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* * NOTAÇÃO Range (amplitude) Notações Estatísticas * Sínteses Numéricas * Obs.: A média nos dá uma idéia de onde os valores do meu conjunto de dados tende a se concentrar. Medidas de Posição – Tendência Central Média aritmética * Média aritmética Exercício : Um estudante fez quatro provas e obteve as notas 89, 94, 95 e 86, a sua nota média é: Medidas de Posição – Tendência Central * É a mais importante das medidas de tendência central; A média de um conjunto de números pode ser sempre calculada; Para um dado conjunto de números, a média é única; É sensível (ou afetada) a todos os valores do conjunto. Assim se um valor se modifica, a média também se modifica; Somando-se ou reduzindo-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada ou reduzida dessa constante: µ(x ± k) = µ (x) ± k; Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor do conjunto por uma constante, a média ficará multiplicada ou reduzida por essa constante: µ(x .\ k) = µ (x) .\ k Medidas de Posição – Tendência Central * Foi introduzida recentemente nos estudos estatísticos; Se obtém eliminando do conjunto de dados os “m” maiores e os “m” menores valores; No conjunto de dados abaixo, calcular a média aparada, com m =2 1, 2, 6, 7, 6, 8, 10, 8, 12, 23, 25, 8, 9, 7, 11, 12, 13, 10, 8, 9, 7, 12, 12, 10, 9, 11,7, 8, 6, 8, 9, 10, 11, 8, 7, 11, 12, 6, 10, 9, 7, 8, 10, 6, 7, 12, 8, 9, 10, Normalmente m correspondente: 2,5% a 5% dos valores observados; Na verdade o que se está fazendo é eliminando os valores extremos superiores e inferiores (valores discrepantes - outliers); Medidas de Posição – Tendência Central * A média aritmética de todos os valores é = 9,29 Excluindo os dois menores e dois maiores valores (1, 2, 23 e 25), a média aparada é = 8,98 Medidas de Posição – Tendência Central * Cada elemento do conjunto pode ter importância diferente (peso). Neste caso o cálculo da média deve levar em conta os pesos desiguais de cada elemento. Exercício : O colégio definiu que as provas mensais teriam peso de 30% e a prova final teria peso de 40% no cálculo dos rendimentos dos alunos. Veja o quadro abaixo e calcule a média do aluno. Medidas de Posição – Tendência Central * Medidas de Posição – Tendência Central * A Mediana de um conjunto de valores é o valor do meio desse conjunto, quando estes estão em ordem crescente. Divide um conjunto de dados ordenados em dois grupos iguais. Valor central = mediana Medidas de Posição – Tendência Central * Mediana Conjunto de valores pares ( n = par) + = valor n/2 (n / 2) + 1 valor ) ( / 2 Conjunto de valores impares (n = impar) exemplo = (valor 4/2 + valor (4/2 + 1))/2 5, 7, 10, 11 n = 4 exemplo Medidas de Posição – Tendência Central * Exercício: Calcular a mediana das medidas de um conjunto de eixo: (3,0 ; 2,8 ; 2,9 ; 3,3 ; 3,5 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,0 ; 3,4 ; 2,7) (2,7 ; 2,8 ; 2,9 ; 3,0 ; 3,0 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5) Interpretação do resultado: 50% dos dados brutos são valores menores ou iguais a 3,05 e 50% desses são valores maiores ou iguais a 3,05. Medidas de Posição – Tendência Central Mediana * Salário dos funcionários de um restaurante 200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 A média de 345,7 sintetiza razoavelmente o conjunto de dados (salários) Nos dois casos a mediana é 300. Para o segundo caso a mediana representa melhor o conjunto de dados. Num conjunto de dados fortemente desviado, a mediana é uma medida mais representativa (distribuição de rendas, folha de pagamentos) Medidas de Posição – Tendência Central * A Moda de um conjunto de valores é o valor que apresenta maior freqüência em um conjunto de observações. É o valor ou classe de maior freqüência num conjunto de dados. pode não existir pode não ser única Medidas de Posição – Tendência Central * COMPARAÇÃO Medidas de Posição – Tendência Central * Resposta: (média = 1,33) (mediana = 1) (moda =1). Medidas de Posição – Tendência Central * A variabilidade de B é maior que de A = + Medidas de Dispersão * Amplitude, range ou intervalo É expresso pela diferença entre o maior e o menor valor num grupo, ou pela identificação desses dois números. (1 ; 5 ; 7 ; 13) (14 ; 3 ; 17 ; 4 ; 8 ; 73 ; 36 ; 48) (3,2 ; 4,7 ; 5,6 ; 2,1 ; 1,9 ; 10,3) 13 – 1 = 12 73 – 3 = 70 10,3 – 1,9 = 8,4 de 1 a 13 de 3 a 73 de 1,9 a 10,3 Medidas de Dispersão * Amplitude, range ou intervalo • • • • • • • • LIMITAÇÃO: só leva em conta os dois valores extremos do conjunto, nada informando sobre os outros valores. distribuição uniforme – o intervalo é uma boa medida é uma medida apenas razoável é uma medida ruim da dispersão Medidas de Dispersão * Desvio médio absoluto DMA é fácil de entender e calcular mas é pouco usado como medida de dispersão outras medidas apresentam propriedades matemáticas mais interessantes Medidas de Dispersão * Exercício: Calcule o DMA do conjunto de dados 2, 4, 6, 8, 10. Calcular o desvio médio. Desvio médio absoluto Medidas de Dispersão * Variância A Variância é uma medida de dispersão muito utilizada. Medidas de Dispersão * Variância Exercício: Calcule a variância da amostra 2, 4, 6, 8, 10. A média desse conjunto é 6. Medidas de Dispersão * Desvio padrão O desvio padrão é mais comumente usado porque se apresenta na mesma unidade da variável em análise. Assim, se a unidade da variável for mm, o desvio padrão também será mm. Isso não acontece com a variância. É a raiz quadrada da variância. Medidas de Dispersão * Desvio padrão O desvio padrão é a medida de dispersão mais usada. Quanto maior é o desvio padrão maior é a dispersão dos dados em torno da média. Medidas de Dispersão * Coeficiente de variação É a relação entre o desvio padrão e a média do conjunto de dados. Nos dá a idéia do tamanho do desvio padrão em relação à média. Uma pequena dispersão absoluta pode ser na verdade considerável quando comparada com os valores da variável amostra população Medidas de Dispersão * Exemplo: Calcular o desvio-padrão da amostra representada por: 1, 2, 4, 5, 7. Médias e Desvio-padrão - Exemplos i Xi (Xi - ) (Xi - )2 1 1 (1 – 3,8) = -2,8 (-2,8)2 = 7,84 2 2 (2 – 3,8) = -1,8 (-1,8)2 = 3,24 3 4 (4 – 3,8) = 0,2 (0,2)2 = 0,04 4 5 (5 – 3,8) = 1,2 (1,2)2 = 1,44 5 7 (7 – 3,8) = 3,2 (3,2)2 = 10,24 = 3,8 _1131695770.unknown _1131696266.unknown _1131695747.unknown * Logo : Médias e Desvio-padrão - Exemplos i Xi (Xi - ) (Xi - )2 1 1 (1 – 3,8) = -2,8 (-2,8)2 = 7,84 2 2 (2 – 3,8) = -1,8 (-1,8)2 = 3,24 3 4 (4 – 3,8) = 0,2 (0,2)2 = 0,04 4 5 (5 – 3,8) = 1,2 (1,2)2 = 1,44 5 7 (7 – 3,8) = 3,2 (3,2)2 = 10,24 = 3,8 _1131695770.unknown _1131696266.unknown _1131695747.unknown * Exercício 1: Vamos supor que eu quero comprar uma lâmpada para a minha casa e quero que ela dure pelo menos 700 h. Eu solicito a dois fabricantes o tempo de vida útil de suas lâmpadas e eles me fornecem os seguintes dados: Supondo que as duas lâmpadas custam o mesmo valor, qual delas eu deveria comprar? Médias e Desvio-padrão - Exercícios Fabricante A (h) Fabricante B (h) 730 1000 710 687 705 700 720 850 765 587 750 710 * Para chegarmos à uma conclusão é necessário calcularmos o tempo de vida útil médio para cada fabricante e saber qual é variabilidade dos dados. Critério de escolha: tempo de vida útil = média desvio-padrão Médias e Desvio-padrão - Exercícios Fabricante A (h) Fabricante B (h) 730 1000 710 687 705 700 720 850 765 587 750 710 * Fabricante A : 730 ± 23,45 h Fabricante A:[706,55 – 753,45= -46,9] Fabricante B : 755,67 ± 146,25 h Fabricante B : [609,42 – 901,92= -292,5] Conclusão : Escolheria o fabricante A. Médias e Desvio-padrão - Exercícios * Exercício 2: Um comerciante está interessado em comprar 100 garrafas de cachaça para o seu estabelecimento. No entanto, como é de preferência de sua clientela, é necessário que a cachaça escolhida apresente um teor alcoólico de no mínimo 33% em volume. Ele consultou alguns fornecedores e obteve as seguintes informações: Na sua opinião, qual deveria ser a marca escolhida pelo comerciante? Médias e Desvio-padrão - Exercícios Teor alcoólico de três tipos de aguardente pesquisadas. Marca A (R$ 3,50/l) Marca B (R$ 4,10/l) Marca C (R$ 3,65/l) 38,7 35,7 38,7 33,5 36,4 33,5 32,5 35,9 34,5 31,2 33,2 34,2 35,9 34,1 35,9 * Marca A: 34,36 ± 2,97 [31,39–37,33=-5,94] Marca B: 35,06 ± 1,35 [33,71–36,41=-2,7] Marca C:35,36 ± 2,06 [33,3–37,42=-4,12] As marcas B e C atendem ao requisito (>33%),no entanto escolheria a marca C pelo preço. Assim, teria um economia de R$ 45,00! Médias e Desvio-padrão - Exercícios Teor alcoólico de três tipos de aguardente pesquisadas. Marca A (R$ 3,50/l) Marca B (R$ 4,10/l) Marca C (R$ 3,65/l) 38,7 35,7 38,7 33,5 36,4 33,5 32,5 35,9 34,5 31,2 33,2 34,2 35,9 34,1 35,9 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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