Prova 2

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Universidade Federal de Vic¸osa
Departamento de Matema´tica
Prova 2 de MAT135 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Nome:.......................................................................... Matr´ıcula:......................
1. (26 pontos) Responda os ı´tens abaixo justificando suas respostas (use verso da folha
se necessa´rio).
(a) (10 pontos) Determine a dimensa˜o do subespac¸o vetorial
U = [ (−3, 1, 4, −2), (1, 2, −1, 3), (−5, −3, 6, −8), (−4, 13, 7, 9) ] .
(b) (8 pontos) Determine uma base do subespac¸o V = { (x, y, z, t) ∈ R4; x+ 2y − 3z = t }.
(c) (8 pontos) Sabendo que dim(U + V ) = 4 determine a dimensa˜o da intersec¸a˜o U ∩ V .
2. (25 pontos) Seja a transformac¸a˜o linear T : R3 → R3 cuja matriz em relac¸a˜o a base
canoˆnica e´
[T ] =
 1 −3 1−3 5 −2
−1 2 −1
 .
(a) (8 pontos) Determine a expressa˜o de T (x, y, z).
(b) (10 pontos) Encontre a matriz inversa [T ]−1.
(c) (7 pontos) T e´ bijetora? Deixe bem justificada a sua resposta.
3. (28 pontos) Seja T : R3 → R2 uma transformac¸a˜o linear cuja matriz com relac¸a˜o as
bases α = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e β = {(1,−1), (1, 1)} e´
[T ]αβ =
(
2 1 1
0 −1 3
)
.
(a) (8 pontos) Sabendo que as coordenadas do vetor u ∈ R3 sa˜o [u]α = (−1, 2, 1) deter-
mine T (u).
(b) (10 pontos) Determine T (1, 1, 1), T (1, 1, 0) e T (1, 0, 0).
(c) (10 pontos) Encontre a expressa˜o de T (x, y, z).
4. (21 pontos, sendo 7 pontos cada ı´tem) Deˆ um contraexemplo para as afirmac¸o˜es falsas
e prove as que forem verdadeiras.
(a) Se T : Rn → Rm e´ uma transformac¸a˜o linear e {v1, v2, v3} um conjunto L.D. em Rn
enta˜o {T (v1), T (v2), T (v3)} e´ L.D. em Rm.
(b) Se A e´ uma matriz quadrada enta˜o det(3A) = 3 det(A).
(c) Se det

a b c d
e f g h
i j k l
m n p q
 = 6 enta˜o det

e f g h
−3a −3b −3c −3d
i− 4e j − 4f k − 4g l − 4h
m n p q
 = 18.