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Tenência Determinística x Tendência Estocástica 
Lista de Exercício – Econometria de Séries Temporais 
O que você entende por processo estocástico? 
Um processo estocástico, portanto, pode ser descrito como uma série temporal em que os valores são observados aleatoriamente e estão associados a uma distribuição de probabilidade
Escreva sobre as propriedades de um processo estocástcio. 
Uma série temporal é dita contínua quando é observada em tempo contínuo e é dita discreta quando é observada em tempo discreto. Na prática, as séries temporais utilizadas em trabalhos empíricos são observadas em tempos discretos Um processo estocástico pode ser classificados como estacionários e não estacionários;
O que são processos estocásticos estacionários e não-estacionários? 
Estacionários: Um processo estocástico é dito estacionário quando suas características são invariantes em relação ao tempo. Ou seja, suas propriedades não são afetadas por uma mudança na origem temporal da série; Os processos estacionários são definidos como estacionários estritos (ou fortes) e estacionários amplos (ou fracos);
Não estacionários: As séries temporais não estacionários são aqueles em que as características do processo estocástico variam com relação ao tempo
Os processos não estacionários podem ser classificados como homogêneos e não homogêneos;
Os processos não estacionários homogêneos são aqueles que podem ser transformados em estacionários através de processos de diferenciação; 
Os processos estocásticos não estacionários não homogêneos não podem ser transformados em estacionários.
O que você entende por estacionariedade fraca e estacionariedade forte? 
Ou seja, estacionariedade estrita ocorre quando a distribuição de probabilidade conjunta da série yt,…,yt+N é igual a distribuição de probabilidade conjunta da série yt+m,…,yt+N+m;
Um processo estocástico pode ser caracterizados como estacionários fracos quando satisfazem as seguintes condições:
Em um processo estocástico, o que você entende por raiz unitária? 
seja um processo AR(p) do tipo, yt = Φ1yt-1 +Φ2yt-2 + …+ Φpyt-p + εt
Para saber se yt é estacionário, deve-se examinar as raízes da sua equação características;
(1 – Φ1L - Φ2L2 - …- ΦpLp) yt = εt
Substituindo L por uma variável qualquer z e igualando o polinômio a zero, tem-se:
1 – Φ1z – Φ2z2 - …- Φpzp = 0
As p raízes características são os valores de z que satisfazem a equação característica;
Mostre a condição de estacionariedade para um processo estocástico do tipo AR (1); 
yt =ϕ0 + ϕ1yt-1 + εt yt – ϕ1yt-1 = ϕ0 +εt (1 – ϕ1L) yt = ϕ0 +εt yt = ϕ0/(1 – ϕ1L) + [1/(1 – ϕ1L)] εt,
A equação característica é (1 – ϕL) = 0, substituindo 
L por z
1 – ϕz = 0, sendo que z = 1/ϕ, então a condição de estacionariedade para o modelo AR(1) é |ϕ1| < 1 e, consequentemente, |z| > 1. 
Escreva sobre as funções de autocorrelação e autocorrelação parcial; 
Uma medida alternativa do grau de relação entre yt e yt+k é a função de autocorrelação, a qual apresenta a vantagem de ser um valor que varia, em módulo, entre 0 e 1;
Valores próximos a 0 indicam fraca autocorrelação, enquanto valores próximos a 1 indicam forte autocorrelação;
Sinais positivos ou negativos indicam apenas se autocorrelação direta e inversa, respectivamente;
Assim, se a FAC estiver dentro do intervalo de confiança, não se pode afirmar que essa estimativa da função de autocorrelação seja estatisticamente diferente de zero
Cada autocorrelação é estatisticamente significante individualmente se seu valor for maior do que duas vezes o respectivo desvio padrão;
O teste de significância conjunta mostra todos os valores inferiores a 0,05 e, portanto, rejeita a hipótese nula de que as variáveis são independentes no tempo;
O test Q é um teste de significância conjunta das autocorrelações. Por exemplo, se o teste Q para k = 10 tiver valor menor que 0,05, significa que as autocorrelações de 1 a 
10 são, conjuntamente significantes estatisticamente;
A hipótese H1, portanto, conclui que existe uma correlação temporal entre as variáveis defasadas do modelo.
Escreva sobre os modelos de séries temporais do tipo ARMA (autoregressivo e de média móvel);
Os Modelos Autoregressivos AR(p)
Para ϕ0 = 0 yt = ϕ1yt-1 + ϕ2yt-2 + ... + ϕpyt-p + εt yt - ϕ1yt-1 - ϕ2yt-2 - ... - ϕpyt-p = εt
(1 - ϕ1L - ϕ2L2 - ... – ϕpLp) yt = εt
Fazendo ϕ(L) = (1 - ϕ1L - ϕ2L2 - ... – ϕpLp) ϕ(L)yt = εt yt = [1/ϕ(L)] εt
Os Modelos de Média Móvel MA(q)
yt = εt - θ1εt-1 - θ2εt-2 - ... – θqεt-q yt = (1 - θ1L - θ2L2 - ... – θqLq) εt
Fazendo θ(L) = (1 - θ1L - θ2L2 - ... – θpLp) yt = θ(L)εt
Os Modelos ARMA(p,q)
yt = ϕ1yt-1 + ... + ϕpyt-p + εt - θ1εt-1 - ... – θqεt-q ϕ1yt-1 - ... - ϕpyt-p - yt = εt - θ1εt-1 - ... – θqεt-q ϕ(L)yt = θ(L)εt
yt = [θ(L)/ϕ(L)]εt
Escreva o método de Box-Jenkins para estimação dos modelos ARMA (p,q); 
(p, d, q)Identificação
Estimação
Diagnóstico
Previsão
1
10
5
 
O Método de Box-Jenkins
(p, d, q)Identificação
Estimação
Diagnóstico
Previsão
software
AIC, SBC, R2-ajustado, t, Q 
Previsão ex-post, escolher o melhor modelo 
A escolha de d: 
A grau de diferenciação d, da série temporal, é o primeiro parâmetro a ser escolhido;
Assumindo que o modelo ARMA(p,q) é estacionário, d = 0.
• A escolha de p e q
❖Observar a FAC e a FACP
	Formato da FAC/FACP
	Tipo de Modelo
	•	FAC com Queda exponencial;
	Modelo AR(p), usar a FACP para decidir a ordem do modelo;
	•	FAC Alternando valores positivos e negativos;
	Modelo AR(p), usar a FACP para decidir a ordem do modelo;
	• FAC com um ou mais picos e o resto zero;
	MA(q), observe os picos da FAC para decidir a ordem;
	•	Queda logo após poucas defasagens.
	ARMA(p,q)
Modelos de Séries Temporais Univariados
Modelos de Séries Temporais Univariados
6
1
8
O Método de BJ – Estimação e Diagnóstico 
• Os Critérios AIC e SBC
Observar o ajuste do modelo pelos critérios AIC (Akaike Information Criterion) and SBC (Schwartz Bayesian Criterion);
O aumento de defasagens de AR e MA que não contribuam para uma melhor previsão, deve implicar em um crescimento da soma do quadrado dos erros (SQE);
AIC = T ln (soma do quadrado dos resíduos) + 2n
SBC = T ln (soma do quadrado dos resíduos) + n ln (T)
Onde, n = número de parâmetros estimados (p + q + possível termo constante) T = número de observações utilizáveis
O Método de BJ – Estimação e Diagnóstico 
• Os Critérios AIC e SBC (continuando)
Note que modelos com melhores ajustes mostram menores valores de AIC e SBC, inclusive do lado positivo da reta numérica. Ou seja, AIC e SBC aproximam-se de menos 
infinito quanto melhor o ajuste do modelo;
Considerando que ln(T) será sempre maior do que 2, o custo marginal de adicionar um regressor (aumentar n) é maior para SBC.
Deve-se ter sempre em mente o critério da parcimônia. Ou seja, para modelos com mesmo AIC e SBC prefere-se sempre o menor.
O Método de BJ – Estimação e Diagnóstico 
O R-quadrado ajustado e as estatísticas t
No modelos ARMA deve-se observar os valores do Rquadrado ajustado e significância dos parâmetros;
A Estatística Q (Ljung-Box-Pierce) para os erros
A regra geral é que modelos com melhor ajuste e poder de previsão têm erros não correlacionados no tempo. Assim, a estatística Q é usada para examinar autocorrelação conjunta para os termos de erro do modelo:
Para s autocorrelações, p termos autorregressivos e q termos de média móvel, a estatística Q tem distribuição qui-quadrado com s – p –
Escreva sobre tendência determinística e tendência estocástica; 
Uma equação da diferença estocástica é consistente com três partes distintas:yt = tendência + componente estacionário + ruído 
Uma tendência pode ser completamente determinística ou conter componentes estocásticos
Um componente do crescimento do produto, por exemplo, é a inovação tecnológica, que é uma função de fatores aleatórios;
Outras variáveis erráticas como preço internacional do petróleo ou decisão de políticasmacroeconômicas ESTOCASTICO
Como identificar e eliminar das séries temporais as tendências determinísticas e estocásticas; 
tendência estocástica de uma série; Estacionariedade por Tendência (trend stationary):
É uma série que pode ser transformada em estacionária removendo-se a tendência determinística;
O método para remover a tendência determinística é regredir a variável contra uma série de tempo. O termo de erro dessa regressão representa a série sem tendência;
É uma série que pode ser transformada em estacionária por diferenciação ;
O método para remover a tendência estacionária é a diferenciação;
O que você entende por regressão espúria; 
Considere o modelo a regressão a seguir: yt = a0 + a1zt + et
A suposição do modelo clássico de regressão é de que as sequências {yt} e {zt} são estacionárias; Se essas variáveis forem não estacionárias é possível estarmos presente de um caso de regressão espúria 
(Ganger-Newbold, 1974);
Na regressão espúria, o R2 é elevado e as estatísticas t de student mostram parâmetros estatisticamente significantes, mas os resultados são desprovidos de significado econômico;
Para entender a regressão espúria, observa-se os resíduas do modelo de regressão acima. Se a série {et} for não estacionária, cada erro do modelo no tempo t nunca volta ao nível inicial nos momentos subsequentes. Assim, os desvios dos erros são permanentes;
Um modelo de regressão com desvios permanentes de erros, não podem exibir parâmetros confiáveis;
Conclusão: modelos de regressão com variáveis integradas de mesma ordem, e erros não estacionários, representam um caso de regressão espúria.
Escreve sobre o teste Dickey-Fuller aumentado, para detecção de raiz unitária; 
O objetivo do teste Dickey-Fuller é testar estatisticamente a ocorrência de RU em uma processo estocástíco
Subtraindo-se yt-1 dos dois lados da equação acima, podese reescrever o modelo da seguinte forma:
Δyt = γyt-1 + εt
Considerando que γ =(a1 – 1), testar a hipótese a = 1 é a mesma coisa que testar a hipótese γ = 0;
Dickey and Fuller (1979) apresenta três diferentes equações de regressão para testar a ocorrência de raiz unitária: i) modelo sem intercepto e sem tendência, ii) modelo com intercepto e iii) modelo com intercepto e com tendência;
Qual a importância de identificar quebras estruturais em uma série temporal; 
Na processo de realização de um teste para RU, deve-se ter atenção especial para a possibilidade da ocorrência de quebra estrutural;
Se houver quebra estrutural na séria em questão, as estatísticas do teste Dickey-Fuller podem estar viesadas no sentido da não rejeição da hipótese de RU; A diferença no nível médio da série, em segmentos estacionários diferentes da sequência, pode levar a um resultado à conclusão de que a série tem tendência;
É possível também que a série seja não estacionária em seus sub-segmentos. Ou seja, a série completa é formada por segmentos não estacionários com níveis médios diferentes Considere a sequência de 100 valores gerados por simulação, utilizando-se a fórmula: yt = 0,5yt-1 + et (de 1 a 50)
	yt = 4 + 0,5yt-1 + et	(de 51 a 100)
A sequência, portanto, é constituída de duas subsequências estacionárias em níveis diferentes;
É possível que a mudança estrutural não seja aparente como é mostrada na figura. Dessa forma, é necessário um teste estatístico para diferenciar entre a ocorrência de RU e quebra estrutural (QE);
É possível também que tanto RU quanto QE ocorram em uma sequência de dados (figura 01, painel da direita);
Escreva sobre o teste de Perron para quebra estrutural; 
O teste de quebra estrutural examina duas hipótese distintas: a hipótese nula de um pulso em um processo com RU, contra a hipótese alternativa de uma mudança de nível em um processo estacionários;
O trabalho de Perron examinou se a hipótese nula de que quebra da bolsa em 1929 nos EUA foi um pulso que causou uma mudança permanente de nível em um processo estocástico com RU, contra a hipótese alternativa de uma mudança de nível em um processo estacionários;
Para testar essa hipótese Perron usou o seguinte modelo:
Onde yt é o produto dos EUA (ver tabela), DL é a dummy de nível, Dp é a dummy de pulso e t a tendência linear;
O ano que marca a mudança de nível ou o pulso é 1930;
Sob a pressuposição de uma mudança de pulso em um processo estocástico com RU, a1 = 1, a0 = 0 e μ2 ≠ 0;
Sob a hipótese alternativa de uma mudança de nível permanente em uma processo estacionário, a1 < 1 e μ1 ≠ 0;
Escreva sobre os modelos ARIMA (autoregressivo integrado de média móvel); 
Os modelos univariados de séries temporais do tipo ARMA não podem ser utilizados para fazer previsão se os dados não estacionários; 
Através do processo de diferenciação, pode-se transforma uma série não estacionária com raiz unitária em uma série estacionária; 
As vezes é necessário mais de uma diferenciação para se obter estacionariedade em uma série com RU; 
Não se deve usar mais de duas diferenciação para efeitos de obter uma serie estacionária; 
Os modelos de previsão univariados do tipo ARMA, quando a série é diferenciada, são chamados ARIMA (auto regressivo integrado de média móvel); 
Qual a importância do teste Portmanteau (Box-Ljung) para a escolha de modelos do tipo ARMA/ARIMA; 
O Método de Box-Jenkins 
(p, d, q) Identificação 
Estimação 
Diagnóstico 
Previsão 
software 
AIC, SBC, R2-ajustado, t, Q 
Previsão ex-post, escolher o melhor modelo 
Qual a importância de se realizar a previsão ex-post na construção de um modelo de previsão de séries temporais. 
previsão
Escreva sobre sazonalidade nas séries temporais; 
Escreva como estimar os modelos do tipo ARMA/ARIMA a presença de sazonalidade; 
Os modelos ARIMA-S se aplicam a dados sazonais. Ou seja, que foram gerados de acordo com padrões que se repetem periodicamente (anual); 
yt =ΔsDYt =(1−Ls )DYt
Onde: yt é a série diferenciada sazonalmente, 
 Yt é a série sazonal, 
 D é o número de diferenciação sazonais (1 ou 2), e s é o período sazonal (geralmente 12). 
 
Exemplo: 
 Para D = 1 yt =ΔsYt =Yt −Yt−s
 Para D = 2 yt =Δ2sYt =ΔYt −ΔYt−s =(Yt −Yt−s )−(Yt−s −Yt−2s )
 
Seja o modelo ARIMA(p,d,q)(P,D,Q): 
 
 
 
11
4
15