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w I /? \í' ■ 'I I ' I - s ? ALGEBRA— ^ o. DE SOUZA REIS Prcr^ ,or auô.íííuío da ColUgio Pedro 11 . Docente _ _ E i e o l a N o r m a lDO MESMO AUTOR ■2Í0> OU .NtRODüCçAo .o estudo desta SC.ENC.A para a solução de rroülemas. '^ ""'^ Iclos e problemas Situados e resolvidos. Adnni moraes f i ra a esco la pr imar ia . AJrmf t t * ' - , 7~» •T'rzmezros Passos p r o f s n i i » i m p r e s s o s , p a r a o s pela D. G " ° da arliculatão. rUloplaeios Manual de Geoff Collecção, carloiiad;u. PrinirriasT^ i^ yTUni volume brochado ^ P"''"''" Manual d<. rs , R u d . . n e n - "leiilar das escolas ^ Para uso do ciiiso complf- Insirucçáo PabUca^TlT- I n f a n i fi ' j c - n l o i t a d o . .Afurncs, com uni p^ re^ t °® Quadros ^'^aptadapela D r Olyinpia do Coutto.-Í^ Ç5<^ cUs formas <on ' '"''''''"'^ ^^ '*P"^ >ltca- Um vol. carl.«ludo descriptivo''?--—íiitroducção 5 0 0 e ' ° B a r d e s u b s t ^ ' ^ o " ' "•mel,CO. Com "ui7„.v"r* "ralica do calculo ari- 0°»'™ '^'^ ^^^ '^' P'b^D.a. de0^'umc cartonado. '^ ""'P'etimente refiindida. IfOf f7li' J,00" CaKMATDlGnAL52o -o o.v,„o, 1919 P R E F A C I O E' este livrinho a realização pratica daqiiillo que coiisti- uiu o objecto de minha conferência, realizada na Bibliotheca jl^acional, na série institiiida pelos inspectores escolares doDistricto Federal. Esse trabalho, intitulado — Os dois ultimas anuas de ^^dhmetica na escala primaria, segunda a Carnmissãa dasQuinze —, recebeu dos competentes os mais desvanecedores®ncomios ; não, certamente, pelo que foi, mas pela intenção |COni que q fiz. í^ eproduzindo-o como prefacio, está feita a justificação desta obra. 'Uiais'd ^""ufessores. Minha presença, aqui, hoje, a ninguémIment ° ^ espante- Avêsso, por tempera-uu[ue° ^ E> "le exbibir perante publico maisfecuse°^° ° minhas aulas, reiteradas vezes^vos dirigir a palavra, principalmente em aure T em que já haviam brilhado os nomes° ados de Afranio Pei.xoto, Cabrita e Francisco Vianna. I senão^ '' urinai, porque me foi assegurado que não se tratava aignnia ^ referir, em a linguagem mais desataviada,e n,, uoisa elementar que me tivesse sido dado conhecer,Mue vos interessasse. "unieros^ ^ ustava, porém, de mim, a idéa de que tãoi usperar^° auditório se congregasse nesta sala, e ousei até familiar f'vessemos mais que uma reunião quasi'ferrad'^ ' "Sunu'-me, e ahi tendes porque, ainda neste"^■0 momento, me sinto quasi inhibido de falar. ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS O assunipto que escolhi não comporta dlvagaçõeS rhetoricas, nem surtos philosophicos ou poéticos. Serei, pois.absolutamente simples, renunciando ás pompas do estylo á vangloria de ostentar erudição e á possibilidade de polvilíiarde leve humorismo esta palestra. Falarei para os que querem realmente ouvir, e pela materia se interessam. Não será, de certo, necessário dizer-vos que o Relatório daCommissão dos Quinze, aproposito da educação primariaé o grande compêndio, a biblia da pedagogia moderna americana. Neste livro tão pequeno, nesta brochura de duzentos paginas, cuja traducção e divulgação deveria emprehen-der a Directoria de Instrucção Publica, estão admira- velmente condensados todos os princípios directores todas s ã o f o r a m d e s i g n a d o s em termos claros e positivos as solnr-r " ' ""^ f^ ridas praticas. vos as soluções que parecem mais propSiÍo d^ Sn^ L^ raft^ mar''*"''" ' ° 'era o Commissario ou nr' / '''Estados Unidos, vereis òue lá Educação doscensuram a difficuldade e a confusToT faciocinios necessários ® ^ne se revestem os P R E F A C I O / faciocinios necessários para sp" revestem os 1 ' '«■.«.Lnte Cltm.'."'™"'' »" quesicea cumstancias, que o alumno, depois de um grande esforço cerebral, do exercício não aufere proveito mental apreciave .São questões cujo enunciado parece, freqüentemente, uma charada, e cuja soiiição se assemelha a um ispara a jogo de palavras sem sentido connexo. Todos os dias se nos deparam problemas des e gene ao mesmo tempo fáceis e difficilimos. Trago-vos um "Se á metade do numero de dias decorridos o 'juntarmos 1/3 dos que ainda restam, obterenios^o numerdias decorridos. Em que dia do anno estamos ? ,. O problema não 6, positivamente di ici . ' porém, e pedi-lhe o raciocínio. Conto que nao o rmuito melhor do que o seguinte, que me foi a o cr •"Representeinos por o """lero de d-as deco r.d^e juntando á metade dos dias decorridos uma ^ ' obtemos o numero dos mesmos dias decorri o , o q»p i™ian,os 6 a ...tra n.el.da. Mas juntámos 1/3 dos dias que re=tam, con portanto dias que restam representa i/j dos dias cc > % dos que restam representam /•> A d e c o r r i d o s . d e c o r r i d o s , a a / j . S e j u n t a r m o s - /■ . , n u m e r o ^ i n t e i r o , numero dos dias que restam, decorridos. Dahi, representado por a/.^ — /a orc; dias E- representa % dos dias decorridos representam 365 dias, /.5 vezes menos, etc., etc." extremamente com- Vêde que, escripto, o se, Qncrendo dar-lhe Plexo e confuso. Será mcomprehe j^ ar g repetição deum. Io,ma om tan.o c.idad., o "l™"» "'f palavras e a referencia de todas as escasso, P o d a , l . d a r . v o a . a e o e a p e d o . numerosos exemplos de char ^ aiurnnos de varias inventadas, mas colhidas em ca e s c o l a s . IIv i i i A L G E B R A — P R I M E I R O S P A S S O S E' para evitar essa acrobacia de palavras e esse trabalho excessivo do cerebro, que, entende a pedagogia moderna, deve-se trazer para a escola primaria o methodo i a l g e b r i c o , ' Não ha, Snrs. Professores, como justificar aquelles que, achando a arithmetics uma valiosa gymnastica mental, delia abusam, convertendo-a em instrumento de supplicio. Averdade é que, se a consideramos como meio de desenvol vimento, ou de treinamento cerebral-, esses raciocínios são exercícios estafantes, e se a consideramos sob o ponto devista das meras applicações praticas, são meios excessi vamente morosos e difficeis. 0 ^ m e m b r o s d a Ss è dL ^ PP'i^ dos os bons metho-dos. distribuído ludiciosamente o tempo nos annos ç J J Z l T ' " ' « > « » eTres annos antes, jà a Commissão dos Dez i.,. tdos estudos a respeito do ensino secundarin '"zumbidatraduzido pelo meu eminente mestre Siir" s'^ e publicado na Revista Ppflnnn ■obra de valor nãotmmuntÍISnr' ^da algebra systematica deve começar ao""" ~ r"' ° mas, em connexão com o estudo rip -A loatorze annos,devem ser familiarizados desde m os alumnose os symbolos algebricos e c ' as expressões equações simples ' niethodos de resolver . - - ' o" l . g o s o b r e , o o s e u P R E F A C I O na sua Arillimctica, curso superior ; Wentworth, o grande pedagogo a quem se devem, entre outras obras ^ Primeiros passos na algebra ; John Walsh, nos ^ praticas de aritiinietica, e finalmente, last ni ' enierito professor Francisco Cabrita, em dois ar ' publicou em a Escola Primaria, apoiando c deSe.n\o assumpto, de que eu anteriormente me occupara.O conhecido e conceituado mestre, a quem ^ acostumei a render as mais vivas homenagens ee de profundo respeito, o >^ atalhador franco, ^ desinteressado de todas as campanhas textualmente, ao terminar um daquclles artigos ."E- claro que a algebra que se pretende meu. ^ professor primário como subsidio de alto %aansino de arithmctica é limitada ao " " ° ^ j^ gcimento de equações numéricas, independentemen ^ calculo monomios, binomios, trinomios, " niultiplicação eorrelativo. As theorias da addição, su ra jjgvem ser® divisão de expressões algebricas P° ^ ^ urso se- rbspensadas, ou pelo menos adiadas l C ü u d a r i o " . ' o u n ã o , s e s e Não tenho, pois, cm duvida se s ^ rudinien- Pode ou não, introduzir na escola prima i gp[,,ção de certos tarissimo da algebra, sufficieute P®^ chegar logo as problemas. Concedo que não ger, sem difhcul-^^uações do 2" gráo, mas as do P -a •^iide, apresentadas. a vencer, e é ® Ha, porém, um grande antipathiarotina. Eu bem conheçoa o' g, o estu victinia este ramo da niathem ^ algebra o discipu -^ algebra quasi sempre indispõe álgebra °\omo N , „ b i z e , O - „ , . » b « das escolas primarias. He verdade. H Confissão, mas sei que fa a " A L G E B R A - P R I M E I R O S P A S S O S a consideral-a como uma disciplina alheia á escola pri maria, e é tudo. Mas eu vos asseguro que não ha propriamente — a algebra, mas o methodo algebrico, que podeis ensinar, porque ensinaes coisas infinitamente mais difficeis. Podeis,e deveis, porque as matérias de vossos programmas crescem todos os dias, o alumno tem de aprender cada vez mais e em pouco tempo, e nós não temos o direito de o privar de dífficuirn ^ commodo de vencer numerosasddficuldades mathematicas. E' porque o ensino da algebranao está em vossas mãos, Snrs. professores das escolas Se que'se tlT preparatoriese que se tira exame de qualquer modo, e que nas escolas a primeira vista uma equação das mais fáceis. Sim, podeis ensinar algebra, desde que não ultra passeis os limites marcados pelo relatório dos O.nn ,quantos pedagogos trataram do assumpJo ^"'"'' ' Veiamos agora, bem pratieamente. como nnri •duzir vossos discipulos nos primeiros n ^ Descerei, ainda mais, á planície da r algebra,aulas de crianças. Perdoae-me essa » chaii das com que não vos quero offender „ *^ ssiva simplicidade, que desejo é evidenciar como sL. competência. O^ "âc ser o conhecimento 17"'^ •nteiros e quebrados, pode uma • ° operações sobre resolução das equações ' esta africa da P R E F A C I O * ' dispensamos de escrever. Na algebra elementarissima da escola primaria não lidamos, habitualmente, em cada pro blema, senão com uma lettra, por meio da qual representamos3 quantidade desconhecida, o numero que satisfaz ás con dições do problema. Tal numero 6 representado pela letra X. ''dais raramente necessitaremos de outros sj-mbolos, e virão ° y, o 2, etc. Para ensinar intuitivamente ao alumno o modo de lidarcom este symbolo x, façamol-o representar por x um objecto cujo nome ignore, e em seguida contar numerosos des ses objectos. Elle contará: uni objecto, dois objectos, '■■cs... quinze objectos, ou coisas, ou emfim : um x, dois X, '■"CS X... quinze x. Pode pois o discípulo escrever 15 X, •^0 mesmo modo que escreveria 15 lapis ou 15 canetas. Supponhamos agora que, contados em um log , 1 2 X c Cm outro logar 7 X. Qualquer criança nos dirá quantos objectos da espe**istem ao todo, effectuando a somma ,2, + 7,= IÍ"- ie X x i i A L G E B R A - P R I M E I R O S P A S S O S Qualquer criança nos dirá também quantos objectos nos sobrarão, caso retiremos dos 12, que possuímos, 7 objectos da mesma especie; 1 2 x - 7 x = 5 X . Estamos assim, pouco a pouco, penetrando na algebra.Não será um passo muito grande imaginarmos que unia pessoa possue 10 objectos da especie X, adquire mais 6, dá 3, compra mais 8, perde 5, o que assim se representa : 1 0 x - | - 6 x - 3 x + 8 x - 5 X. Qualquer alumno. até da classe elementar, saberá oro-curar com quantos objectos fica afinal a pessoa: sommando aquillo que possue e que adquire, sommando aquiUo de one se desfalca, e avaliando a differença : 10 X G x 8 X 2 4 X 3 X 5 X 8"x P R E F A C I O V 2 4 x - 8 x = 1 6 x . p o r X « ^ " - ' t i d a d e r e p r e s e n t a d aPncar,imaginemoro ^gEe:'" "'^ tjbjectosdaqueUes qLrei''^^' ^todo ?" ^ representamos por x. Quantos x ha ao é um?, coisa, não bMitará^^^ol^'^^ "^^^^^ convencido de que x 4 maçãs repetidas 16 vezes, ou 4X16 — 64 maçãs cm 16 caixas, cada uma com 4x, sabe que ha ao todo 4 X repetidos 16 vezes, ou 4 x X 16 = 64 X. Da divisão, é ocioso tratar, pois está implícita na propria multiplicação. Assim como de 64 maçãs, distribuídas por 16 caixas, cabem 4 maçãs a cada caixa, assim 6 4 X - Í - 1 6 = 4 x . E assim como de 64 maçãs, distribuídas em grupos de "^ 3Çãs, formamos 16 grupos, assim 64 X -4- 4 X = 16. Entremos agora a considerar a sonima e ac expressões envolvidas por parenthesis, que encon ® ^ °6a hora em algebra. Apresentaremos, para es Puatro pequenos raciocínios, segundo faz 3 rt homem tem 10 dollars, 6eP°'® • 3ars, e ainda depois mais 2 dollars, tanto lhe fa I°"ars aos 10 que possuía, e depois 2 aos 13, com Com os 2 e juntar a somma aos 10. ' O primeiro processo será representado por ~f" ° segundo por 10+(3 +2) eportanto 10 +(3 + 2 ) - ^ . 2) "Um homem tem 10 dollars e juntar os 3' Porém, paga immediatamente 2. Tan 2 e juntar o 10 e da somma retirar 2, como dos 3 ref.ra sobra r. "Portanto ,0+(3-2)-10 + 3-'- ! x i v ALGEBRA ~ PRIMEIROS PASSOS sHSWWít f fe rs "Portanto 10-(3 + 2) = ,O_3__2. 4) "Urn homeni tern 10 dollars p.., o .e precisa fazer um pagamento de 3 h ' " ' ^ n o t a s d e 5 d o l l a r s o n e H - i p " ' " a d o l l a r s . ' r e c e b e n d o d e t r o c o 2 "De quanto foi o pagamento? De 5 - 2 10-(5~2)=IO_ 5 + 2. P R E E A C I O que podem ser generalizados : 4 + (x+ 1 ) 4 + ( a - - l ) 4~(a-+ 1 ) 4-(JC- 1 ) ® assim por deante. . v + ( 2 a - + í ) . v + ( 2 . v - l ) 3 A — (2 X + I ) 2a - - (2A - - 1 ) expres'^ 'í°'^ r^ -^ e^rcitados os discipulos com estas: saber sabemos, mas elles não precisam de' no/Tj/os''"^ binomios, dar-lhes-emos exercicios com tri- • rine facilmente serão reduzidos ao caso anterior: assim 5 A + (2A- + 3-2) 7 a —(10 -2 A--õ) Mais por deante. nni passo para a multiplicação de um numero por ^>-(4-3), etc. u t i i a P Y p a r a a m u l t i p l'^ pressão. Seja. por exemplo, (5 + 3)X4 OU 4(5 + 3). renef!p?'^ '®° repetir quatro vezes a parcella (5 + 3), '^ol'nha^s° representaremos graphicamente por meio e^^■se claraniente que ''(5 + 3) = (4x5) + (4X3) = 20+ 12 = 32. Seja agora n^id, (8 — 3)X4 ou 4(8 — 3). ,T'»I.-S8 de repelir 4 «e.e, . p.™"" ' +08, o que representaremos ainda grap 'ca Veja'Se o texto do compêndio. *vi ALGEBRA - PRIMEIROS PASSOS Vê-se claramente que 4(8-3) = (4X8)-(4X3) = 32-12-^20. Façamos, pois, numerosos exercícios como os seguintes: í í í + i ; + 5 ( 2 - X ) P R E F A C I O . s t ; - " ' " - - 0+?= I 5 X ? = 30 1 8 - í - ? = 2 ? - 7 = 6 . 3 + x= 7 9 — x = 6 5 X X = 30 ou 5 X = 30 18-^^= 2 ou 18=. 2 X ^ ^ - ^ 7 = 6 o u 6 . questões, nart^ ráTetomenoTr ^ ""ia desta®Terá resolvido uma equação comVXTour'd''"T— sem o perceber, mas inn t, J°"fdain fazia prosa, algebristas. ^ao bem quanto o maior do5 E' então chegado o momento de apresentarmos aos ahuiinos um meio extremamente fácil para que comprehendam o que é a equação. Eiles conhecem a balança, para que serve, e como iioni ella se opera. Supponhamos collocados na concha da esquerda 3uquelles objectos a que chamámos .v. Ha, pois, no 0 peso desses tres objectos é, ainda imaginado, Sranimas. Se collocarmos na concha do lado direito pesos "^'Valentes a 200 grammas, o travessão da balança ficara em quilibrio, e este eqnilibrio será representado pela expressão 3 X- = 200. Podemos agora dizer ao aliimno, sem definição ' expressão de eqnilibrio é uma equação; que Jt o primeiro o a da dirdl. o segundo 'ueinbro. Q ^"'loquemos no prato da esquerda, alem ^ahi se encontram, um peso de 50 conio ZV. Descerá o p;ato, 1 haverá desequ.hbrio.^ Coii ^'^gir esse desequilíbrio? Naturalmente, 25.° da direita outro peso de 50 _„jiibrio, que equivalente, emfini. Haverá de novo equ.hbr '""esentaremos assim ; 3x + 50 = 200-f 50. 1° discípulo acceitará que a ambos7"Ofõo podemos ajuntar a mesma quan prato . Petircmos agora este peso de 5 ® que se corHavaíl „ov.,ne„.e a... p.'»STa logo qiie se retire, do os menideos de° discípulo acceitará que a am ..rr t^idade- ''"«Cão se pode subtrahir a mesma qua q u e á x v l i i ALGEDRA - PRIMEIROS PASSOS s5o súfficicMtes parr^ resoUic"" enunciados comprehender, mas min i''° Paçaniol-oscompêndios comnums de algebra conseqiiencias, que serd"anrer-°Tresullani algumasde resolver as equaScí ' " " -eja a equação 14 X- ■ 11 = 5 .Y + 70. ( « ) Dentíodo;;!!^ ::';::^ ° -14ondo. yO sao termos do 2" membro ""da equação (a); ' 11 a ambos os membros O U '^^ -^'■ + .1 =5x + 70+n 14x = 5x + 70-|_]] ( b ) : f ' ' f i ' - 1 » « 1 . » p „ . 14X-5.Y: = 70 + ( O P R E ! A C I O x i x s eEstas duas transferencias, que eifectuanios, c q basearam nos dois primeiros princinios, '^'onsposiçíw de lermos, transposição que e coinei sempre que tivermos .v nos dois membros da equaçao. Eesta equação ( o ) é íacil tirar: S I n9.v.= .Sl . ■. .v-=-- t, =4. Seja aagora a equação 3 x — 21 -1 Aqui temos, ;rarn ser dividido por 4, "diiyy' -irepresentamos por 3 .v. Se o quocicnte da üi ' V' ^r^acção y fôr multiplicada por 4, que lei em ^ 3^ -=-X4. Ora, dividir e multiplicar, ao '"y quantidade,«^mitidade por um numero não altera es portanto = 3 X.3 V * ^ ^ k j ^ Mas se multiplicarmos por 4 ° y'gn,'o segundo, par^r c^tiiação, precisaremos de multiplicar 'rpie não se rompa o equilíbrio. Por n' X4 = o u 3 X ^ 8 4 3 21 X 4 8 4 . ^ 2 8 algebra ~ PRIMEIROS PASSOS Seja ainda a equação ' + T+-4--^ que pode ser escrlpta • 3 4 6 3 , 4 e 0 , """PP"-»:.». os dono. ™P»P os .««dsospos.a. OU '2A--f-8Ar + 9;c^5g 2 9 A - = 5 8 5 8 _ 2 9 ^ —da resolução dé^SqueÍ è\Tação"d''"''■" uma incognita: ^ Primeiro grau com os expellir. ° denominadores, e trate de ™™Sr£:or;:rp- p.« Asseguro-vos ^ esiSoT^arr''''''""'' P^ Ííírianç'?"^vem não Só , '''°'ver equações p'r' também grande „estimulo para T ^-'^orcicio P R E F A C I O Todas as equações devem ser obtidas no solução de problemas, e não dadas como exercício ramente abstractos. Todos os problemas apresentam, geralmente oo" ^ niasia de palavras, certo numero de relações incognita e as quantidades conhecidas. Apanhada e Pnma dessas relações, teremos uma equaçao, 9 ^ fcsolver o problema. Tornar explicita, clara, essa jniaç nquillo a que se chama pôr o problema em ^Pnra pôr o problema em equação? Nenhuma, pratica de alguns problemas como o seguinte; ^ ^ " U m n e g o c i a n t e c o m p r o u u m d e 2 1n tres preços diversos. Pagou 1/3 do reban 1 ^ ranços a cabeça ; á razão de 19 ® ,g74 francos,dc 15 trancos. Revendeu todo o rebanho p „,„eiros se ganhando r/j; do preço de compra. De quan c o m p u n h a o r e b a n h o ? " , f á c i l . Ninguém conseguirá fazer um racioci processo ^crrente, para este problema, se os como o Cdinario, a que denominam arithme ic ■ processoconduziríamos para o emprego da equaçao, po^ncil, que parece algebrico: • 1/ e de outro "O negociante pagou de certa p, vossos disci- o s ■% V a „ , o s v i r , c o m o r Pülos, que fracção do rebanho foi a 2 5 11_ 15 (Io rebanho. 1 5 1 5 1 1 _ 1 5 4 15 do rebanho. x x i i AWtBRA - ,'HIMEIRÜS passos primeirrpart"daq||",'fg° ."^«'"Prou .v carneiros; aque diviciiii "a compra, foi ® aegmida parle foi 3 3 c a r n e i r o , ; ■ 5-'5'carneiro,, ® 3 terceira parle foi íi-de A-, ou carneiros. parte á ra.ão de 19 fr. cada 2l ' y 3 ' 7 X francos ; 0^'"Prou a segunda ^ '«""■=19 Io eada carneiro, pago» '^ Xx- ou francos; comprou a (erceir.® d razão de l«í fr■ eada carneiro, pagou 15 vi£15' ou 4.V francos.- w - . « . U nos ser-i «"iocianie, ■3«'. saber psgou, ao todo o 7x-J 38. r 5 +4 Jr. PKEI AC/<) Diz-nos o problema que o lucro foi de '.0 do preç compra, ou d e 1 O o negociaute vendeu lodo n rebanho por 1-674 portanto ' j q V 1 „ 3 8 . V I a 3 ^ 1 — 1 ( 3 7 4 .7.v+4«^ +4.V-I- 5 {7-V+ 5 O ^ Resolvida esta eciuação, guc é facilinia, acbarc .\- = 75, numero de cabeças do rebanho Não vos quero tatigar ainda niais, ^ jg como tudo vendo novos problemas, Esperimcntae isto È fácil. • dos os aiumnos Sô depois de regularmente dar. como com o methodo algebrico, é que „;,,.iivel dos numeres Wentvvorth. a noção, que è imprescmd.ve ,"egativos. . . n,odo absolutamente Vamos proceder, para isso, pratico e intuitivo. , g se não sabe po Todoalumno do 5» eni uma casa com aprender, o que é uma conta c proposito, hgucmereial. Podeis fazer vários exermc.os créditos e debites, e calculandoSe meu credito 6. por exemplo. XJCIV /M5.SOS 10 0 saldo vae 0 q u e 5Ò e n t ã o c o n - ' ° 2, 0 saldo é 10-2 = 8. «minnlrido"'"'"" """ "Isliilo aosmenla. :?=?='O- 9=;í M ' » - I O = o .Sí £5pr-:;? s;:::s 'O — 12 1 0 - 1 5 '"as desde n 20, etc. ® ^ e v e r . o u l t r a i v , . '"®" re.speitr'^ '^ "'®' cntã^ " 1"^ " Cedito, eu co i-eç"' ' " ' a a " a s n o t a s , e s c r e v i a " a seu favor . , passará a escrever " 3, 2, I, „ signaln.JalhVó?""'''' «ssa a i""' "' ""^^ '^ s^ivameiije: "'sa saldo gli!!' sentido pelo 6 , 5 4 3 , « ' " P " . m a s í . ' "^■-6,-7, etc. P R E F A C I O O Signal menos não é, pois, mais, em algebra, "Pum signal de subtracção, mas de mudança ® s*-''^ números com vossos discípulos, exercícios a proposi ^ „rclia a negativos, originados das contas-correntes ; ^ ,,^ ''da partir de um ponto, para a direita, ou para a e q ascensão ou descida da columna de mercun metro, além e aquém do zero, etc. „„oiias deTende, porém, sempre em vista que se tra apums rfe contagem, como se representa nas seguintes exp e Y — 5 — ^4 - 7 = = - 3 , ^ r : ^ " ' i 7 v = 1 2 - 3 K V4 + 2-5=1 12-14A-17.V-1- 1 4 - 5 - 9 - 1 - 1 = 1 isto é, não vos transvieis Liisinando, já, as celeb de signaes da multiplicação e da divisão. Até agora considerámos ^P®"^ incognita. resolvem por meio de uma equaça ji^ ^^ gnitas perfei- Alguns existem, porém, em que fastidiosa lei- taniente independentes. Para encur a ^ ,„cnitantes. t i i r a , , r , c f i t n r p í i i m . m a s a p e m independentes. Para encur ^ resultantes. tura, não vos citarei um, mas apenas as p^gga Havendo duas incognitas taes, qu equaçOes. que deduzir da outra, precisaremos formem um systema. 2 x - y = x-l-33'=lf são duas equações que constituem equações, eu vos P.r. ™olve, um «'aem. -=me.t.oao tecoiuiuendo que cscoUiaes u qe uma das iucogu existentes, e deve ser o da e " 'pela reducção ao mesmo cceff.cen XXVi AW£aRA ~ PfíWí:,f^ aS PASSOS per 2, e oVstemrvílá "'cnibros lia secunda equação 2 x - . y ~ ]2 -V + 6 J' = 22. revelado pela1]nlançr'—Principio, que nos foiÇão se pode ajnntar e'se nod! ! "leinbros d.i eqiia-Do segundo membro / 3 quantidade: Poderemos fazel-n;. vamos siibtrahifsegundo membro (22 Wi.hfr • " desde que do oritra equivalente. ' ciamos a mesma quantidade ou 22 não (2x-j,)_ " ' ' snblrali ir de i r o u o u 2.v+e>._(2.^ ._^ j^ 22 2^ + 6;.-2Ar + j,=,21 73' = 21 y 21 - 3 . _ Achado o valnr a .sc rc . vc . r ass im a • •2jf = 4 x = 2. Depois ^de^'o°bt "l®"' operação que ^^qoaçíies, com o'''"' incotT**^, d a o u t r a n a s d u a s 'eiro membro da . primeiro outra, o segundo xxví i fi mmembro de uma do segundo membro da oulri, l -de fazer desapparecer essa mcognila. ,• :,,j.cãc por meio Nem sempre, porêmi. se consegue a sotnma. de uma suliíracçâo, ás vezes por uie Este systema, por exemplo. 3 x 2 V - y — .V 3 :miiUiplicada a «cgmida equaçao po- 3x--y^. \ 6 V ^' . - .1-, incognita X po^ Abi só otiteremos a elituiuaçao teremos xCO.da somma, porque iuiuando 3 x coiu Sommando, pois, meio 5 ); = 25 •••)' : 5 . Seja aluda o systcuia 3x + 4y^ 31 o inteiroAqui, em vão procuraremos veiiba qualquer deiie multiplicada uma das «Jfjcienle. .'"^ognitas. nas duas. com o «nesnío co^"; ^ se muU p^'«as o m. m. c. dos coefíicien ^ P^ ""^ '^ nrimeiro rnios a primeira equaçáo por - 3 tercnios o p . *; se multiplicarmos a seguu ^ ambas.•''"'O 12.V. b4se, pois, n 5 de 2 equações. Tendo o alumno chegado aos resolução de um ^^ reniamente fácil será o eiisuia ■ x x v i i i algebra - PRIMEIROS PASSOS /incog^ iitts, 3incognita, cle 4 equações a P R E I A C I O InÇão de quasi'todos ° para a reso-' ''S íiT simplificada a tarefa d'n'^pnc-^ achaes, assini, perfeitamente algebrico em vossas '"troducção do methoclo algebra não é uma des^ac a- niostrar-vos que aP^-ndem. e Z ZZ Tadmirar quando a encontrardr?"-' """" simplicissimos, nos propran ' ' ""eduzida a elementos P e d a g ó g i c o a u t o r i z a O m o v i m e n t o^ receber com sympafhia If ?habilitados escravizado a prócessos anaci i-aciocinio■""teis, preiudiciaes. '"^ '^'ronicos, inúteis, e, mais que ignoro, quern irr».« .rmS™'.:"', ' Is- algebra ar4h "enliuma investigar*"" entrou ein"'thmetica e de algeb a ,fof/^° Phüosophica ; falei-vos de iiSll! ®"<=°"tra referi 'iestas palavras,ien r eu " f '"'^ '^ ionarlos de nossa de.o parecer s Mas a algebra que eu entendo util e possível não é " disciplina a mais, e sim um methodo melhor, maismais seguro, para se resolverem as questões o cu a r i t l i m e t i c a . , j q Nem sempre, está visto, nos havemos e ^ processo algebrico. Resolver por elle ^ „te ®ruhmetico, seria, sem duvida, como disse lu"m autor, «empregar uma enorme alavanca para orna pennan. Precisa o professor de ser pon ° ^ j^qs monioso, empregando em cada caso os meios maid iiitelligencia do discípulo. Não ha, não pode haver, para a , idiosyn-0 mestre, quer da do alumno, falta de g r^asia. Toleremos ainda que alguém preso ao Para o desenho !—, embora saibamos qne. das "rgo formidável da natureza, habitante m renioto ^^^ernas naturaes. já o nosso .jo fôrmas nasdesenhava com relativa perfeição, '"f"-imaes. Mas o ''^dras, nas conchas e nos ossos do habilidade ensino do methodo algebrico, qne na ^^dos o ^Special, nem saber acima do conmP o d e m f a z e r , _ i „ n a p e r s p i c a o a mais necessário P°^ "^f^„sses adeantadas, i t a v p l n a r a r e s o l v e r , n a c o " * = 0 1 l a z e r . . . r u n a p e r s p ' Não será mais necessário possui adeanta as. Particular e notável para resolver, na acom problemas arithmeticos, pois é n synibolo, P.®»har, na mesma ordem, operando sobr descobri , d'^^<=r.mstancias referidas nos problema^ „ ealc b^tentativas laboriosas, ou por nn acas ^ dissimulada.® Achilles de cada problema, a P° ^ ajs.éiáum ap ' ^;"oumstancias referidas nos proi^'^-'-gso feliz, o c--tentativas laboriosas, ou por un acas ^ dissimulada,p® Achilles de cada problema. a P» ^ já umOnde se desmancha a niead ■ pons Pa pedagogia contemporânea, diario. "ascem feitos, - fazem-se com X X X ALGEBRA ~ PRIMEIROS PASSOS i n t ro teo v. - „ . t ascns d /">eiLTe fatrl que amanhã 011 dp • Podemos prcvôr com segurançaf" até imposto 'i^ethodo será recominendado, decondcmnar loahff ensino. c,uo lulo«rebral por meio da maTeinLicT'"'"' T'oda a h íç fnr ío t ALGEBRA — PRIME!ROS PASSOS __ por meio da n.atheniatica " sido outra coisa "--vaelonge ,o men"as escolas, a enfadonin''^ '^ ^ °dois e Jí '^ "■'tilena do Um c uin, época, dizia ter odiado em'^^gostiniio, na sua 'ogar ao ensino racional ° "'elliodo velho cede" íar, todas essas utili==in, em aritlimetica elenie"-eecupon o n,eu predecessor ,"estí!í'Tenho fé absoluta " t '"^ '''""a.gica, e posso assegura'p-vU^ "^ '^' aptidão pedagO"vos dispuzerdes a seo-nir arrependereis, se "âo são meus, nias'' da'. f ^ s^umpto. os conselhos, q"e ensino moderno. =^ "toridades mais conspicuas do Nao podereis alleirar „„ pois eu vos responderia nrm ? 'gnorancia da materia. esforço individual- tiraes I"'oP'"io engenho e vossoqne transmittis, e que „ão 1 conhecimentosDe quanto já pude oh.p°^ ^ "^ inados. . "'^al intellectual dn^'^' ^ respeito do g de nenhum oiitm docente do Rio do«^ fficiencia pedalo ®°'^ '"'^ P^ 'Íado. Tende, pois.deposito., P'^ g^°g'ca a mesma confiança qu^ tUf Formando o livro um todo indivisivcl, sendo a materia ensinada ffradativamcntc e m mente, devem ser feitos TODOS os exercícios e TODO o texto ha de ser luto e entendido. INTRODUCÇÃO Rara habituar o aiumno á idea de por meio de letras os objectos ou, em gei quantidades, e os números, acreditamos "iutroducção, regularmente amena e bem conforme suo-scrir a pratica do proprio p , E-,«cisTocsse,,cial,quc,.iosc cCiar uma série de definições, com que g lugo ás primeiros paginas espantam, a opprimem a seus indefesos leitores, nw , Wio, ir contornando as difficu a cPlndo as asperezas. _ breve _ Eis como nos parece possive , P .,tar noshistorieta, introduzir o discipu o ^ 'Udimentos da generalização a gu determi- Pi'ocedia um menino, certa vu , gontinha 'haçào paterna, ao inventai io o I.WTRODUCÇAO em uma grande arca, cheia de miudezas. Os objectos que ia retirando eram os mais diversosque seja possivel imaginar: alternavam os grampos com os livros, os cadernos de escrever com as esouras, as borrachas de escriptorio com as raspadeiras e os canivetes, as moedas com os phos-Phoros as velas com as chaves, etc., etc. os rltirav. H ^ proporção que relação; ^ ^ escrevendo a sua c h a v e " ^ o e d a , v e l a - , v e l a ,da, tesoura, //vVf A o fi m H b o r r a c h a . . . uliciaes dos nomes dan.mu' ^ '^^ '"^ '^esse apenas asP.assoa a escreve, conlraa'nVa"e"ação":'"'"' ^ '' '' '' '' '' ''' '' á', etc. Nao tardou, porém qup m difficuldade: da arca sàhi,, vi ^ PParecesse uma lapis, que não noIPira /, pois iá estava destinai '■PP^sentado pela íazer? Adoptou Paulo o ilapis por Ip e, semelhantet^ elk 1° °um canivete, por Ipsr uma lapiSa •""f'""" " purnias, por pn uma pe„„a e ™® por Cd um caderno. M.OEBRÁ — I'RIMEIKOS PASSOS Feita a lista geral dos objectos que se^ encon travam na arca, representados por uma inicia ou por duas ou tres letras, achou-se Paulo deante seguin te ; g, P, g, m, V, V, c, g, g, 8, ''ip, b,c. c, V, f, /, /, b, ,n. c. g, g, f. ^ g, Ip. Ip, Ip, ip, I, p, cv, Ipsr, Ipsr. W' - pn, pn, pn, pn, cd, cd. Procedendo depois á contagem ^dos obj enumerados ein sua relação, achou I au o . fi-i g + , _ e= 10 grampos ou Sg\-g-\g 'r g + g-r S-- S'-r S nhosphoros ou - P I /moedas ou m -1- m -i- m -• m m ■ ^ ri lapis ou " Ip etc . , se continha poude serAssim, tudo que na arca •■epresentado do seguinte mod 10 ' ^ o > . i i i a u u u \ j o w - f e — o 4-5/-F4' + 4Ô +S + 2p + 5». + 3 '+j^+ ,;p + PP' + ^ -4-5 lp + 2 cy + 2 'psr-r INTRODUCÇÁO gramnòs^ í^nH sotnmados, todos osetc etc' A Phosphoros, todas as moedas,mar ' t po rém, som- que só se Dori"^ ^^ moedas, porque sabe especie. som mar quantidades da mesma o b j e c t o s , p a r a r e p r e s e n t a r o ssentaçõe's symbolkL'têm -^ iebncas, ou / l C O i T Í g i r : trio ^ biihas 12 13, onde se lê cm lodo'angulo, deve estar nesse trianííiilo . devp^L''"'^ '^'U *eido tiianuul )ne\e ser Nesse triângulo . Na linha 26, em vez de S c SO. podemos representar abreviadameni'^ . ---- . -^ Ricardo por /?, a palavra goto por g \ lopis P®"" ' e assim por deante, podemos também lepresei convencionalmente, por meio de letras do alp la^ todas as quantidades, a todos os números. A letra x c particularmente usada P^ '^ tentar uma quantidade que não se con e "úmero desconhecido, uma incognita. b X h . M c i de kiionietros1 ■ Si representarmos por x o ^ ^ ,^05 7 km., o n^n percorremos hoje, e si amanha P® por xq-^ - Percurso total dos dois dias será repre de annos 2. Uma pessoa tem, mutualmente, um nun^ ^g 4 íue representamos por X. Qual sera n^nos ?/?es;;. x+4. igiõ, unia pessoa que 3- Quantos annos uontnva. ei ^ ^ _4. _ nctiialinente (1919) está com x C A P I T U L O ! Emprego da letra X na indicação das operações — Do mesmo modo que, em uma nota, podemos representar abreviadamente Pedro por P,^ Ricardo por R, a palavra gafo por g \ lopis po"" > ^ ãssim por deante, podemos também lepresen convencionalmente, por meio de letras do alpliabeto,® todas as quantidades, a todos os números. A letra x c particularmente usada para ^ sentar uma quantidade que nãose conhece, "nmero desconhecido, uma incognita. EXE.Ml^lOS j]e kilonietrosL Si representarmos por x o ""'"^ '' _„ios 7 km., ° percorremos hoje, e si amanhã ^ por x+T"- ercurso total dos dois dias será represe annos 2. Uma pessoa tem, actuahiiente, ^ ^ ,^,,^0 de 4 representamos por x. Qoal sera a sua x+4. 1915, uma pe^soa que 3. Quantos annos contava, ® „ Resp- x — ^ - . '^^ tualtnente (1919) está com x an E M I ' R E G O d a l e t r a X fira P -^sôa possiie .v e gasta 9,-000. Com qua"'"tica? Resp. a:_9íooo. dam.f n 1?"'^ ° ^ ''' ile iinia pessoa, qual serát Z V + t Z Z ® senta^r' ^ ""'rr P^soa. como repre-6 mezesi ^ 'esr^ -V"''' ^ será a idade*!u ^ ° ""mero de iiiezes de uma criança, q"®' 8 „ f dentro de anno e n,eio? Resp. X + l^ 'mais 13$ e"'lolT'^ '"-'®"''® quantia x; a seguir recebe* +135000 + 28cooo^ 9"a"to fica? Rcsp. C""' Q * Tdepois 12?'" Coi^ r' Sasta prinmiro 18? e log"<0. S,h? """'» "« ' /- ,8.<000 - 1 aooo.gastei 2?, recebi mak 74"' q"antia a"; recebi 20100°-''8"ei? Resp.x + ^ 'J.^ ^ gastei mais 12?. Com qua"!"+ 20.000-2í000_,_ 7^000 _ jo.QOO. ^ ^ letra v n-mero abstracto, mas Z apenas um no- D^a r^ ' Pôde '^ ""'^ "^antidade qualquer, obiecto n°T' ^ "^rbem ^ '^"eviatura, indicar a AdmUta^r;que se denomina ^ue hatêm os nomes de tSe possuirmosC2 /apis ; também se ^ mais Í7' objectos denominado! P°^ m,irmo leremos^ mais ^ daquelies eutro igual, tere- A L G E B R A — P R I M E I R O S P A S S O S ' mos ao todo 2 objectos denominados x, ou 2 x (lê-se dois xis). Poderiamos, pois, escrever 1 A -j- 1 A = 2 A, mas em vez de 1 x escreve-se simplesmente x , portanto A-j-A = 2A .V q- x 4- X = 3 X A -L A -j- A -f A = 4 A A -f- A A + X -r X = 5 X. As expressões 2 x, 3 x, 4 x, 5 x são, eviden temente, números concretos, do mesmo modo que^ 'dpts, 3 lapis, 4 lapis, 5 lapis. A primeira deltas, 2 x, representa, a somma de duas parcellas iguaes a x. sommar duas parcellas iguaes c 0 mesmo multiplicar por 2 a parcella, portanto X 4- A = 2 X Semeltiantemente, X + A + X X -j- X -j- X q- .V — - K V AA- + A + A-fx-Hx = ox = 5X^^^^ Quando encontrarmos, po's- teremos a !^Omo 3x, 4x, 5X, 20 X. J^ '^^^ q^tiplicador, QUÇindicação de um producto. ^ nome de coefj Seralmente é um numero, tem (Ciente. 3 x 4 X 3 x 2 X X - 3 X X 4 X X emprego da letra X ocn o coefficiente é 2, em 17x c 17, eiflse escrevei r' ° botões nprf° modo que 5 botões com 25 obiecL podemos assegurar que^ ou,r„! OMCCOS a : , O U ' ^ o b j e t o s d e n o m i n a d o s 5^ + 2"X= 7 X. Semelhantemente 5 X - 2 x 3 x . Mnslam dc'^dois j 5;,_2X"""'os. separados p™ ,"' "ff """>■ Esses ele- o nome de termn " Po'o signa! -—. r™'A"ospsesSra,:;.''o^or^ x ^""ico termo deoom S """ """"'""i ""e compõem de dois term"^'^*^ 'J^onomios; as que rinomios; as de mais de t°^ ' ; as de tres, Polynomios.^^ + 2 oa 5x + 2ou5xl5 14x^7 - 3 + A 2 X é"" '^"0'nios14 X + 2 X - 8 + 9 * é um trinomio ALGEBRA - PRIMEIROS PASSOS H x i m c i c i o ! • l x ~ ■ ^ ? R . ! i . r 2- 6 a!+ 3 a: —U 3- ? R. 2.t 3 - 9 a : 2 x - - ? R . 7 x 4 - 7 x 4 x — X ? R . 7 X 5- a:4-'2;c_3x. ? R. O ®- ,sx-2x+2:. = ? R.l^ 8. e:ix + r.x-7a: = ? R- -4 9 . 1 2 x - r . x - 6 x - ? 10. *ix — X -6»: — • R- 11. 9itx -JX iri.f 23 X--? R-46® 5. — Os exercicios acima resolvem-se meiv talmente. Mas algumas vezes não se pode assi proceder. Vejamos, então, o que se faz. Se tivermos: 2/ap/s+1 /ap/s I 3 /op/s-l^ S lapis+"^ 2 lapis, poderemos escrever: Ou ainda í.iipís;2-|-l-l-3+5+'^ (2 + H..3 + 5+12)'''P«- Assim, quando temos 7X + 2X, podemos escrever ^ o mesmo que (7 + 2)* : gx + sx-sx (8 + 3-9)*: 10 o mesmo que o mesmo que empreüo da letra X 90ic- 2X-I5.V-25a- (90-2 — 15 -25) X; 9 x - x e assim por deante. é o que se TeiÍom^nr-!!^ 'parentheses. P^r o X em evidencia- Exercício a! J ^ ^ ' •■5 + atr =l -I-1 - 8 H-11 - 7) a:, oil Vi »4 , • ^■; H - 8 - l - l - 7 + 8 ) a i , o i . 2 3 í p'r 1-1 -2)ai, ciiOai.oiiO■ l - á ) ^ - , o u r í . ~~ Não é Hifíquando os coeílicie„,J'''"'= " uwdo cie operar Su tivermos i , '"tuionarios. J e r e c e b e r m o s m e s m a .íT utesma ,ara„j„^ 3 ■■emos com V w + - "2 0 1^2 0 ALOE BRA — PRIMEIROS PASSOS 1 1 da laranja. Assim, quando temos e m a i s d e X 1 5 do mesmo x, temos ao todo + 1 _ 15 , K — i a 2 04 5 do mesmo objecto x 1 9 20 E x e r c í c i o 1 . a . 3. 2 7 ^ 4 . 5 . X r -i x=?' lx-7x--|-x = ? R . R . R . R . 26 . 1 4- .^)xou-|-x, ^ 2 8 9 T 1 7 o l "h" 4 - r R . ( - " " 7 ' o u 7. — As expressões 3 - . - X , e t c . 1 XX, -fX. 2 1 2 e m p u e ü o d l e t r a X também podem ser apresentadas sob a forma X X 5 • 7 • 2 ■ e t c . Portanto ; ^ 2 ~ 3 +3;c+ ^^-x ^ O mesmo que (' + 1-^ + 3 + ^5.), O U 331 4 2 X . Exerci 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 T z z T ' + ?3L I S z 3 + C I O • - 1 2 z 7 H-í. j X 3 = ? R . 3 1 6 R . R . ' " " i l _ , 3® 4 r = ;7 " z + R . R . - i 20 X 9 9 101^ 3 1 6 l ^ z 8 4 6 z ALGEBRA - PRIMEIROS PASSOS 1 3 8. - Se os termos que possuem x são nú meros concretos c os que o uão possuem abstractos, é claro que uão poderemosum só termo a somma de um termo que contem x com outro que não contém. Do mesmo ^ S ovos não deixarão de ser 5 ovos ^ sonimar o numero 3 ; 5x não deixarão de ser quando escrevermos, por exemplo, 5X + 2- O 8 nem nie- Aqui temos uma bota. Si fo liarmos um numero, seja 8, para exemplo, c o puzermos ao lado des a•^ ola, teremos, naturalmente, uma bola e um oito ou uma bola mais oito, mas nem a bola será mai^ o S se"or, nem haverá mais que uma ° ' j-opuzermos alterará. Assim, pois, si a 4 x no ^ j,,(jicação sommar 3, teremos apenas que 4 x - f 3 ; • T de X, teremos,o si nos propuzermos subtralnr Somente que indicar x •— emprego da letra X E x e r c í c i o '■ í a: — irj-{-2,T = ? 2- 2 a: + 7 - íj = a 3- a: + 4,T:-2 = ? c U ® _ r r + 7 = ?a- +. I3$ooo 4- 28$000 = ' R . i ) X — I ' l R . 2 a - - f . l R . 5 a - - 2 R . I S I X 7 R . . r 4 - J l $ 0 0 06- í -18$000 - i.2«onn á 7- í -a- -aosnm «n ' " • - t - í lOíom, -0,000 - áSOOO + 7$ooo _ 125000 a 8 . g . 1 0 . *<• ••C + 27SC00'_ u$000 O" » + 13Í0002 -^1^ + 0 = ? R, ^ _,_o R . i ; ! - 7 . i ' »-2a- + fi-5r,- = ; 5 -l--,õ +^ = ? R. 9 -t- a; empregando parentheses; "■ *+Í'-5-.+ .e,», 1 2 . J L ^ I2 3- 4- 4 a: = ? ^ ' ' • ( 1 - f - ' 1 , , IH !» 2 --r E l«)a- ou R . ( - 1 1 \\ 2" - -0- + 4) X R . ( 4 - , - • 2 X e . , 14 . a -J -^a^ , ■ " - l - louè ix+ l' .) ■ "i- "> ^ .) - I *O ÍC T) oil • - - X -f-«'> 2 15- l -h3x^ 2a.' + 8^ =>inda4 +9 R- I f S-|_ ~^ 2 ) a- ou !i j- a-. ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 15 9. — Dado para exercicio o seguinte ; 4.v-f-4.\- + 4x + 4^ = ? qualquer alum no, pensando que 4 ovos, mais ovos, mais 4 ovos, mais 4 ovos, dão 16 ovos,■"^sponderá logo que a parcella 4 x repetida 4 vezes 16X. Mas repetir quatro vezes a parcella 4x e "luitiplical-a por 4. Portanto, 4 .V X 4: 1^0 mesmo modo : : 16X. 3 a - X 5 = 1 5 X 6 x X 2 - 1 2 X 2 x X 1 5 = 3 0 X ■ ^ s s i m p o r d e a n t e . . pois o coefficiente Que se niu p E x e r c í c i o 1. 2 . 3 . 4 . 4 ,p X 7 = ? -.X5 = . 2 x r X ^ - 5. r,,fX-^ - = ? R. aS'" lõa; R . - r R . i a : 2a;R. -g- 15 X R . - r ^ ■'O- — Se possuirmos'^umnos, tocarão 24 lapis a 2 4 _!_4 = 6 InP'^ 18 E M l > R E n O D A L E T R A X a cada um. Se tivermos 24 objectos dos que se denominam x, a dividir em 4 grupos, ficará cada grupo com 2 4 : - 4 = 6 Objectos denominados x, ou simplesmente 6x. O que se divide é, pois, o coefficiente. Bxerc i c i o 1. 2 . 3 . 4 . 5 . deste'typ^ apresentarlambem a diviêão X = ? Sabemos nne n a-, •quociente reproduz o h- multiplicado pelo d u z i r I 5 x . O r a s ó 1 ^ r e p r o - fazer, e é 15, jogo numero capaz de o l ó x s - a ? R . r . j :28 X .1 _ 7 R . 7 x82 » -5- í> = ? R . I i i j 1 5 r 1 p R . ' t ' ' i -;-7 = ? • M j .R. -f . 1 5 x . •>^*=15. ALOEfíRA - PRIMEIROS PASSOS RXERCICIO 17 1 . 2 . 3 . 4 5 . i r , I y ' I e s X X ? ''' •- X — ? s> X - ? I t R . 8R. 4 R . 2 8 õR. ç,- 7 R - . i 12. — Pode ainda apresentar-se a divisão 15X-:-3X-? ò nreciso achar umRaciocinando como acima, V existe numero que, multiplicado por 3x,nni numero capaz de fazel-o, o e 15X-^3x = ^*. ns coeffidentes : O que se divide são, po > j^ te modo ; Isto também se pode ver ^ o niesmo que o u i 5 x 3 X 15 X-^ " 3 X í f ^ cancellado o factor x. a ^ finalmente a 5. fracção se reduz a 15 3 1 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 2 5 7 . 8 . 9 . 1 0 . - ? • = ^ E x e r c í c i o 14 a: 2 a: = ? ai a: 4 a: = ? •2j_x 7 X 6 X 4 a; + 4 a: = ? S T x 8 x ~ ■ ■1 a; 7 a- = ? 2 a: 0 ,c = ? « 1Õ a; == ? R . 7 R . 6 R i ; 5 R . 8 R . 7 R . R . R. -Í- ■ 4 JJ7 8 " £ 7 R . R . 1 1 5 coKlue ^ ™ OS n. a l e f - ^ . . . ■ ^ S S c l e n i i R delles. ^onciue que ;a letra x, ha de aona ^ PParece no dividendo divisão (divisor ou nr"" dos termos daem um dos termos ociente), uiq^ apenas em utii CAPITULO II Pa ren theses i4. — Para lidar com os binomios, P°'ynomios devemos envolvel-os ou s"PP ^ g°^'vidos em parentheses. Apresentam-se entao casos : o u• - 1 - 4 -I'' O parenthesis é precedido do tafflbem y tcm signal claro, e entende-se entao'^■ecedido de +•cdido de +; E' precedido do signal — - multiplicada- Envolve uma expressão asVeiamos como se procede em caü ^u i i i c i c a C l aVejamos como se procede quando J. J"do se tratar de binomios, e depde trinnmmQ P nolvnomios. c a s o , s e ^ i r a i a r a e de trinomios e polyno"^ '®^ j jnais.— Um5^.— Binomios precedidos 'ojT"^ ^ "^ Posstiia 4 Com quantosJ U m n i o o t n m s o l a p ^ ^ fi e "n que possuía 4 lapis Q^m quantos fuais 2, e em outra mais 3 lap ^ y j L l P - p - . „ 4 o r i m i t i v o s o sE indiíferentc juntar aos P j^mente reunir os 3, ou juntar separadam 2 e o s 2 0 p a r e n t h e s e s ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 2 1 2 com OS 3 e addicionar a somma aos 4 primitivos. U segundo processo é indicado com o auxilio do parenthesis; 4+(2+3) = 4 + 3+2 = 9 e d e u 2 r / r e c e b e u m a i seaeuj. Com quantos ficou?E indiffprpt-i+a.^ u u u i u s J l C O l l ? ,O S 4 e d a p r i m i t i v o s Procest étdicadoT ° °'noicado com o auxilio do parenthesis■ 1 0 4 - í 4 _ q ^ ^ . 1 5 . 1 6 . 1 7 . 1 8 . 1 9 . 2 0 . 2 1 . 2 2 . 2 3 . 2 4 . x + (i + x) = ? ■2 x ~ i [ ) x + õ ) = ? 4 a; + 15 .t: - -1 a;) = ? 44-(7a: — 3a:) = ? 10 + ( 7 a: — H ) = ? I 3a: + 2) + ' = ? I ■_> X f a 1 -i- 7 X = ? I a' + 2 ) - X = ? 1 4 + 7 X ) - 2 X =■? l .x + 7x)-8x = ? R. 2X + 4 R. õ X + õ R . Õ X R. 4 + 4X R. 2 + 7x R. 3X + 9 R. 9X + 3 R . 2 R . 4 + õ x R. O 10 + (4-3)=,O + 4_3^ 'nio envolvido estabelecer que: - se um binO' signal +, o Pr^ rcnthesis é precedido d»nenhuma alteração removido sei^ 1 . 2 . 3 . õ + (4 + 7), 12 + (7.-a) = 6 + (15 + 1), Exercício R. R. R . Do mesmo modo 4 . 5 . 6 . 1 + (1 + a) — ? '7 + ( 4 — 4 ) -r ? 2 + (8-7) = ? R . R . R . 7 . 8 . 9 . 10. (4 + 3)-f-2_5 (4-3)4-2 = 5 ( 4 4 - 2 ) _ 3 ^ , ( 4 - L ' ) - 2 = , R. O R. 3 R. 3 R. O 11. 1 2 . 1 3 . 14. (Í + 3)4-(7 + 5)..+ 8) + (9-4) = ? R l9 f,[^ ~^ ) + {5 + 3) = ? R. ' R- a 1»R . 16. — Binomios precedidos de meno .^ '^ iJni homem tem lOOfOOO e precisa pagar duas tontas, uma de 30$00.0 e outra de 20$000. _E' indifferente que pague os 30$ e a ®eg 20$, ou que reuna as importâncias das duas'^ "^tas e as pague englobadamente. O pnme.ro P'^ocesso é indicado por 100$000 —30Í000 - 20S000: ° segundo processo é indicado com o auxilio dos Parentheses : 1 OOf OCO - ( 30Í000 + 201000) '%000 — (30í;000 + 20ÍOOO) = lOOJOOO — OOjrOOO 20ÍOO e m l o t o o o e m d u a s S'""' •"•g"'- 3»»0. Se der em "f"'"/'™pagará demasiado, paisd le~2t000:e,ae faz calão? Toma amadas 2 2 p a r e n t h e s e s ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 2 3 notas de 5$, dd-a ao credor e deste recebe 2$000 de troco. Este processo é representado por 1 Oí000 - 5Í000 + 21000 SrTffi ° «O <:''^dor a nota ouanHn O seu proprio dinheii""' d e s t a o u T n f ° ' Dpsh ° proprio dinheiro. é, de fs/nnn^ o®''*"'''''' íf2$oco), a quantia que ficou foi d® lOíOOO - (5ÍOOO — 2.«000 ) Portanto,lOíCOO _ (5J000 _ 21000) = lofooo - 5ÍOOO + 2^000 gninte niodo^^^ "^^ Poderíamos raciocinar do si' ffectuar a subtracção aqui indicada : 10- (5_2). 2 unidades numero qus f t e r e m o s ' ° S e s u b t r a h i r m o s ' 1 0 - 5 ;mas assim teremos t.v.H damente. Teremos snht ®'-''^ t''aliido demasi^ ' 2 u n i d a d e s q u e ^ ^ paia subtrahir. Corno i"^ parar esse erro ? Se tirámos demasiado, havemosde accrescentar o que tiver sido diminuido a maior, portanto, devemos iuntar ou sommar 2 uiiidades. Dahi : 10_(5-2) = 10-5 + 2 Póde-se, pois, estabelecer que : si uni binonmenvolvido por parenthesis é precedido do signa ,o parenthesis pôde ser removido, J^ t,. <iaem os signaes dos termos oodocados dentr >o rígnal +%or-e o signal - por +" o signal é +, e portanto se troca ta quando, no primeiro termo dentrothesis, não está escripto. E x e r c í c i o 19 - ( 8 + 3 ) = ? R. 8 f, 11-(T_3) = ? R. 7 (10 ( 9 - ^ ( 5 + 2 ) - ? R. O2 ) - ( 2 3 ) = ? R. 3 ^ ( 5 - 2 ) : = ? R . 3 R . l l .T-S a , r 18. — Multiplicação de ^ repetir 4 ^^Pressão 4 (5+3) significa que se _ P ;^^esasomn.de 5 com 3. Póde-seJ.^'"'^ella por dois grupos de signaes, ume outro contendo 3 : 6 9 OOOOO OOO 24 PAREN'THESES Para exprimir a repetição dos 5+3 signaes, as ar nos-á repetir quatro vezes uma linha assim constituida de 5+3 bolinhas : opooo aooQ O O O O o o obooo o o o o o o o ao to"Vn bolinhas, e 4 linhaspois, de 4x (5+3)° •bolinhas dever ser, no da^ íirSt?4X34+5 bolinhas: Portanto : ''(5 + 3)„,4x5, + ,4X3) = :O+I2^ que s'+frepet7+ ■Póde-se representar h ".'''"«rença entre 8 e 3- escreve-se uma linh ®^ Suinte modo a operação:cortadas as ultimas ® bolinhas, das quaes são subtrahidas ; escreve' niostrar que devem serigual, e uma terceira uma segunda linhae auida uma quarta. 8§88°ll ■ ■ ■oobbbli;0000000) ALGEBRA - PRIMEIROS PASSOS 2õ.' , ^ , 4 . . ^ Tendo cada linha (8—3) bolinhas fias, e sendo 4 o numero total de linhas, lue deve haver ao todo 4 X ( 8 bolinhas não cortadas. , „ não O numero total de bolinhas (cor •portadas) ó (4X8), e o numero tota^ (4+3). O numero total das nao portanto, - 3 ) V è - ( 4 X 8 ) ■se, pois, que -(4X3)- 4 ( 8 - 3 ) : 32—12._ 32 — iz. Pata multiplicar, pois, um binomio '^ o^iero, devemos multiplicar ca ^ , 5 réspccU^ osi'^ io numero, e escrever os p'0 termos-'""t os mesnws signaes une m esses exercício 1. 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . r » 1 V '4(5-Ç0)^ ? R- f+._3X + l;,_.19 7(11-7) = ? R- .Qi + oXS-7 ( 1 1 - 7 ) = li ( 4 + 8 ) = •a (X -f 2) = r> ( 2 ,r + 4 ) = 8 ( r > - i - 2 x ) - = ■I (4 — a:) = •r ( 2 ;c - 8 ) = 7 t ■» — " D - 4 4 3 = 2 3 : 7 2 R . „ 10 a; -f R . R. IC® 12 a: R. i"- 2 8 p a r e n t h e s e s 20. ~ Producto precedido de mais ou de limpos. Supponhamos a seguinte indicação : 74 + 2(5 + 3). e^ja a indicação 25-2(4 + 3). saremos : -r ^x-i ) = 2., _ (íj 6), Exercício r = 2.j _ 8 -- 6. 1 . 2 . 3 . 4 . 4 . 6 . 7 . 8 . 2 1 . l'' + 5 ( 7 4- 2 I _ 20 + 7(8-3)^ - 3 ( . I 4 ,3 . 110-5(9-7 = .5-1(8-7)=,' + 3 ( K-|. 5 ) ^« + 8(7 -^3^ R . c 9 R . 5 5 R . 1 6 R . 1 3 0 R . 1 R- lÜK + lõ R . 5 7 x _ R . 2 x R - 1 2 3 ; R. 15— 4 a; 2 4 ■ Dividir um k * que na multiplicação de 8 ~~ Oí^ servadoíaz o producto de 8 nor a binomio (4+5) se 8 por 5, é faci! concluir^ ° productoo binomio (32+4o) se d dividir por 8 a seguir 40, ligando-se P'''n^eiro dividir 32 e+■ « '-"ordot^e'ro ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 2 7 Assim, (32 + 40)-:-8 = 32-1-8 + 40-1-8 = 4 + 5 :(04 + 4U)-:-8 =34-^° ^ «n • 4 =19-15- (76 —60)-:-4 = 76-1-4 — 60-. 4 EXERCÍCIO 1. (83 —45) -;-9 = ? 2. (5Ga;4-21)-;-1 = ? 30 4- 42 X _ ,O - ' ü 51 — 81X 4 - - o ■ 50 X — 28X „ oe - ' 7 x 4 X -1- 7 ? ® - ü x R . 7 - 5 R. s== + a R . 5 + ' ^ R . 9 -111= R . R . 7 + 4- 3- + 6X • 22.-Trinon.ios.^SaMfJ^X°,'^ lZ^; recebi 4, depois 6 e P parenthesis as g^uaes. Posso representar den aioedas que recebi : í 4 + 6 + 1 1 ) ■ , nesta detresternios,eoUma expressão oomo ^^inomio.que se denomina em alge ^ 7_2), (i--+ *'■ + 6 + 11), (14 - 2 + 3 ), (J + '7r4a' - S - 3 ) , Todos elles podem®ào Vários typos de trinonio ■ j^ jos. Assim, facilmente ser convertidos e , ^ o + X - 2 - t - X ^ 4 (1 + 11 = 10 -I- 11 U_2 + 3 = l9 + a• 7 + 2 - 4 = 9 - 1 19 _ 7 - 2 - li - - 1 4 X - H - J etc., etc. 2 8 PA R £ , W r / i £ S £ S T i^nomios precedidos do signo^Ü1SI£- Supponhamos que se encontra a ex p r e s s ã o 18+(4q_6_j_ii ). tuir ° mesmo que 10, póde-se substi-a regra doíh'^ ^ vem, applicando-seaos bmomios precedidos do signal + : P6de-seTubstiS° '«Sar de 4 + 6,' escrevendo, em continuação : '^ + (4 + 6)4-11 = ia_j_4q_6_[_n. agora a expressão '^+(14-2 + 3),Sendo 14—2o mi5 + (u_2 , „ "lesmoque 12, póde-se escrever ^0 mesmo ''^ '■'^ ~ )^ + n i^õ+u-2 + 9- obSrT^ -^ ® ^ rlnomf com qualquer™„r:r:7 aa Oo Signal +. e•/"«Mo prece<,SÓ+ elZT"*" ''""-P"''' OS respectivos sio^ ^'ênai , trinomio, mesmo trinomio 'oalteZ'^ ^^orevem-se com OS termos do ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 2 9 E x e r c í c i o 1 . V 2 4 - ( a ; - f I - H ) - 2- 4 + ( 7.- 3- -i- H ) r- S- M X + ( 2 3- + 12 — r, ) ^ 4. 7x + (U —2- i - r,x) - R . 1 0 - 1 - X R . l O - x U. l(!x + '< R. 12 X + 12I X + ( 1 4 — 2 - i - r , X ) - í I V . - ' Trinomios precedidos do signol 21£^ os. — Supponhamos agora que so encon ra® Seguinte expressão ; 44- (4 - i -6 - t - l l ) • Procedendo como acima, isto à, 76 por 10. applicando a regra relativa aos ' precedidos do signal — c tornan substituir. «-(4 + 15+ 11 )= 44-( 10-1- II) = ■""/i" = 44 — ( 4-1-11 ) — 11 ='11 - Seja ainda a expressão 25 — (14-2 + 3)- _ 1 1 ' ^0 mesmo modo, 25 - ( 14 _ o 3 = 20 - (1--1 + I'll += - 1 2 -2 5 - 3 .= 251 (11 - 2) - 3 = 25 fgfpover^ ^ Póde-se, pois, concluir 'í^ f%naes Porenthesis que envolve imi com o gqoecercedido do signal ^ '^^ Z t^rinomio- primeiro ^^ocados os termos desse quando- ^ ortantoque se entende ser + escript^' ^crmo do trinomio, também se passa a esc 3 0 PAR£,\T/ÍESES ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 81 E x e r c í c i o 4 - ( K + 2 + 1 ) = ?2- 8-(a;_3 + .2 = í 3. 2.Õ_(4_^^2) = ? 4 . 4 Í - ( 4 _ 5 ^ . ^ ^ R . 1 - 3 ^ R . 1 — X R . 1 9 + a : R . 9 3 — 9 t r i n o m i o s . - P r o - •ecer nn^ '" ^ '^ omo acima, chegaremos a estabe- trinomio'nTo'hamero cada um doTt'^ multiplicar pelo nu- ctos os tn termos, conservando os produ- Assim^ '^"^^ '^'Rnaes que os referidos termos. 3(X-2 + 4)=3^__ 1 . 2 . 3 . 4 . 3X2 + 3X4 = 3x- Exercicio 4 ( 3 a ; + 8 _ o ^ , „ ' ( 2 - 4 3 ; 4 . " , : r 2 x + 2 i'H-^x^ollZl '<• 2'-28»' ' ^ = ? n . 2 0 a ; - 4 0 ■6+12 . ' - • i < . 2 0 a ; — 4 0 2 G t > 4 ^ ® m e n o s s d e m a i s o u- ^ PPonhamos a seguinte i^ ^ção : , 15+3,5 + ,_^, " > 5 : " 5 0 a o s b i n ô m i o s , f a - 4 l remos Si se tratar da indicaçjp 70 — 4(3 + 8-6), faremos: 70 _ 4 (8 + 8 - o ) = 70 ( 4 X 3 + 1X 8 - 4 X 6 ) = = 70 - ( 1-2 -f- 32 - 24 ) = íO - 12 - 3.. + -4. E x e r c í c i o 1. l5 + 3(r,-2a: + 8) = ? 2. '24X-7C8-2K +2) = ? 3. 7 —4(2a:-8 + 3) = ? 4. 15a + 0(4-3 +2)a; = ? 5. 42a-7C3 —2 + l)a: = ? R . R . R . R . R . r>4 —6z 38 a - 70 27 — 8 a; a o i 28 a: 27.-Dividir um frínomro.- Do mesmo modo que se divide por um monomio um mio, assim também se divide um trinomio, etie- etuando a divisão de cada termo- E x e r c í c i o 1 . ( 49 —21 + 23)+- 7 = ? 2 . ( 50 K — 75 + 25 a;) -i- 5 = ? 3 . 18a; + 0 — 9a; 3 4 . 48 a + 24 a: - 60 a: _ , 12 X 5 , 15 X — 23 + 12 _ , 4 R. 7 - 3 + 4 R, 10a; —13 + 3a; R, 6a: + 2-3» R. 4 + 2-5 15 4R. 4?-.?+» 28.~Poly„omios:-Ohsemio o que se dàos binomios e os trinomios, "Se ' "smbem pelo mesmo mcthodo se pôde demons 3 2 PA R E N T H E S E S trar, que para os polynomios vigoram as inesinas regras, quando se trata de os sommar e subtraliir. e os multiplicar ou dividir por um monomio. Assim, neste exemplo : , 12 a:R. 2 — 3 X +1> T -jy t T S(26 - 391 +65+10 ,3^ y . Multiplicar e dividir por um binO'mio, u,„ trinomio, ou um polynomio-" tncontra-se ás vezes a multiplicação ou a divisãoe uma expressão algebrica por um binomio. um tnnom.o, ou um polynomio. O caso é. porém, e mais communs da arithmetica comnpnH^ ° ^ <íoestão só será desenvolvida cm™n,pe„d.„s systematicos de algebra. CAPITULO Equações 30. — Se eu escrever 3 + ? = l0, logo se entende que desejo '^ "i^ ente se ^ue, sommado com 3, dá 10, e m« - 7 « V l i l l i I C l ' responde: 1. Do mesmo modo, em 9_-? = 5, , „ , , n i o n u m e r oeomprehende- se que pergunto q ririe, tirado de 9, deixa o resto 5, ponde: 4. Igualmente, 4X. = .8 „„l,.a-Por a.»"» '"multiplicar 4 . para que ciê 28 ? Resposta. - sig.iifica:-qual o numero qu, para que liê 28 ? Resposta ■ > divididor^ «._^ 5%iglca:-qual o numero que,Pu'' 8, dá 5 ? Resposta; 40; diminuído , ?-~7=ll significa-.-qual o numero qu,® 7, dá 11 de resto ? Resposta : 1° • «4 e q u a ç õ e s se,, ^ + 5=14 significa: — qual o numero qu '^ 'esomniarmos5, dá 14? Resposta : 9; diviri- significa: — por que numero é? V V ° quociente 3 ? Resposta : 6;Dlicarin significa:- qual o numero que, ^uiP''"dopor3.dá27? Resposta : 9. vprm^^ ' ponto de interrogação, escresermos X, teremos A : - 7 = 1 1 :r_j_5= 14 3 + x= 10 9~X = 5 4 * = 28 X T = 5 "« = 3 3x = 27 . ^ ®^Pão, respectivamente : 3^ -1'deumre!! nos encontrarmos^9uação a resow essas, teremos uma a^lor numérico d^ ' a equação, é achar oejim rápido raciocini^ "^ "'^ ® dizemos, em virtude'temos resoiviri'"° Primeiro exemplo, Ca«„' 3 + W-"a sempre dois tnetn' ■■ 14 ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 3 5 p o r e x e m p l o , x j = segundo membro, Primeis quantidade desconh^ • * '^^>nbro, e 14 O úenom"^ ^ representa a'"^ -se incógnita- P r o b l e m a s 32. — Toda equação resulta de um problema^ ;^ a traducção, em linguagem algebrica, da relação existe entre os dados desse problema e a "^ (^ ógniia. Resolvida, acha-se o numero que satisfaz^ Iodas as condições do enunciado. Para - resolver um problema polo methodo ®'gebrico é preciso pôl-o cm equação, isto ' procurar as relações distinctas que existem en re a quantidades conhecidas e as desconhecidas. Em um problema ha quasi quantidades desconhecidas, mas a observaça uiiilto poucas ás verdadeiras incógm as. J"^ ndo se diz : « /\ differença entre ^' o sua somma 46 ; quaes são os n ^^sce que ha duas incógnitas, mas n ^depende da outra; achada incó- ' ' PO'"tuuto só ha, em '^g relações. '|u. Quando se consegue reduzir , entre 'oadas em um problema a uma ^ . tem-se '^^ untidades conhecidas e uma desço ^"'"u equação com uma ^ seguintes, unios encarar primeiro, nos pr .^ jj^ as, repre- Para resolver um e iudiÇ^"''®® U^ta-se por x a quantidade ^ g necessários, aessa letra e mais os nu EQUAÇÕES mesmas operações indicadas no problema. Faz-secomose, conhecida essa quantidade, se quizesse verificar a exactidão dos dados do problema.^ Muitas vezes convém representar por x n^ o mectamente — a quantidade que se procura,uma outra, de que aqueila depende. E' o caso, exemplo, dos problemas n.os i6, 17 e 19, 44 e 45. Só a pratica consegue dar aos discipulu® desejada habilidade para acharem e estabelecerei, y quantidades dadas e incógn.ta • será fn"-! methodico durante algum teiUP ' quandovezes se Possuir naturalmente, o que muip rob lemas V^m! " « t i efíeitoQ «o verdadeira gymnastica meUíuncção eerai^ '^^ '^ '^ resultado garantido pamdo raciocínio. Te n h d e P r o b l e m a ssegunda ha o qua^ í Que contêm lapis- 0^';P/sdasdC;gl'^ c/os que ha na primeir^'unia dos f\''^ "'^ idos, são 25. Quanto^ . Representemos o "^ *«5 ?primeira caixa • * oda primeira, sommtd dos que se conteetu na equação '""'^ dos ^ serâo 4 x x, ou 4 X . Se oS segunda, dão 25 , tefflos a = 25. X ' ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS ' ' Mas x-(-4x è o mesmo que 5 x , portanto 5.x = 25, donde .x = õ. Resp. Na primeira caixa estão 5 lapis ; na segunda, ^X5 ou 20. , •2- A somma de dois números é 9\- O maior^ 12 vezes o menor. Achar esses dois números- que '^ 'iresentemos por x o menor dos =/soninial i l 12 vezes o menor, será 12 X x ou 12 x ■ ^dois números deve ser representada por x+ -" o> temos a equação x + 12x = 91 ou 13x = 91 x = 7 . O signal . •. lê-se « donde »■ á 12X'^ o»Se o numero menor é 7 , o maior ser 8 4 . Realmente: 7 + 84 = 91; 84-1 ^ ^ ^ ^ 3. O maior de '^^not. j\ somma dos o o^is números ? M e n o r x M a i o r 4 X X 4 X . oblenia, A equação do pr" ^q, X - F 4 X - ^ E Q U A Ç Õ E S Resolvida esta equação, acharemos X (numero menor) =12. Portanto o numero maior x' (lê-se xis = 4X12 = 48. 4. Se dô quintuplo de certo numero juntar mos o triplo do mesmo numero, teremos lóS- Achar o numero. O numero x; seu quintuplo 5 x; seu triplo 3 X ■ A equação é 5X + 3X= 168 e a solução x = 2 \ . rprJ' n A e B, de modo que Areceba 1 vezes o que lecebe B. P^^tedeB ;c; parte de A 7x. A equação é * + '7X = 5600 O e a solução * = 7 0 0 0 , "i X 7$000 = 49$^ o B É 7IC00; a de A será ALGEBRA - PRIMEIROS PASSOS 3 9 fl. A, B, e C possuem, juntos, 96$00IXB possue o dobro deC. e A tem tanto quanto -e C reunidos. Quanto possue cada um/ P a r t e d e C * Parte de B 2 x Parte de A x + 2xou3x. Os tres reunidos Equação : X + 2* + ^^ ^j_2x-f3*-^96000■ 6 X = 9 6 0 0 0 ^^1 6000. Resp. Parte de C=16?000^ PJJo_^i6$000 == 2 X 16Í000 = 32$000; parte de A — = 48$000. Vertjteaçao: ,«COO + 32ÍOOO + «'»«-=«»»°' „;n 4-195$000. Depois7 . U m h o m e m p o s s u i ^ gastar certa quantia, pastou ? a^adruplo do que despendera. Qaa nrvssiiia, portanto, ao todo.Gastou X ; ficou com 4 x; P *~t~4x. A equação é ,4^=34195000; + r. = 4.95000 .. .V == 839000 . Resp. Gastou 839f000, 4 0 EQUAÇÕES ALGEBRA - PRIMEIROS PASSOS 41 A somma de tres numeras é 120. O gundo é 5 vezes o primeiro, e o terceiro é 9 vezes o primeiro. Quaes são os números P tr. segundo 5.r: terceiro 9x. Sonnna dostres 120, portanto x + 5x + 9x= 120 o u 1 5 x = 1 2 0 • x = 8 . e^sp. Um dos números é 8, outro 40 e outro 72 • minUn de tres números é 360. O se- sommn H " primei! o, e o terceiro é dos outros dois. Achar os números. Primeiro x Segundo \^x Terceiro x+UxoulSx x+14x+15X = 36000 30X = 360 J c = 1 2 . 12+168== 12; segundo i4xx==168; terceiro Verificação: 12 4-,«o ,*^ + 168+180 = 360. T^fCS hnformar "rn capHai'^ n r^, contribuir parã® dará o dobro do segundo, e o terceiro o dobro dodeve fornecer cada um para se formar de 525 dollars ? Parle do íegiiiuio x ' d o p r i m e i r o U x • do terceiro 2x2a: oi i 4 X pquaç.âo a; + 2x + 4x = 525ou 7X = 5® X ss 15 ■ ■ o V 75 = 150; terceiroResp. Segundo 75; primeiro 4 X 4X75 = 300. Verificação : 75 + 150 + 300 = 525 . U. o perímetro do triân gulo rectangulo A é de 240 Pollegadas, e sabe-se que emlodo triângulo rectangulo os de l''es lados são respectivamente, ^ 4, e 5 pQ^ iini mesmo numeto. Primento de cada lado- ,n sendo X um certoEm todo triângulo rectangu ' , portanto, ""mero, um lado é 3 x , outro 4X , e sendo o perinietro 240 pollegadas, 3;,4.4x + 5X-240, "luação que, resolvida, dá 12X = 240 •• ^ = 20. or, fiODOilegadas; segundo7?esp. Primeiro lado 3 X 20 pX 20 = 80 poli.; terceiro 5 x X 20 - Verificação ; 60 + 8 +100 = 42 EQUAÇÕES /2. O perímetro de um re- ctangulo é de 132 metros. A base é a s Altura B a s e 2 x base com^raHn*'^" <^0 rectangulo é o dobro da iguaes Porta t bases e duas altu• ''ortanto, o perímetro é 2 (A: + 2x) ®1"açâo do probirn*"^" ® de 132 metros, portanio, teremos ama se escrevermos : 2(^ + 2X) = 132 2X3;C=.132O" 6X=132 " • * == 22 2 V ^ ' b i r a H r ,><22 = 44 metros. '^ «anguio ^< r^ificaçao: 1 3 . A 22 metros ; ba^e - + 44) = 132.13. A exten-ín campo de fôrma 1 cerm o c o m p r i m e n t o d n e n v o l v e w nachar as duas dL^Te"" ° 4t Tnsoes. de sua largura. A L O E B R A — P R I M E I R O S PA S S O S 4 3 bargura x comprimento 3x perímetro 2(x + 3x) = 320 ou 2 X 4 X = 320 o u 8 x = 3 2 0 X = 4C, l^ esp. Largura 40 km. Comprimento 3X40=520 km. Verificação : 2 ( 40 + 120 ) = 2 X 160 = 320. 14, O pe- do qua- yateroABCD 'J' 220 polle-cf*- O lado BC é o dobro do lado AD^ ^AB é o triplo do mesmo; o ^9"'va/d./e á somina de BCcAB. Achar '^^ Prímento de cada lado. Udo ad " B C " A B " C D X 2 x 3 x 2x + 3x ou 5x BquaÇão X ou 11 ^ 4 " ^ I ■ í v 4 - 5 x =+ "+220+ 2 0 . = 220 . l^esp. Lado AD = 20poll^ = 3X20 ou 60 polis.; CD : BC-- .y 20ou 40 poli.:100 polis-= 5X20 0" ,100 = 220.Verlflc.ç,o: 20 + -» + ®+'^ .ompl"""' ^ 15. Os ângulos 3 x ^^^res ; quanto mede cada 4 4 E Q U A Ç Õ E S 4 5 13. Sendo sufple 7^, gnanto mede « anenlos 5 x e / Ângulos coniplenientares são aquelles cuja soninia é | 9 0 o , p o r t a n t o ' 3 :*: + 7 .V = 90 o u 1 0 a : = 9 0 x = 9 . T^csp. Os ângulos niedciu | ^ ^ g ^ 63» . 76. Qual o angulo que é o dobro do prop6° (complemento ? angulo!"'^ " ° complemento, o angulo é 2x; e conioconiplenientares sommados dão 90o , x + 2 x = 9 0 ' ou 3 :ic = 90 x = 3 0 . P^- Portanto, o angulo é de 2 X 30 = 60". p r o p r i a ^ ^ q u í n t a p l o d O Angulo 5x "^•"Plemento :c. * + 5 X == 90 6 ^ - 9 0 ALGEBRA — RR/.ME/ROS P.-\SSOS Ângulos suppiementares são aquelles que, sonuiiados, 180o. Portanto, 5a: + 7.\- = 180 o u 1 2 x = 1 8 0 . - . x = 1 5 . 1 5 X 1 ^ "Qs (jojg ângulos uiedein, pois, | ^ x 15= l®^ " Qual o angulo que é o quádruplo de ^^(ppleniento ? Supplemento x seu quádruplo 4 x. X 4" 4 X = 180 o u 5 x = 1 8 0 x = 3 6 . o angulo é, pois, 4 X 86 = 20. f/„j fazendeiro, nos $225 por um cavallo e uma v (cavallo quatro vezes o que dei pagou por um e pela outra Seja x = preço davacca. Portanto 4x = preÇodoca x + 4^ -?^5X-229 ivallo- 1 ç /?esp, $45 . preço da vacc»^^ Vallo. 4 5 . d o X45 4 6 4 7 EQUAÇÕES Verificação : Preço da vacca $45 . Preço do cavallo $45X4, ou $180;Custo de ambos $45+ $180, ou $225- 21. Um fazendeiro tem tres vezes tndis carneiros do que vaccas. Possue ao todo 1^8 cabeças de gado. Quantos, carneiros e quantas v a c c a s ? Numero de vaccas, x Numero de carneiros, 3X Total x + 3 a: Equação x + 3x=188 4:*: = 188 x = 4 7 . Resp. 47 vaccas; 47 X 3 = 141 carneiros. Verif.: 47+ 141 = ias. veze^^^n!^ "^ 396 arvores ha tres ras do nop Pecegueiros e cinco vezes mais maciei-cerejeiras. Quantos pecegueiros ha ? Pomar x + 5x + 3x Cerejeiras x Macieiras 5 x Pecegueiros 3x Equação «.+ 5, + 3,=.39e x~~AA ^ "^ = 396. numero das cerejeiras Hesp. 44 X 3 — 1 qo^ ^ 32 pecegueiros. gueiros 44 '"^cieiras 44 X 5 =220 ; pece-' • ^96 a rvo res . ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS í l E x e r c í c i o Resolver as seguintes equações, que poderi resultado de problemas diversos : b '7X = 3.5 2. 7i_a: = 72 3- 3a: + -2a; = ij0 11.25- 41 + 3;^ .=,^ .-, * + 7 a; = 240 b ■v + 3a; = 40 3: + 5X = 120 3*-2 a: = 18 ( l + S ) x = 4 r, o 12- 3:O-2„'• 'JK-2.r =1 3 3 0 2 a: .= 180 .0 =- 10 l + 3 . t _ 2 a ; = 2 0 • "ia; —2 a; —a: = 80 16. 7a:_5;c^ Cx = 4 Ip' ^ ® + 13 rc — (i X =3X + 4X = 1-2 3 7 . x = 5 x = 12 x = 12 x = M X -= õ x = 30 x = 10 .V = 20 X = 6 X = ")0 X = 6 ..ç = 180 x ^ 7 ■ x = 10 x = 10 1 x = -^- 116 X = 1 X " O 4 x — 1 9 . 2 0 . 2 1 . 2 2 . 2 3 . 2 4 . 2 5 . 2 6 . 2 7 . 2 8 . 2 9 . 3 0 . 3 1 . 3 2 . 3 3 . 34 . 7X 4 X + õ X = 106 7 ;c — X = 60 g .ç J-3.Í = 99 3x + Vx = 120 l lx-2x = 81 10 X 3 5 . 3 6 . = •26 .3a; + 4x = 102 x =i U X — O a . - t - ^ —ga; + (4x-»:) = 9" _(9a,_7x) = « ^ = r - Í C = 2x + =r = l° X = 82/3 12 11 9 . 1 2 9 : 9 . 3 : 5 : 4 = l . 0 = -3'/í = 8 6 15 6 Vi 3 '/3 ■ - Ae DenominadoresEliminação ae f 33.-Apparecem'emas, equações em que desappa- ünieros íraccionarios. b P . (^ jnadores, para ou el iminar, esses executasse jesolver as equações. nos problemas^^ciltnente, pelo methodo mdi ^^guintes. 4 8 EQUAÇÕES Segunda Série de Problemas 1! 4 , : 2 = 6 3 ■ x_2 ~ 63 é o mesmo que x . - c i e n t e ° P r o d u c t o d o d i v i s o r p e l o Q " ® ' facilmente os denom" Podemos fazer desapparecer por uma simples ® Portanto a fôrma fraccionaria. '""■""■sqwoLu. V 2 p e l a o u = 63 "'"'dplicação : = 63X2 * = 1 2 6 . ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 4 9 Qual O numero que, dividido pof d á \ b 7 N i i n i e r o x Equação ^..=3,6 J-.x=l6 4 4 naa equação resolve-se mentalireute, como ®Pag. 34, pois mentalmente se obtém o numero procurado, multiplicando 16 por 4; * = 1 6 X 4 = 6 4 . fracção^ord-t^ ^duz uma divisão. Em uniadenominadÍr"rS;iL"""'"'''°' ° ' Se em logar do numero de laranjas que possuo, possuísse o dobro, e as dividisse por tres Possoas, tocariam 12 a cada uma. Quantas ha'? Numero das laranjas -V Dobro 2 .V Equação "3^'= ^2 2 . x = 1 2 X 3 2 A- = 36 x = 1 8 . e^sp. 18 laranjas. mesma equação poderia ter sido dada Pois q u e eottiQ O 2 X X é o mesmo que 3 ' O CO mesmo que 2 _L^ é o mesmo que '^ ssim por dean te . X. 5 0 e q u a ç õ e s 3- A somma de ~ e de certo numero , 3 5e 90. Qual é esse numero ? N u m e r o v • ^ j I I ^•"' ao numero -- a: ; ' - jo numero o õ Equação ^ ^ _gO (-3- + -5 );r = 90 .("ê-+-i5)^ = 90 - f g - ^ = 9 0 o u = 9 0 i O 8^ = 90X 15 8J:= 1350 ^=168 3/.! ® numero é 168 4 j ~ ) dinfieto ^ metade e mais '^ h^Quanto possuiá Tpossuía ? g a s t o u . „ X , X10^ ou -2-+To', o u X - ("2" +10^ ' ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS Equação : x — (-- x + -j'q * ) = 24. 51 o u 1 ^ X- 2 ■ X — 1 0 1 — - 1 "2 _ 1 )x 10 / 1 0 5 1 V 1o To " " TO X 7 2 x . X = 1 : 2 4 o u - y 2 . v = 1 2 0 .-. x = 60. Rcsp- 60 cents. g '5- Depois de vender Vs nrlmitiva- "mTT" ■'= "" ""'"ZS/eiro com 10Cor P^ ^^ uia, achou-se um fuz'"'''■os. Quantos possuía a princip'O e^nd, Possu iá X ;. , l _ v . c o m p r o u V ^ A " ' ^ ^ X X "^ais-^ x, ficou com X- 3 '^ "^ação:^ ,, 1 ,1 1 x-70 ou X-T"^ 2y x - r 2 = 70, XL = 70 ( l-^+ 2 ) ( 6 2 +')"•'">■TT—e^ 0^ 5 2 EQUAÇÕES 7 1 X-g-x = 70 ou -^ = 70, 7 X == 420 . •. X = 60 Resp. 60 carneiros. E x e r c í c i o Resolvera equação ® -j- = 15 . Devemos observar que a: é o mesmo que 1 x e que " L é o mesmo que portanto, póde-se escrever. 1 ® + 4"" = ( l + -|-» = lõ ou ^ = 15 3 X = 30 , "= = 10. ' Vérlflcação: 10 + ^ 2. Resolver x ~ " r> ® = 9 . 3 o u = 9 3x = 30 , Verificação: la_ ^2 4 = 1 2 - 3 = 9 . ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS 3- Resolver 2 x -j- (-H ■O—' Resolver 2 X = 2u , ^"ificação: iícso/ver. 5 X = 50 , x = 1 0 . / ? e s p . (-r+r)- = ^®' (4. + A-)x = 33, ®- X = 38 , » 3 X = U 1 . x = 4 8 . / ? e s P - tô , 04 -t- 1-2 = 86. 2 4 X , 3x BX_50. T + 4 9 /I 3. - i- V(^-3-+ .4 9 / / 18 2T i? V( |b+86- 83/ 25« = 50 3 6 2õx = Í800 . X = T 2 . = 50 = 50 6 4 6 . Resolver : - = 2 0 7. -^ = 14 8. ^ = 24 9 ' v : 7 0 10. ^ a- = 36 1 1 . = 12. 2:c-|-=ao 13. 2x~JL=^iÇi 1 4 . + 15. 16. ^ , 1 *õ~ i- -J- X = 20 J- 3- ' ® 17. 4 +A.d ^ G e q u a ç õ e s X - - - I C O a: = 4i> 1 8 . 1 .1. 4 X = 20;t ® -1- ,9. f + ^-as a; = 27 3/7 20. a: —4==® G o x = & 0 X = 4 5 X = I G x = 2 0 X = 2 S ' x = 4 2 1 . . 4 - 4 X = w CO22. a;+4 + 4 = 23. a; + 4+ y- = 35 24. .+ ^_í4 = 32^ G i > 25. 3 X — -jy X = 67 X X X X X X == X = = 32 = 2i = 96 = 20 = 36 = 30 30 27 2 6 . , r _ ; 1 x2 4 ■ 3 X ^ ^ X' 8 3 0 X = 2 0 2 / 3 2 7 = 1 8 . X• 2 + r > 1 0 » = 3 0 2 8 . a ; _ 4 - = U x a ' 5 »= = t'0 29. 4X-5Í;4-7® = 76 -V 2 ^ 8 224 = 30 = l6 = 32 '^'onsposição ceis, que algumas extremamente ía-encontrado equacLr^ i"^ mentalmente, só temoSdeltas se acham oq t primeiro membro dentes de x. ecnhecidos, ou indepen- A L G E B R A — P R I M E I R O S PA S S O S 56 Vamos agora occupar-nos de algumas uraauto mais complexas, em que se encontram, querno primeiro, quer no segundo membro, termos em * e termos conhecidos. l^ ada a equação simplicissima x + 4=12, 'tde mentalmente se resolve, percebe-se claramente d^e essa expressão traduz uma somma : x Q 4as parcellas; 12 é a. soinma, ou todo. Ora, na somma ® Parcella como etn em 7 - 1 - 6 = 1 3 : 7 é 13 — 6, 6 é 13 — 7: 10 4-2=12 I '2=12 — ^®' 254-9 = 34 Em geral, qualquer pa nuíro parcella. somma meros ^ E Q U A Ç Õ E S Assim, na som ma x + 4 = 12 uma das parcellas será X = V 2 — A . Se agora compararmos a equação expressão do valor de x, veremos que do pr' membro da equação desapareceu o ternioíoi apparecer no segundo membro. Mas no pr' membro era uma quantidade a sommar; gundo appareceu como quantidade a subifO Seja agora a equação X — 4 = 1 6 . Isto é a expressão de uma siibtracção: * ® ° mmuendo, 4 o subtrairei.do, 16 o resto, excess"OU differença. <^ra, em o minuendo 15 e m 1 5 - 4 = 11 - o o mesmo que 11 - 4; ^ = 14 99 A> e o mesmo que 14 + 8. tm geral, nmais o subtrahendT'^ '' ^ sempre igual aO ALOEBRA — PR/ME/KÜS PASSOS Assim, na subtracção 57 X — 4= 16, ° "I'liueiido * vale 16 + 4 e podemos e s c r e v e r x = l6 + 4. esta ^ compararmos a equação dada comdo valor de x, veremos que do 4, Q 'uembro da equação desappareceu o termo pri^ f apparecer no segundo membro. Mas nolio s "lembro era uma quantidade a subfrahir,êándo appareceu como quantidade a sommar. Podetn^^ exemplos que acabamos de examinar,outro ® r,uc:-para passar de um pa« a r , ' " " ' " " e s c r e -Vel-rs P^gal-o no membro onde se acha, outro, porém com o signavos de „e„os, e menos em ves Vei i n'«ís le ^ 4 t e r m o d e u m q u e s e i-espeitado esse devemos transpor. Dada ama% ün ^ ''^ I^sposições necessariaSs P^ gutro ^^ypiiQ '^ o^mbro os termos em'^^ dependentes. 5 8 6 9 EQUAÇÕES E x e r c í c i o 1. Resolver a equação x + 16 = 36. Transpondo, x =36 — 16 X = 1 9 . 2. Resolver x —82 = 70. Transpondo, x = 70 + 82 X = 1 0 2 .3. Resolver 3x —18 = 2.x Transpondo — 18 e 2 x , 8 .v — 2 .v = JS x = 1 8 .4. Resolver 3 x + iio = õo + 2 j.. Transpondo 30 e 2 x , 3 x — 2 .v = 60 — 30 X = 2 0 .5- Resolver 3 x — 40 = 10 + 2 x. Transpondo — 40 e 2 a; , 3 x — 2 X — 10 + W X = 6 0 . Resolver; 6. X 7 . X - 8. 2 X 9 . B x 10. 2 X 11. 2x 12 . 8x 1 3 . 3 x 14. 7 X15 . 4x 16 . 3x 5 0 20 = 70 = 50 + a: = B0 + 2x -20 = a: + 6 = 12 6®+ 40 - 1 5 = 1 5 6x + 19 — 4 = 40 + 30 50 + 2x a: = 20 17. 7 X - 20 = 6 X + 70 X = 90 18. 2 .x -(- 80 = 80 + X X =" 60 19. 3 X — 10 = 10 -i- 2 X « = 60 20. 7x — 30 = 6x — 10 X = 20 21. 2x + 6 —x = 12 —X = 3 22. 8 X + 15 = 3 X + 56 » = 8 23. 3X_]5 + 4X = 26- - X = 10 24. 9 X - 1 - 2x = 6 X + 20 x = 19 25. 8x — 8 = 40 + áx.— 1 == =■ 11 26. 5 X + 50 = 4 X + 53 X = 20 27. 18 X - 11 = 7 X + 70 3 X X == X X X = X = x = X = X = X = X == X = Al-GEDRA — PRIMEIROS PASSOS A Ba lança 35.—As operações relativas á transposição termos e á eliminação de denominadores serão ainda mais facilmente compreliendidas por meio balança.Toda equação pôde ser, com muita propne comparada a uma balança em equilibrio. Supponhamos col e m u m d o s ■^"atos da balança tres®quelles objectos a ® convencionámos o nome de x. Esses Jbjectos pesam, ao5 kg. Se collo- r^mos no outro pratopeso de 5 kg., a ^ alança ficará em equi-^ rio. Esse equilibrio é•^aduzido pela equação 3 -v = 5 • S e t o m a r m o s S^ora uin peso de 2§• e o puzermos ao ^^0 dos 3 X, que ^Uccederá ? Haverá e^rçosamente um des- EQUAÇÕES equilíbrio, pendendo a balança para a esquerda, onde estarão, não mais 3,\-, e sim 3x + ^ , Para que a balança volte ao equilíbrio, qu® será preciso ? Bastará que ao lado do peso de 5 kg. coHoquemos outro de 2 kg. O equilibria será então traduzido pela equação " 3X + 2 = 5 + 2. O equilíbrio, pois, continiia, quando a ambosos pratos da balança se juntam pesos igua®s. Assim, não se altera a equação quando a afflbosos seus membros se juntam quantidades iguaes. . '^«"^Prehender também que toda quaU"made que fôr retirada de um dos pratos determinaráum desequilíbrio, pendendo a balança para o lado opposto, e que esse desequilíbrio se corrigirá desdeo ^ retire do outro prato a mesma quantidade, üenerahzando, portanto, póde-se estabelecer sommnf"^ de uma fracção é subtrahirl ^ "antidade- de andms é licitose Zn ^ '^ontidade, sem cjae a equação -Se-Dada, pois, a equação podemos escrever 3X + 8 = 24 + 8 3^-15 = 24-,53 * - 23 == 24 23 etc . A L O E D R . A — P R I M E I R O S PA S S O S Consideremos agora a equação ' 4 . V + 3 0 = 5 0 . No primeiro membro existe o termo indepen- I 30. Se subtrabirmos 30 a esse primeiro . '^ '^ bro, dcsappareccrá tal termo ; mas para que [ ossamos subtrahir 30 do primeiro membro d pre- subtrahir o mesmo do segundo membro. •^ ortanto : 4x4-30 - 30 = 50 — 30 ou 4x = 50 —30. J Como se vê, o que se fez foi, realmente, a"aposição do termo 30. Dali vem : 4 x = 2 0 .v = 5. a equação 5.v-f 12=^4 X-pis. Subtraiamos de ambos os membros 5 x = 4 x - t - i 8 - ' "^^ ''■aianios de ambos os membros 4X, 5x-4x=-I8-'2- _ tie 3e vê, houve transpos>ça Dahi virá ainda : •• ( a E Q U A Ç Õ E S A transposição dos termos, com a troca dos respectivos signaes, pode, pois, ser explicada pCmeio da somma ou da subtracção de quantida adequadas, a ambos os membros da equação da a. . ? 7 — i i m d o SSupponhamos agora que em umpratos da balança está collocado um embru. r n n f ó i - n + é u 6 ua uaiança está collocado um embrulho, Qcontém tres objectos x, ou 3x, cujo peso d ®^ kg. o equilíbrio da balança traduz-se P® equação 3 .r = 5. Se ao lado daquelle embrulho collocarmosutro. Igual, que contém também 3 X, com o mesni° "obrado o peso que suppor» ° equilíbrio ® o balança soffrerá mu dapdyZ" " ^ luilil'rio ? Nau.ralme»'= direita Se uui'^ em o peso collocado no praibn>a!or será" se tornar Ires ver"o da diret T"" 'd-s maior se torne OenTrãV ""de deante.""■eur pcíÔ l"'"- "''dddda que -podrarosdoia equação, p "bolero ambos os íernios " podemos tamhpr, Que se podemos O fi d i v i d i r .pois, a equação 3x = .. ALGEBRA — PRIMEIROS PASSOS poderemos escrever, multiplicando ambos os mem bros por 4 : 12.v = 20 ; por 6 :• 1 8 x = 3 0 ; por 15; 45 .V = 75. 6 3 ® ^ ssim por deante. , 39.~k multiplicação de ambos os membros 7 equação serve para eliminar denominadores.Assim, seja a equação 3 X 1 2 . Se multiplicarmos ambos os ®^ Pação por 7, teremos: 1° membro membros da yX-7. é o mesmo que 3 x : 2 ° m e m b r o „ 1 2 X 7 - Portanto a equação:ão virá 3;C==12X7... 3X = 84 , V = 2 8 . 6 4 E Q U A Ç Õ E S A L G E B R A — P R I M E I R O S PA S S O S Seja agora a equação 2^ + A = 7 3 ^ 2 linador. •i\ Quando houver mais de um deiiorn.- escolhe-se um, múltiplo de todos, sendoo menor múltiplo commum. O m. m. c. dos den minadores é, no caso actual, 6. Multipliq"e'"° ambos os membros por 6. Virá : 1° membro ("í + -f')x6 = ->^g?í + ^^ = 4x + 3*; 2° membro Equação : 7 X 6 . 4x-f3x = 7x6, T X = : 4 2 ■ • • X = 6 . r eg ram. c dai ® a seguinte : Procurar P""- cada um / dividir esse m-'multiplicar pelo ''f '^ '^"'!"'madores, e o luocieasempre que q,, ,/^ Pcctivo numerador. ObsefVv^esse S„,° <l.„„,„i„ador é co»"escnpto o denominador 1 . Seja a equação 3 X 2 X X . . "7 + 9~" 18 ^ 171. rn. c. dos denominadores é 126: ( i26 -^ -7 )X3x dá 54x , ( 1 2 6 - - 9 ) X 2 x d á 2 8 x , ( 1 2 6 - f - 1 8 ) X J í d á 7 x . ^ equação pôde, pois, ser escripta : 54 X-f 28 X — 7 X = 1890 , 7 5 x = 1 8 9 0 x = 2 5 5 ■ ResoW E x e r c í c i o -^-+6=^ + S- eliminando os denominadores ( m. m. c. - 6) Ifati'spondo Ou 3j. + 36 = 2a' + ^l 3«-2a; = tó-33 : 1 2 . Veri f icação ; - t" 12 + 8 . 6 + 6^ = 4 + 8 . 12 ■ freqüentemente l«rmos'„ Os alumnos esq,"®""^ erro'°s conhecidos, e isto e causa o de nuu l t i p " " " ' 6<J 2- Resolver E l i m i transpondo o u donde E Q U A Ç Õ E S Eliminados os denominadores 12x^. ix-l 3x -i - 1-20; l'-2 a: — 4 a: — 3 x = 120 õ a- = 120 , ALOEERA — PRIMEIROS PASSOS X = 2 1 . V<^riUcaçao: 24 O = j .1.0+10;-^°' 2 i . R e s o l v e r t -2~ +-KX— o E'iniinando os denominadores t^uspondó ""í^ + tai-oo^ 30; o u ® + 4 a : = b o - ) - G O d o n d e O x = 9 o ^ X = 10. ''""'"cr 2a:_ll^ Eliminando os denom" ^ denominadores 2 0 0 a : _ i j .t r a n s p o n d o « a = , 1 7 ^ .^ + toe a:. O U d o n d e ^ ® = 17400 , a : = 200 . / Resolver: 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . to. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 1 9 . - i " 3 ~ 20. 21. o -i 30 -30--^ - i 3 - H x _ :3 X , õ "5^ -r — 3 - 3 X 7 X ^ I - - . r ■3 f 1 = 4 . Al. = 10. X 111 = 37. a : 1 0 0 .ILxA?- =. -1. :3 a;■ "4 t í <3 a; — õ " 1 6 h x 6 =Í^ + Í2-4 r X i r ú O a ; 1 0 i c ^ 2 0 1 = 3 a; = S a: - 14 a; = 30 x = 3 0 X = 4 x = 3 X = 10 x = õ X = 1" a; = 30 a: = 30 a, = 120 4- + l + -r-^Ti" Resolver ?-íí _ i = a; — 13- 3 '^'"'iiiaiido os dc-iicniinadores 2 a;-3 = 30.--an- ^ ~ effectnasseiiios agora .a transposição ^ . , „ - . 3 - S 9 . . . . y•2 a: - 8 a: =.5 ■ e s Mas nem n e m E Q U A Ç Õ Í : S ■1 X — 3 X 3 — :í!i têm significação, para nós, que por ora não podemos ""produ»' maior subtraindo de um menor. Sempre qne a transposição vi 5 quees e resiiitado, devemos passar para o segundo membro os je possuem x, e deixar 110 primeiro os termos conhecidos, tendo o ^ b^ros,escrever em primeiro togar, tanto 110 primeiro como no see""""os termos que têm signai + (ou sem signal, o que é a mesma 39 - 3 . li K — 3 X , Dizer, porém, ê o mesmo que direr = 3 - . a6 = a: transpondo K — a s . 22. Resolver —Ba: I B = 1 . E'immando o denominador = 13, « x . d o n d e X = 2 . a l g e b r a — I ' R I l E / R O S PA S S O S 23- Resolver 33 — Eliminando o denominador . 3 - 2 1 — 1 X ^ 7 2 ; 'mnspondo O u B 2 4 — 7 2 4 a : o u doiidi 6 9 2 5 2 4 X 4 x = 2 5 2
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