cálculo 1 exercícios

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Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
91
CAPÍTULO 6 - INTEGRAL INDEFINIDA E TÉCNICAS DE PRIMITIZAÇÃO
 6.1- Definição
Na matemática freqüentemente ocorre conhecermos a derivada de uma função, e desejarmos encontrar a
própria função. Exemplo, conhecemos a velocidade 
dt
ds
v = de uma partícula e necessitamos encontrar a sua
posição ( )tfs = . Para resolver esse problema precisamos “desfazer” a derivação ( ou diferenciação), isto é, temos
que anti-diferenciar (ou integrar) a função.
Para achar a anti-diferencial ou integral de uma função temos efetuar a operação inversa da diferenciação. Por
exemplo, tomando a função 
2xy = , sua derivada é obtida, multiplicando o x pelo expoente 2 e em seguida
subtraindo uma unidade do expoente de x , ou seja x2y =′ e a diferencial é xdx2dy= . A operação inversa (integral)
seria obtida dividindo a derivada pelo expoente e somando uma unidade no expoente, da forma: Integral (de x2 )
Cx
2
x2 2
11
+==
+
. Note que a função recuperada contém uma constante indeterminada, pois se derivarmos
( )
x2
dx
Cxd 2 =+ que é a mesma derivada da qual partimos.
A operação inversa da diferenciação pode ser representada por um símbolo conhecido como integral ( )∫ que
se parece com um “ s ” alongado. Assim, dada uma diferencial de uma função, ( )dxxfdy ′= , aplicando nela a operação
inversa, isto é, a integral tem-se
( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ′=→′=→′= dxxfydxxfdydxxfdy
Portanto, as operações fundamentais no cálculo integral são representadas por
( )dxxfdy ′= (diferencial de uma função)
e
∫ += cydy , que é a integral de uma diferencial da função mais uma constante.
( )∫ += cxfdy ,esta expressão é conhecida como a primeira parte do teorema fundamental do cálculo. A
constante indeterminada que aparece na integração é que dá origem ao nome de “integração indefinida”.
Exercícios
1) Qual a função cuja diferencial é 2x.dx ?
Resposta: y = x2 + c.
2) Qual a função cuja diferencial é cos x.dx ?
Resposta: y = sen x + c.
3) Qual a função cuja diferencial é ex.dx ?
Resposta: y = ex + c.
Disciplina
Prof. Sale
ou seja
∫ +=
∫ +=
∫ +=
cxe.dxxe
csenx x.dxcos
c2x2x.dx
Definição:
Uma função g (x) é dita antiderivada ou integral de uma função f (x) se g‘(x) = f(x)
∫ =⇔+= f(x)(x)g'cg(x)f(x)dx , onde c é uma constante arbitrária que possa assumir infinitos valores, também
chamada constante de integração. Sua determinação só é possível quando se fixa uma condição inicial.
Exercícios
1) Deter ine a equação da família de curvas sabendo-se que a inclinação da tangente a ela em qualquer de seus
ponto é o dobro da abcissa do ponto considerado. Determine também a curva da família que passa pelo ponto P (1,
3).
D
P
6.2- Integ
S
∫ =dy
Note-se q
não defin
Observaç
e esta fun
Dentre de
escolha d
m
s
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eterminar: y = f (x) / 
dx
dy
= 2x
dy = 2x.dx
∫ ∫= 2x.dxdy
y = x2 + c → Família de curvas
asse pelo ponto P (1, 3)
3 = 1 + c
c = 2
y = x2 + 2 Pertence à família e passa pelo ponto P (1, 3).
ral Indefinida de Funções de Uma Variável
e a derivada de uma função é nx
dx
dy = , sua diferencial dy será dxxdy n= e sua integral
∫ += cdxxy n , que resultará em
1nparac
1n
x
cdxx
1n
n −≠++=+∫
+
 
ue a expressão acima não é válida para 1−=n , pois teria-se ∞===∫ − 010xdxx
0
1 , isto é, a integral fica
ida. Porém, esta integral é definida como segue:
ão: Para resolver-se este problema foi necessário encontrar uma função cuja derivada fosse igual a ela mesma,
ção é xe .
 todas as possíveis bases para uma função exponencial, há uma que é mais conveniente para este propósito. Na
a base a para a função xay = pesa muito a forma com a qual ela cruza o eixo Y .
( ) cxn
x
dx +=∫ l
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6.3- Propriedade das Integrais
a) ∫ ∫ ∫ ∫−+=−+ dwdvdudw)dv(du .
b) ( ) ( )∫ +=+′ cxfcdxxf
c) ∫ +=+ cxcdx
d) ( ) ( )∫ ∫= xdxfadxxaf sendo a uma constante.
e) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) xdxgbxdxfadxxbgxaf ∫∫ ∫ +=+ (distributiva)
Exemplo:
1) ∫ + x).dxcos(4x
∫ ∫ +++=+→
→∫ ∫ ∫ ∫+=+→
1csenxc
22xcosx.dx2x.dx2aaplicando
cosx.dx2.2x.dxcosx.dx4x.dxdaplicando
(c+c1)=c2 → 2x2 + sen x + c2
Exercícios:
1) ∫ += c
4
4x
dx3x
2) c
3
x2x
c
3
3x2
c
2
3
2
3
x
dx2
1
xdxx +=+=+∫ =∫ =
3) c
6
64)(2x
2
1
du5u
2
1
2dx
5
4)(2x
2
1
2.dxdu
42xu
dx
5
4)(2x ++∫ ==∫ +→=
+=→∫ + 

1. ∫ dxxx
x3
x2xe
Y
1
0
( ) ( ) 1tan
0
==
=x
x
dx
edθ
θ
( ) ( ) 1,13tan
0
==
=x
x
dx
dθ
( ) ( ) 7.02tan
0
==
=x
x
dx
dθ
A função natural xe cruza o eixo y com uma inclinação igual a 1
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2. ∫ 3 xdx
3. ∫ +− dx)1xx6( 2
4. ∫ + dx.x)4x( 32
5. c
4
x
c
13
x
dxx
413
3 +=++=
+∫
6. c
6
x
7dxx7
6
5 +=∫
7. cxx
3
2
x
3
2
2/3
x
12/1
x
dxxdxx 3
2/312/1
2
1 +===+==
+∫ ∫
8. c
x
2
x2
15
x
8dxx8dx
x
8
4
4
15
5
5
+−=−=+−==
−+−−∫ ∫
9. ( ) cx2
2
x
4
3
x
3dx2xdx4dxx3dx2x4x3
23
22 +++=++=++ ∫∫∫ ∫
10. ( ) cx7xx
3
2
x
2
5
x7
2/3
x
2
x
5dx7dxxxdx5dx7xx5 2
2/32
2
1 +−+=−+=−+=−+ ∫∫ ∫ ∫
11. cxx
5
2
x
5
2
2/5
x
dxxdxxxdxxx 22 5
2/5
2
3
2
1 +====⋅= ∫∫ ∫
12. c
x
2
2/1
x
dxxdxxdxxxdx
x
x 2/123221221
2
+−=−===⋅=
−−−− ∫∫∫ ∫
13. ( ) ( ) cxxxxxxxxxxdxxxxxdxxxx ++=+=+=+++=⋅+⋅=+
++∫∫ 3223 753/72/513/412/331213 735273523/72/513/412/3
14. cxx
8
3
x
8
3
3/8
x
dxxdxxxdx
x
x 3 223 8
3/8
35312
3
2
+====⋅= ∫∫∫
todos esses exemplos só envolvem o x elevado a um expoente. Agora vamos generalizar essa fórmula para o
caso de se ter nu ao invés de só x , sendo ( )xfu = .
6.4- Integração por substituição de variáveis
Para calcular uma integral do tipo ( )∫ + dx5xx 1002 , se o método convencional fosse usado, teria de
desenvolver-se o binômio ( )1002 5x + , o que resulta em 101 termos, a serem integrados termo a termo, o que seria no
mínimo enfadonho.
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Pelo método da substituição, faz-se:
5xu 2 +=
x2
du
dxxdx2du =⇒=⇒
que substituída na integral dá:
( ) c
202
u
101
u
2
1
duu
2
1
x2
du
uxdx5xx
101101
1001001002 +=⋅==⋅=+ ∫∫∫
voltando para x tem-se
( ) ( ) c
202
5x
dx5xx
10121002 ++=+∫
 6.4.1- Regra geral para integrais do tipo ( )∫ + sdxaxx qp
Outros problemas que podem ser resolvidos por substituição. Exemplo, descobrir os valores dos expoentes
para que a expressão seja integrável
( )∫ + sdxaxx qp , faz 11 −− =⇒=⇒+= qqq qxdudxdxqxduaxu
Substituindo na integral vem
duxu
q
1
x.q
du
ux 1qps
1q
p +−
− ∫∫ =⋅ ⇒ para que x desapareça, temos duas condições:
1a ) 01qpou01qp =−==+− , então a integral para ser integrável tem que ser do tipo
( ) dxaxx sq1q∫ +−
2a ) condição é p1qp =+− (neste caso qx é obtido de axu q += ) Então, 1q2p −= que substituído na integral
resulta
( )dxaxx q1q2∫ +−
Note-se que o expoente “ s ” e a constante “ a ” são quaisquer.
Exercícios
1- ( ) dxx4du9xudx9xx 34743 =∴+=⇒+∫
substituindo-se vem
∫∫ = duu41x4duux 7373 32
)9x(
8
u
4
1 848 +==
( ) c
32
)9x(
dx9xx
84743 ++=+∫
2- dx
2x
x
6
5∫ + ( ) dxx6du2xudx2xx 562
1
65 =∴+=⇒+= ∫ − substituindo-se tem-se
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∫∫ −− = duu61x6duux 2
1
5
2
15 ( ) 2162
1
)2x(
3
1
2
1
u
6
1 +==
c)2x(
3
1
dx
2x
x 6
6
5
++=
+∫
3- ∫ + dxaxx 35 ( ) dxx3duaxudxaxx 232135 =∴+=⇒+= ∫
2
233
x3
du
dxdxx3dueauxaxu =⇒=−=⇒+=
substituindo-se vem
( ) duuau
3
1
duux
3
1
x3
du
ux 2
1
2
13
2
2
15 ∫∫∫ −==
( ) ∫∫∫∫∫ −=−=− duu3aduu31duau31duu.u31duuau31 2/12/32/12/121


 +−+=


 −=− ∫∫ 2/332/532/32/52/12/3 )ax(3a2)ax(52312/3au2/5u31duu3aduu31
c)ax(
9
a2
)ax(
15
2
dxaxx 335335 ++−+=+∫ .
4- ( ) xdx2du,axudxaxxdx
ax
x 22
1
23
2
3
=+=⇒+=
+ ∫∫
−
x2
du
dxxdx2dueauxaxu 22 =⇒=−=⇒+= ,
substituindo-se tem-se:
( ) duuau
2
1
duux
2
1
x2
du
ux 2
1
2
1
22
1
3 −−− ∫∫∫ −==
( ) ∫∫∫∫∫ −−−− −=−=− duu2aduu21duau21duuu21duuau21 212/1212121


 +−+=


 −− ∫∫ − 2/132/332/12/3212/1 )ax(a2)ax(32212/1au2/3u21duu2aduu21
c)ax(a)ax(
3
1
)ax(a2)ax(
3
2
2
1 2/132/332/132/33 ++−+=

 +−+
caxa)ax(
3
1
dx
ax
x 333
2
3
++−+=
+∫ .
5- ∫ + dx21)(3x
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∫ ++=++=+=
=
+=
c
9
31)(3x
c
3
31)(3x
3
1
3dx21)(3x
3
1
3dxdu
13xu
6- ∫ dx3(2x)
∫ ∫ +===
∫ +=+==
=
=
c
4
4x
.32dx3x32dx3.x32
ou
c
8
4(2x)
c
4
4(2x)
2
1
2dx3(2x)
2
1
2dxdu
2xu
7- ∫ + dx24)(x
∫ +++=++=
++=
c16x
2
28x
3
3x
16)dx8x2(x
ou
c
3
34)(x
8- ∫ x.dx2x.sec3tan
c
4
x4tan
3n
x.dx2secdu
tanxu
+=
=
=
=
9- ∫ dxsenx.cosx.
c
2
x2cos
dxsen x du
 xcosu
dx)sen x cosx.(dx.sen x x cos
ou
c
2
x2sen
dx x cosdu
senxu
+−


−=
=
∫ −−=∫
+=


=
=
10- ∫ x.dx2tanx.sec
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c
2
xsec
dx.xtan.x
2
+=
+=



=
=
+=



=
=
∫
∫
x x.tan x.d x.secsec
ou
c
2
x2tan
x.dx2secdu
tan xu
2sec
ou
c
2
x2tan
x.dx2secdu
tanxu
11- ∫ +3 2x
dx
( ) c
2
3 22)(x3.
c
3
2
3
2
2)(x
dx3
1
2x ++=+−=∫ −+=
12- ∫
x
x.dx5ln
∫ +==



=
=
c
6
x6ln
dx
x
1
x.5ln
dx
x
1
du
lnxu
13- ∫ +3 2 4x
dx.x
c
4
)4x(.3
c
3
2
)4x(
2
1
dx.x.2du
4xu
dx.x.2.)4x(
2
1
3 223
22
2
3
12
++=++=

 =
+=
+= ∫ −
14- ∫ 3x
dx ∫ +−=+−==
−− c
x
1
c
2
x
dx.x
2
2
3
15- ∫ xdx cxln +=
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16- ∫ −+ + dx)7x5x( )5x2(2
c)7x5xln(
dx)5x2(du
7x5xu
2
2
+−+=

 +=
−+=
17- ∫ dx.xtan xsec
2
cxtanln
dx.xsecdu
xtanu
2
+=

 =
=
18- ∫ + dx.e5 e x
x
c)e5ln(
dxedu
e5u
x
x
x
++=



=
+=
19- ∫ + dx4e ex2
x2
c)4eln(
2
1
dxe.2du
4eu
dx
4e
e.2
2
1
x2
x2
x2
x2
x2
++=



=
+=
+= ∫
OBS.: →∫ dx)x(Q )x(P → ∫ ∫ ∫+=→+= )x(Q )x(r)x(q)x(Q )x(P)x(Q )x(r)x(q)x(Q )x(P
20- ∫ −+ dx4x 2x
∫ ∫ ∫ −+=−+→−+=−+ 4x dx.6dxdx4x 2x4x 614x 2x
 c)4xln(6x +−+=
21- ∫ − ++− dx2x 2xx3x 2
24
 
dx.
2x
x.2
2
1
dx).1x(dx
2x
2xx3x
2x
x
1x
2x
2xx3x
2
2
2
24
2
2
2
24
∫ ∫ ∫ −+−=− ++−
−+−=−
++−
 c)2xln(
2
1
x
3
x 2
3
+−+−=
P (x) Q (x)
 r (x) q (x)
x+2 x-4
-x+4 1
 6
x4-3x2+x+2 x2-2
-x4+2x2 x2-1
 -x2+x+2
 x2 -2
 x
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22- ∫ ++ dx1x 1x
2
23- ∫ − dxx56
x2
3 2
6.4.2- Principais Fórmulas
1) ∫ += cudu
2) c
1n
u
duu
1n
n ++=
+∫  −≠
=
1n
f(x)u
3) clnu
u
du +=∫
4) ∫ += cedue uu
5) c
lna
a
dua
u
u +=∫
6) ∫ += csenucosu.du
7) ∫ +−= ccosusenu.du
8) ∫ 

+
+−=
clnsecu
clncosu
tanu.du
9) ∫ += clnsenucotu.du
10) ( )∫ ++= ctanuseculnsecu.du
11) ∫ +−= ccotu)ln(cossecucossecu.du
12) ∫ += ctanuu.du2sec
13) ∫ +−= ccotuu.ducossec2
14) ∫ +=⋅⋅ csecudutanusecu
15) ∫ +−=⋅⋅ ccossecuducotucossecu
16) ∫ +⋅=+ cauarctana1au du 22
17) ∫ ++−⋅=− cau auln2a1au du 22
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101
18) ∫ +=− ca
u
arcsen
ua
du
22
19) ∫ +=− ca
u
arcsec
a
1
auu
du
22
** Exercícios:
1) ∫ .2.dx2xa
2
1
c
aln
x2a +=


=
=
2
1
2dxdu
2xu
2) ∫ .3.dx3xe
3
1
c3xe
3
1
3.dxdu
3xu
+=


=
=
3) ∫ dx2x
x
1
e
cedx2x)..(x
1
e)(
dx2xdu
1xu
x
1 +−=−−−=



−−=
−=
∫
4) ∫− 2x.dx.(-6)sen 2x 3.cose
6
1
cx2cos.3e
6
1
dx.x2sen6dx.2.x2sen.3du
x2cos.3u
+−=


−=−=
=
5) ∫ 


dx
2
1
x
2
1
sen2
cx
2
1
cos2cx
2
1
cos2 +

−=+

 

−=



=
=
dx
2
1
du
x
2
1
u
6) ∫ dx.3.x3cos31
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cx3sen
3
1
dx3du
x3u
+=


=
=
7) dx.x.10.)x5sen(
10
1 2∫
c)x5cos(
10
1 2 +−=
8) ∫ dx.2.x2tan21
cx2secln
2
1
dx2du
x2u
+=


=
=
9) ∫ dxxcot.x.221 2
cxsenln
2
1
xdx2du
xu
2
2
+=

 =
=
10) ∫ dyycos ysen2
cyseccycos
dy)ysen(ycos
dy.ycos.ysen
1
2
2
+=+=
=−−=
=−−=
−
−
−
∫
∫
11) ∫ + dx.2).1x2sen(21
c)1x2cos(
2
1
2du
1x2u
++−=


=
+=
12) ∫ + dx)xtan1( 2
cxtanxsecln2
cxxtanxsecln2x
dxxsecxsecln2x
dx)1x(secxsecln2x
xdxtanxdxtan2dx
dx)xtanxtan21(
2
2
2
2
++=
=+−++=
=−++=
=−++=
=++=
=++=
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
13) ∫ + 2x9 dx
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103
c
3
x
arctan
3
1
xu
9a
22
2
+=



=
=
14) ∫ +− dx9x 7x22
c
3
x
arctan
3
7
)9xln(
9x
dx
7c)9xln(
9x
dx7
9x
xdx2
2
2
2
22
+−+=
=+−++=+−+= ∫∫ ∫
15) ∫ −1x dx2
cln
2
1
1a
xu
1x
1x
2
22
+=



=
=
+
−
16) ∫ − 4x dx2
c
2x
2x
ln
4
1
4a
xu
2
22
++
−=



=
=
6.5- Generalização da integração por substituição de variáveis
Em geral esse método funciona sempre que se tiver uma integral que possa ser escrita na forma
( )( ) ( )dxxgxgf ′∫ . Observe-se que se fF =′ , então
( )[ ] ( ) ( )[ ] CxgFdxxgxgF +=′′∫ ,
pois, pela regra da cadeia
( )[ ]{ } ( )[ ] ( )xgxgFxgF
dx
d ′′=
Fazendo–se a mudança de variável ( )xgu = , obtém-se:
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫ ′=+=+=′′ duuFCuFCxgFdxxgxgF
e voltando a Ff ′= , fica
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ =′′=′ duufxgduxgufdxxgxgf .
Observe-se que a Regra de Substituição de Variáveis foi provada usando a Regra da Cadeia para diferenciação,
ou seja, se ( )xgu = , então ( )[ ] ( )dxxgdxxg
dx
d
du ′== . Assim, a regra geral que acabou de ser provada pode ser escrita
como segue.
D
P
Exercício
1- Encontre ( )( )∫ +++ dx6x42x3xcot 2
 Solução: Fazendo ( ) ( )3x2
du
dxdx3x2du2x3xu 2 +=∴+=⇒++=
( )( ) ( ) ( )( ) ( )duucot2du3x2 6x4ucotdx6x42x3xcot 2 ∫∫∫ =++=+++
( ) ( ) c2x3xsenn2cusenn2 2 +++=+ ll
( )( ) ( )[ ] c2x3xsenndx6x42x3xcot 222 +++=+++∫ l .
2- 
( )
dux2dx
x2
dx
duxudx
x
xcos =⇒=∴=⇒∫
( ) ( ) ( ) cxsen2cusen2duucos2 +=+=∫3- ( ) ( )
15
du
dxdx15dux15udxx15tanx15sec =⇒=∴=⇒∫
( ) ( ) ( ) ( ) cx15sec
15
1
cusec
15
1
duutanusec
15
1 +=+=∫
4- 
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( )dxxcotxcscduxcsc1uxcsc1
dxxcotxcsc
4
−=∴+=⇒+∫
( ) ( ) ( ) ( )xcotxcsc
du
dxdxxcotxcscdu −=⇒−=
c
)xcsc1(3
1
3
u
duuduu
3
3
44 ++−=−
−=−=−
−−− ∫∫ .
5- ( )dx4x2dux4xudx)2x)(x4xsen( 22 +=∴+=⇒++∫
( ) ( ) ( ) cx4xcos
2
1
cucos
2
1
duusen
2
1 2 ++=+=∫
6
7
6
Regra geral da substituição de Variáveis: Se ( )xgu = for uma função diferenciável cuja variação
ocorre em um intervalo I e f for contínua em I , então
 ( )[ ] ( ) ( )∫∫ =′ duufdxxgxgf
- dxx15dux5udx)x5(cscx 23322 =∴=⇒∫
- ( ) ( ) ( ) ( ) cx5cot
15
1
cucot
15
1
duucsc
15
1
x15
du
ucscx 32
2
22 +=+== ∫∫
.6- Métodos de Integração
isciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
rof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
104
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
105
6.6.1- Decomposição em Frações Parciais
 Integração das funções racionais dx∫
Q(x)
P(x)
, onde o grau de P(x) é menor que o grau de Q(x). Decomposição
em funções parciais
1o Passo:
Fatorar Q(x).
a) Os fatores de Q(x) são do 1o grau (linear) e distintos;
b) Os fatores de Q(x) são do 1o grau e repetidos;
c) Os fatores de Q(x) são do 2o grau e distintos;
d) Os fatores de Q(x) são do 2o grau e repetidos.
2o Passo:
a) Se os fatores de Q(x) forem distintos e do 1o grau: Q(x) = (x-a1) (x-a2) ... (x-an)
nax
nA...
2ax
2A
1ax
1A
Q(x)
P(x)
−++−+−=
OBS.: o número de parcelas na decomposição é igual ao número de fatores da fatoração.
3o Passo:
Tirar o mínimo múltiplo comum do 2º membro e eliminar os denominadores.
4o Passo:
Por igualdade de polinômios formar um sistema com n equações e n incógnitas: A1; A2;...;An.
Exemplo:
1) Decompor em frações parciais
3x
C
2x
B
x
A
x62x3x
1x
++−+=−+
+
6
1
A
1A6
1C2B3A
)3(0CBA
A6x)C2B3A(2x)CBA(1x
Cx22CxBx32BxA6Ax2Ax1x
)3x).(2x.(x
)2x).(x(C)3x).(x(B)3x).(2x(A
x62x3x
1x
)3x).(2x.(x)6x2x.(xx62x3x
−=



=−
=−+
−×=++
−−++++=+
−+++−+=+
+−
−++++−=
−+
+
+−=−+=−+
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106
c)3xln(
15
2
)2xln(
10
3
xln
6
1
3x
dx
15
2
2x
dx
10
3
x
dx
6
1
x6xx
1x
3x
15
2
2x
10
3
x
6
1
x6xx
1x
10
3
B
15
2
C
1C5
3
2
1C2B3
6
1
0C3B3
2
1
23
23
++−−+−=
+−−+−=−+
+
+
−
+−+
−=−+
+
=
−=
=−



=−+−
=−−
∫∫∫∫
b) Se os fatores de Q(x) forem do 1o grau e repetidos
Q(x)=(x-a)n
n)ax(
nA...
2)ax(
2A
1)ax(
1A
)x(Q
)x(P
−
++
−
+
−
=
Exemplo:
1) 
212 )1x(
C
)1x(
B
)1x(
A
)1x).(1x(
5x3
−+−++=−+
+
2
1
B
2
1
A4C
8C2
3CA2
5CA2
5CBA
3CA2
BA0BA
CCxBBxAAx2Ax5x3
)1x).(1x(
)1x(C)1x).(1x(B)1x(A
)1x).(1x(
5x3
22
2
2
2
−===
=
=+−
=+



=+−
=+−
−=→=+
++−++−=+
−+
++−++−=−+
+
∫ ∫∫∫
+−
−+−−+=
−+−−+=−+
+
−+−
−++=−+
+
−
−
c
1
)1x(4
)1xln(
2
1
)1xln(
2
1
dx)1x(4
1x
dx
2
1
1x
dx
2
1
)1x).(1x(
5x3
)1x(
4
1x
2
1
1x
2
1
)1x).(1x(
5x3
1
2
2
22
c) Se os fatores de Q(x) são do 2o grau e distintos
Q(x)=(a1x
2+b1x+c1) . (a2x
2+b2x+c2). ... . (anx
2+bnx+cn)
nn
2
n
nn
22
2
2
22
11
2
1
11
cxbxa
BXA
...
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
)x(Q
)x(P
++
+++++
++++
+=
Exemplo:
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107
1) 
)1x2x(
CBx
)1x(
A
lirredutíve
forma
)1x2x().1x(
22x
++
++−=++−
+
43421
c
4
3
2
1
x
arctan
4
3
1
)1xln(
)1xx)(1x(
2x
a
u
arctan
a
1
au
du
:lembrar
4
3
2
1
x
dx
)1xln(
)1xx)(1x(
2x
)1xx(
dx
)1x(
dx
)1xx)(1x(
2x
)1xx(
1
)1x(
1
)1xx)(1x(
2x
1C0B1A
2CA
1CA2
2CA
0CBA
1BA
)1xx)(1x(
CCxBxBxAAxAx
)1xx)(1x(
2x
2
2
2222
2
22
2
22
2
2
22
2
2
+


 +
−−=++−
+
=+⇒+

 +
−−=++−
+
++−−=++−
+
++
−+−=++−
+
−===
=−
=+



=−
=+−
=+
++−
−+−+++=++−
+
∫
∫ ∫∫
∫ ∫ ∫
d) Se os fatores de Q(x) são do 2o grau e repetidos
Q(x) = 
n
lirredutíve
c)bx2(ax 44 344 21 ++
n2
nn
22
22
2
11
c)bx(ax
BxA
...
c)bx(ax
BxA
c)bx(ax
BxA
)x(Q
)x(P
++
+++++
++++
+=
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108
Exercício:
1) 
22222
2
)3x2x(
DCx
)3x2x(
BAx
)3x2x(
2xx
++
++++
+=++
++
c
1
)3x2x(
2
1
2
)1x(
arctan
2
1
dx)3x2x)(1x(2
2
1
)3x2x(
dx
)3x2x(
2xx
)3x2x(
)1x(
)3x2x(
1
)3x2x(
2xx
1D1C1B
2DB3
1CB2A3
1BA2
0A
)3x2x(
DCxB3Bx2BxAx3Ax2Ax
)3x2x(
2xx
12
22
222
2
22222
2
22
223
22
2
+++++=
+++−++=++
++
++
−−+++=++
++
−=−==



=+
=++
=+
=
++
+++++++=++
++
−
−∫ ∫∫
Exercícios:
Resolva as integrais:
1) ∫ +
+−
dx
x32x
6x43x
2) dx
2x3x24x
12x6∫ ++
−
6.7- Integração das Potências Trigonométricas
Identidades Trigonométricas
1) 



−=
−=
u2sen1u2cos
u2cos1u2sen
2) 



+=
−=
)u2cos1(
2
1
u2cos
)u2cos1(
2
1
u2sen
3) 



−=
−=
1u2seccosu2cot
1u2secu2tan
4) 
5) 



+=
+=
u2cot1u2seccos
u2tan1u2sec
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109
a) Integrais da forma ∫ ∫ uduncosouudunsen
 i) Se n for ímpar
• ∫ − du.usen.
1identidade
u1nsen 43421
• ∫ − du.ucos.
1identidade
u1ncos 43421
Exercícios:
1) ∫ dx.x3cos
c
3
x3sen
xsen
dx.xcos.x2sendx.xcos
dx.xcos).x2sen1(
dx.xcos.
.ident
x2cos
+−=
∫ ∫−=
∫ −=
∫= 321
2) ∫ dx.x5sen
c
5
x5cos
3
x3cos2
xcos
dx.xsen).(x4cos)(dx.xsen).(x2cos)(2dx.xsen
dx.xsen)x4cosx2cos21(
dx.xsen.2)x2cos1(
dx.xsen.x4sen
+−+−=
∫ −−+∫ ∫ −−−=
∫ +−=
∫ −=
∫=
3) ∫ dx.x53cos
c
15
x53sen
x5sen
5
1
c
3
x53sen
5
1
x5sen
5
1
dx.x5cos.5.x52sen
5
1
dx.5.x5cos
5
1
dx.x5cos).x52sen1(
dx.x5cos.x52cos
+−=
+−=
∫−∫=
∫ −=
∫=
ii) Se n for par:
• ∫ du.
2identidade
unsen 321
• ∫ du.
2identidade
uncos 321
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110
Exercícios
1) ∫ dx.x32cos
[ ]
cx6sen
6
1
x
2
1
dx.x6cosdx
2
1
dx)x6cos1(
2
1
+

 +=
+=
+=
∫ ∫
∫
2) ∫ dx.
.ident
x54sen 43421
[ ]


 +++−=


 +

++−=


 ++−=


 ++−=
+−=
+−=


 −=
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
c
40
x20sen
2
x
5
x10sen
x
4
1
c
20
x20sen
2
1
2
x
x10sen
10
2
x
4
1
dx.x20cos
2
1
dx
2
1
x10sen
10
2
x
4
1
dx)x20cos1(
2
1
x10sen
10
2
x
4
1
dx.x10cosdx.x10cos2dx
4
1
dx)x10cosx10cos21(
4
1
dx)x10cos1(
2
1
2
2
2
b) Integrais da forma: ∫ du.umcos.unsen
 i) Se n ou m for ímpar:
• Suponha m ímpar:
∫ − du.ucos.
1identidade
u1mcos.unsen 43421
Exercício:
1) ∫ dx.x2sen.x2cos 36
∫= dx.x2sen.
.identx22sen.x26cos 43421
∫ ∫
∫
−=
−=
dx.x2sen.x2cosdx.x2sen.x2cos 86
dx2x).sen2x.cos2x.(1cos 26
c
9
x2cos
2
1
7
x2cos
2
1 97 ++−=
 
 ii) Se n e m forem pares:
• ∫ du.
2identidade
umcos.
2identidade
unsen 43421321
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111
Exercício
1) ∫ dx.xcos.xsen 22
[ ]
cx4sen
4
1
x
2
1
x
4
1
dx).x4cos1(
2
1
x
4
1
dx.x2cosdx
4
1
dx).x2cos1(
4
1
dx).x2cos1(
2
1
)x2cos1(
2
1
2
2
+

 

 +−=


 +−=
−=
−=
+⋅−=
∫
∫ ∫
∫
∫
c) Integrais da forma ∫ ∫ du.uncotoudu.untan
• ∫ − du.
3identidade
u2tan.u2ntan 321
• ∫ − du.
3identidade
u2cot.u2ncot 321
Exercícios:
1) ∫ dx.
.ident
x52tan 43421
cxx5tan
5
1
dxx5sec
dx)1x5(sec
2
2
+−=
−=
−=
∫ ∫
∫
2) ∫ dx.x3tan3
cx3secln
3
1
2
x32tan
3
1
dx.x3tandx.x32sec.x3tan
dx)1x32(secx3tan
dx.
.ident
x32tan.x3tan
+−=
∫ ∫−=
∫ −=
∫= 43421
3) ∫ dx.xcot 4
cxxcot
3
xcot
dx)1xsec(cos
3
xcot
dx.xcotdx.xseccos)(xcot
dx)1xsec.(cosxcot
dx.xcot.xcot
3
2
3
222
22
22
+++−=
−−−=
−−−=
−=
=
∫
∫ ∫
∫
∫
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112
d) Integrais da forma ∫ ∫ u.duncossecouu.dunsec
 i) Se n for ímpar:
 (Integra por partes)
ii) Se n for par:
• ∫ − du.u2sec.
4identidade
u2nsec 43421
• ∫ − du.u2seccos.
4identidade
u2nseccos 4434421
Exercícios:
1) ∫ dx.xsec4
∫= dx.x2sec.
.ident
x2sec 321
c
3
x3tan
xtan
dx.x2sec.x2tandx.x2sec
dx.x2sec)x2tan1(
++=
∫ ∫+=
∫ +=
2) ∫ dx.x2seccos 6
c
5
x2cot
2
1
3
x2cot
x2cot
2
1
dx.2)..(x2seccos.x2cot)
2
1
(dx.2)..(x2seccos.x2cot)
2
2
(dx.x2seccos
dx.x2seccos)x2cotx2cot21(
dx.x2seccos.)x2cot1(
dx.x2cos.x2seccos
53
24222
242
222
24
+−+−=
−−+−−−=
+−=
−=
=
∫∫ ∫
∫
∫
∫
e) Integrais da forma: ∫ ∫ du.ucot.useccosoudu.utan.usec mnmn
 i) Se n for par:
• ∫ − du.u2sec.umtan.
4identidade
u2nsec 43421
• ∫ − du.u2seccos.umcot.
4identidade
u2nseccos 4434421
Exercícios:
1) ∫ dx.xtan.xsec 64
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113
c
9
xtan
7
xtan
dx.xsec.xtandx.xsec.xtan
dx.xsec).xtanx(tan
dx.xsec.xtan).xtan1(
dx.xsec.xtan.xsec
97
2826
286
262
262
++=
+=
+=
+=
=
∫∫
∫
∫
∫
2) ∫ dx.x5cot.x5seccos 26
c
7
x5cot
5
1
5
x5cot
5
2
3
x5cot
5
1
dx).5.(x5seccos.x5cot
5
1
dx).5.(x5seccos.x5cot
5
2
dx).5.(x5seccos.x5cot
5
1
dx.x5seccos.x5cot).x5cotx5cot21(
dx.x5seccos.x5cot.)x5cot1(
dx.x5seccos.x5cot.x5seccos
753
262422
2242
2222
224
+−−−=
−

−+−

−+−−=
++=
+=
=
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
 ii) Se m for ímpar:
• ∫ −− du.utan.usec.
3identidade
u1mtan.1nsec 43421
• ∫ −− du.ucot.useccos.
3identidade
u1mcot.u1nseccos 43421
Exercícios
1) ∫ dx.xtan.xsec 33
c
3
xsec
5
xsec
dx.xtan.xsec.xsecdx.xtan.xsec.xsec
dx.xtan.xsec).1x.(secxsec
35
24
22
+−=
−=
−=
=
∫ ∫
∫
∫ x x.tan x.dx.secx.tansec 22
 iii) Se n for ímpar e m for par:
(Integração por partes)
Exercícios
1) ∫ dx.x4sen2
2) ∫ dx.x4cos3
6.7.1- Integração por Substituição Trigonométrica
Se o integrando contiver qualquer das expressões: 222222 uaouau;ua +−− onde a é constante e u é
uma função em x.
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114
Da trigonometria temos:
Identidades:
• cos 2 θ = 1 – sen 2 θ
• sec 2 θ = 1 + tan 2 θ
• tan 2 θ = sec 2 θ – 1
1o Caso:
θ=− cos.a2u2a
 Substituição:
u = a . sen θ
θ=θ=θ−=θ−=θ−=− a.cos2cos . a)2sen(1 . a)2sen(12a2.sen2a2a2u2a
du = a . cos θ. d θ
2o Caso:
θ=− tan.a2a2u
 Substituição:
u = a . sec θ
θ=θ=−θ=−θ=−θ=− a.tan2tan . a)12(sec . a)12(sec2a2a2.sec2a2a2u
du = a . sec θ . tan θ . d θ
3o Caso:
θ=+ sec.a2a2u
 Substituição:
u = a . tan θ
θ=θ=+θ=+θ=+ a.sec2sec . a12tan . a2a2.tan2a2a2u
du = a . sec 2 θ . d θ
Resumo:
• θ


θθ=
θ=− cos.a
d.cos.adu
sen.au2u2a
• θ


θθθ=
θ=− tan.a
d.tan.sec.adu
sec.au2a2u
• θ


θθ=
θ=+ sec.a
d.2sec.adu
tan.au2a2u
u
a2a2u −a
2u2a −
u
u
a
2u2a +
θ θ θ
Disciplina de Cálculo D
Prof. Salete Souza de O
Exercícios
1) dx
x
x4
2
2
⋅−∫
Subst.:
θθ=
θ=θ=θ−=−
θ=
d.cos.2dx
cos.22cos.22sen442x4
sen.2x
x
2x4
cot
−=θ
2
x
sen =θ
c
2
x
arcsen
x
2x4
ccot
dd.2seccos
d).12sec(cos
d.2cot
2sen.4
d.cos.2.cos.2
+−−−=
+θ−θ−=
∫ ∫ θ−θθ=
∫ θ−θ=
∫ θθ=
∫ θ
θθθ=
2) ∫ + 4x
dxx
2
3
Subst.:
θθ=
θ=θ=+=+θ=+
θ=
d.2sec.2dx
sec.22sec2)12(tan442tan.442x
tan.2x
[ ]
∫
∫ ∫
∫
∫
∫
∫


=
+
+=



 −=
−=
−=
=
=
=
x(
8
4x
dxx
2
4x
sec
csec
3
sec
8
d.tan.secd.tan.sec.sec8
d.tan.sec).1(sec8
d.tan.sec.tan8
d.sec.tan8
sec.2
d.sec.2.tan.8
2
2
3
2
3
2
2
2
3
23
θ
θθ
θθθθθθ
θθθθ
θθθθ
θθθ
θ
θθθ
2
2x4−
x
θ
+
θ
iferencial e Integral I
liveira Buffoni
115
+

−+ + c
24
)4
2
)4x(
2
3
2
12
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
116
3) dy
y
9y 2∫ −
Subst.:
θθθ=
θ=−θ=−
θ=
d.tan.sec.3dy
tan.392sec.992y
sec.3y
[ ]
[ ]
c
3
y
secarc
3
9y
3
ctan3
dd.sec3
d)1(sec3
d.tan3
sec.3
d.tan.sec.3.tan.3
2
2
2
2
+



−−=
+−=
−=
−=
=
=
∫ ∫
∫
∫
∫
θθ
θθθ
θθ
θθ
θ
θθθθ
6.8- Integração por Partes
∫ ∫
∫ ∫ ∫
+=
+=
du.vdv.uv.u
du.vdv.u)v.u(d
∫ ∫−= du.vv.udv.u → Fórmula da Integração por Partes
Exercícios
1) {∫ + 43421
dv
dx5)4x(.
u
x



=
+=+= ∫
dx.1du
6
)4x(
dx)4x(v
6
5
c
7
)4x(
6
1
6
)4x(x
dx)4x(
6
1
6
)4x(x
76
6
6
++−+=
+−+= ∫
2) {∫ 43421
dv
dx.xsen.
u
x


=
−=
dx.1du
xcosv
cxsenxcos.x
dx.xcosxcos.x
++−=
+−= ∫
3) {∫ 43421
dv
dx.xsen.
u
2x
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
117


=
−=
dx.x2du
xcosv
{
( )
c)xcosxsen.x.(2xcos.2x
dx.xsenxsen.x.2xcos.2x
dx.1du
xsenv
dv
dx.xcos.
u
x.2xcos.2x
+++−=
∫−+−=


=
=
∫+−= 43421
4) {∫ 321
dv
dx.xe.
u
2x
{
cxexe.x2xe.2x
dx.xexe.x2xe.2x
dx.1du
xev
dv
dx.xe.
u
x2xe.2x
dx.x2.xexe.2x
dx.x2du
xev
+

 −−=


 ∫−−=



=
=
∫−=
∫−=



=
=
321
5) {{∫
dv
dx.
u
xln
cxxln.x
dx
x
x
xln.x
dx
x
1
du
xv
+−=
−=



=
=
∫
6) 
}
∫ 43421
dv
dx.
u
xln.2x
c
3
x
3
1
3
x
).x(ln
dx.x
3
1
3
x
).x(ln
dx
x
1
3
x
3
x
).x(ln
dx
x
1
du
3
x
v
33
2
3
33
3
+⋅−=
−=
−=



=
=
∫
∫
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
118
7) {∫
dv
dx.
u
xarctan43421
c)x1(ln
2
1
xarctan.x
x1
dx.x2
2
1
x).x(arctan
dx
x1
1
du
xv
2
2
2
++−=
+−=



+=
=
∫
8) ∫ 44 344 21
48476
dv
dx.
u
xarcsen.2x
{
c
3
22
3
)2x1(3
1
)2x1(2x
31
3
3x
)x(arcsen
dx.x2)..(2
1
)2x1()(3
1
)2x1(2x
3
1
3
3x
)x(arcsen
dx.x2du
2
1
)2x1(v
dv
dx.x.2
1
)2x1(
u
.2x
3
1
3
3x
)x(arcsen
2x1
dx3x
3
1
3
3x
)x(arcsen
dx
2x1
1
du
3
3x
v
+








⋅−−−−−=








∫ −−−+−−−=



=
−−=








∫ −−−=
∫
−
−=



−
=
=
444 3444 21
9) ∫ dx.xsec3
{
[ ] c)xtanxln(secxtan.xsec
2
1
dx.x3sec
)xtanxln(secxtan.xsecdx.x3sec2
dx.xsecxtan.xsecdx.x3secdx.x3sec
dx.xsecdx.x3secxtan.xsec
dx.xsec).1x2(secxtan.xsec
dx.xsec.x2tanxtan.xsec
dx.xtan.xsecdu
xtanv
dv
dx.x2sec.
u
xsec
+∫ ++=
++=∫
∫ ∫+=∫ +
∫ ∫+−=
∫ −−=
∫−=


=
=
∫= 43421
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Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
119
10) {∫ 43421
dv
dx.xsen
u
.xe
{
∫ +

 +−=
∫ +−=
∫−+−=



=
=
∫+−=



=
−=
cxsen.xexcos.xe
2
1
dx.xsen.xe
xsen.xexcos.xedx.xsen.xe2
dx.xe.xsenxsen.xexcos.xe
dx.xedu
xsenv
dv
dx.xcos
u
.xexcos.xe
dx.xedu
xcosv
43421
6.9- A Mudança de Variável 
2
x
tgu =
A mudança de variável 
2
x
tgu = é recomendável sempre que o integrando for da forma ( )xcos,xsenQ , onde ( )v,uQ é
um quociente entre dois polinômios nas variáveis u e v.
Antes de passarmos aos exemplos, vamos relembrar duas identidades trigonométricas importantes.
2
x
cos
2
x
cos
2
x
sen
2
2
x
cos
2
x
sen2xsen 2==
Assim,
2
x
tg1
2
x
tg2
xsen
2+
=
Por outro lado,
2
x
tg1
2
x
tg1
2
x
tg2
2
x
sec
2
x
cos
2
x
sen21xcos
2
2
2222
+
−
=

 −=−=
Exercícios:
1- Calcule ∫ dxxcos1
2- Calcule dx
xsenxcos1
1∫ +−
3- Calcule ∫ + dxxcos1 x2sen