Aula 09

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
Aula 9- CONES
Prof.: Kléber Albanêz Rangel
FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 
 1.Superfície Cônica ou Cone Ilimitado.
 2.Cone – Definição.
 3.Elementos.
 4.Classificação.
 5.Cone de Revolução.
 6.Secção Meridiana.
 7.Cone Equilátero.
 8.Áreas e Volume.
 9.Tronco de Cone.
FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA II
1.SUPERFÍCIE CÕNICA OU CONE ILIMITADO
 Considere um círculo (região circular) de centro O e raio r e um ponto V fora de seu plano.
 Chama-se SUPERFÍCIE CÔNICA OU CONE ILIMITADO à reunião das semirretas de origem em V e que passam pelos pontos do círculo.
 
 
 
 
V
2.CONE
 DEFINIÇÃO.
 Consideremos um círculo (região circular) de centro O e raio r situado num plano  e um ponto V fora de .
 Chama-se CONE CIRCULAR OU CONE à reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo.
 
 
 
V

3. ELEMENTOS
 
.BASE – é o círculo de centro O e raio r.
.VÉRTICE – é o ponto V fora do plano da base. 
.EIXO – é a reta que passa pelo centro da base e pelo vértice.
.GERATRIZ– é cada segmento de reta com uma extremidade em V e a outra 
 em um ponto da circunferência da base.
. ALTURA – é a distância entre o plano da base e o vértice V.
 	 
 
o
r
4. CLASSIFICAÇÃO
 Os cones podem ser classificados pela posição do eixo em relação ao plano da base:
CONE CIRCULAR OBLÍQUO – quando o eixo é oblíquo em relação ao plano da base.
CONE CIRCULAR RETO – quando o eixo é perpendicular ao plano da base.
 
 

5.CONE DE REVOLUÇÃO
 O cone circular reto é também chamado CONE DE REVOLUÇÃO, pois é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um de seus catetos.
 
6.SECÇÃO MERIDIANA
 É a intersecção do cone com um plano que contém o eixo. A secção meridiana de um cone circular reto ou cone de revolução é um triângulo isósceles. 
 
 Note que, neste caso, o ΔVAB é isósceles, e entâo: g ≠ 2R 
 
 
g
V
 7.CONE EQUILÁTERO
 É o cone cuja secção meridiana é um triângulo equilátero.
 
 Note que, nesse caso, o ΔVAB é equilátero, e então: g = 2r.
 Note ainda que: h = r√3
 
 
 
8.ÁREAS E VOLUME.
 I. ÁREAS
 . ÁREA DA BASE (Ab ou Sb) – é a área de um círculo. 
Então: Ab = Sb = πr²
 . ÁREA LATERAL (Al ou Sl) – a área lateral de um cone circular reto ou cone de revolução de raio de base r e geratriz g é equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco 2πr.
 Isto significa que a superfície lateral de um cone de revolução desenvolvida num plano (planificada) é um setor circular cujo raio é g (geratriz) e o comprimento do arco 2πr.
 Sendo θ o ângulo do setor, este ângulo é dado por: θ= 2πr/g rad ou 
Θ=360r/g graus.
A área lateral do cone pode então ser calculada por: 
 
 Comprimento do Arco Área do Setor 
 2πg ------------------- πg²
 2πr ------------------- Al
Daí:
 Al = 2πr . πg² / 2πg => Al = πrg
 . ÁREA TOTAL (At ou St) é a soma da área lateral com a área da base.
Então: At = St = πr(g + r)
 
 
 
 II. VOLUME
 O volume de um cone é igual a um terço do produto da área da base pela medida da altura.
 Então: V = 1/3 Sb . h => V = 1/3 π r² h , onde “Sb” é a área da base e “h” é a altura do cone. 
9. TRONCO DE CONE
 Consideremos um cone reto com altura h e vértice V. Consideremos também um plano  paralelo à base, com distância h de V, determinando dois sólidos: um cone e um sólido denominado TRONCO DE CONE.
 
 
 
.ELEMENTOS
. BASE MAIOR – é o círculo de centro O e raio R.
. BASE MENOR – é o círculo de centro O’ e raio r.
. ALTURA DO TRONCO – é a distância entre a base maior e a base menor.
. GERATRIZ DO TRONCO – é cada segmento de reta contido na geratriz do cone 
 cujas extremidades pertencem às circunferências das
 bases.
o’
o
o’
o
g
o
k
k
r
r
g
.ÁREAS E VOLUME DO TRONCO DE CONE
 
 I.ÁREAS
 . ÁREA DA BASE – é a área de cada um dos círculos que são as bases menor e maior do tronco de cone.
 . ÁREA LATERAL – é a reunião de todas as geratrizes do tronco.
 
 
 Então, a área lateral é: Al = Sl = πg(R + r)
 
 
 
. ÁREA TOTAL – é a soma das áreas das bases com a área lateral.
 Então, a área total é: At = St= Al + AB + Ab , onde “At” é a área total, “Al” é a área lateral , “AB” é a área da base maior e “Ab” é a área da base menor.
 Desse modo, temos: At = St = πR² + πr² + πg(R + r)
II.VOLUME
 O volume do tronco de cone é dado por: V = πh / 3 ( R² + R.r + r²), onde “h” é a altura do tronco, “R” é o raio da base maior e “r” é o raio da base menor. 
.EXERCÍCIOS
1.Sendo 7/5 a razão entre a área lateral e a área da base de um cone, determine a medida do raio da base e da geratriz, sabendo que a altura do cone mede 4√6 cm.
2. Um quebra-luz é um cone de geratriz 17cm e altura 15cm. Uma lâmpada acesa no vértice do cone projeta no chão um círculo de 2m de diâmetro . A que altura do chão, aproximadamente, se encontra a lâmpada?
3. Considere um tronco de cone reto de geratriz 10 cm e raios das bases 8 cm e 2cm. Determine:
a área lateral
a área total
o volume
*
*