Estudo Dirigido Texto 1

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ECONOMETRIA DE SÉRIES TEMPORAIS 
Estudo dirigido 01 - A FAC e a FACP 
 
Simulação de uma Série Temporal 
 Considere uma série temporal do tipo AR(1), ou seja, Autorregressiva de ordem 1 do tipo: 
yt = a0 + a1yt-1 + et 
onde a0 e a1 são os parâmetros do modelo, e et termo de erro. A forma mais simples de simular esse 
modelo no R é usando o comando arima.sim. O comando é usado da seguinte forma: 
> arima.sim(list(order = c(p,d,q), ar = a1), n = n) + a0 
Onde: 
 - p representa o número de termos autoregressivos, no caso 1 (yt-1). Se o modelo tivesse yt-1 e yt-2, p 
seria igual a 2; 
 - d é o número de diferenciações do modelo. No nosso caso, como assumimos dados estacionários, 
não necessitamos de nenhuma diferenciação e, portanto, d = 0; 
 - q é o número de termos de média móvel (et-1, et-2, ... et-k). Veremos isso nas próximas aulas, mas 
como o nosso modelo AR(1) não tem termo de média móvel, assumimos q = 0; 
 - ar = valor do coeficiente de yt-1, n é o número de observações a serem simuladas e a0 o intercepto 
do modelo. Como exemplo, simularemos 100 0bservações para o seguinte modelo: 
yt = 10 + 0.5yt-1 + et 
Assim, temos que a0 = 10, a1 = 0.5, p = 1, d = 0 e q = 0. 
> arima.sim(list(order = c(1,0,0), ar = 0.5), n = 10) + 10 
 Podemos também criar um “espaço” que vou chamar de arsim para colocar os resultados da 
simulação. Assim, temos: 
> arsim <- arima.sim(list(order = c(1,0,0), ar = 0.5), n = 10) + 10 
O comando arima.sim exige o pacote urca. Se esse pacote não estiver instalado, basta escrever antes 
da linha do comando: 
> libray(urca) 
> arsim <- arima.sim(list(order = c(1,0,0), ar = 0.5), n = 10) + 10 
Agora rode (run) a linha 
> arsim 
Para arredondar o resultado para 2 casas decimais usa-se 
> round(arsim, digits = 2) 
 
E o programa vai dar o resultado dos dados simulados: 
 [1] 10.36 10.81 9.37 10.43 8.87 10.36 10.59 7.87 9.37 9.14 6.88 9.61 
 [13] 8.87 7.57 8.63 8.83 11.10 10.95 11.16 10.28 9.96 10.63 10.76 10.95 
 [25] 9.72 8.42 8.63 9.01 9.71 9.00 9.11 12.30 11.83 11.03 12.09 10.32 
 [37] 10.20 11.04 10.82 10.81 9.11 10.48 11.34 9.39 8.93 9.22 9.16 10.50 
 [49] 11.41 8.46 8.41 10.69 10.44 11.60 10.93 10.06 10.88 10.91 10.12 9.03 
 [61] 7.27 9.40 10.14 9.83 10.76 9.90 10.41 11.81 12.61 12.29 11.16 10.81 
 [73] 10.78 11.60 11.08 12.05 11.21 10.23 10.26 11.51 11.17 10.27 9.17 10.11 
 [85] 9.38 8.08 8.32 7.86 9.09 9.09 9.20 9.37 9.98 9.97 9.47 10.71 
 [97] 10.70 10.81 9.62 8.08 
 
Assim, pode-se dizer que: 
 
 
 
 
 
 
t Yt Yt-1 Yt-2 Yt-3 Yt-4 
1 10.36 - - - - 
2 10.81 10.36 - - - 
3 9.37 10.81 10.36 - - 
4 10.43 9.37 10.81 10.36 - 
5 8.87 10.43 9.37 10.81 10.36 
6 10.36 8.87 10.43 9.37 10.81 
7 10.59 10.36 8.87 10.43 9.37 
8 7.87 10.59 10.36 8.87 10.43 
9 9.37 7.87 10.59 10.36 8.87 
10 9.14 9.37 7.87 10.59 10.36 
... ... .... ... ... ... 
100 8.08 9.62 10.81 10.70 10.71 
 
 
Autocovariância 
A relação entre duas variáveis pode ser dada pela covariância. Em séries temporais 
univariadas, a autocovariância mostra a relação entre uma variável e sua defasada (yt e yt-1, por 
exemplo). A autocovariância entre yt e yt-k pode ser calculada por: 
 
𝐶𝑜𝑣(𝑦𝑡 , 𝑦𝑡−𝑘) = E[(𝑦𝑡 − 𝜇)( 𝑦𝑡−𝑘 − 𝜇)], 
 
sendo a Covariância amostral entre yt e , yt-k igual a: 
 
𝐶𝑜𝑣(𝑦𝑡 , 𝑦𝑡−𝑘) = 
1
𝑛
∑ (𝑦𝑡 − 𝜇)
𝑇
𝑡=𝑘+1
(𝑦𝑡−𝑘 − 𝜇) 
 
 
Onde 𝜇 é a média do processo estocástico. Para calcular a autocovariância, usamos o comando: 
 
> autocov <- acf(arsim, lag.max=25, type="covariance") 
> autocov 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 
 1.38121 0.73936 0.38777 0.37515 0.17161 0.26766 0.06033 -0.25177 
 8 9 10 11 12 13 14 15 
-0.29198 -0.27637 -0.08073 -0.01791 -0.16713 -0.12230 0.02132 0.10138 
 16 17 18 19 20 21 22 23 
 0.11580 0.01664 -0.23308 -0.17577 -0.00458 -0.10564 -0.05702 -0.15154 
 24 25 
-0.25589 -0.05806 
 
Função de Autocorrelação (FAC) 
Observe que, k = 0 (yt e yt-0), a covariância é igual a variância, no caso é 1.381. A covariância entre 
(yt e yt-1) é igual a 0.73936, a covariância entre (yt e yt-2) é igual 0.387 e assim sucessivamente. O 
problema é que a covariância não é normalizada; ou seja, não tem um valor entre 0 e 1. Assim, o 
valor da covariância não permite que se conclua que a relação entre as variáveis é forte ou fraca. 
Portanto, calculamos a autocorrelção (𝜌𝑘), que é a covariância dividida pelos desvios padrões de 
cada uma das variáveis relacionadas (𝜎𝑦𝑡 e 𝜎𝑦𝑡−𝑘) calculado como segue: 
 
𝜌𝑘 = 
𝐶𝑜𝑣(𝑦𝑡 , 𝑦𝑡−𝑘 )
𝜎𝑦𝑡𝜎𝑦𝑡−𝑘
 
 
No R, a autocorrelação é calculada usando-se o seguinte comando: 
 
> autocor <- acf(arsim, lag.max=25, type="correlation") 
> autocor 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 1.000 0.535 0.281 0.272 0.124 0.194 0.044 -0.182 -0.211 -0.200 -0.058 
 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 
-0.013 -0.121 -0.089 0.015 0.073 0.084 0.012 -0.169 -0.127 -0.003 -0.076 
 22 23 24 25 
-0.041 -0.110 -0.185 -0.042 
 
A autocorrelaçao está, em módulo, sempre no intervalo entre 0 e 1; sendo fraca próximo a zero e 
forte próximo a um. Quando k = 0, a autocorrelação é de yt com ele mesmo. Assim, a 
autocorrelação é igual a 1. As demais autocorrelações estarão sempre ente zero e um em módulo. 
 
 Para realizar o teste de hipótese para as funções de autocorrelação, calcula-se o intervalo 
de confiança de 𝜌𝑘 que é aproximadamente ± 1,96(S𝜌𝑘), onde S𝜌𝑘 é o desvio padrão da função de 
autocorrelaçao (𝜌𝑘) igual a 1/√𝑇. No caso do presente exemplo, com 100 observações, o desvio 
padrão é 1/√100 = 0.1 e o intervalo de confiança igual a ± 1,96(0.1) = ± 0.196. Assim, qualquer 
valor de 𝜌𝑘 dentro do intervalo de confiança é considerado não significante estatisticamente ao 
nível de 5%. De outra forma, valores fora do intervalo de confiança podem ser considerados 
estatisticamente significantes. Observe a figura abaixo: 
 
 A figura acima mostra a função de autocorrelação (Autocorrelation Function – ACF) para a 
série simulada yt. Observe que apenas 𝜌0, 𝜌1, 𝜌2, 𝜌3 e 𝜌8 estão fora do intervalo de confiança (linha 
pontilhada zul) e, portanto, são estatisticamente significantes. 
 Em síntese, a função de autocorrelação informa se a relação entre uma variável e sua 
defasada é forte ou fraca. No caso em questão, apenas 𝜌1 (correlação entre yt e yt-1) supera a marca 
de 0.5 (correlação mediana), sendo as demais consideradas correlação fraca ou insignificante 
estatisticamente. 
 
Função de Autocorrelação Parcial (FACP) 
 
Considere o Processo AR(1), do tipo: 
yt =ϕ0 + ϕ1yt-1 + εt 
A correlação entre yt e yt-1 é dada por ϕ1. No entanto, yt e yt-2 são correlacionados indiretamente, 
mesmo que yt-2 não apareça na equação, da seguinte forma: 
yt =ϕ0 + ϕ1yt-1 + εt 
yt =ϕ0 + ϕ1(ϕ0 + ϕ1yt-2 + εt-1) + εt, 
yt =ϕ0 + ϕ1ϕ0 + ϕ12yt-2 + ϕ1εt-1 + εt, 
 
Assim, a correlação entre yt e yt-2 em um processo AR(1) é igual a correlação entre yt e yt-1 ao 
quadrado (ϕ12 ). A Função de Autocorrelação Parcial (FACP) entre yt e yt-s , portanto, elimina os 
efeitos intermediários entre yt e yt-s+1. 
Uma maneira de calcular as FACPs é construir modelos autoregressivos em desvio (subtraindo a 
média), aumentando sucessivamente as defasagens, da seguinte forma: 
yt = ϕ11yt-1 + et 
yt = ϕ21yt-1 + ϕ22yt-2 + et 
yt = ϕ31yt-1 + ϕ32yt-2 + ϕ33yt-3 + et 
... 
Onde ϕ11, ϕ22, ϕ33, são, respectivamente, as FACP para k = 1, 2, 3. Observe que ϕ11 é, ao mesmo 
tempo, FAC e FACP, e ϕ22 é a FACPtirando os efeitos intermediários de yt-1. Uma forma mais 
simples de calcular as FACPs, é através das equações de Yule-Walker (Box-Jenkins-Reinsel, 1994), 
como apresentado a seguir: 
𝜙𝑘𝑘 =
𝜌
𝑘−∑ 𝜙𝑘−1,𝑗𝜌𝑘−𝑗
𝑘−1
𝑗=1
1−∑ 𝜙𝑘−1,𝑗𝜌𝑗
𝑘−1
𝑗=1
 , para k = 3, 4, 5 ... 
Sendo 𝜙𝑘𝑗 = 𝜙𝑘−1,𝑗 − 𝜙𝑘𝑘𝜙𝑘−1,𝑘−𝑗, para j = 1, 2, 3, ... , k-1. 
 O intervalo de confiança para a FACP é dado por ± 1,96(𝑆𝜙𝑘𝑘), onde 𝑆𝜙𝑘𝑘 é o desvio padrão 
da função de autocorrelaçao (𝜙𝑘𝑘) igual a 1/√𝑇. No caso do presente exemplo, com 100 
observações, o desvio padrão é 1/√100 = 0.1 e o intervalo de confiança igual a ± 1,96(0.1) = ± 
0.196. 
 No R, o comando para calcular a FACP é: 
autocorp <- pacf(arsim, lag.max = 25) 
autocorp 
 
 
Partial autocorrelations of series ‘arsim’, by lag 
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
 0.535 -0.008 0.174 -0.126 0.227 -0.268 -0.151 -0.145 0.047 0.143 0.030 
 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 
-0.071 0.016 0.075 -0.022 -0.056 -0.039 -0.242 0.070 0.049 -0.050 0.123 
 23 24 25 
-0.071 -0.084 -0.044 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que apenas as autocorrelações parciais para k = 1, 5, 6 e 18 saem do intervalo de confiança 
e, portanto, podem ser consideradas estatisticamente significantes a 5%.