Aula 04

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
Aula 4- TRIEDROS
Prof.: Kléber Albanêz Rangel
FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
1.Conceito
2.Elementos
3.Secção
4.Triedro Tri-retângulo ou Triedro Tri-retangular
5. Relações entre as faces
6. Congruência de um Triedro
7. Ângulos Poliédricos Convexos
8. Relações entre as faces
9. Ângulo Poliédrico Regular
14/02/2012
CONCEITOS BÁSICOS – AULA1
FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
1.CONCEITO
 Sejam Va , Vb e Vc três semirretas não coplanares e os semi-espaços fechados:
E1(III): com origem no pl(V,a,b) e contendo c
E2(II) : com origem no pl(V,a,c) e contendo b
E3(I) : com origem no pl(V,b,c) e contendo a
 A interseção E1 E2 E3 é uma região do espaço que recebe o nome de TRIEDRO.
 
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2. ELEMENTOS
 . V é o VÉRTICE
 . Va , Vb e Vc são as ARESTAS
 . aVb , aVc e bVc ou ab , ac e bc são as FACES ou ÂNGULOS DE FACE
 . di(a) , di(b) e di(c) são os DIEDROS DO TRIEDRO; cada um deles é determinado por duas faces do triedro. 
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3. SECÇÃO
 SECÇÃO DO TRIEDRO , por exemplo, é o triângulo ABC com um único vértice em cada aresta.
4. TRIEDRO TRI-RETÂNGULO OU TRIEDRO TRI-RETAN- 
 GULAR
 É aquele cujas faces são ângulos retos e cujos diedros são diedros retos.
 
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5. RELAÇÕES ENTRE AS FACES
 TEOREMA
 Em todo triedro qualquer face é menor que a soma das outras duas. 
Desse modo, sendo ab , ac e bc as faces do triedro, devemos ter:
 ac < ab + bc
 ab < ac + bc
 bc < ab + ac
 
 TEOREMA
 A soma das medidas, em graus, das faces de um triedro qualquer é menor que 360°.
Desse modo devemos ter: 
 
 ab + ac + bc < 360°
 
 
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 TEOREMA
 
 Uma condição necessária e suficiente para que f1 , f2 e f3 sejam medidas, em graus, das faces de um triedro é:
 
 0°< f1 < 180° , 0°< f2 < 180° , 0°< f3 < 180° 
 f1 + f2 + f3 < 360° e Ι f2 – f3 Ι < f1 < f2 + f3
 
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6. CONGRUÊNCIA DE UM TRIEDRO
 Um triedro é congruente a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre suas arestas e as do outro, de modo que:
seus diedros são ordenadamente congruentes aos diedros do outro e, 
suas faces são ordenadamente congruentes às faces do outro.
 Existem dois tipos de congruência entre triedros:
 a) Congruência Direta – quando os triedros podem ser superpostos por movimento de rotação e translação.
 b) Congruência Inversa – quando os triedros são congruentes (satisfazem a definição), mas não são superponíveis. 
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6. ÂNGULOS POLIÉDRICOS CONVEXOS
 
 Consideremos n (n>3) semirretas de mesma origem num
mesmo ponto, entre as quais não há três coplanares. 
 Elas determinam n ângulos (regiões angulares) tais que o plano de cada um deles deixa as demais semirretas num mesmo semi-espaço.
 A figura geométrica formada por estes ângulos é denominada um ÂNGULO POLIÉDRICO.
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 Quando seccionamos um ângulo poliédrico por um plano que intercepte todas as suas arestas note que a SECÇÂO é um polígono com um único vértice em cada aresta.
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8. RELAÇÕES ENTRE AS FACES
 São generalizações das duas propriedades válidas para os triedros:
Num ângulo poliédrico convexo, qualquer face é menor que a soma das demais; e,
Num ângulo poliédrico convexo, a soma das faces é menor que quatro ângulos retos.
9. ÂNGULO POLIÉDRICO REGULAR
 Um ângulo poliédrico convexo é regular se, e somente se, as faces são todas congruentes entre si. 
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EXERCÍCIOS
1.Assinale verdadeiro (V) ou falso (F), justificando sua resposta:
 Existem triedros cujas faces medem respectivamente:
 a) 40° , 50° e 90°
 b) 90° , 90° e 90°
 c) 200° , 100° e 80°
2.Podem os diedros de um triedro medir respectivamente 
 40°, 50° e 60° ? Por quê?
3.Duas faces de um triedro medem respectivamente 100° e
 135°. Determine o intervalo de variação da terceira face. 
 
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