Lista de Exercícios Introdução a Probabilidade e Estatística II

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3ª Lista de Exercícios MAE – 0229 / 2º semestre de 2019
Exercícios extraídos do livro “Estatística Básica”, de W.O. Bussab e P.A. Morettin.
1) Uma amostra aleatória de 625 donas de casa revela que 70% delas preferem a marca A de detergente. Construa um intervalo de confiança para θ: a proporção de donas de casa que preferem a marca A com coeficiente de confiança 1 – α = 90%. 
2) Estamos interessados em estimar a porcentagem de consumidores de determinado produto. Em uma amostra de 300 indivíduos, 60 consomem o produto em questão.
a) Determine o intervalo de confiança para tal proporção com coeficiente de confiança 1 – α = 95%.
b) Determine o tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda 0,02 com probabilidade de 95%.
c) Sabendo de antemão que tal proporção de interesse é no máximo de 25%, é possível obter um tamanho amostral menor do que aquele determinado em (b) satisfazendo as mesmas condições? Em caso afirmativo, determine esse novo tamanho de amostra.
3) Um fabricante de lâmpadas retira uma amostra de 400 unidades para inspeção. Para essa amostra, observou vida média das lâmpadas de 800 horas e desvio padrão de 100 horas. 
a) Construa um intervalo de confiança para a vida média das lâmpadas produzidas por esse fabricante com coeficiente de confiança 99%.
b) Com que confiança você diria que a vida média das lâmpadas é 800 ± 0,98 ? 
c) Que tamanho deve ter a amostra para que com probabilidade 95% o erro de estimação não exceda 7,84 ?
4) Uma certa característica populacional tem desvio padrão igual a 10.
a) Que tamanho deve ter uma amostra aleatória extraída dessa população para que, com probabilidade 8%, o erro ao estimar a média populacional dessa característica seja superior a uma unidade?
b) Colhida uma amostra de tamanho igual ao valor obtido em (a), qual é o intervalo de confiança para o parâmetro de interesse se a média amostral é igual a 50 ?
5) Uma amostra de 10.000 itens de um lote de produção foi inspecionada. Para cada item, foi registrado o número de defeitos. A tabela abaixo exibe um resumo do resultado da inspeção dessa amostra. 
	Número de defeitos
	0
	1
	2
	3
	4
	Quantidade de peças
	6.000
	3200
	600
	150
	50
Determine um intervalo de confiança para a prorporção de itens defeituosos na população com coeficiente de confiança de 98%.
6) Antes de uma eleição em que existiam dois candidatos, A e B, foi feita uma pesquisa com 400 eleitores escolhidos ao acaso e verificou-se que 208 deles pretendiam votar no candidato A. Construa um intervalo de confiança, com coeficiente de confiança 1 – α = 0,95, para a porcentagem de eleitores favoráveis ao candidato A na época das eleições.
7) Consideremos duas populações. Na população 1, uma característica de interesse tem média θ1 e desvio padrão σ1. Na população 2, a mesma característica de interesse tem média θ2 e desvio padrão σ2. Sorteiam-se duas amostras independentes: uma da primeira população, de tamanho n, e uma da segunda população, de tamanho m. Considere σ1 e σ2 conhecidos. Construa o intervalo de confiança para a diferença entre as médias populacionais, θ1 – θ2 , com coeficiente de confiança 1 – α.
8) Estão sendo estudados dois processos para conservar certo tipo de alimento. A principal característica de interesse é o tempo de duração do alimento sob consideração. No processo A, o tempo de duração do alimento, X, é distribuído segundo o modelo Normal de média θA e variância 100. No processo B, o tempo de duração, Y, é normalmente distribuído com média θB e desvio padrão 10. Sorteiam-se duas amostras independentes: a do processo A, com 16 latas, apresentou um tempo médio de duração de 50, e a do processo B, com 25 latas, duração média igual a 60.
a) Construa intervalos de confiança para θA e θB, separadamente.
b) Para avaliar se os dois processo têm o mesmo desempenho, decidiu-se construir um intervalo de confiança para θA – θB. Caso o zero pertença ao intervalo obtido, decide-se que existe evidência de igualdade dos processos; caso contrário, decide-se que os processos não são igualmente eficientes. Qual seria sua resposta com base nos resultados das duas amostras?
9) Considere uma amostra aleatória de tamanho 100 do modelo Normal (θ1 , θ2). Seja θ = (θ1 , θ2). Para testar H0: θ = (1150 , 22500) contra H1: θ = (1150 , 40000), definiu-se a seguinte região crítica: RC = [1170 , +∞[.
a) Qual é a probabilidade de rejeitar H0 quando verdadeira?
b) Qual é a probabilidade de aceitar H0 quando H1 é verdadeira?
c) Qual deve ser a região crítica para que as probabilidades de erro do tipo I e de erro do tipo II sejam iguais?
10) Se, ao lançarmos três vezes uma moeda, aparecerem 3 coroas, decidimos rejeitar a hipótese de que a moeda é “honesta” (isto é, que a probabilidade de coroa, θ, é igual a 1/2). Quais as probabilidades de erro de tipo I e de erro de tipo II se θ = 2/3? 
11) A variável X, custo de manutenção de um tear, pode ser considerada como tendo distribuição Normal de média θ e desvio padrão 20 unidades. Os valores possíveis de θ são 200 ou 210. Para verificar qual dos dois valores é o mais razoável, pretende-se coletar uma amostra de 25 teares. Defina:
a) uma hipótese a ser testada.
b) uma regra de decisão para as hipóteses formuladas em (a) e encontre as probabilidades dos erros de tipo I e de tipo II.
12) Um fabricante de cigarros anuncia que o índice médio de nicotina dos cigarros que fabrica apresenta-se abaixo de 23mg por cigarro. Um laboratório realiza 6 análises desse índice, obtendo: 27, 24, 21, 25, 26, 22. Sabe-se que o índice de nicotina se distribui normalmente com variância igual a 4,86mg2. Pode-se aceitar, ao nível 10%, a afirmação do fabricante?
13) Os produtores de um programa de televisão pretendem modificá-lo se for assistido regularmente por menos de um quarto dos possuidores de televisão. Uma pesquisa encomendada a uma empresa especializada mostrou que, de 400 famílias entrevistadas, 80 assistem ao programa regularmente. Com base nesses dados, qual deve ser a decisão dos produtores?
14) Um fabricante garante que 90% das peças que fornece a uma indústria estão de acordo com as especificações exigidas. O exame de uma amostra de 200 peças desse fabricante revelou 25 peças defeituosas. Teste a afirmativa do fabricante aos níveis 5% e 1%.
15) Seja X uma variável aleatória com distribuição Binomial de parâmetros n = 15 e θ. Considere H0: θ ≥ 1/2 contra H1: θ < 1/2. Considere a seguinte região crítica para testar H0 versus H1: RC = {0,1,2}.
a) Calcule a probabilidade de erro do tipo I se θ = 1/2 .
b) Calcule a probabilidade de erro do tipo II se θ = 3/10. 
16) O custo X de manutenção de teares segue uma distribuição Normal de média θ e desvio padrão 20. Os valores possíveis de θ são 200 ou 210. Para verificar qual dos dois valores é o mais razoável, pretende-se coletar uma amostra de teares e conduzir um teste para as hipóteses H0: θ = 200 contra H1: θ = 210 de modo que a correspondente probabilidade de erro do tipo I seja 5% e que a probabilidade de erro do tipo II seja 10%.
a) Qual deve ser o tamanho da amostra nesse caso?
b) Qual é a região crítica nesse caso?