Aula 3 FAC e FACP

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ECONOMETRIA DE 
SÉRIES TEMPORAIS
AULA 3 – AS FUNÇÕES DE AUTOCORRELAÇÃO 
(FAC) E AUTOCORRELAÇÃO PARCIAL (FACP)
Prof, Ricardo Chaves Lima
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A Função de Autocorrelação (FAC)
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• A covariância entre yt e yt+k representa o grau de 
relação entre essas variáveis;
• Os valores da covariância, entretanto, são dados em 
termos absolutos, o que dificulta a sua análise;
• Uma medida alternativa do grau de relação entre yt e 
yt+k é a função de autocorrelação, a qual apresenta a 
vantagem de ser um valor que varia, em módulo, entre 
0 e 1;
• Valores próximos a 0 indicam fraca autocorrelação, 
enquanto valores próximos a 1 indicam forte 
autocorrelação;
• Sinais positivos ou negativos indicam apenas se 
autocorrelação direta e inversa, respectivamente;
A Função de Autocorrelação (FAC)
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• A função de autocorrelação, para a defasagem k, é 
definida da seguinte forma:
• Para um processo estacionário, a variância no tempo t
é igual à variância no tempo t+k, de forma que:
A Função de Autocorrelação (FAC)
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• Uma estimativa da FAC é a função de autocorrelação 
amostral, a qual é calculada como segue:
• O desvio padrão da função de autocorrelação 
corresponde à seguinte aproximação (Bartlett, 1946):
O Desvio Padrão da FAC
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• Para k = 1 o somatório deveria ser de j = 1 a j = 0, o 
que não faz sentido. Assim, o valor de é substituído 
por 0 (Pankratz, 1983). Ou seja, para k = 1,o desvio 
padrão de FAC é igual a N-1/2. Para k > 1 aplica-se o 
somatório;
• O intervalo de confiança para o nível de significância 
de 95% é aproximadamente ± 1,96*S( );
O Desvio Padrão da FAC
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• Assim, se a FAC estiver dentro do intervalo de confiança, 
não se pode afirmar que essa estimativa da função de 
autocorrelação seja estatisticamente diferente de zero;
Note: Espera-se que em grandes amostras, se yt for ruído branco, a 
Função de Auto correlação ( ) tenha desvio padrão S( ) dado por 
1/(T)0,5, onde T é o tamanho da amostra. Ou seja, o intervalo de confiança 
da FAC será:
FAC(IC) = ± 1,96* 1/(T)0,5
Por default, o programa R calcular o intervalo de confiança da FAC apenas 
para grandes amostras. 
FAC e FACP - R
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# AR(1) simulation using arima.sim
# y[t] = 10 + 0.5*y[t-1] + e[t]
arsim <- arima.sim(list(order = c(1,0,0), ar = 0.5), n = 100) + 10
arsim
ts.plot(arsim)
# autocorrelation function - acf
acf(arsim, lag.max=25)
# partial autocorrelation function - pacf
pacf(arsim, lag.max = 25)
FAC e FACP - R
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• Cada autocorrelação é estatisticamente significante 
individualmente se seu valor for maior do que duas vezes o 
respectivo desvio padrão;
• O teste de significância conjunta mostra todos os valores 
inferiores a 0,05 e, portanto, rejeita a hipótese nula de que as 
variáveis são independentes no tempo;
• O test Q é um teste de significância conjunta das 
autocorrelações. Por exemplo, se o teste Q para k = 10 tiver 
valor menor que 0,05, significa que as autocorrelações de 1 a 
10 são, conjuntamente significantes estatisticamente;
• A hipótese H1, portanto, conclui que existe uma correlação 
temporal entre as variáveis defasadas do modelo.
Teste Significância Estatística para Cada FAC 
Teste de Ljung-Box (Portmanteau test)
1
0
• Para testar a significância conjunta de , utiliza-se 
o teste estatístico Ljung-Box, o qual é definido pela 
equação abaixo (Box e Pierce, 1970; Ljung e Box, 
1978);
• A estatística Q tem distribuição aproximadamente 
qui-quadrado com k graus de liberdade;
• A hipótese nula é que a série foi gerada por um 
processo ruído branco; isto é, consiste de variáveis 
aleatórias independentemente distribuídas [E(yt,yt-
1)=0];
Teste de Ljung-Box (Portmanteau test)
1
1
• Apesar do valor de K ser arbitrário, estudos empíricos 
geralmente utilizam K entre 15 e 20 (exemplo: acf,prf)
Lags (k) ρk Q Significância
1 0,99631 55,645 0,0000
2 0,98795 111,433 0,0000
3 0,97527 166,886 0,0000
4 0,95973 221,681 0,0000
5 0,94144 275,506 0,0000
6 0,92044 328,051 0,0000
7 0,89595 378,919 0,0000
8 0,86745 427,663 0,0000
9 0,83555 473,914 0,0000
10 0,79981 517,280 0,0000
… … … …
20 0,32622 765,172 0,0000
A Função de Autocorrelação Parcial - FACP
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• Considere o Processo AR(1):
yt =ϕ0 + ϕ1yt-1 + εt
• yt e yt-2 são correlacionados, mesmo que yt-2 não 
apareça na equação, da seguinte forma:
yt =ϕ0 + ϕ1yt-1 + εt
yt =ϕ0 + ϕ1(ϕ0 + ϕ1yt-2 + εt-1) + εt, 
yt =ϕ0 + ϕ1ϕ0 + ϕ1
2yt-2 + ϕ1εt-1 + εt, 
• Portanto, a correlação entre yt e yt-2 em um 
processo AR(1) é igual a correlação entre yt e yt-1
ao quadrado ( ρ21);
A Função de Autocorrelação Parcial - FACP
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• Esse tipo de correlação indireta está presente em 
qualquer processo autorregressivo;
• Assim, a Função de Autocorrelação Parcial (FACP) 
entre yt e yt-s elimina os efeitos intermediários entre 
yt e yt-s+1;
• Portanto, em um processo AR(1), a FACP entre yt e 
yt-2 é zero;
• Uma maneira de calcular as FACPs é modelos 
autoregressivos em desvio (subtraindo a média), 
aumentando sucessivamente as defasagens; 
A Função de Autocorrelação Parcial - FACP
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yt = ϕ11yt-1 + et
yt = ϕ21yt-1 + ϕ22yt-2 + et
yt = ϕ31yt-1 + ϕ32yt-2 + ϕ33yt-3 + et
...
• Onde ϕ11, ϕ22, ϕ33, são, respectivamente, as FACP 
para s = 1, 2, 3;
• Observe que ϕ11 é, ao mesmo tempo, FAC e FACP;
• ϕ22 é a FACP tirando os efeitos intermediários de yt-
1;
A Função de Autocorrelação Parcial - FACP
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• Uma forma mais simples de calcular as FACPs, é 
através das equações de Yule-Walker (Box-
Jenkins-Reinsel, 1994). ; 
• Para s =1, ϕss é igual a:
ϕ11 = ρ1
• Para s = 2 
ϕ22 = (ρ2 – ρ
2
1)/(1 – ρ
2
1)
A Função de Autocorrelação Parcial - FACP
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e
O Intervalo de confiança para a FACP é igual a ± 1,96xN-0,5
Propriedade da FAC e da FACP
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7Enders (2004)