Relatório 08 Norton e Thévenin

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IGOR PEDROSA SOARES 
JOSÉ LUIS MACIEL PINTO 
LARISSA MARTINS GIRÃO 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE THÉVENIN E NORTON 
 
 
Relatório de Experimentos realizados na Escola 
Superior de Tecnologia – UEA, afim de 
obtenção de nota parcial no 2º Semestre de 
2017, na disciplina de Laboratório de Circuitos 
Elétricos I, ministrada pelo Prof.º Júlio Feitoza 
Pereira. 
 
 
 
 
MANAUS – AM 
2017 
2 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 3 
1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................................. 4 
1.1 TENSÃO ................................................................................................................................ 4 
1.2 CORRENTE .......................................................................................................................... 5 
1.2 RESISTOR ............................................................................................................................. 5 
1.2.1 RESISTORES FIXOS......................................................................................................... 5 
1.2.2 RESISTORES VARIÁVEIS ............................................................................................... 5 
1.3 LEI DE OHM ......................................................................................................................... 6 
1.4 FONTE DE TENSÃO ............................................................................................................ 6 
1.5 VOLTÍMETRO ..................................................................................................................... 7 
1.6 AMPERÍMETRO .................................................................................................................. 8 
1.7 PROTOBOARD .................................................................................................................... 8 
1.8 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM CIRCUITOS ........................................................... 9 
1.9 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE ..................................................................... 9 
1.10 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO ....................................................... 11 
1.11 TEOREMA DE NORTON ................................................................................................. 13 
1.11 TEOREMA DE THÉVENIN ............................................................................................. 16 
2. DESCRIÇÃO DA EXPERIÊNCIA EFETUADA ................................................................... 18 
2.1. MATERIAIS E MÉTODOS ............................................................................................... 18 
2.1.1 MATERIAIS: ............................................................................................................. 18 
2.1.2 MÉTODOS ................................................................................................................ 19 
4. QUESTÕES .............................................................................................................................. 21 
CONCLUSÃO .............................................................................................................................. 22 
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................... 23 
 
 
 
 
3 
 
INTRODUÇÃO 
 
O documento a seguir relata experiências realizadas em laboratório, na disciplina de 
Circuitos Elétricos I, com o principal foco sendo aplicar o teorema do Norton, que é a 
simplificação de um circuito através de um dado passo-a-passo adicionado com a teoria já 
estudada. A experiência em questão tem como objetivo comprovar o teorema. 
 
4 
 
1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
1.1. TENSÃO 
No interior de variados circuitos e baterias, reações químicas causam um efeito que se 
descreve por cargas negativas (elétrons) se acumule em dado terminal, enquanto as positivas 
(íons) se acumulam no oposto. Este posicionamento de cargas tem como resultado uma 
diferença de potencial elétrico entre tais terminais. Por definição de Boylestad, existe uma 
diferença de potencial de 1 volt (V) entre dois pontos se acontece uma troca de energia de 1 
joule (J) quando deslocamos uma carga de 1 coulomb (C) entre estes dois pontos. Colocando 
em termos matemáticos, a diferença de potencial pode ser calculadas pela seguinte equação: 
𝑉 =
𝑊
𝑄
 (1) 
 
 
 
 
 Para distinguir-se fontes de tensão (baterias, geradores, etc.) e quedas de potencial entre 
dois pontos de elementos dissipativos, utiliza-se: 
 E para fontes de tensão (Força Eletromotriz) (Volts) 
 V para quedas de tensão (Volts) 
 
1.2 CORRENTE 
Quando átomos perdem elétrons, sendo estes agora elétrons livres, estes átomos 
adquirem uma carga positiva e assim denominados de íons positivos. Os elétrons livres têm a 
capacidade de se mover entre íons positivos, afastando-se de sua posição original, enquanto os 
íons podem apenas oscilar em torno de uma posição média fixa. 
Considerando isso, temos que por definição de Boylestad que elétrons livres são as 
partículas carregadas resposáveis pela corrente elétrica em um fio de cobre ou em qualquer 
outro sólido condutor de eletricidade 
 V: tensão em volts 
 W: trabalho em joules 
 Q:carga elétrica em coulumb 
 
5 
 
No momento que 6,242 x 10^18 elétrons atravessam em 1 segundo, com velocidade 
uniforme, em uma dada seção reta circular de um fio condutor, temos que este escoamento de 
carga corresponde a 1 ampère. Sendo 1 coulumb igual a esta quantidade de 6,242 x 10^18 
elétrons, podemos relacionar carga e corrente pela seguinte equação: 
 𝐼 =
𝑄
𝑡
 (2) 
 
Com t sendo o tempo em segundos que uma quantidade Q de carga elétrica atravessa 
uma seção reta circular. 
 
1.3 RESISTOR 
Segundo Boylestad, o resistor é um componente básico dos Circuitos Elétricos que 
possuí o seu valor de resistência conhecido de fábrica. E eles podem ser divididos em dois tipos, 
os Fixos e os Variáveis. 
 
1.3.1 RESISTORES FIXOS 
Com base no Boylestad, entende-se que o resistor fixo é aquele que possuí 
características opostas ao variável, ou seja, não varia com um dispositivo externo, como botão 
ou parafuso e que possuí apenas uma pequena variação percentual em relação a temperatura 
normal de operação. E podem ter seus tamanhos variáveis de acordo a sua potência 
especificada, fato observado no experimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Vários resistores de acordo com a sua potência 
Fonte: Boylestad 
6 
 
1.3.2 RESISTORES VARIÁVEIS 
Segundo Boylestad, entende-se que o resistor variável, como o próprio nome sugere, 
têm resistência que pode ser variada ao girar um botão, um parafuso ou o que for apropriado 
para a aplicação específica. Eles podem ter dois a três terminais, mas a maioria possuí três. 
Quando um dispositivo de dois ou três terminais é usado como um resistor variável, geralmente 
é chamado de reostato. Se um dispositivo de três terminais é usado para controlar níveis de 
potência, então ele é normalmente denominado potenciômetro. 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 LEI DE OHM 
 Segundo Boylestad, a corrente, a tensão e a resistência de um dado conjunto de estudo 
estão intimamente interligadaspor uma relação de proporcionalidade entre estas três grandezas. 
Dado uma resistência fixa, temos que a tensão e a corrente de um determinado objeto de estudo 
são diretamente proporcionais enquanto esta mesma corrente é inversamente proporcional à 
resistência. Em termos matemáticos: 
𝐼 =
𝐸
𝑅
 (3) 
 
Sendo E, diferença de potencial em volts. R a resistência em ohms e I a corrente em ampère. 
 
1.5 FONTE DE TENSÃO 
Tratando primeiramente da ideal, uma fonte de tensão independente é um dipolo com 
capacidade de produzir uma diferença de potencial em seus terminais, independentemente da 
intensidade da corrente que a percorre. 
Figura 2: Potenciômetro Rotativo 
Fonte: Boylestad 
7 
 
A equação que caracteriza uma fonte de tensão ideal é dada por: 
 𝑢(𝑡) = 𝐸(𝑡) (4) 
 
Onde E(t) é a tensão gerada pela fonte. 
As fontes de tensão subdividem-se em dois tipos, as contínuas e as não-contínuas. No 
caso da fonte de tensão contínua (DC), temos que E(t) apresenta um valor constante, que difere 
da não-contínua que geralmente apresenta um comportamento senoidal. Neste relatório, 
utilizamos uma fonte de tensão DC. 
 
1.6 VOLTÍMETRO 
 
O voltímetro é um aparelho com uma função principal de medir a tensão resultante em 
um circuito elétrico ou apenas um trecho dele. Dependendo da qualidade do instrumento, 
poderá medir tensões contínuas e alternadas. Por motivos explicados na seção 1.10, devemos 
posicionar o voltímetro em paralelo com o trecho que queremos medir. Os voltímetros devem 
possuir uma resistência relativa bem alta para que seu posicionamento não atrapalhe de forma 
significativa na medição. De qualquer maneira, um voltímetro ainda possui uma resistência 
interna, mas se esta resistência for altíssima, praticamente não influenciará, por isso, é 
considerado um bom voltímetro. O voltímetro teórico ideal possui uma resistência interna 
infinita. 
 
Voltímetro Ideal 
 
 
 
Figura 3: Comparação entre o voltímetro ideal e o voltímetro real. 
Fonte: InfoEscola 
8 
 
1.7 AMPERÍMETRO 
Segundo Boylestad, medir a corrente elétrica em um sistema elétrico é de extrema 
importância pois permite que o desempenho do sistema, os pontos defeituosos e efeitos 
impossíveis de serem detectados em teoria sejam localizados. O amperímetro, como o próprio 
nome sugere, serve para medir a intensidade da corrente que esteja passando no dado momento 
em um sistema elétrico. 
 
Como este instrumento mede o fluxo de carga que o atravessa, é necessário q ele seja 
ligado em série com a carga do sistema elétrico e por esse motivo sempre se faz necessário abrir 
o circuito para a colocação do amperímetro. Para obter leituras positivas a corrente deve entrar 
no terminal positivo do amperímetro. 
 
1.8 PROTOBOARD 
Segundo a Eletrônica Didática, uma protoboard, também conhecida como matriz de 
contatos, é utilizada para fazer montagens provisórias, teste de projetos, além de inúmeras 
outras aplicações. É constituída por uma base plástica, contendo inúmeros orifícios destinados 
à inserção de terminais de componentes eletrônicos. Internamente existem ligações 
determinadas que interconectam os orifícios, permitindo a montagem de circuitos eletrônicos 
sem a utilização de solda. Uma protoboard possui orifícios dispostos em colunas e linhas. As 
linhas encontram-se nas extremidades da protoboard e as colunas ao centro. As colunas são 
formadas exatamente por cinco furos cada uma. Observando a Figura 3, observa-se que uma 
Figura 4: Amperímetro e sua posição em um circuito 
Fonte: Boylestad 
9 
 
protoboard possui um grupo de colunas dispostas acima da cavidade central e outro grupo 
abaixo dessa cavidade. Essa cavidade divide a protoboard em duas partes iguais. 
Todos os cinco orifícios de uma mesma coluna estão internamente conectados. Os 
orifícios de uma coluna não possuem conexões internas com os de outras colunas. Os orifícios 
das linhas estão conectados entre si (em uma mesma linha). As linhas são eletricamente 
independentes, isto é, não há conexão elétrica entre os furos de uma linha e de outra. 
Em algumas protoboards as linhas são divididas em duas partes exatamente iguais, 
sendo que cada parte é eletricamente independente em relação à outra. O diagrama interno de 
ligações de uma protoboard está representado na figura a seguir: 
 
 
1.9 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM CIRCUITOS 
1.9.1 ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE 
Segundo o site Só física, associar resistores em série significa ligá-los em um único 
trajeto, ou seja: 
 
 
 
Figura 5: Esquema de ligação interna do Protoboard 
Fonte: Eletrônica Didática 
Figura 6: Esquema de ligação de resistores em série 
Fonte: Só Física 
10 
 
Como existe apenas um caminho para a passagem da corrente elétrica esta é mantida por 
toda a extensão do circuito. Já a diferença de potencial entre cada resistor irá variar conforme a 
resistência deste, para que seja obedecida a 1ª Lei de Ohm, assim: 
 
 
Esta relação também pode ser obtida pela análise do circuito: 
 
 
Sendo assim a diferença de potencial entre os pontos inicial e final do circuito é igual à: 
 
Analisando esta expressão, já que a tensão total e a intensidade da corrente são mantidas, 
é possível concluir que a resistência total é: 
Figura 7: Esquema de ligação de resistores em série com suas Tensões 
Fonte: Só Física 
11 
 
 
 
 
 
1.9.2 ASSOCIAÇÃO EM PARALELO 
Ligar um resistor em paralelo significa basicamente dividir a mesma fonte de corrente, 
de modo que a ddp em cada ponto seja conservada. Ou seja: 
 
 
Usualmente as ligações em paralelo são representadas por: 
Figura 9: Esquema de ligação de resistores em paralelo 
Fonte: Só Física 
Figura 8: Circuito com elementos em série 
Fonte: Boylestad 
12 
 
 
 
 
Como mostra a figura, a intensidade total de corrente do circuito é igual à soma das 
intensidades medidas sobre cada resistor, ou seja: 
 
 
Pela 1ª lei de Ohm: 
 
E por esta expressão, já que a intensidade da corrente e a tensão são mantidas, podemos 
concluir que a resistência total em um circuito em paralelo é dada por: 
 
 
Figura 10: Esquema de ligações usuais de resistores em paralelo 
Fonte: Eletrônica Didática 
Figura 11: Circuito com elementos em paralelo 
Fonte: Boylestad 
13 
 
1.11 TEOREMA DE NORTON 
De acordo com Boylestad, o Teorema de Norton afirma que qualquer circuito de corrente 
contínua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente 
constituído por uma fonte de corrente e um resistor em série como na figura 12. 
 
 
 
 
A resistência de Norton é dada quando você retira o resistor a ser estudado e calcula-se a 
resistência equivalente entre os pontos os quais o resistor estava ligado. O resultado será a 
resistência de Norton que tem o mesmo valor que a resistência de Thèvenin, ou seja, o mesmo 
método que é utilizado para calcular a resistência equivalente de Thèvenin é empregado para 
calcular a resistência de Norton. 
 
A corrente de Norton é dada quando, ainda com o resistor a ser estudado está fora do 
circuito, você estuda agora, a corrente que passa entre os pontos A e B, mas para isso ser 
possível é necessário que se ponha um curto entre os pontos. Então se faz a análise dessa 
corrente de curto-circuito entre os pontos desejados. No caso de mais de uma fonte de tensão 
ou corrente independente, aplica-se oteorema da superposição e a corrente de Norton será a 
soma algébrica das correntes entre os pontos A e B. 
A seguir tem-se um exemplo prático para o cálculo do circuito equivalente de Norton. 
Figura 12: Circuito equivalente de Norton 
Fonte: Boylestad 
14 
 
 
Neste exemplo tem-se como objetivo determinar o equivalente de Norton para o circuito 
sombreado da figura 13. Portanto para tal tarefa aplica-se os passos para a realização do mesmo. 
Primeiramente, calcula-se a resistência equivalente de Norton. Para isso, neste caso, deve-
se substituir a fonte de tensão por um curto circuito e após isso calcular a resistência equivalente 
entre os terminais A e B. 
 
 
 
Neste circuito a resistência equivalente de Norton resultou em 2Ω. 
O próximo passo será a determinação da corrente de Norton denominda In. Para isso, 
como foi citado anteriormente, deve-se por um curto-circuito entre os terminais A e B e calcular 
a corrente que passa por esse curto. 
 
 
Figura 13: Circuito para determinar o equivalente de Norton 
Fonte: Boylestad 
Figura 14: Circuito para determinar a resistência equivalente de Norton 
Fonte: Boylestad 
15 
 
 
 
 
Neste circuito a corrente de Norton resultou em 3A. 
Portanto o circuito equivalente de Norton resultou no circuito a seguir: 
 
Figura 15: Circuito para determinar a corrente equivalente de Norton 
Fonte: Boylestad 
Figura 16: Circuito equivalente de Norton 
Fonte: Boylestad 
16 
 
1.11TEOREMA DE THÈVENIN 
De acordo com Boylestad, o Teorema de Thevenin afirma que qualquer circuito de 
corrente contínua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído por um circuito 
equivalente constituído por uma fonte de tensão e um resistor em série. Isso engloba qualquer 
tipo de circuito complexo, e até hoje, não se provou o contrário. Este teorema consiste em duas 
partes, determinar a resistência de Thèvenin e a tensão de Thèvenin. Usa-se este teorema 
quando é complicado demais utilizar todo o circuito para calcular apenas um dado de um único 
resistor (chamado de resistor de carga) dentro de tal circuito, vamos tomar um exemplo mais 
simples. 
 
 
A resistência de Thèvenin é dada quando você retira o resistor a ser estudado e calcula-
se a resistência equivalente entre os pontos os quais o resistor estava ligado. O resultado será a 
resistência de Thèvenin. 
A tensão de Thèvenin é dada quando, ainda com o resistor a ser estudado está fora do 
circuito, você estuda agora, a tensão que é passada entre os pontos A e B, porém, isso é 
impossível, uma vez que retirou-se o resistor. A alternativa é utilizar a lei de Kirchoff para as 
tensões, já que resistores paralelos tem a mesma tensão, apenas calculando a tensão de um 
resistor em paralelo com o resistor a ser estudado, você já tem a tensão de Thèvenin. No caso 
de mais de uma fonte de tensão independente, aplica-se o teorema da superposição e a tensão 
de Thèvenin será a soma algébrica das tensões entre os pontos A e B. 
Figura 12: Circuito inicial, Rc é o resistor a ser estudado 
Fonte: Boylestad 
17 
 
 
 
 
Uma vez que estes dois valores são determinados, é possível substituir o circuito inicial, 
pelo circuito de Thèvenin: 
 
 
 
Tendo cuidado quanto ao sinal da fonte, o circuito transforma-se em algo muito simples 
de se estudar para os fins inicialmente esperados. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13: Circuito para determinar Rth 
Fonte: Boylestad 
Figura 14: Circuito equivalente de Thèvenin 
Fonte: Boylestad 
18 
 
2. DESCRIÇÃO DA EXPERIÊNCIA EFETUADA 
2.1. MATERIAIS E MÉTODOS 
2.1.1 MATERIAIS: 
• 1 multímetro (ohmímetro/amperímetro/voltímetro) 
• 4 resistências (68Ω, 330Ω, 390Ω, 470Ω) 
• 1 potenciômetro 1kΩ 
• 1 matriz de contatos (protoboard) 
• 1 fontes de tensão variável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17: Multímetro utilizado 
Fonte: Própria 
Figura 18: Protoboard utilizada 
Fonte: Própria 
19 
 
2.1.2 MÉTODOS 
Para esta atividade, um total de 8 resistências foram fornecidas com o principal objetivo 
sendo organizar um circuito misto que foi dado na figura 20 do relatório. Revisando os 
conhecimentos passados, utilizamos novamente o multímetro para medir diversas situações em 
as tensões e correntes nos elementos ativos e passivos do circuito. 
 
 
 
 
1- Como primeira atividade, deve-se organizar o circuito como dado e medir a tensão e 
a corrente no resistor de 2.700 Ω. Então Pegou-se os resistores dados e montou-se 
segundo o que foi pedido de acordo com a associação adequada neste caso e depois 
pegou-se a fonte de tensão e aplicou uma tensão de 10V no circuito. Após a montagem 
completa do circuito pegou-se o multímetro e foi realizado a medida da tensão e 
corrente em cima do resistor de 2.700Ω, obedecendo aos procedimentos corretos para 
cada tipo de medição. 
2- Após isto, o próximo passo foi retirar a resistência de 2.700Ω e medir a tensão nos 
terminais A e B(tensão de Thevenin) 
 
3- Após isto, o próximo passo foi retirar a resistência de 2.700Ω e substitui-lo por um 
curto-circuito e depois medir a corrente que passava naquele curto. Então com a fonte 
Figura 20: Circuito do experimento 
20 
 
desligada retirou-se a resistência de 2.700 Ω e no seu lugar foi posto um fio para 
realizar o curto-circuito solicitado no guia. Após isso ligou-se novamente a fonte de 
tensão e pegou-se o multímetro e realizou-se a medida da corrente que passava 
naquele fio. 
 Vth(V) Isc(mA) Req(Ω) VL(V) IL(mA) 
Valor Calculado 3.658 4.42 827 2.848 1.02 
Valor Medido 3.692 4.49 821 2.799 1.037 
 Erro(%) 5% 5% 5% 5% 5% 
 
4- Depois foi solicitado a medição da resistência do circuito entre os pontos a e b com a 
fonte de tensão em curto-circuito. Então desligou-se a fonte de tensão e então ela foi 
substituída por um curto. Após isso foi realizada a medida da resistência entre os 
pontos A e B. 
5- Em seguida, montou-se o modelo de Thévenin, ajustando a fonte para a tensão Vth 
obtida no item 2, e usou-se um resistor com um valor comercial mais próximo da 
resistência equivalente encontrada (820 Ω). 
6- Por fim, foi solicitado que se medisse a corrente e a tensão em cima do resistor de 
470Ω. Então realizou-se a medida da corrente e tensão no resistor referido com o 
multímetro, obedecendo aos procedimentos corretos para cada tipo de medição. 
 
 IL(mA) VL(V) ISC(mA) 
Valor Medido 1.02 2.843 4.50 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
4. QUESTÕES 
 
1 - Compare os valores das Tabelas 6.1 e 6.2. O que você conclui? 
 R: São praticamente iguais, visto que a diferença entre eles foi menor que 5%, logo o teorema 
é válido experimentalmente. 
2 - Calcule o gerador equivalente de Thévenin entre pontos a e b, para o circuito da figura 6.1 e 
compare com os valores obtidos experimentalmente. 
R: Equivalente de Thévenin = 3.658V 
• Comparando-se os valores percebe-se uma aproximação muito grande entre eles. 
3 – Determine a tensão e corrente no resistor de 2,7kΩ, utilizando o gerador equivalente de Norton 
e compare com os valores obtidos experimentalmente. 
R: V = 2.843v e I = 4.50mA 
 
4 Determine a corrente e a tensão no resistor 300Ω no circuito da figura 21 utilizando o teorema de 
Thévenin. 
R: I = 1.6mA e V=480mV. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21: Circuito do experimento 
22 
 
CONCLUSÃO 
 Após os experimentos realizados no laboratório, foi possível colocar em prática os 
conhecimentos teóricos do teorema de Thévenin e Norton, assim como verificar a veracidade 
de ambos. Conhecimento teórico esse que se tornouvital na hora da resolução das questões 
assim como o entendimento do funcionamento do circuito no momento dos procedimentos 
experimentais. Uma pequena diferença foi notada entre os valores medidos e calculados, porém 
isso pode ser justificado devido a tolerância de cada um dos equipamentos utilizados e das 
influências do meio. 
Com a ajuda dos instrumentos do laboratório, foi comprovado a veracidade do teorema. 
Apesar de fatores já discorridos que fazem com que as medidas raramente fiquem iguais, como 
a incerteza do multímetro. O teorema é de extrema importância ainda mais na teoria, já a prática 
fica apenas para comprovar e ser facilitada pela teoria. Um bom fator deste teorema é que ele é 
um conjunto de ideias que já estudamos acompanhado de uma pequena parte teórica a mais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
BOYLESTAD, Robert L. Introdução à análise de circuitos. São Paulo, 2004, 10 ed. 
Eletrônica Didática. Equipamentos e Ferramentas. Disponível em: 
http://www.eletronicadidatica.com.br/equipamentos/protoboard/protoboard.htm. Acesso em : 
04/03/2014. 
PEREIRA, Feitoza J. Leis de Kirchoff. Laboratório de Circuitos Elétricos I, 2014. 
Só Física. Associação de Resistores. Disponível em: http://www.sofisica. 
com.br/conteudos/Eletromagnetismo/Eletrodinamica/associacaoderesistores2.php Acesso em: 
28/03/2014