ 3
0
x√
x+1
dx
i)
∫ 3
0
x
2
√
x+1
dx
j)
∫ 1
0
s√
s2+1
ds
k)
∫ 1
0
x
2
(x+1)2 dx
l)
∫ pi
3
0
sinx cos2 xdx
m)
∫ pi
6
0
cosx sin5 xdx
n)
∫ pi
6
0
cos3 xdx
Questa˜o 22. Calcule:
∫
pi
−pi
sinx
x4 + x2 + 1
dx
Questa˜o 23. Seja f uma func¸a˜o par e cont´ınua em
[−r, r], r > 0 (lembre que f e´ par⇔ f(−x) = f(x))
a) Mostre que
∫ 0
−r
f(x)dx =
∫
r
0
f(x)dx
b) Conclua de (a) que
∫
r
−r f(x)dx = 2
∫
r
0
f(x)dx.
Interprete geometricamente.
Questa˜o 24. Calcule a integral indefinida nos se-
guintes casos:
a)
∫
x cos(x2)dx
b)
∫
e3xdx
c)
∫
x
1+x2 dx
d)
∫
x
1+x4 dx
e)
∫
x3
√
1 + x2dx
f)
∫
sin x
cos3 xdx
g)
∫
sin4 xcos3xdx
h)
∫
x3 cos(x4)dx
i)
∫
cos3 x sinxdx
j)
∫
ex
√
1 + exdx
k)
∫
sin x
cos2 xdx
l)
∫
xe−x
2
dx
Questa˜o 25. Calcule as integrais definidas:
a)
∫ 1
0
xe−x
2
dx
b)
∫ pi
3
0
sinx cosxdx
c)
∫ 1
0
3
2x+1dx
d)
∫ 1
0
√
1 + x2dx
e)
∫ 2
1
1
x2
√
1+x2
dx
f)
∫ pi
4
0
cos2(2x)dx
g)
∫ 1
0
x
3
√
1+x2
dx
h)
∫ 3
2
1
(x−1)3 dx
Questa˜o 26. Calcule a a´rea do c´ırculo de raio r.
Questa˜o 27. Calcule a a´rea do conjunto de todos
os (x, y) tais que x2 + 2y2 ≤ 3 e y ≥ x2.
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