calculo vetorial

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Notas para o Curso de Ca´lculo Vetorial
Dayse Haime Pastore
20 de fevereiro de 2009
2
Suma´rio
1 Func¸o˜es Vetoriais 5
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Gradiente, Divergente e Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Integrais de Superf´ıcies e Divergeˆncia 13
2.1 O vetor normal unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Definic¸a˜o de Superf´ıcie Integra´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Calculando integrais de Superf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 A Divergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 A divergeˆncia em coordenadas cil´ındricas e esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 O Teorema da Divergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Integral de Linha e o Rotacional 35
3.1 Trabalho e Integral de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Integral de Linha Envolvendo Campo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 O Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 O Rotacional em Coordenadas Cil´ındricas e Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . 45
3.5 O Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3
4 SUMA´RIO
Cap´ıtulo 1
Func¸o˜es Vetoriais
1.1 Introduc¸a˜o
Um exemplo muito importante de campo vetorial sa˜o os campos ele´tricos estudados em
eletricidade.
Vamos comec¸ar revendo o que e´ uma func¸a˜o. Uma func¸a˜o de uma varia´vel, geralmente
escrita como y = f(x), e´ uma regra que associa dois nu´meros x e y, onde x pertence a um
domı´nio e y a um contra-domı´nio. Exemplo, se y = f(x) = x2− 2, enta˜o calculamos y como
sendo a raiz quadrada de x subtraida de 2. Assim, se x = 3,
y = 32 − 2 = 7.
Func¸o˜es de mais de uma varia´vel podem ser vistas como regras para associar conjuntos
de nu´meros. Exemplo, uma func¸a˜o de treˆs varia´veis, w = f(x, y, z) associa um valor a w
referente a x, y e z. Um exemplo no plano cartesiano e´ a func¸a˜o, T (x, y, z) que mede a
temperatura de uma sala no ponto (x, y, z). Um outro exemplo de func¸a˜o vetorial e´ a que
associa a um ponto (x, y, z) do espac¸o a velocidade do flu´ıdo.
Definic¸a˜o 1 Em treˆs dimenso˜es, um func¸a˜o e´ dita escalar, ou um campo escalar, se
associa um ponto (x, y, z) a um escalar T = f(x, y, z). E e´ dita vetorial, ou um campo
vetorial, se associa ao ponto (x, y, z) um vetor w = f(x, y, z).
Assim a func¸a˜o que mede a temperatura e´ uma func¸a˜o escalar, e a func¸a˜o que mede a
velocidade de um flu´ıdo e´ uma func¸a˜o vetorial.
Em geral, uma func¸a˜o vetorial F (x, y, z) especifica a magnitude e a direc¸a˜o de cada ponto
em uma regia˜o do espac¸o.
A figura 1.1 mostra uma func¸a˜o vetorial como uma colec¸a˜o de setas, uma para cada ponto
(x, y, z). A direc¸a˜o de cada seta em qualquer ponto e´ a direc¸a˜o especifica dada pela func¸a˜o
vetorial, o seu comprimento e´ proporcional a magnitude da func¸a˜o. Uma func¸a˜o vetorial
pode ser representada atrave´s de suas componentes, como na figura 1.2. Seja i, j e k os
vetores unita´rios ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente, temos
F (x, y, z) = iFx(x, y, z) + jFy(x, y, z) + kFz(x, y, z).
5
6 CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES VETORIAIS
Figura 1.1: exemplo
Figura 1.2: exemplo
As treˆs quantidades Fx, Fy e Fz, todas func¸o˜es escalares de x, y e z, sa˜o as treˆs componentes
cartesianas1 da func¸a˜o vetorial F (x, y, z).
Um exemplo de func¸a˜o vetorial (em duas dimenso˜es para simplificar) e´
F (x, y) = ix+ jy,
ilustrada na figura 1.3. Neste exemplo, a posic¸a˜o dos vetores sa˜o representados pelas setas,
vemos que elas esta˜o na posic¸a˜o radial (isto e´, na direc¸a˜o de uma linha passando pela origem)
e tem como comprimento sua distaˆncia da origem. Um segundo exemplo,
G(x, y) =
−i y + jx√
x2 + y2
1Neste texto usaremos a notac¸a˜o de subescrito para indicar coordenada e na˜o derivada, ou seja, NA˜O
usaremos Fx = ∂F/∂x.
1.2. GRADIENTE, DIVERGENTE E ROTACIONAL 7
Figura 1.3: exemplo
e´ mostrado na figura 1.4. Verificamos que para essa func¸a˜o vetorial todas as setas esta˜o na
Figura 1.4: exemplo
direc¸a˜o tangente (isto e´, cada uma e´ tangente a um c´ırculo centrado na origem) e todos tem
o mesmo comprimento.
1.2 Gradiente, Divergente e Rotacional
Seja F um campo escalar no espac¸o, se suas derivadas parciais existem enta˜o elas formam
as componentes do vetor gradF , o gradiente da func¸a˜o escalar F . Assim,
gradF = ∇F = i ∂F
∂x
+ j
∂F
∂y
+ k
∂F
∂z
.
8 CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES VETORIAIS
Exemplo 1
F (x, y, z) = x2 y − z2
gradF = ∇F = i ∂F
∂x
+ j
∂F
∂y
+ k
∂F
∂z
= i 2x y + jx2 − k 2 z.
A componente do gradiente em uma dada direc¸a˜o representa a taxa de variac¸a˜o de F
nessa direc¸a˜o.
Propriedades do Gradiente
1. grad (F +G) = gradF + gradG
2. grad (F G) = F gradG+G gradF
3. c gradF = c gradF
Vamos provar a propriedade 2, as demais sa˜o deixadas como exerc´ıcio. Prova:
grad (F G) = i
∂F G
∂x
+ j
∂F G
∂y
+ k
∂F G
∂z
= i (
∂F
∂x
G+ F
∂G
∂x
) + j (
∂F
∂y
G+ F
∂G
∂y
) + k (
∂F
∂z
G+ F
∂G
∂z
)
= (i
∂F
∂x
+ j
∂F
∂y
+ k
∂F
∂z
)G+ F (i
∂G
∂x
+ j
∂G
∂y
+ k
∂G
∂z
)
= G gradF + F gradG
Dado um campo vetorial V no espac¸o. Temos treˆs func¸o˜es escalares Vx, Vy e Vz. Se essas
treˆs func¸o˜es possu´ırem derivadas parciais primeira, a partir delas, constro´i-se o escalar divV ,
a divergeˆncia de V , ou o divergente de V
div v = ∇ · V = ∂Vx
∂x
+
∂Vy
∂y
+
∂Vz
∂z
.
Exemplo 2
V = ix2 − jx y + kx y z
divV = ∇ · V = ∂V
∂x
+
∂V
∂y
+
∂V
∂z
= 2x− x+ x y = x+ x y.
Na dinaˆmica dos flu´ıdos, a divergeˆncia surge como uma medida da taxa de diminuic¸a˜o
da densidade num ponto. Mais precisamente, seja U = U(x, y, z) o vetor velocidade do
movimento de um flu´ıdo e indiquemos por ρ = ρ(x, y, z, t) a densidade. Enta˜o V = ρU e´
um vetor cuja a divergeˆncia satisfaz a` equac¸a˜o
divV = −∂ρ
∂t
,
Essa e´, na verdade, a “equac¸a˜o de continuidade”da mecaˆnica dos flu´ıdos. Se o flu´ıdo for
incompress´ıvel, a equac¸a˜o se reduzira´ a uma expressa˜o mais simples: divV = 0 .
1.2. GRADIENTE, DIVERGENTE E ROTACIONAL 9
Propriedades da Divergeˆncia
1. div (U + V ) = divU + divV
2. div (F V ) = F divV + gradF · V
onde F e´ um campo escalar e V e´ um campo vetorial.
Vamos deixar a prova destas propriedade como exerc´ıcio.
O rotacional de um campo vetorial com derivadas parciais primeiras e dado pelo campo
vetorial abaixo:
rotV = i
(
∂Vz
∂y
− ∂Vy
∂z
)
+ j
(
∂Vx
∂z
− ∂Vz
∂x
)
+ k
(
∂Vy
∂x
− ∂Vx
∂y
)
ou ainda,
rotV = ∇× V =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z
Vx Vy Vz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
O rotacional e´ importante na ana´lise de campos de velocidades na mecaˆnica dos flu´ıdos e
na ana´lise de campos de forc¸as eletromagne´ticos. Podemos interpretar o rotacional como
uma medida de movimento angular de um flu´ıdo, e a condic¸a˜o rotV = 0 para o campo de
velocidades V caracteriza os chamados fluxos irrotacionais.
Propriedades do Rotacional
1. rot (U + V ) = rotU + rotV
2. rot (F V ) = F rotV + gradF × V
onde F e´ um campo escalar e V e´ um campo vetorial.
Vamos deixar a prova destas propriedade como exerc´ıcio.
Combinac¸o˜es de Operac¸o˜es
Quando se examinam as combinac¸o˜es poss´ıveis entre rot, div e grad chega-se a uma longa
listade identidades. Algumas da quais vamos considerar.
Rotacional de um gradiente
rot gradF = 0
∇× (∇F ) = 0
Divergeˆncia de um rotacional
div rotV = 0
∇ · (∇× V ) = 0
Divergeˆncia de um gradiente
div gradF =
∂2F
∂x2
+
∂2F
∂y2
+
∂2F
∂z2
= ∇ · (∇F )
10 CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES VETORIAIS
Uma func¸a˜o F (que tem derivadas parciais segunda cont´ınuas) tal que div gradF = 0 e´
chamada harmoˆnica. A equac¸a˜o
∂2F
∂x2
+
∂2F
∂y2
+
∂2F
∂z2
= 0,
satisfeita por F , e´ chamada equac¸a˜o de Laplace.
Rotacional de um rotacional
rot rotU = grad divU − (i∇2 Ux + j∇2 Uy + k∇2 Uz)
Se definirmos o Laplaciano de um vetor U como sendo o vetor,
∇2U = i∇2 Ux + j∇2 Uy + k∇2 Uz
enta˜o
rot rotU = grad divU −∇2U
e dessa forma,
grad divU = rot rotU +∇2U
1.3 Exerc´ıcios
1. Esbouc¸ar os seguintes campos vetoriais:
a) iy + jx;
b) (i + j)/sqrt2;
c) ix− jy;
d) iy;
e) jx;
f) i(x2 − y2)2 + j2xy;
g) i(x− y) + j(x+ y);
h) −iy + jx+ k.
2. Esbouc¸ar as curvas ou superf´ıcie de n´ıvel:
a) f = xy;
b) f = x2 + y2 − z2.
3. Determinar grad f para os campos escalares do exerc´ıcio anterior e trac¸ar alguns vetores
correspondentes.
4. Dado ocampo vetorial v = 2xyzi + x2zj + x2yk, verificar que rot v = 0. Achar todas
as func¸o˜es f tais que grad f = v.
1.3. EXERCI´CIOS 11
5. Dado o campo vetorial v = 2xi + yj − 3zk,verificar que div v = 0. Achar todos
os vetores u tais que rotu = v.[Sugesta˜o: Observar inicialmente que, em virtude de
div(fu) = fdivu + grad f · u, todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o rotu = v sa˜o dadas por
u = u0 + grad f , onde f e´ um escalar arbitra´rio e u0 e´ um vetor qualquer cujo o
rotacional e´ v. Para achar u0, supor que u0 · k = 0.]
12 CAPI´TULO 1. FUNC¸O˜ES VETORIAIS
Cap´ıtulo 2
Integrais de Superf´ıcies e Divergeˆncia
2.1 O vetor normal unita´rio
A palavra normal nesse contexto deve ser linda como, perpendicular. Assim, um vetor n
normal ao plano xy e´ um vetor paralelo ao plano z (figura 2.1). Enquanto um vetor normal
Figura 2.1: exemplo
a` esfera esta´ na direc¸a˜o radial (figura 2.2). A definic¸a˜o precisa de um vetor normal a uma
Figura 2.2: exemplo
superf´ıcie, como mostra a figura 2.3. Considere uma superf´ıcie arbitra´ria S construa dois
vetores na˜o colineares u e v tangentes a S passando por um ponto p. Um vetor n que e´
perpendicular ao mesmo tempo aos vetores u e v por definic¸a˜o e´ normal a` superf´ıcie S
no ponto p. Agora, sabemos que o vetor que resulta do produto vetorial entre u e v e´
perpendicular a ambos. Assim podemos escrever n = u× v. Para tornar esse vetor unita´rio
13
14 CAPI´TULO 2. INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES E DIVERGEˆNCIA
Figura 2.3: exemplo
(isto e´, ter comprimento igual a 1) e´ muito simples: basta dividi-lo por seu comprimento.
Dessa forma,
n =
u× v
|u× v|
e´ um vetor normal unita´rio a` superf´ıcie S no ponto P . Vamos encontrar uma expressa˜o para
n. Considere a superf´ıcie S dada pela equac¸a˜o z = f(x, y), figura 2.4. Assim, como sugerimos
antes, vamos comec¸ar encontrando dois vetores v e u. Para isso construa um plano paralelo
Figura 2.4: exemplo
ao plano-xy passando por P em S, como na figura 2.4. Este plano intersecta a superf´ıcie S
em uma curva C. Constru´ımos o vetor u tangente a C em P que tenha a componente x de
comprimento arbitra´rio. A componente z de u e´ (∂f/∂x)ux; nesta expressa˜o usamos o fato
da inclinac¸a˜o de u ser a mesma, por construc¸a˜o da superf´ıcie S na direc¸a˜o x, ver figura 2.5.
Assim
Figura 2.5: exemplo
2.1. O VETOR NORMAL UNITA´RIO 15
u = iux + k
(
∂f
∂x
)
ux =
[
i + k
(
∂f
∂x
)]
ux
Para encontrar o vetor v, passaremos um outro plano no ponto P em S, pore´m neste caso
o plano sera´ paralelo ao plano-yz (figura 2.6) Este intersecta S em uma curva C ′, e o vetor
Figura 2.6: exemplo
v sera´ constru´ıdo tangente a curva C ′ em P com componente y de comprimento arbitra´rio
vy. Temos
v = juy + k
(
∂f
∂y
)
uy =
[
j + k
(
∂f
∂y
)]
uy.
Vamos calcular agora o produto vetorial entre u e v. O resultado,
u× v =
[
−i
(
∂f
∂x
)
− j
(
∂f
∂y
)
+ k
]
uxvy
e´ um vetor que e´ normal a superf´ıcie S no ponto P , se dividirmos ele por sua norma teremos:
n =
u× v
|u× v| =
−i (∂f
∂x
)− j(∂f
∂y
)
+ k√
1 +
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2 . (2.1)
Este e´ o vetor normal unita´rio a uma superf´ıcie z = f(x, y) no ponto (x, y, z) da superf´ıcie.
Note que esse vetor independe do valor das quantidades ux e vy.
Exemplo 3
Um primeiro exemplo trivial e´: Qual o vetor normal unita´rio ao plano-xy? Claro que a
resposta e´ k. Vejamos como variamos usando a equac¸a˜o 2.1. A equac¸a˜o do plano-xy e´:
z = f(x, y) = 0,
Obviamente,
∂f/∂x = 0 e ∂f/∂y = 0.
Substitu´ındo na equac¸a˜o 2.1 temos n = k/
√
1 = k.
Um segundo exemplo, considere a esfera de raio 1 centrada na origem, figura 2.2, A
semi-esfera superior e´ dada por
z = f(x, y) = (1− x2 − y2)1/2,
16 CAPI´TULO 2. INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES E DIVERGEˆNCIA
Assim,
∂f
∂x
= −x
z
e
∂f
∂y
= −y
z
Usando a equac¸a˜o 2.1
n =
ix
z
+ jy
z
+ k√
x2
z2
+ y
2
z2
+ 1
=
ix+ jy + kz√
x2 + y2 + z2
= ix+ jy + kz,
Como estamos usando a esfera unita´ria temos que x2 +y2 +z2 = 1. Assim, como ja´ tinhamos
afirmado, n e´ um vetor na direc¸a˜o radial com norma 1. Observe que n ·n = x2 +y2 +z2 = 1.
Agora que temos os vetores normais a nossa disposic¸a˜o podemos passar para a pro´xima
questa˜o, superf´ıcies integrais.
2.2 Definic¸a˜o de Superf´ıcie Integra´veis
Seja z = f(x, y) a equac¸a˜o de uma superf´ıcie. Cosidere uma parcela limitada dessa superf´ıcie.
que chamaremos de S (ver figura 2.7) Nosso primeiro passo na formulac¸a˜o da definic¸a˜o dessa
Figura 2.7: exemplo
integral de superf´ıcie e´ aproximar S por um poliedro que consisti de N faces planas cada
uma tangente a S em um ponto. A figura 2.8 mostra essa aproximac¸a˜o polinomial para
um octante da esfera. Concentre sua atenc¸a˜o em uma de suas faces planas, digamos a l-
Figura 2.8: exemplo
e´sima face (figura 2.9). Denote a a´rea dessa face por ∆Sl e seja (xl, yl, zl) as coordenadas do
ponto que tangeˆncia a superf´ıcie nessa face. Evalue a func¸a˜o F neste ponto e enta˜o fac¸a o
2.2. DEFINIC¸A˜O DE SUPERFI´CIE INTEGRA´VEIS 17
Figura 2.9: exemplo
produto com nl, o vetor normal unita´rio para a l-e´sima face. O resultado, F(xl, yl, zl) · nl, e´
multiplicado pela a´rea ∆Sl da face, temos
F(xl, yl, zl) · nl∆Sl
Repita esse processo para todas as N faces da aproximac¸a˜o polinomial. Enta˜o fac¸a a soma
de todas as N faces.
N∑
l=1
F(xl, yl, zl) · nl∆Sl.
A superf´ıcie integral
∫∫
S
F · ndS e´ definida como o limite desta soma no nu´mero de faces,
N , quando o nu´mero de faces se aproxima de infinito a a´rea de cada uma dessas faces se
aproxima de zero. Assim,∫∫
S
F · ndS = lim
N→∞
cada ∆Sl→0
N∑
l=1
F(xl, yl, zl) · nl∆Sl.
Muitas vezes encontramos integrais de superf´ıcies que sa˜o um pouco mais simples. Essas
integrais sa˜o da forma ∫∫
S
G(x, y, z)dS,
onde o integrando G(x, y, z) e´ uma func¸a˜o escalar.
Agora aproximamos S novamente por um poliedro, formamos os produtosG(xl, yl, zl)∆Sl,
somamos todas as faces, e enta˜o passamos o limite:∫∫
S
G(x, y, z)dS = lim
N→∞
cada ∆Sl→0
N∑
l=1
G(xl, yl, zl) ·∆Sl.
Um exemplo de integral de superf´ıcie simples e´∫∫
S
dS.
Essa integral e´ a definic¸a˜o da a´rea da superf´ıcie S.
18 CAPI´TULO 2. INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES E DIVERGEˆNCIA
2.3 Calculando integrais de Superf´ıcies
Agora que ja´ definimos a integral de uma superf´ıcie, vamos desenvolver me´todos para calcula-
las Por simplicidade comec¸aremos calculando integrais de superf´ıcie onde o integrando e´ uma
func¸a˜o escalar. Para calcular a integral∫∫
SG(x, y, z)dS
considere a parte S da superf´ıcie z = f(x, y) (figura 2.10) Nossa estrate´gia sera´ relacionar
Figura 2.10: exemplo
∆Sl com a a´rea ∆Rl da sua projec¸a˜o no plano-xy, como mostra a figura 2.11 Relacionar ∆Sl a
Figura 2.11: exemplo
∆Rl na˜o e´ dif´ıcil, se lembramos que (como na a´rea de superf´ıcies planas) pode-se aproximar
com qualquer grau de exatida˜o desejado por um grupo de retaˆngulos, como mostrado na
figura 2.12. Por essa raza˜o so´ iremos encontrar a relac¸a˜o entre a a´rea de um retaˆngulo e sua
projec¸a˜o no plano-xy. Assim, considere um retaˆngulo orientado de forma que dois dos seus
lados seja paralelos ao plano-xy (figura 2.13). Se chamarmos o comprimento desses lado de a,
claramente o comprimento das suas projec¸o˜es no plano-xy e´ a. Pore´m o outro par de lados,
de comprimento b, tem projec¸o˜es de comprimento b′, e em geral b e b′ na˜o sa˜o iguais. Assim
para relacionarmos a a´rea do triaˆngulo ab coma a´rea de sua projec¸a˜o ab′, basta expressar b
em termos de b′. Isto e´ fa´cil de fazer, se considerarmos o aˆngulo θ mostrado na figura 2.13,
temos que b = b
′
cos θ
, e assim
ab =
ab
cos θ
.
2.3. CALCULANDO INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES 19
Figura 2.12: exemplo
Figura 2.13: exemplo
Se n denota o vetor normal unita´rio para o retaˆngulo, enta˜o temos que cos θ = n · k, onde
k e´ sempre o vetor normal unita´rio que representa a direc¸a˜o positiva z. Dessa forma,
ab =
ab′
n · k .
Assim cada a´rea δSl pode ser aproximada por esses retaˆngulos, isto e´,
δSl =
δRl
nl · k ,
onde o vetor nl e´ o normal unita´rio a l-e´sima face da superf´ıcie.
Assim a definic¸a˜o de integral de superf´ıcie fica∫∫
S
G(x, y, z)dS = lim
N→∞
cada ∆Rl→0
N∑
l=1
G(xl, yl, zl)
∆Rl
n · k ,
onde substitu´ımos o ‘cada ∆Sl’ por ‘cada ∆Rl’ muito mais apropriado e conveniente. Escre-
veremos a integral da superf´ıcie S como uma integral sobre R. De fato,
lim
N→∞
cada ∆Rl→0
N∑
l=1
G(xl, yl, zl)
∆Rl
n · k =
∫∫
R
G(x, y, z)
n(x, y, z) · kdxdy,
onde n e´ o vetor normal unita´rio a superf´ıcie S no ponto (x, y, z). Esta e´ a uma integral
dupla sobre R. Lembramos que R e´ uma regia˜o do plano-xy, e que agora temos que ver a
20 CAPI´TULO 2. INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES E DIVERGEˆNCIA
varia´vel z em func¸a˜o de x e y. Por esse motivo teremos que olhar para a representac¸a˜o da
superf´ıcie z = f(x, y). E assim, tiramos a dependeˆncia de z da integral anterior,∫∫
R
G[x, y, f(x, y)]
n[x, y, f(x, y)] · kdxdy,
Nessa expressa˜o a u´nica dificuldade que nos resta e´ calcular n(x, y, f(x, y)) · k , para isso
basta lembramos da expressa˜o 2.1 para o vetor normal unita´rio de uma superf´ıcie. Dessa
forma, encontramos,
n(x, y, f(x, y)) · k = 1√
1 +
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
que nos leva a expressa˜o:∫∫
S
G(x, y, z)dS =
∫∫
R
G[x, y, f(x, y)] ·
√
1 +
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
dxdy.
Note que essa u´ltima integral esta´ definida em uma regia˜o do plano-xy, e so´ conte´m
expresso˜es facilmente calcula´veis.
Exemplo 4
Calcule a integral de superf´ıcie ∫∫
S
(x+ z)dS
onde S e´ a parte do plano x+ y + z = 1 que pertence ao primeiro octante, ver figura 2.14
Figura 2.14: exemplo
A projec¸a˜o de S no plano-xy e´ o triaˆngulo R mostrada na figura. A equac¸a˜o de S pode
ser escrita como:
z = f(x, y) = 1− x− y
o que nos da´,
∂f
∂x
=
∂f
∂y
= −1 e
√
1 +
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
=
√
3
2.3. CALCULANDO INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES 21
Assim,∫∫
S
(x+z)dS =
√
3
∫ ∫
R
(x+z)dxdy =
√
3
∫ ∫
R
(x+1−x−y)dxdy =
√
3
∫ ∫
R
(1−y)dxdy,
onde usamos que z = 1− x− y.
√
3
∫ ∫
R
(1− y)dxdy =
√
3
∫ 1
0
∫ 1−y
0
(1− y)dxdy =
√
3
∫ 1
0
(1− y)x|1−y0 dy =
√
3
∫ 1
0
(1− y)2dy =
√
3
(y − 1)3
3
|10 =
1√
3
Exemplo 5
Calcule a integral de superf´ıcie ∫∫
S
z2dS
onde S e´ a parte da esfera de raio 1 que pertence ao primeiro octante, ver figura 2.15 A
Figura 2.15: exemplo
projec¸a˜o de S no plano-xy e´ o quarto de circulo R mostrada na figura. A equac¸a˜o de S pode
ser escrita como x2 + y2 + z2 = 1 ou
z = f(x, y) =
√
1− x2 − y2.
Assim temos que:
∂f
∂x
= −x
z
e
∂f
∂z
= −y
z
,
assim, √
1 +
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂y
)2
=
√
1 +
(
x2
z2
)2
+
(
y2
z2
)2
=
1
z
√
x2 + y2 + z2 =
1
z
,
onde usamos que, em va´rios passos, x2 + y2 + z2 = 1. Assim,∫∫
S
z2dS =
∫∫
R
z2
1
z
dxdy =
∫∫
R
zdxdy =
∫∫
R
√
1− x2 − y2dxdy,
22 CAPI´TULO 2. INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES E DIVERGEˆNCIA
Para resolver essa equac¸a˜o usaremos coordenadas polares x = r cos θ e y = rsenθ,∫∫
R
√
1− x2 − y2dxdy =
∫ pi
2
0
∫ 1
0
r
√
1− r2drdθ =
∫ pi
2
0
−1
3
(1− r2) 32 |10dθ =
∫ pi
2
0
1
3
dθ =
pi
6
.
Ate´ o momento, tratamos de superf´ıcie S descritas pela forma z = f(x, y). Nessa situac¸a˜o
e´ conveniente resolver a integral sobre o plano-xy. Agora se a superf´ıcie e´ convenientemente
escrita na forma y = g(x, z) como mostra a figura 2.16. Analogamente ao feito anteriormente
Figura 2.16: exemplo
chegamos a integral de superf´ıcie:
∫∫
S
G(x, y, z)dS =
∫∫
R
G[x, g(x, y), z] ·
√
1 +
(
∂g
∂x
)2
+
(
∂g
∂z
)2
dxdz.
onde R e´ uma regia˜o do plano-xz.
Similarmente, se temos uma superf´ıcie descrita na forma x = h(y, z) como na figura 2.17
usamos
Figura 2.17: exemplo
∫∫
S
G(x, y, z)dS =
∫∫
R
G[h(y, z), y, z] ·
√
1 +
(
∂h
∂y
)2
+
(
∂h
∂z
)2
dydz,
onde agora R e´ uma regia˜o do plano-yz.
Finalmente se tivermos uma superf´ıcie com va´rias partes, podemos usar de forma conve-
niente cada uma das deduc¸o˜es anteriores.
2.3. CALCULANDO INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES 23
Vamos voltar ao nosso problema inicial, que era calcular o valor da integral de superf´ıcie
sobre um campo vetorial, ∫∫
S
F · ndS,
onde trocamos o campo escalar G(x, y, z) por F · n . Pelo que ja´ feito ate´ agora,
∫∫
S
F · ndS =
∫∫
R
F · n
√
1 +
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂z
)2
dxdy.
Novamente usando a expressa˜o 2.1 para o vetor normal unita´rio n e que F = (Fx, Fy, Fz),
temos que
F · n = −Fx[x, y, f(x, y)]
∂f
∂x
− Fy[x, y, f(x, y)]∂f∂y + Fz[x, y, f(x, y)]√
1 +
(
∂f
∂x
)2
+
(
∂f
∂z
)2
∫∫
S
F · ndS =
∫∫
R
{
−Fx[x, y, f(x, y)]∂f
∂x
− Fy[x, y, f(x, y)]∂f
∂y
+ Fz[x, y, f(x, y)]
}
dxdy.
Onde lembramos que podemos fazer formulas ana´logas para superf´ıcies dadas por y = g(x, z)
e x = h(y, z).
Exemplo 6
Calcule a integral
∫∫
S
F · ndS, onde F(x, y, z) = iz − jy + kx e S e´ a parte do plano,
x+ 2y + 2z = 2
limitado pelas coordenadas planas, isto e´, o triaˆngulo inclinado que mostra a figura 2.18.
Assim temos,
Figura 2.18: exemplo
z = f(x, y) = 1− x
2
− y, ∂f
∂x
= −1
2
e
∂f
∂y
= −1.
Que nos da´,
Fx = z = 1− x
2
− y, Fy = −y, Fz = x.
24 CAPI´TULO 2. INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES E DIVERGEˆNCIA
Substituindo na ultima formula temos:∫∫
S
F · ndS =
∫∫
R
{[
−
(
1− x
2
− y
)]
(−1
2
) + y(−1) + x
}
dxdy
=
∫∫
R
(
3x
4
− 3y
2
+
1
2
)
dxdy.
A regia˜o R e´ mostrada na figura 2.19
Figura 2.19: exemplo
∫∫
R
(
3x
4
− 3y
2
+
1
2
)
dxdy =
∫ 1
0
∫ 2(1−y)
0
(
3x
4
− 3y
2
+
1
2
)
dxdy =
1
2
Exemplo 7
Calcule a integral
∫∫
S
F · ndS, onde F(x, y, z) = ixz + kz2 e S e´ a parte da esfera
pertencente ao primeiro octante (ver figura 2.15), enta˜o
z = f(x, y) =
√
1− x2 − y2,
e assim como ja´ vimos antes,
∂f
∂x
= −x
z
e
∂f
∂y
= −y
z
.
Que nos da´, ∫∫
S
F · ndS =
∫∫
R
[
−xz
(
−xz
)
+ z2
]
dxdy
=
∫∫
R
(
x2 + 1− x2 − y2) dxdy = ∫∫
R
(
1− y2) dxdy = ∫∫
R
dxdy −
∫∫
R
y2dxdy,
onde a regia˜o R e´ mostrada na figura 2.15. Note que a primeira integral representa a a´rea
de um quarto do c´ırculo de raio 1, que e´ igual a pi
4
. Vamos aplicar coordenadas polares para
resolver a outra integral,∫∫
R
y2dxdy =
∫ pi
2
0
∫ 1
0
r2sen2θrdrdθ =
∫ pi
2
0
sen2θdθ
∫ 1
0
r3dr =
pi
16
Assim, ∫∫
S
F · ndS = pi
4
− pi
16
=
3pi
16
.
2.4. A DIVERGEˆNCIA 25
2.4 A Divergeˆncia
Considere a integral de superf´ıcie sobre o campo vetorial qualquer F:∫∫
S
F · ndS.
Vamos tentar encontrar uma relac¸a˜o entre a integral de um campo e a divergeˆncia desse
campo. Assim, considere um cubo com lados ∆x, ∆y e ∆z paralelos aos eixos coordenados,
figura 2.20. Suponha que o ponto central do cubo tenha coordenadas (x, y, z). Calculemos
Figura 2.20: exemplo
a integral de superf´ıcie de F sobre a superf´ıcie do cubo. Essa integral pode ser dividida em
6 termos, onde cada uma sera´ uma face do cubo. Vamos comec¸ar considerando a face S1,
indicada na figura 2.20, assim ∫∫
S1
F · ndS.
O vetor normal unita´rio dessa face e´ claramente o vetor i. Temos assim que F · i = Fx, e a
integral correspondente, ∫∫
S1
Fx(x, y, z)dS.
Suponha que esse cubo e´ tal pequeno quando necessa´rio (eventualmente, faremos sua a´rea
tender a zero). Consequentemente, calculamos esta´ integral aproximando o valor de Fx pelo
seu valor no centro da face S1 e multiplicaremos pela a´rea dessa face
1. As coordenadas do
centro de S1 sa˜o (x+ ∆x/2, y, z). Assim,∫∫
S1
Fx(x, y, z)dS ≈ Fx
(
x+
∆x
2
, y, z
)
∆y∆z.
O mesmo procedimento pode ser aplicado a face S2, pore´m o vetor normal unita´rio para essa
face e´ −i e o ponto central da face sera´ (x−∆x/2, y, z), assim,∫∫
S2
F · ndS = −
∫∫
S2
Fx(x, y, z)dS ≈ −Fx
(
x− ∆x
2
, y, z
)
∆y∆z.
1Existe um teorema do valor me´dio, que diz que a integral de Fx sobre S1 e´ igual a a´rea de S1 multiplicada
pela func¸a˜o calculada em algum ponto de S1. Desde que S1 seja suficientemente pequena o ponto onde
dever´ıamos calcular Fx e o ponto central do cubo estara˜o suficientemente pro´ximos, ale´m disso, faremos a
a´rea desse cubo tender a zero, o que nos dara´ o valor exato dessa integral.
26 CAPI´TULO 2. INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES E DIVERGEˆNCIA
Somando a contribuic¸a˜o dessas duas faces, temos que∫∫
S1+S2
F · ndS ≈
[
Fx
(
x+
∆x
2
, y, z
)
− Fx
(
x− ∆x
2
, y, z
)]
∆y∆z
=
Fx
(
x+ ∆x
2
, y, z
)− Fx (x− ∆x2 , y, z)
∆x
∆x∆y∆z.
Considerando que ∆V = ∆x∆y∆z, o volume do cubo, temos que
1
∆V
∫∫
S1+S2
F · ndS ≈ Fx
(
x+ ∆x
2
, y, z
)− Fx (x− ∆x2 , y, z)
∆x
Agora fac¸a esse limite quando o valor de ∆V se aproxima de zero. Claramente quando o
volume de ∆V tende a zero2, a mesma coisa acontece para cada lado do cubo. Assim do
lado direito da equac¸a˜o temos que lim∆x→0 no lugar de lim∆V→0, e finalmente
lim
∆V→0
1
∆V
∫∫
S1+S2
F · ndS = lim
∆x→0
Fx
(
x+ ∆x
2
, y, z
)− Fx (x− ∆x2 , y, z)
∆x
=
∂Fx
∂x
em (x, y, z). Essa u´ltima igualdade segue da definic¸a˜o de derivadas parciais. Na˜o deve ser
nenhuma surpresa que os outros dois pares de faces do cubo contribuem com ∂Fy/∂y e
∂Fz/∂z. Assim,
lim
∆V→0
1
∆V
∫∫
S
F · ndS = ∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
.
O limite do lado esquerdo da u´ltima equac¸a˜o e´ a divergeˆncia de F. Assim demostramos, o
que ja´ hav´ıamos definido,
divF =
∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
.
2.5 A divergeˆncia em coordenadas cil´ındricas e esfe´ricas
Agora ao inve´s de usarmos as coordenadas cartesianas para o calculo do da divergeˆncia
usaremos outro sistema de coordenadas. Comec¸aremos usando o sistema de coordenadas
cil´ındricas. Neste sistema o campo vetorial F tem treˆs componentes que chamaremos de Fr,
Fθ e Fz, ver figura 2.21 Para obtermos a divergeˆncia de F em coordenadas cil´ındricas, vamos
considerar ‘cubo cil´ındrico’ como mostra a figura 2.22 com volume ∆V = r∆r∆θ∆z e centro
no ponto (r, θ, z)3. O fluxo de F na face 1 e´∫∫
S1
F · ndS =
∫∫
S1
FrdS ≈ Fr
(
r +
∆r
2
, θ, z
)(
r +
∆r
2
)
∆θ∆z,
ja´ na face 2,∫∫
S2
F · ndS = −
∫∫
S2
FrdS ≈ −Fr
(
r − ∆r
2
, θ, z
)(
r − ∆r
2
)
∆θ∆z,
2Note que a proposta e´ calcularmos esse mesmo limite em todas as faces do cubo.
3Note que em coordenadas cartesianas 2.20 cada face do cubo tem e´ dada por uma equac¸a˜o da forma,
x =constante, y =constante e z =constante. Da mesma forma, cada face da superf´ıcie na figura 2.21 e´ dada
por uma equac¸a˜o da forma r =constante, θ =constante e z =constante.
2.6. O TEOREMA DA DIVERGEˆNCIA 27
Figura 2.21: exemplo
Figura 2.22: exemplo
Como fizemos no cubo, vamos somar as duas faces e dividir o resultado pelo seu volume,∫∫
S1+S2
F · ndS ≈ 1
r∆r
[(
r +
∆r
2
)
Fr
(
r +
∆r
2
, θ, z
)
−
(
r − ∆r
2
)
Fr
(
r − ∆r
2
, θ, z
)]
,
quando mandamos o limite de ∆r (consequentemente o de ∆V ) para zero, temos
1
r
∂
∂r
(rFr).
Fazendo o mesmo procedimentos para as outras 4 faces temos que a divergeˆncia em coorde-
nadas cil´ındricas e´:
divF =
1
r
∂
∂r
(rFr) +
1
r
∂Fθ
∂θ
+
∂Fz
∂z
. (2.2)
Em coordenadas esfe´ricas as componentes de F sa˜o Fr, Fθ e Fφ (ver figura 2.23), procedendo
como no caso anterior temos que a divergeˆncia em coordenadas esfe´rica e´ dada pela expressa˜o,
divF =
1
r2
∂
∂r
(r2Fr) +
1
rsenφ
∂
∂φ
(senφFφ) +
1
rsenφ
∂Fθ
∂θ
. (2.3)
2.6 O Teorema da Divergeˆncia
Agora gastaremos o nosso tempo estudando um famoso teorema que estabelece uma relac¸a˜o
entre a integral de superf´ıcie e a integral de volume. Este fato, e´ conhecido como Teorema
da Divergeˆncia ou simplesmente ‘Teorema de Gauss’. Esse teorema e´ muitas vezes utilizado
em aplicac¸o˜es f´ısicas, um exemplo e´ a sua utilizac¸a˜o em eletrosta´tica.
28 CAPI´TULO 2. INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES E DIVERGEˆNCIA
Figura 2.23: exemplo
Na˜o daremos uma prova formal e rigorosa desse teorema, tal prova pode ser encontrada
em um livro de calculo mais avanc¸ado.
Considere um superf´ıcie fechada. Subdivida o volume V delimitado por S em N sub-
volumes, isso e´ mostrado na figura 2.24(desenhamos um cubo por convenieˆncia). Comec¸aremos
Figura 2.24: exemplo
a prova afirmando que o fluxo de um campo vetorial F(x, y, z) sobre a superf´ıcie S e´ igual a
soma dos fluxos de todas as superf´ıcies de cada sub-volume:∫∫
S
F · ndS =
N∑
l=1
∫∫
Sl
F · ndS. (2.4)
Agora Sl e´ a superf´ıcie fechada que tem sub-volume ∆Vl. Para estabelecermos a equac¸a˜o
2.4, considere 2 sub-volumes adjacentes (ver figura 2.25). Seja S0 a face em comum a essas
duas superf´ıcies. Claramente o fluxo nos dois sub-volumes teˆm suas contribuic¸o˜es na face
S0, ou seja, temos ∫∫
S0
F · n1dS e
∫∫
S0
F · n2dS,
onde n1 e´ o vetor normal unita´rio a face S0, na convenc¸a˜o usual, nos pontos do sub-volume
1. Ja´ n2 e´ o vetor normal unita´rio as pontos do sub-volume 2. Claramente, n1=-n2.
Dessa forma, todos as faces comuns a dois sub-volumes iram se cancelar na soma da
equac¸a˜o 2.4, pois∫∫
S0
F · n1dS +
∫∫
S0
F · n2dS =
∫∫
S0
F · n1dS −
∫∫
S0
F · n1dS = 0.
2.6. O TEOREMA DA DIVERGEˆNCIA 29
Figura 2.25: exemplo
Como vimos todos esses termos sa˜o cancelados na equac¸a˜o 2.4, ou seja eles na˜o contribuem na
soma. De fato, isso acontece para qualquer dois sub-volume adjacentes. Mais toda superf´ıcie
dos sub-volumes, salvo as que pertencem a superf´ıcie original, sa˜o adjacentes a alguma outra
superf´ıcie de um outro sub-volume. Assim os u´nicos termos que na˜o se cancelam na equac¸a˜o
2.4 sa˜o os que pertencema superf´ıcie S. O que valida a equac¸a˜o 2.4.
Agora re-escreva a equac¸a˜o 2.4 na seguinte forma curiosa:∫∫
S
F · ndS =
N∑
l=1
[
1
∆Vl
∫∫
Sl
F · ndS
]
∆Vl. (2.5)
Claramente, isto na˜o altera nada desde que no´s apenas multiplicamos o termo dividido da
soma por ∆Vl, o sub-volume fechado pela superf´ıcie Sl. No´s agora podemos particionar o
volume original V em um nu´mero grande de sub-volumes cada vez menores. Em outras
palavras, no´s passamos o limite na soma da Equac¸a˜o 2.5 com o nu´mero de sub-diviso˜es
tendendo a infinito e cada ∆Vl tendendo para zero. No´s reconhecemos que o limite da
quantidade nos cubos da Equac¸a˜o 2.5 e´, por definic¸a˜o (∇ · F)l, que e´, a divergeˆncia de F
calculada em um ponto de ∆Vl que e´ pequeno. Assim, para cada ∆Vl realmente pequeno,
temos da Equac¸a˜o 2.5 que ∫∫
S
F · ndS =
N∑
l=1
(∇ · F) ∆Vl. (2.6)
No limite, essa soma, por definic¸a˜o e´ a integral tripla de ∇ · F sobre o volume fechado por
S:
lim
N→∞
cada ∆Vl→0
N∑
l=1
(∇ · F) ∆Vl ≡
∫∫∫
V
∇ · FdV.
Juntando a u´ltima equac¸a˜o com a equac¸a˜o 2.4, encontramos o resultado desejado:∫∫
S
F · ndS =
∫∫∫
V
∇ · FdV. (2.7)
Este e´ o Teorema da Divergeˆncia. Em palavras, diz que o fluxo de uma func¸a˜o vetorial
atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ igual a integral tripla da divergeˆncia dessa func¸a˜o sobre
o volume limitado pela superf´ıcie.
30 CAPI´TULO 2. INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES E DIVERGEˆNCIA
a maior raza˜o da prova dada na˜o ser considerada rigorosa e´ que a integral tripla e´ definida
como o limite de uma soma da forma:
N∑
l=1
g(xl, yl, zl)∆Vl,
onde a func¸a˜o g e´ bem definida. Na equac¸a˜o 2.5, entretanto, o quantidade que multiplica
o elemento de volume ∆Vl em cada termo da soma na˜o e´ uma func¸a˜o bem definida neste
sentido. Isto e´, como ∆Vl tende a zero a quantidade nos cubos muda; pode ser identificada
como a divergeˆncia de F somente no limite. Felizmente, um estudo rigoroso mostra que a
Equac¸a˜o 2.7 e´ valida se F (que e´, Fx, Fy e Fz) e´ continua e diferencia´vel, e suas primeiras
derivadas sa˜o continuas em V e em S.
Figura 2.26: exemplo
Vamos agora ilustrar o teorema da divergeˆncia. Para isso vamos resolver um exemplo
simples. Seja F(x, y, z) = ix + jy + kz e escolha para S a superf´ıcie da figura 2.26, que
e´ a semi-esfera de raio 1 e a regia˜o R do plano xy e´ limitada pelo circulo unita´rio. Neste
hemisfe´rio temos que n = ix+ jy + kz, assim F · n = x2 + y2 + z2 = 1. Neste hemisfe´rio,∫∫
F · ndS =
∫∫
dS = 2pi,
onde a u´ltima igualdade segue do fato que a integral e´ meramente a a´rea do hemisfe´rio
unita´rio. Na regia˜o R temos que n = −k com isso F · n = −z,∫∫
F · ndS = −
∫∫
z dx dy = 0,
pois z = 0 em toda regia˜o R. Dessa forma, na˜o existe contribuic¸a˜o da regia˜o circular R na
integral de superf´ıcie e ∫∫
S
F · ndS = 2pi.
Por outro lado, trivialmente calculamos o ∇ · F = 3. Segue que∫∫∫
V
∇ · FdV = 3
∫∫∫
V
dV = 3
2pi
3
= 2pi
onde usamos o fato que o volume do hemisfe´rio unita´rio e´ 2pi/3. Dessa forma, as integrais
de superf´ıcie e volume sa˜o iguais como mostra a Equac¸a˜o 2.7.
2.7. EXERCI´CIOS 31
2.7 Exerc´ıcios
1. Encontre o vetor normal unita´rio nos seguintes casos:
a) z = 2− x− y;
b) z = (x2 + y2)1/2;
c) z = (1− x2)1/2;
d) z = x2 + y2;
e) z = (1− x2/a2 − y2/a2)1/2.
2. a) Mostre que o vetor normal unita´rio para o plano
ax+ by + cz = d
e´ dado por
n = ± ia+ jb+ kc
(a2 + b2 + c2)1/2
b) Explique geometricamente por que o vetor normal na˜o depende da constante d.
3. Calcule a integral de superf´ıcie
∫∫
S
G(x, y, z)dS
a) G(x, y, z) = z, onde S e´ a parte do plano x+ y + z = 1 no primeiro octante;
b) G(x, y, z) =
1
1 + 4(x2 + y2)
, onde S e´ a parte do paraboloide z = x2 + y2 entre
z = 0 e z = 1;
c) G(x, y, z) = (1− x2 − y2)3/2, onde S e´ o hemisfe´rio z = (1− x2 − y2)1/2.
4. Calcule a integral de superf´ıcie
∫∫
S
F · ndS
a) F(x, y, z) = ix−kz, onde S e´ a parte do plano x+y+2z = 2 no primeiro octante;
b) F(x, y, z) = ix+ jy + kz, onde S e´ o hemisfe´rio z = (1− x2 − y2)1/2;
c) F(x, y, z) = jy+ k, onde S e´ a parte do paraboloide z = 1− x2− y2 no plano-xy.
5. A`s vezes as integrais de superf´ıcie podem ser calculadas sem usar os procedimentos
esboc¸ados no texto. Calcule
∫∫
S
F · ndS para cada item abaixo. Pense um pouco e
evite muito trabalho!
a) F = ix+ jy + kz, onde S sa˜o os quadrados de lado b, mostrados a figura 2.27;
32 CAPI´TULO 2. INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES E DIVERGEˆNCIA
Figura 2.27: exerc´ıcio
Figura 2.28: exerc´ıcio
b) F = (ix+ jy) ln(x2 + y2), onde S e´ o cilindro (incluindo o fundo e o topo) de raio
R e altura h, como mostra a figura 2.28;
c) F = (ix + jy + kz)e−x
2+y2+z2 , onde S e´ a esfera de raio R centrada na origem,
como mostra a figura 2.29;
Figura 2.29: exerc´ıcio
d) F = iE(x), onde E(x) e´ um func¸a˜o escalar qualquer que so´ depende de x. E S e´
o cubo de lado b, como mostra a figura 2.30.
6. a) Sejam i, j e k os vetores unita´rios em coordenadas cartesianas e er, eθ, e ez os
2.7. EXERCI´CIOS 33
Figura 2.30: exerc´ıcio
vetores unita´rios em coordenadas cil´ındricas. Mostre que
i = er cos θ − eθ sen θ,
j = er sen θ − eθ cos θ,
k = ez.
b) Escreva a func¸a˜o (−ixy + jx2)/(x2 + y2), onde (x, y) 6= (0, 0), em coordenadas
cil´ındricas e calcule sua divergeˆncia utilizando a equac¸a˜o 2.2.
7. a) Sejam i, j e k os vetores unita´rios em coordenadas cartesianas e er, eθ, e eφ os
vetores unita´rios em coordenadas esfe´ricas. Mostre que
i = er senφ cos θ + eφ cosφ cos θ − eθ sen θ,
j = er senφ sen θ + eφ cosφ sen θ + eθ cos θ,
k = er cos θ − eφ senφ.
[Sugesta˜o: E´ mais fa´cil expressar er, eθ, e eφ em termos de i, j e k e a seguir
resolve algebricamente para i, j e k. Para fazer isto, use primeiramente que
er = r/r = (ix + jy + kz)/r. Depois, resolva geometricamente, mostre que
eθ = −i sen θ + j cos θ. Finalmente, calcule eφ = eθ × er ]
b) Escreva a func¸a˜o ix+ jy + kz, em coordenadas esfe´ricas e calcule sua divergeˆncia
utilizando a equac¸a˜o 2.3.
8. Verifique o teorema da divergeˆncia∫∫
S
F · n dS =
∫∫∫
V
∇ · F dV
para os seguintes casos:
a) F = ix+ jy + kz, onde S sa˜o os quadrados de lado b, mostrados a figura 2.30;
b) F = err + ezz), r = ix + jy e S e´ um quarto do cilindro (de raio R e altura h),
como mostra a figura 2.31;
c) F = err
2, r = ix+ jy+ kz, onde S e´ a esfera de raio R centrada na origem, como
mostra na figura 2.29;
34 CAPI´TULO 2. INTEGRAIS DE SUPERFI´CIES E DIVERGEˆNCIA
Figura 2.31: exerc´ıcio
9. a) Use o teorema da divergeˆncia para mostrar que
1
3
∫∫
S
n · r dS = V,
onde S e´ fechada que limita uma regia˜o de volume V , n e´ um vetor unita´rio
normal a superf´ıcie S, e r = ix+ jy + kz.
b) Use a expressa˜o dada no item a) para encontrar o volume de:
i) um paralelep´ıpedo de lados a, b e c.
ii) um cone circular com altura h e base de raio R. [Sugesta˜o: O calculo e´
simples com o cone orientado como mostra a figura 2.32].
Figura 2.32: exerc´ıcio
iii) uma esfera de raio R.
Cap´ıtulo 3
Integral de Linha e o Rotacional
3.1 Trabalho e Integral de Linha
A propriedade dos campos eletrosta´ticos que no´s comec¸aremos agora a discutir esta´ intima-
mente ligada com a pergunta do trabalho e da energia. Voceˆ se lembra da definic¸a˜o elementar
de trabalho, forc¸a vezes distaˆncia. Assim, em uma dimensa˜o, se a forc¸a F (x) atua de x = a
para x = b, o trabalho e´ dado, por definic¸a˜o,∫ b
a
F (x) dx.
Para podermos falar de uma situac¸a˜o mais geral, devemos introduzir o conceito de integral
de linha.
Figura 3.1: exemplo
Suponha que tenhamos uma curva em treˆs dimenso˜es (figura 3.1) e suponha que essa
curva seja direcionada. Isso significa que colocamos uma seta sobre a curva e definimos
esse sentido comoo positivo. Seja s um comprimento de arco ao longo da curva medido de
algum ponto arbitra´rio nela com s = s1 em um ponto P1 e s = s2 em P2. Suponha que
tenhamos uma func¸a˜o f(x, y, z) definida sobre essa curva, C. Subdivida a curva C entre P1
e P2 em N pedac¸os arbitra´rios. A figura 3.1 mostra um exemplo com 4 subdiviso˜es. Em
seguida, junte os pontos sucessivos da subdivisa˜o por segmentos de reta, diga que l-e´simo,
tem comprimento ∆Sl. Agora, calcule o valor de f(x, y, z) em (xl, yl, zl), qualquer ponto na
35
36 CAPI´TULO 3. INTEGRAL DE LINHA E O ROTACIONAL
l-e´sima subdivisa˜o da curva, e fac¸a o produto f(x, y, z) ∆Sl. Feito isso para cada um dos N
segmentos de C, fac¸a a soma
N∑
l=1
f(x, y, z) ∆Sl.
Por definic¸a˜o, a integral de linha de f(x, y, z) ao longo da curva C e´ o limite dessa soma
quando o numero de subdiviso˜es N se aproxima do infinito fazendo o o comprimento de cada
arco se aproximar a zero:∫
C
f(x, y, z) ds = lim
N→∞
cada ∆Sl→0
N∑
l=1
f(x, y, z) ∆Sl.
Para calcular a linha integral, precisamos saber o caminho de C. Geralmente a maneira mais
conveniente de especificar este caminho e´ usar s para parametriza-lo via comprimento de
arco. Assim, escrevemos x = x(s), y = y(s) e z = z(s). Neste caso, a integral de linha se
reduz a: ∫
C
f(x, y, z) ds =
∫ s2
s1
f(x(s), y(s), z(s)) ds.
Vamos ver um exemplo, por simplicidade trabalharemos em duas dimenso˜es, calcule∫
C
(x+ y) ds,
onde C e´ a linha reta que sai da origem ate´ a coordenada (1, 1), ver figura 3.2. Se (x, y)
Figura 3.2: exemplo
sa˜o a coordenada de qualquer ponto P em C e se s e´ a medida do seu comprimento de arco
desde a origem, enta˜o x = s/
√
2 e y = s/
√
2. Dessa forma, x+ y = 2s/
√
2 =
√
2s. Assim,∫
C
(x+ y) ds =
√
2
∫ √2
0
s ds =
√
2.
Vamos integrar agora a mesma func¸a˜o x+ y de (0, 0) para (1, 1) considerando as subdi-
viso˜es mostradas na figura 3.3. Temos que separar a integral em duas partes, ao longo de
C1, e ao longo de C2. Em C1 temos x = s e y = 0. Assim, x+ y = s, e∫
C1
(x+ y) ds =
∫ 1
0
s ds =
1
2
.
3.2. INTEGRAL DE LINHA ENVOLVENDO CAMPO VETORIAL 37
Figura 3.3: exemplo
Ao longo de C2, x = 1 e y = s, note que o comprimento de arco desse segmento e´ medido a
partir do ponto (1, 0). Segue que,∫
C2
(x+ y) ds =
∫ 1
0
(1 + s) ds =
3
2
.
Somando os dois resultados temos que,∫
C
(x+ y) ds =
∫
C1
(x+ y) ds+
∫
C2
(x+ y) ds =
1
2
+
3
2
= 2.
A lic¸a˜o a ser aprendida e´ esta: o valor de uma integral pode (geralmente) depender do
caminho de integrac¸a˜o.
3.2 Integral de Linha Envolvendo Campo Vetorial
Embora a discussa˜o precedente nos diga o que e´ uma integral de linha, o tipo de integral
de linha que no´s devemos tratar aqui tem uma caracter´ıstica que ainda na˜o foi mencionada.
No´s introduzimos as integrais de linha atrave´s do conceito de trabalho. Trabalho, no sentido
mais elementar, e´ o deslocamento da forc¸a no tempo. Essa elaborac¸a˜o torna-se mais clara
quando reconhecemos que forc¸a e deslocamento sa˜o vetores.
Assim, considere uma partic¸a˜o da curva C em treˆs dimenso˜es (figura 3.4). Vamos supor
Figura 3.4: exemplo
38 CAPI´TULO 3. INTEGRAL DE LINHA E O ROTACIONAL
que sob a ac¸a˜o de uma forc¸a um objeto se move neste caminho de s1 para s2. Em qualquer
ponto P da curva designaremos f(x, y, z) como a ac¸a˜o dessa forc¸a. A componente de f que
exerce o trabalho e´, por definic¸a˜o, simplesmente a que atua ao longo da curva, isto e´, a
componente tangencial. Seja t o vetor unita´rio que e´ tangente a curva no ponto P 1. Enta˜o
o trabalho realizado pela forc¸a em mover o objeto de s1 para s2 ao longo da curva C e´
T =
∫
C
f(x, y, z)·t ds,
onde se compreende, naturalmente, que a integrac¸a˜o comec¸a em s = s1 e termina em s = s2.
A nova caracter´ıstica desta integral e´ que o integrando e´ o produto escalar de duas func¸o˜es
vetoriais. Para avaliarmos essa integral devemos saber encontrar t, e e´ esse o problema que
tentaremos resolver agora.
Considere um curva arbitra´ria C (ver figura 3.5) parametrizada pelo comprimento de
arco. Em algum ponto s na curva temos que x = x(s), y = y(s) e z = z(s). Em um outro
Figura 3.5: exemplo
ponto s+ ∆s temos x+ ∆x = x(s+ ∆s), y+ ∆y = y(s+ ∆s) e z+ ∆z = z(s+ ∆s). Assim,
o segmento de reta que une os dois pontos na curva direcionada do primeiro ao segundo e´ o
vetor ∆r = i∆x+ j∆y + k∆z, onde
∆x = x(s+ ∆s)− x(s),
∆y = y(s+ ∆s)− y(s),
∆z = z(s+ ∆s)− z(s).
Se dividirmos esse vetor por ∆s, temos
∆r
∆s
= i
∆x
∆s
+ j
∆y
∆s
+ k
∆z
∆s
Tomando o limite quando ∆s se aproxima de zero, temos
i
dx
ds
+ j
dy
ds
+ k
dz
ds
1t e´ uma func¸a˜o de x, y e z e na realidade deveria ser escrita como t(x, y, z). Escreveremos simplismente
t para simplificar a notac¸a˜o.
3.2. INTEGRAL DE LINHA ENVOLVENDO CAMPO VETORIAL 39
afirmamos que esse limite e´ o campo t. Para comec¸ar, e´ claro que quando ∆s→ 0, o vetor
∆r tangeˆncia a curva s. Ale´m disso, no limite ∆s→ 0, vemos que |∆r→ ∆s|. Portanto, no
limite a norma deste vetor e´ 1. Segue que
t = i
dx
ds
+ j
dy
ds
+ k
dz
ds
Se retornarmos agora a expressa˜o do trabalho T e usarmos a formula de t, encontramos
T =
∫
C
f(x, y, z)·t ds =
∫
C
f(x, y, z) ·
[
i
dx
ds
+ j
dy
ds
+ k
dz
ds
]
ds =
∫
C
(fx dx+ fy dy + fz dz).
Esta e´ uma expressa˜o formal; frequentemente, para realizar a integrac¸a˜o, e´ u´til restaurar o
ds como ilustra o exemplo a seguir.
Considere
f(x, y, z) = iy − jx
e a curva mostrada na figura 3.6. Para calcular
∫
C
(f · t) ds neste caso, divida a curva C em
treˆs partes, C1, C2 e C3 como mostramos. Considerando fz = 0, temos
Figura 3.6: exemplo
∫
C
f · t ds =
∫
C
fx dx+ fy dy =
∫
C
y dx− x dy
Agora, em C1, y = 0 e dy = 0, assim C1 na˜o contribui na integral. Similarmente, em C3
temos x = 0 e dx = 0, o que da´ resultado igual a zero. Assim, a u´nica contribuic¸a˜o para a
integral sobre C e a parte em C2. Restaurando o ds, temos∫
C
(
y
dx
ds
− xdy
ds
)
ds.
Mas (1− x)/s = cos 450 = 1/√2 e (1− x)/s = sen 450 = 1/√2 (figura 3.7). Assim,
x = 1− s√
2
⇒ dx
ds
= − 1√
2
y =
s√
2
⇒ dy
ds
=
1√
2
 0 ≤ s ≤
√
2.
40 CAPI´TULO 3. INTEGRAL DE LINHA E O ROTACIONAL
Figura 3.7: exemplo
Dessa forma, a integral e´
∫ √2
0
[
s√
2
(
− 1√
2
)
−
(
1− s√
2
)
1√
2
]
ds = − 1√
2
∫ √2
0
ds = −1.
Um segundo exemplo de integral de linha envolvendo func¸o˜es vetoriais, seja
f(x, y, z) = ix2 − jxy,
e tome C o quarto de circulo de raio R orientado como mostra a figura 3.8. Enta˜o temos
Figura 3.8: exemplo
∫
C
f · t ds =
∫
C
x2 dx− xy dy.
Considerando x = R cos θ, y = R sen θ, encontramos esta integral como∫ pi/2
0
[R2 cos2 θ(−R sen θ)−R2 sen θ cos θ(R cos θ)] dθ = −2R3
∫ pi/2
0
cos2 θ sen θ dθ = −2R
3
3
.
3.3. O ROTACIONAL 41
3.3 O Rotacional
Se no´s e´ dado uma func¸a˜o vetorial F(x, y, z) e perguntado, “ Poderia ser esse um campo
eletrosta´tico?”, podemos, a principio, responder. Se∮
F · t ds 6= 0
sobre uma curva enta˜o F na˜o pode ser um campo eletrosta´tico. Se∮
F · t ds = 0
sobre qualquer curva fechada, enta˜o F pode (mas na˜o tem que ser) ser um campo ele-
trosta´tico. Claramente, este crite´rio na˜o e´ fa´cil de aplicar, pois devemos saber que a cir-
culac¸a˜o de F e´ zero sobre todos os caminhos poss´ıveis.
Vamos tentar encontrar um crite´rio mais u´til. Considere a circulac¸a˜o de F em um
retaˆngulo pequeno paralelo ao plano xy, com lados ∆x e ∆y e com o ponto central (x, y, z),
ver figura 3.9 Como e´ mostrado na figura 3.9, faremos a integrac¸a˜o no sentido anti-hora´rio
de que olha de cima do plano xy. Vamos quebrar essaintegral de linha em quatro par-
tes: CB (parte inferior), CR (lado direito), CL (lado direito) e CT (parte superior). Essa
Figura 3.9: exemplo
retaˆngulo e´ pequeno (eventualmente no limite faremos ele tender a zero), no´s aproximare-
mos a integral sobre cada segmento por F · t avaliado no centro do segmento, multiplicado
pelo comprimento do segmento2.
Consideraremos CB primeiro, temos que∫
CB
F · t ds =
∫
CB
Fx dx ∼= Fx
(
x, y − ∆y
2
, z
)
∆x. (3.1)
Em CT encontramos,∫
CT
F · t ds =
∫
CT
Fx dx ∼= −Fx
(
x, y +
∆y
2
, z
)
∆x. (3.2)
2Releia a primeira nota de roda pe´ da sec¸a˜o 2.4 do Cap´ıtulo 2 e assim temos um argumento que da´
suporte a essa argumentac¸a˜o.
42 CAPI´TULO 3. INTEGRAL DE LINHA E O ROTACIONAL
O sinal negativo aqui se refere ao fato que∫
CT
Fx dx =
∫
CT
Fx
dx
ds
ds
e dx/ds = −1 em CT . Somando as equac¸o˜es 3.1 e 3.2 temos,∫
CT+CB
F · t ds ∼= −
[
Fx
(
x, y +
∆y
2
, z
)
∆x− Fx
(
x, y − ∆y
2
, z
)
∆x
]
∼= −
Fx
(
x, y +
∆y
2
, z
)
− Fx
(
x, y − ∆y
2
, z
)
∆y
∆x∆y.
Claramente ∆x∆y e´ a a´rea de ∆S do retaˆngulo. Assim,
1
∆S
∫
CT+CB
F · t ds ∼= −
Fx
(
x, y +
∆y
2
, z
)
− Fx
(
x, y − ∆y
2
, z
)
∆y
. (3.3)
Exatamente a mesma ana´lise se aplica ao lado esquerdo e direito do retaˆngulo (CLeCR)
resultando em
1
∆S
∫
CL+CR
F · t ds ∼=
Fy
(
x+
∆x
2
, y, z
)
− Fy
(
x− ∆x
2
, y, z
)
∆x
. (3.4)
Fazendo a soma da equac¸o˜es 3.3 e 3.4 e tomando o limite quando ∆S se fecha sobre o ponto
(x, y.z) (neste caso, ∆x e ∆y → 0 ao mesmo tempo), encontramos
lim
∆S→0
sobre (x,y,z)
1
∆S
∫
F · t ds = ∂Fy
∂x
− ∂Fx
∂y
,
onde estamos considerando a circulac¸a˜o em torno do retaˆngulo pequeno. Voceˆ pode querer
se perguntar sobre a generalidade e a unicidade deste resultado pois ele e´ obtido usando uma
curva especial para a integrac¸a˜o: primeiro, um retaˆngulo, e segundo, ele e´ paralelo ao plano
xy. Se a curva na˜o for um retaˆngulo, mas uma curva plana da forma arbitra´ria, na˜o afetaria
nosso resultado (exerc´ıcios 1 e 12). Mas nosso resultado definitivamente depende em especial
da orientac¸a˜o da curva na integrac¸a˜o. A escolha da orientac¸a˜o A escolha da orientac¸a˜o feita
acima sugere claramente duas outras, que sa˜o mostradas na figura 3.10 junto com o resultado
do ca´lculo, para cada uma de
lim
∆S→0
sobre (x,y,z)
1
∆S
∫
F · t ds.
Cada uma dessas treˆs curvas sa˜o nomeadas com base no vetor normal a a´rea delimitada
por elas. A convenc¸a˜o usada e´: Trace a curva C de modo que a a´rea delimitada por ela esteja
3.3. O ROTACIONAL 43
Figura 3.10: exemplo
Figura 3.11: exemplo
sempre a esquerda, como mostra a figura 3.11. Enta˜o escolha o vetor normal de modo que
ele aponte para “acima” no sentido mostrado na figura 3.11. Esta convenc¸a˜o e´ chamada da
regra da ma˜o direita, para que se a ma˜o direita e´ orientada de modo que os dedos ondulem
no sentido em que a curva e´ seguida, o polegar, estendido, aponte no sentido do vetor normal
(figura 3.11). Usando a regra da ma˜o direita, temos o seguinte:
calculando lim
∆S→0
∮
F · t ds
∆S
para uma curva a` qual o normal e´ i, temos
∂Fz
∂y
− ∂Fy
∂z
,
para uma curva a` qual o normal e´ j, temos
∂Fx
∂z
− ∂Fz
∂x
,
para uma curva a` qual o normal e´ k, temos
∂Fy
∂x
− ∂Fx
∂y
,

(3.5)
Dizemos que essas treˆs quantidades sa˜o as coordenadas cartesianas do vetor. Daremos o
nome a este vetor de o “rotacional de F”, que escreveremos como rot F. Assim, temos que
rot F =, i
(
∂Fz
∂y
− ∂Fy
∂z
)
+ j
(
∂Fx
∂z
− ∂Fz
∂x
)
+ k
(
∂Fy
∂x
− ∂Fx
∂y
)
(3.6)
44 CAPI´TULO 3. INTEGRAL DE LINHA E O ROTACIONAL
Esta expressa˜o e´ frequentemente e´ dada como a definic¸a˜o do rotacional, mas no´s preferi-
mos considera´-la meramente como o forma do rotacional em coordenadas cartesianas. No´s
definiremos o rotacional como o limite da circulac¸a˜o quando a a´rea tende a zero. Mas preci-
samente, seja
∫
Cn
F · t ds a circulac¸a˜o de F sobre uma curva com normal n como mostra a
figura 3.12. Enta˜o por definic¸a˜o
Figura 3.12: exemplo
n·rot F = lim
∆S→0
sobre (x,y,z)
1
∆S
∮
F · t ds.
Tomando n sucessivamente igual a i, j e k, temos de volta o resultado dado na Equac¸a˜o 3.6.
Esse limite, em geral, tem valores diferentes para pontos (x, y, z) diferentes, o rotacional de
F e´ a func¸a˜o vetorial da posic¸a˜o 3. Embora em nosso trabalho supomos sempre que a a´rea
delimitada pela curva de integrac¸a˜o e´ plana, isto, necessariamente na˜o precisa acontecer.
Desde que o rotacional seja definido em termos de um limite no qual a superf´ıcie fechada se
aproxime de zero para qualquer ponto, no estagio final desse processo de limite a superf´ıcie
fechada e´ infinitessimalmente pro´xima do plano, e todas as considerac¸o˜es feitas se aplicam.
A expressa˜o 3.6 dada para o rot F em coordenadas cartesianas e´ quase imposs´ıvel de
ser lembrada, por sorte existe uma forma mais fa´cil de memoriza-la. Se expandirmos o
determinante de ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z
Fx Fy Fy
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
e se certos “produtos” sa˜o interpretados como derivadas parciais (por exemplo, (∂/∂x)Fy =
∂Fy/∂x), o resultado e´ ideˆntico ao dado na expressa˜o 3.6
4. Assim, a angu´stia de recordar a
fo´rmula de rot F em coordenadas cartesianas pode ser substitu´ıda pela dor de recordar como
expandir o determinante treˆs por treˆs. A vontade do cliente.
3A palavra rotac¸a˜o (abreviada “rot”) ja´ foi usada para o que no´s chamamos agora de rotacional. Embora
esse terno tenha deixado de ser usado a muito tempo: Se rotF = 0, a func¸a˜o F e´ dita irrotacional.
4Um matema´tico varia objec¸a˜o a isto, estritamente falando, um determinante na˜o pode conter vetores ou
operadores. Pore´m na˜o estamos fazendo nenhum erro grave, pois nosso “determinante” e´ meramente uma
ajuda a memo´ria.
3.4. O ROTACIONAL EM COORDENADAS CILI´NDRICAS E ESFE´RICAS 45
Um exemplo de calculo do rotacional, considere a func¸a˜o vetorial
F(x, y, z) = ixz + jyz − ky2.
Temos,
rot F =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z
xy yz −y2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = i(−2y − y) + j(x− 0) + k(0− 0) = −3iy + jx.
Voceˆ pode ter observado que o operador rotacional pode ser escrito em termos da notac¸a˜o
com delta que introduzimos anteriormente. Voceˆ mesmo pode verificar que
rot F = ∇× F,
que e´ lida “delta versos F”. A partir de agora usaremos ∇× F para indicar o rotacional.
3.4 O Rotacional em Coordenadas Cil´ındricas e Esfe´ricas
Para obtermos a forma do ∇×F em outro sistema de coordenadas procederemos da mesma
maneira que fizemos para coordenadas cil´ındricas, meramente usaremos a curva para inte-
grac¸a˜o apropriada. Como um exemplo, usaremos o caminho mostrado na figura 3.14 isso nos
dara´ a componente z do ∇×F em coordenadas cil´ındricas5. Note que o trac¸o da curva esta´
em concordaˆncia com a regra da ma˜o direita dada na outra sec¸a˜o. Vendo a curva de acima
(como no´s fazemos na figura 3.14), a integral de linha de F(r, θ, z) · t ao longo do segmento
Figura 3.13: exemplo
do caminho marcado 1 e´ ∫
C1
F · t ds ' Fr
(
r, θ − ∆θ
2
, z
)
∆r,
5Analogamente a forma cartesiana de ∇ × F, cada curva de integrac¸a˜o (ver figuras 3.9 e 3.10) tem a
forma x =constante, y =constante ou z =constante. Similarmente, de forma ana´loga, na forma cil´ındrica,
cada segmento de cada caminho e´ da forma r =constante, θ =constante ou z =constante.
46 CAPI´TULO 3. INTEGRAL DE LINHA E O ROTACIONAL
enquanto oo longo do segmento 3 temos∫
C3
F · t ds ' −Fr
(
r, θ +
∆θ
2
, z
)
∆r.
A a´rea limitada pela curva e´ r∆r∆θ, e
1
∆S
∫
C1+C3
F · t ds ' − ∆r
r∆r∆θ
[
Fr
(
r, θ +
∆θ
2
, z
)
− Fr
(
r,θ − ∆θ
2
, z
)]
.
No limite quando ∆r e ∆θ tendem a zero, isto e´
−1
r
Fr
∂θ
avaliado no ponto (r, θ, z).
Ao longo do segmento 2 encontramos∫
C2
F · t ds ' Fθ
(
r +
∆r
2
, θ, z
)(
r +
∆r
2
)
∆θ,
e ao longo do segmento 4∫
C4
F · t ds ' −Fθ
(
r − ∆r
2
, θ, z
)(
r − ∆r
2
)
∆θ.
Assim,
1
∆S
∫
C2+C4
F · t ds ' − ∆θ
r∆r∆θ
[(
r +
∆r
2
)
Fθ
(
r +
∆r
2
, θ, z
)
−
(
r − ∆r
2
)
Fθ
(
r − ∆r
2
, θ, z
)]
.
No limite temos (1/r)(∂/∂r)(rFθ) avaliado em (r, θ, z). Dessa forma,
(∇× F)z ≡ lim
∆S→0
∮
C
F · t ds = 1
r
∂
∂r
(rFθ)− 1
r
∂Fr
∂θ
.
Para encontrar as componentes r e θ de ∇ × F os caminhos sa˜o mostrados na figura 3.14,
respectivamente. Deixaremos como exerc´ıcio a obtenc¸a˜o dessas duas componentes.
Para completar as treˆs componentes do ∇×F em coordenadas cil´ındricas sa˜o dadas por:
(∇× F)r = 1
r
∂Fz
∂θ
− ∂Fθ
∂z
,
(∇× F)θ = ∂Fr
∂z
− ∂Fr
∂r
,
(∇× F)z = 1
r
∂
∂r
(rFθ)− 1
r
∂Fr
∂θ
.
Vamos calcular um exemplo de rotacional em coordenadas cil´ındricas, considere a func¸a˜o
F(r, θ, z) = err
2z + eθrz
2 cos θ + ezr
3
3.4. O ROTACIONAL EM COORDENADAS CILI´NDRICAS E ESFE´RICAS 47
Figura 3.14: exemplo
enta˜o
(∇× F)r = 1
r
∂
∂θ
(r3)− ∂
∂z
(rz2 cos θ) = −2rz cos θ,
(∇× F)θ = ∂
∂z
(r2z)− ∂
∂r
(r3) = −2r2,
(∇× F)z = 1
r
∂
∂r
(r2z2 cos θ)− 1
r
∂
∂θ
(r2z) = 2z2 cos θ,
portanto
∇× F = −2errz cos θ − 2eθr2 + 2ezz2 cos θ.
As treˆs componentes do rot F em coordenadas esfe´ricas sa˜o as seguintes:
(∇× F)r = 1
r senφ
∂
∂φ
(senφFθ)− 1
r senφ
∂Fφ
∂θ
,
(∇× F)φ = 1
r senφ
∂Fr
∂θ
− 1
r
∂
∂r
(rFθ),
(∇× F)θ = 1
r
∂
∂r
(rFφ)− 1
r
∂Fr
∂φ
.
Vamos calcular um exemplo de rotacional em coordenadas esfe´ricas, considere a func¸a˜o
F(r, θ, φ) =
er
rθ
+
eφ
r
+
eθ
r cosφ
enta˜o
(∇× F)r = 1
r senφ
∂
∂φ
(
senφ
1
r cosφ
)
− 1
r senφ
· 0 = sec
2 φ
r2 senφ
,
(∇× F)φ = 1
r senφ
∂
∂θ
(
1
rθ
)
− 1
r
∂
∂r
(cosφ) = − 1
r2θ2 senφ
,
(∇× F)θ = 1
r
∂
∂r
(1)− 1
r
∂
∂φ
(
1
rθ
)
= 0.
48 CAPI´TULO 3. INTEGRAL DE LINHA E O ROTACIONAL
Assim
∇× F = sec
2 φ
r2 senφ
er − 1
r2θ2 senφ
eφ.
3.5 O Teorema de Stokes
Nos concentraremos a partir de agora em um famoso teorema. Este teorema, que tem o nome
do matema´tico Stokes, relaciona uma integral de linha em torno de um caminho fechado a
uma integral da superf´ıcie sobre o que e´ chamado uma “superf´ıcie cobrindo” o caminho,
assim a primeira coisa a fazermos e´ definir este termo. Suponha que tenhamos uma curva
fechada C, como mostra a figura 3.15, e imagine que ela e´ feita de fio. Agora suponha que
Figura 3.15: exemplo
no´s anexamos uma membrana ela´stica ao fio como indicado na figura 3.16. Essa membrana
Figura 3.16: exemplo
e´ uma “superf´ıcie cobertura” da curva C. Qualquer outra superf´ıcie que possa ser formada
esticando a membrana e´ uma “superf´ıcie cobrindo”; um exemplo e´ mostrado na figura 3.17.
A figura 3.18 mostra quatro diferentes superf´ıcies cobertura de um caminho plano: (a) a
Figura 3.17: exemplo
regia˜o do plano fechado pelo circulo: (b) um hemisfe´rio com o circulo como base; (c) o cone
com o circulo como base, e (d) o cilindro tambe´m com o circulo como base.
3.5. O TEOREMA DE STOKES 49
Figura 3.18: exemplo
Apo´s essas notas pre´vias, voceˆ na˜o sera´ surpreendido ao no´s ver comec¸ar o teorema de
Stokes considerando uma curva fechada C e uma superf´ıcie cobertura S (ver figura 3.19)
Como temos feito anteriormente, aproxime essa superf´ıcie cobertura por poliedros de N
Figura 3.19: exemplo
faces, onde cada um e´ tangente a S em apenas um ponto (ver figura 3.20). Note que com
Figura 3.20: exemplo
isso automaticamente criamos uma poligonal (marcada com P na figura 3.20) que e´ uma
aproximac¸a˜o para a curva C. Seja F(x, y, z) uma func¸a˜o vetorial bem comportada definida
em toda a regia˜o do espac¸o ocupada pela curva C e pela superf´ıcie cobertura S. Considere
a circulac¸a˜o de F em torno de Cl, o bordo da l-e´sima face do poliedro:∮
Cl
F · t ds.
Se no´s fazemos isto para cada um das faces do poliedro e enta˜o adicionamos juntas todas as
circulac¸o˜es, afirmamos que esta soma sera´ igual a` circulac¸a˜o de F em torno da poligonal P :
N∑
l=1
∮
Cl
F · t ds =
∮
P
F · t ds. (3.7)
50 CAPI´TULO 3. INTEGRAL DE LINHA E O ROTACIONAL
Isto na˜o e´ dif´ıcil de ser provado. Considere duas faces adjacentes como mostra a figura 3.21.
A circulac¸a˜o em torno da face do lado esquerdo inclui o segmento AB, que e´
∫ B
A
F · t ds.
Figura 3.21: exemplo
Mas o segmento AB e´ comum a ambas as faces, e contribui tambe´m para circulac¸a˜o da face
do lado direito que e´ ∫ A
B
F · t ds = −
∫ B
A
F · t ds.
Note que o segmento AB tem uma direc¸a˜o na face a esquerda, e a direc¸a˜o contra´ria na face
a direita. Dessa forma, quando olharmos a contribuic¸a˜o do segmento AB na circulac¸a˜o de
F observamos que ∫ B
A
F · t ds+
∫ A
B
F · t ds = 0.
Dessa forma, se torna claro que qualquer segmento comum a duas faces adjacentes na˜o con-
tribui na soma da equac¸a˜o 3.7 porque tais segmentos sempre vem em pares que se cancelam.
Mas todos os segmentos sa˜o comuns a pares de faces adjacentes exceto aqueles, somados
juntos, que constituem a poligonal P . Isso estabelece a equac¸a˜o 3.7.
Agora vamos fazer uma ana´lise muito similar a feita no caso do teorema da divergeˆncia.
Escreva ∮
P
F · t ds =
n∑
l=1
∮
Cl
F · t ds =
N∑
l=1
[
1
∆Sl
∮
Cl
F · t ds
]
∆Sl, (3.8)
onde ∆Sl e´ a a´rea da l-e´sima face. O valor entre pareˆntese, e´ aproximadamente, igual a
nl·(∇× F)l onde nl e´ o vetor normal unita´rio positivo em cada l-e´sima face e (∇× F)l e´
o rotacional da func¸a˜o vetorial F avaliada no ponto da l-e´sima face que e´ tangente a S.
Dizemos “aproximadamente” porque e´ na realidade o limite quando ∆Sl tende para zero
na expressa˜o entre pareˆntese na equac¸a˜o 3.8, que e´ identificada com nl·(∇× F)l. Ignorando
essa falta de rigor, escrevemos
lim
N→∞
cada ∆Sl→0
N∑
l=1
[
1
∆Sl
∮
Cl
F · t ds
]
∆Sl = lim
N→∞
cada ∆Sl→0
N∑
l=1
nl·(∇× F)l∆Sl
=
∫∫
S
n · (∇× F) dS.
(3.9)
Desde que a curva C seja o limite da poligonal P , temos
lim
N→∞
cada ∆Sl→0
∮
P
F · t ds =
∮
C
F · t ds. (3.10)
3.5. O TEOREMA DE STOKES 51
Combinando as equac¸o˜es 3.8, 3.9 e 3.10, chegamos, finalmente, no Teorema de Stokes:∮
C
F · t ds =
∫∫
S
n · (∇× F) dS (3.11)
onde S e´ “qualquer” superf´ıcie cobertura da curva C. Assim, em palavras, o teorema de
Stokes diz que a integral de linha da componente tangencial de uma func¸a˜o vetorial sobre
um caminho fechado e´ igual a integral de superf´ıcie da componente normal do rotacional da
func¸a˜o vetorial sobre qualquer superf´ıcie cobertura do caminho. O teorema de Stokes vale
para qualquer func¸a˜o vetorial F que e´ continua e diferencia´vel e tem derivadas continuas em
C e S.
Vamos trabalhar em um exemplo. Tome F(x, y, z) = iz + jx − kx, com C o c´ırculo de
raio 1 centrado na origem no plano xy, e S a parte do plano xy limitada por esse c´ırculo
(ver figura 3.22) Agora
Figura 3.22: exemplo
F · t ds = z dx+ x dy − x dz.
Assim,
∮
F · t ds =
∮
x dy. Vamos usar a parametrizac¸a˜o de C em ternos do aˆngulo θ
mostrado na figura 3.22. Assim, escrevemos∮
x dy =
∮
x
dy
dθ
dθ =
∫ 2pi
0
cos2 θ dθ = pi,
onde usamos x = cos θ e y = sen θ.
O pro´ximo calculo e´:
∇× F =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z
z x −x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2j + k
Aqui a superf´ıcie cobertura e´ uma parte do plano xy, tal que o normal unita´rio na orientac¸a˜opositiva e´ n = k. Assim,
n · ∇ × F = k · (2j + k) = 1
e ∮
n · ∇ × F dS =
∮
S
dS = pi,
52 CAPI´TULO 3. INTEGRAL DE LINHA E O ROTACIONAL
onde a u´ltima igualdade segue do fato que a integral de superf´ıcie neste caso e´ meramente a
a´rea do circulo unita´rio. Esse resultado e´ igual ao obtido anteriormente ilustrando o teorema
de Stokes.
Vamos agora calcular usando uma outra superf´ıcie cobertura, dessa vez vamos pegar um
hemisfe´rio como mostra a figura 3.23. Usando a equac¸a˜o 3.11, temos
Figura 3.23: exemplo
∫∫
S
n · ∇ × F dS =
∫∫
R
[
−2
(
−y
z
)
+ 1
]
dx dy = 2
∫∫
R
y
z
dx dy +
∫∫
R
dx dy
onde R e´ o circulo unita´rio no plano xy como mostra a figura 3.22. A segunda integral
do lado direito da igualdade e´ justamente a a´rea do circulo, e este valor e´ igual a pi. Para
calcular a primeira equac¸a˜o, usaremos coordenadas polares. E encontramos:
2
∫∫
R
y
z
dx dy = 2
∫∫
R
y dx dy√
1− x2 − y2 = 2
∫ 2pi
0
∫ 1
0
r sen θ r dr dθ√
1− r2
= 2
∫ 2pi
0
sen θ dθ
∫ 1
0
r2 dr√
1− r2 = 0.
Na˜o e´ dif´ıcil observar que a integral em θ e´ igual a zero. Logo,
∫∫
S
n · ∇ × F dS = pi, em
concordaˆncia com os resultados encontrados anteriormente.
3.6 Exerc´ıcios
1. No texto obtivemos o resultado
(∇× F)z = ∂Fy
∂x
− ∂Fx
∂y
integrando sobre um pequeno caminho retangular. Como um exemplo, que de fato esse
resultado indefere do caminho, reencontre esse resultado, usando o caminho triangular
mostrado na figura 3.24.
2. a) Calcule
∮
F · t ds onde
F = k(y + y2)
3.6. EXERCI´CIOS 53
Figura 3.24: exemplo
Figura 3.25: exemplo
sobre o per´ımetro do triaˆngulo mostrado na figura 3.25 (integrando na direc¸a˜o
indicada pelas setas).
b) Divida o resultado do item a) pela a´rea do triaˆngulo e tome o limite quando
a→ 0.
c) Mostre que o rsultado da parte b) e´ n · ∇ × F calculado no ponto (0, 0, 0) onde
n e´ o vetor normal unita´rio do triaˆngulo e saindo da origem.
3. Mostre que
∇× A× r
2
= A
onde r = ix+ jy + kz em A e´ um vetor constante.
4. Mostre que o ∇ · (∇ × F) = 0. (Suponha que a segunda derivada parcial mista e´
independente da ordem de derivac¸a˜o. Exemplo: ∂2Fz/∂x∂z = ∂
2Fz/∂z∂x)
5. No texto obtemos a componente z de ∇× F em coordenadas cil´ındricas. Proceda da
mesma forma, e obtenha as componentes θ e r.
6. Seguindo o procedimento sugerido no texto, obtenha a expressa˜o de ∇ × F em coor-
denadas esfe´ricas. A figura 3.26 pode lhe ser u´til.
7. Calcule o rotacional das func¸o˜es vetoriais abaixo em coordenadas cil´ındricas e esfe´ricas:
a) −iyz + jxz;
b) ixy + jy2 + kyz;
54 CAPI´TULO 3. INTEGRAL DE LINHA E O ROTACIONAL
Figura 3.26: exemplo
8. Toda forc¸a centr´ıfuga pode ser escrita na forma
F(r) = erf(r),
onde er e´ um vetor unita´rio na direc¸a˜o radial e f e´ uma func¸a˜o escalar. Mostre, pelo
calculo direto do rotacional, que essa func¸a˜o e´ irrotacional (isto e´, ∇× F = 0).
9. Verifique o teorema de Stokes em cada caso seguinte:
a) F = iz2 − jy2, onde C, e´ o quadrado de lado 1 no plano xz e direcionado como
mostra a figura 3.27 e S, e´ os cinco quadrados S1, S2, S3, S4 e S5 mostrados na
figura 3.27
Figura 3.27: exemplo
b) F = iy + jz + kx, onde C, e´ os treˆs quartos de c´ırculos C1, C2 e C3 direcionados
como mostra a figura 3.28 e S, e´ o octante da esfera x2 + y2 + z2 = 1 limitado por
esses treˆs arcos.
3.6. EXERCI´CIOS 55
Figura 3.28: exemplo
Figura 3.29: exemplo
c) F = iy− jx+ kz, onde C, e´ o c´ırculo de raio R no plano xy, centrado em (0, 0, 0)
e direcionado como mostra a figura 3.29 e S, e´ o cilindro de raio R e altura h
mostrado na figura 3.29. limitado por esses treˆs arcos.
10. a) Aplique o teorema da divergeˆncia na func¸a˜o
G(x, y) = iGx(x, y) + iGy(x, y),
usando com V e S a superf´ıcie mostrada na figura 3.30; Sua base e´ uma regia˜o
do plano xy, e o seu topo tem o mesmo formato, e e´ paralelo, a base, e seu lado
e´ paralelo ao eixo z. Obtenha desta maneira a relac¸a˜o
Figura 3.30: exemplo
∮
C
Gx dy −Gy dx =
∫∫
R
(
∂Gx
∂x
+
∂Gy
∂y
)
dx dy,
este e´ o teorema da divergeˆncia em duas dimenso˜es.
56 CAPI´TULO 3. INTEGRAL DE LINHA E O ROTACIONAL
b) Aplique o teorema de Stokes na func¸a˜o
F(x, y) = iFx(x, y) + iFy(x, y),
usando com C a curva fechada do plano xy mostrada na figura 3.30 e como S a
regia˜o R do plano xy limitada por C, como mostra a figura 3.30. Obtenha desta
maneira a relac¸a˜o∮
C
Fx dx+ Fy dy =
∫∫
R
(
∂Fy
∂x
+
∂Gx
∂y
)
dx dy,
este e´ o teorema de Stokes em duas dimenso˜es.
c) Mostre que em duas dimenso˜es o teorema da divergeˆncia e o teorema de Stokes
sa˜o ideˆnticos. Ele e´ conhecido como o teorema de Green.
11. a) Seja C uma curva fechada no plano xy. Quais condic¸o˜es a func¸a˜o F deve satisfazer
para que ∮
c
F · tds = A,
onde A e´ a a´rea limitada por essa curva? [Sugesta˜o: Veja o exerc´ıcio 10]
b) Deˆ um exemplo de func¸a˜o F que tenha as propriedades descritas no item a).
c) Use integral de linha para encontrar as formulas de a´rea de
(i) um retaˆngulo;
(ii) um triaˆngulo retaˆngulo;
(iii) um circulo;
12. O resultado
(∇× F)z = ∂Fy
∂x
− ∂Fx
∂y
foi estabelecido calculando a circulac¸a˜o de F em torno de um retaˆngulo e em torno de
um triaˆngulo. Neste problema voceˆ mostrara´ que o resultado vale quando a circulac¸a˜o
e´ calculada em torno de qualquer curva fechado que se encontra no plano xy.
a) Aproxime uma curva fechada arbitra´ria C por uma no plano xy por uma poligonal
P como mostra a figura 3.31. Subdivida a a´rea limitada por P em N partes de
Figura 3.31: exemplo
tal forma que a l-e´sima tenha a´rea ∆Sl. Convenc¸a-se por meio de um esboc¸o
que esta subdivisa˜o pode ser feita com somente dois tipos de partes: retaˆngulos
e triaˆngulos retaˆngulos.
3.6. EXERCI´CIOS 57
b) Seja C(x, y) = ∂Fy/∂x− ∂Fx/∂y, use a serie de Taylor para mostrar que para N
grande e cada ∆Sl pequeno,∮
P
F · t ds =
N∑
l=1
∮
Cl
F · t ds ∼= C(x0, y0)∆A+
(
∂C
∂x
)
x0,y0
N∑
l=1
(xl − x0)∆Sl
+
(
∂C
∂y
)
x0,y0
N∑
l=1
(yl − y0)∆Sl + · · · ,
onde Cl e´ o per´ımetro da l-e´sima parte, (x0, y0) e´ algum ponto na regia˜o limitada
por P , e ∆A e´ a a´rea dessa regia˜o.
c) Mostre que
lim
N→∞
cada ∆Sl→0
∮
P
F · t ds =
∮
C
F · t ds =
[
C(x0, y0) + (x− x0)
(
∂C
∂x
)
x0,y0
+ (y − y0)
(
∂C
∂y
)
x0,y0
+ · · ·
]
∆S,
onde ∆S e´ a a´rea a regia˜o R limitada por C e (x, y) sa˜o as coordenadas do
centro´ide da regia˜o R; isto e´,
x =
1
∆S
∫∫
R
x dx dy e y =
1
∆S
∫∫
R
y dx dy.
d) Finalmente, calcule
(∇× F)z = lim
∆S→0
sobre x0,y0
1
∆S
∮
C
F · t ds.
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	Introdução
	Gradiente, Divergente e Rotacional
	Exercícios
	Integrais de Superfícies e Divergência
	O vetor normal unitário
	Definição de Superfície Integráveis
	Calculando integrais de Superfícies
	A Divergência
	A divergência em coordenadas cilíndricas e esféricas
	O Teorema da Divergência
	Exercícios
	Integral de Linha e o Rotacional
	Trabalho e Integral de Linha
	Integral de Linha Envolvendo Campo Vetorial 
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	O Rotacional em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
	O Teorema de Stokes
	Exercícios