Metodos de Energia

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CIV 151 – Resistência dos Materiais II
Capítulo
Métodos de Energia
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Professores: Flávio Antônio Ferreira
Diôgo Silva de Oliveira
Versão OUT
Métodos de Energia
Sumário
11.1 - Introdução
11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
11.3 - Princípio da Conservação de Energia
11.4 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
11.5 - Teorema de Castigliano
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11.1 - Introdução
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11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
Trabalho Externo de uma Força
Uma força P realiza trabalho quando sofre um
deslocamento dx ao longo de sua linha de ação
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 
x
e dxPU 0
dxPdUe 
Trabalho Externo de uma Força
 
x
e dxPU 0
xkP 
  10
x
e dxxkU
11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
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0e
2
2xkUe

112
1 xPUe 
11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
Trabalho Externo de um Momento
Um momento M realiza trabalho quando sofre um
deslocamento rotacional dq ao longo de sua linha de ação  
q
q
0
dMUe
q kM
 
q
qq dkUe
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  qq0 dkUe
2
2q kUe
qMUe 2
1
11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
Energia de Deformação Interna para Tensões Normais
Se submetemos um elemento à tensão normal sz, a força
que surge na superfície perpendicular a sz é dada por:
dydxdAdF zzz  ss
A variação de deslocamento sofrido nesta direção é dado por:
dzd zz  
O Trabalho realizado pela carga dF , é dado por:
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O Trabalho realizado pela carga dFz , é dado por:
   dzdydxddFdU zzzzi  s2
1
2
1
 
V
zzi dVU s2
1
Da Lei de Hooke sabemos que:
E
s 
  Vi
dV
E
U
2
2s
11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
Energia de Deformação Interna para Tensões de Cisalhamento
Se submetemos um elemento à tensão normal t, a força
que surge na superfície paralela a t é dada por:
dydxdAdF  tt
A variação de deslocamento sofrido nesta direção é dado por:
dzd y  
O Trabalho realizado pela carga dF , é dado por:
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O Trabalho realizado pela carga dFz , é dado por:
   dzdydxddFdU yi  t2
1
2
1
 
V
i dVU t2
1
Da Lei de Hooke no cisalhamento sabemos que:
G
t 
  Vi
dV
G
U
2
2t
11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
Energia de Deformação Interna para Estado Geral de Tensões
Os desenvolvimentos anteriores podem ser ampliados para determinar
a energia de deformação de um corpo quando submetido a um estado
geral de tensões:
dV
U
zyzyxzxzxyxy
V
zzyyxxi



  
ttt
sss
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Podemos eliminar as deformações através da Lei de Hooke:
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Podemos eliminar as deformações através da Lei de Hooke:
   
  dV
G
EE
U
zyxzxy
V
yzzxyxzyxi



  
222
222
2
1
2
1
ttt
sssssssss
Podemos expressar a energia de em termos de tensões principais:
    dV
EE
U
V
i 


   3132212322212
1 sssssssss
11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
Energia de Deformação Interna para Carga Axial
Considere uma barra de seção transversal
variável submetida a um carregamento axial:
  Vi
dV
E
U
2
2s
A
Nsmas
  Vi
dxA
EA
NU 2
2
2
e dxAdV 
 
L
i dxEA
NU
0
2
2
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V EA2 EA0 2
Para o caso da seção transversal ser constante:
EA
LNU i 

2
2
 
L
i dxEA
NU
0
2
2
11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
Energia de Deformação Interna para Momento Fletor
Sabendo que um elemento estrutural
prismático submetido a momento fletor
desenvolve tensões axiais, temos :
y
I
M smas e dxdAdV 
  Vi
dV
E
U
2
2s
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I
mas e dxdAdV 
 


 


V
i dxdAyI
M
E
U
2
2
1   








L
A
i dxdAyEI
MU
0
2
2
2
2
 
L
i dxEI
MU
0
2
2
11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
Sabendo que um elemento estrutural
prismático submetido a força cortante
desenvolve tensões de cisalhamento,
temos :
  Vi
dV
G
U
2
2t
tI
QV

tmas e dxdAdV 
Energia de Deformação Interna para Força Cortante
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tI  e
 







V
i dxdAtI
QV
G
U
2
2
1   








L
A
i dxdAt
Q
GI
VU
0
2
2
2
2
2
Fator de forma para cisalhamento:  
A
s dAt
Q
I
Af 2
2
2
Substituindo o fator de forma na
expressão da energia, temos:  

L
s
i dxGA
VfU
0
2
2
Obs.: O fator de forma é
exclusivo para cada seção
transversal
11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
Considere uma barra de seção transversal variável
submetida a um torque. Sabemos que um elemento
estrutural submetido a torque desenvolve tensões de
cisalhamento:
  Vi
dV
G
U
2
2t
J
T t mas
 


 

i dxdAJ
T
G
U
2
2
1 
e dxAdV 
  






L
i dxdAGJ
TU
2
2
2
2

Energia de Deformação Interna para Momento de Torção
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  Vi
dxdA
JG
U
2
Para o caso da seção transversal ser constante:
GJ
LTU i 

2
2
  






A
i dxdAGJ
U
0
22

 
L
i dxGJ
TU
0
2
2
 
L
i dxGJ
TU
0
2
2
11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
Exercício: Hibbeler
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11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
Exercício: Hibbeler
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11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
Exercício: Hibbeler
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11.2 - Trabalho Externo e Energia de Deformação
Exercício: Hibbeler
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11.3 - Princípio da Conservação de Energia
Todos os cálculos de energia usados em mecânica dos materiais baseiam-se em equilíbrio de
energia, muitas vezes denominado Princípio da Conservação de Energia (PCE).
Se uma carga for aplicada lentamente a um corpo, de modo que a
energia cinética possa ser desprezada, essa carga tende a
deformar o corpo de modo a realizar trabalho externo (Ue).
 PUe 2
1
Esse trabalho externo provocado pelas cargas
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Esse trabalho externo provocado pelas cargas
transforma-se em trabalho interno ou energia de
deformação (Ui) produzida pelos esforços internos
que surgem no corpo.
 
L
i dxEA
NU
0
2
2
Pelo PCE todo trabalho externo é transformado em energia de deformação acumulada na estrutura.
ie UU 
11.3 - Princípio da Conservação de Energia
PCE para barras submetidas a carregamento axial
 EA
LNP
22
1 2
PCE para barras submetidas a Esforços de Flexão
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dx
EI
MP
L

0
2
22
1
dx
EI
MM
L

0
2
0 22
1 q
11.3 - Princípio da Conservação de Energia
Exercício: Hibbeler
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11.3 - Princípio da Conservação de Energia
Exercício: Hibbeler
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11.3 - Princípio da Conservação de Energia
Exercício: Hibbeler
Dados: E = 73,1GPa
I = 2,16x107mm4
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11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
CORPO QUALQUER SUBMETIDO A CARGAS EXTERNAS (Pi):
O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) foi desenvolvido por Bernoulli em 1717 como uma forma de
obter o deslocamento e a rotação em um ponto qualquer de um corpo deformável:
Sempre que um corpo qualquer é impedido de se mover, as cargas devem satisfazer as condições de
equilíbrio e os deslocamentos as condições de compatibilidade.
A condição de equilíbrio exige que as cargas externas se relacione com os esforços internos.
A condição de compatibilidade exige que os deslocamentos externos estejam relacionados às
deformações internas.
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- Cargas Externas  Cargas Internas
- Cargas Externas  deslocamento do corpo
- Cargas Internas  deslocamento do corpo
Pelo PCE:
11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
SOLUÇÃO?
Aplicar uma força unitária imaginária (virtual) sobre o ponto A na mesma
direção que se quer medir o deslocamento:
Como não há força externa atuando em A, o deslocamento  não está
incluído na equação anterior do PCE:
Ue = Ui
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11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
Seja uma estrutura qualquer submetida a diversos carregamentos P1, P2 .... Pn. Essa estrutura ira sofrer
deslocamentos externos
Se analisarmos uma seção infinitesimal dessa estrutura
observamos que surgirão esforços internos (N, Q, M e T) e
deformações internas (du, dv, dq e df)
dx
EA
Ndu 
M
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Esforços Solicitantes: N, M, Q, T
Deformações. Rel: du, dq, dv, df
dx
EI
Md q
dx
GA
Vfdv s
dx
GJ
Td f
11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
Para conhecer o valor do deslocamento externo provocado pelas cargas (P1, P2 .... Pn) no ponto m onde
não há cargas aplicadas, devemos aplicar uma carga virtual unitária (P) em m na direção do
deslocamento de interesse.
Essa carga virtual também irá gerar esforços internos e deformações internas T ,M ,Q ,N  fd ,dθ ,dv ,du
Pelo PCE temos que: ie UU 

 torçãoparcela
0
tocisalhamen parcela
0
flexão parcela
0
axial parcela
02
1  
LL
s
LL
dTdvVfdMduNP fq
Se igualarmos as deformações virtuais com as deformações
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
 torçãoparcela
0
tocisalhamen parcela
0
flexão parcela
0
axial parcela
0 22222
1 dx
GJ
TTdx
GA
VVfdx
EI
MMdx
EA
NN LL
s
LL
 

 torçãoparcela
0
tocisalhamen parcela
0
flexão parcela
0
axial parcela
0
dx
GJ
TTdx
GA
VVfdx
EI
MMdx
EA
NN LL
s
LL
 
Se igualarmos as deformações virtuais com as deformações
reais, temos::
11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
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11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
PTV aplicado a treliças: Efeito Carregamento Externo
 
L
dLN
0
1
 

AE
LNN
dx
EA
NdL mas
 

L
dx
AE
NN
0
1
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1 = carga virtual externa
Δ = deslocamento real do ponto
= força interna em cada elemento provocada pela carga virtual unitária
N = força interna em cada elemento provocada pelas cargas reais
L = comprimento de cada elemento
A = área da seção transversal de cada elemento
E = módulo de elasticidade de cada elemento
N
11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
 
L
dLN
0
1
  TLN 
TLdL mas
PTV aplicado a treliças: Efeito Variação de Temperatura
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1 = carga virtual externa
Δ = deslocamento externo do ponto causado pela
mudança de temperatura
= força interna em cada elemento provocada pela carga virtual unitária
α = coeficiente de expansão térmica
ΔT = mudança na temperatura
L = comprimento de cada elemento
N
11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
PTV aplicado a vigas
 
L
dM
0
1 q dx
EI
Md qmas
 

L
dx
IE
MM
0
1 = carga virtual externa
Δ = deslocamento real do ponto
= momento virtual interno provocado pela carga virtual
M = momento interno causado pelas cargas reais
I = momento de inércia da seção transversal do elemento
E = módulo de elasticidade do elemento
M
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M
11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
PTV aplicado a vigas
 
L
dM
0
1 qq dx
EI
Md qmas
 

L
dx
IE
MM
0
q
1 = carga virtual externa
q = rotação real do ponto
= momento virtual interno provocado pela carga virtual
M = momento interno causado pelas cargas reais
I = momento de inércia da seção transversal do elemento
E = módulo de elasticidade do elemento
M
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M
11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
Exercício: Hibbeler
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11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
 

AE
LNN
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11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
Exercício: Hibbeler
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11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
 

L
dx
IE
MM
0
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11.5 - Princípio dos Trabalhos Virtuais
Exercício: Hibbeler
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11.6 - Teorema de Castigliano
Em 1879 o engenheiro Alberto Castigliano desenvolveu uma metodologia para determinar o
deslocamento e a inclinação em um ponto qualquer de um corpo.
O Teorema de Castigliano diz que o deslocamento em um ponto qualquer de um corpo é dado pela
derivada parcial de primeira ordem da energia de deformação deste corpo em relação a uma força
virtual genérica que age no ponto e na direção que se quer medir a deformação neste corpo.
P
U i


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De modo semelhante, podemos dizer que a inclinação da
tangente em um ponto qualquer de um corpo é dado pela
derivada parcial de primeira ordem da energia de deformação
deste corpo em relação a um momento virtual genérico que
age no ponto e na direção que se quer medir a inclinação
neste corpo.
'M
U i

q
11.6 - Teorema de Castigliano
Teorema de Castigliano aplicado a treliças
 EA
LNU i 2
2


EA
LN
P 2
2
 

EA
L
P
NN
Vimos que a energia de
deformação interna de um
elemento de treliça é dado por:
Pelo teorema de Castigliano: P
U i


Então:
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 EAP 2  EAP
= carga virtual externa
Δ = deslocamento real do ponto
= força interna em cada elemento provocada pela carga virtual 
N = força interna em cada elemento provocada pelas cargas reais
L = comprimento de cada elemento
A = área da seção transversal de cada elemento
E = módulo de elasticidade de cada elemento
N
P
P
11.6 - Teorema de Castigliano
Teorema de Castigliano aplicado a vigas
Vimos que a energia de
deformação interna de um
elemento de treliça é dado por:
Pelo teorema de Castigliano:
P
U i


Então:
 
L
i dxEI
MU
0
2
2
 

L
dx
EI
M
P 0
2
2
 

L
EI
dx
P
MM
0
P
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= carga virtual externa
M’ = carga virtual externa 
Δ = deslocamento real do ponto
q = rotação real do ponto
= momento interno provocado pela carga virtual 
M = momento interno provocado pelas cargas reais
I = inércia da seção transversal
E = módulo de elasticidade de cada elemento
M
P
 EIP 0 2
 

L
EI
dx
M
MM
0 '
q
M'
11.6 - Teorema de Castigliano
Exercício: Hibbeler
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Exercício: Hibbeler
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11.6 - Teorema de Castigliano
Exercício: Beer
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11.6 - Teorema de Castigliano
Exercício: Beer
Determine as reações de apoio e trace os diagramas de momento fletor e esforço cortante
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