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Equações Diferenciais

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Rondônia – IFRO
Campus Cacoal
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Trabalho apresentado para obtenção de nota parcial da disciplina de Equações diferenciais, ministrada pelo professor Claudemir Barbosa, no 5° semestre do curso de licenciatura em matemática. 
Acadêmica: Jamylie Pacheco de Lira
Cacoal – RO
05/2017
PROBLEMAS DE TEMPERATURA
DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Equações diferenciais são utilizadas para descrever o comportamento de alguns sistemas reais, sejam físicos, sociológicos ou mesmo econômicos. Esses são chamados de modelos matemáticos, que descrevem fenômenos como decrescimento radioativo, crescimento populacional, reações químicas, resfriamento de corpos, entre outros.
Talvez a aplicação mais importante do cálculo sejam as equações diferenciais. Quando os físicos ou cientistas sociais usam o cálculo, em geral o fazem para analisar uma equação diferencial surgida no processo de modelagem de algum fenômeno que eles estão estudando. Embora seja frequentemente impossível encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma equação diferencial [...] (STEWART, 2007, p. 583, II).
Aplicação no resfriamento de corpos ou problemas de temperatura
Chamada de ‘lei do resfriamento de Newton’, é uma aplicação diretamente ligada à física, mas seus cálculos são utilizados para calcular problemas de temperatura simples como de uma xícara de café ou derretimento de uma bola de sorvete, e também em várias outras ciências e na engenharia. A lei afirma que a taxa de variação de temperatura de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante do meio ambiente, isto é, , em que k é constante de proporcionalidade.
Sobre a transferência do calor...
Um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente onde estão posto, aceita três hipóteses básicas:
A temperatura depende do tempo e é a mesma em todos os pontos do corpo.
A temperatura do meio ambiente permanece constante no decorrer da experiência. 
A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente, onde é a temperatura do corpo no instante , é a temperatura constante do meio ambiente, é a diferença de temperatura e k é uma constante que depende do material com que o corpo foi construído, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
PROBLEMAS
7.45)	Um corpo à temperatura de 0°F é colocado em um quarto cuja temperatura é mantida a 100°F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo for de 25°F, determine (a) o tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 50°F, e (b) a temperatura do corpo após 20 minutos.
Solução: Identificando , devemos resolver o problema inicial,
 
Pondo e , assim, identificando , identificaremos o fator de integração:
Multiplicando a equação obtida pelo fator de integração temos:
Integrando os limites t obtém-se na equação (1): 
Em , temos , logo,
Em , temos 
 		
			 	
Obtemos então,
		 
	 		
 	
; 
 		
				
7.46) Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador com uma temperatura constante de 0ºF. Se após 20 minutos a temperatura do corpo for de 40ºF e, após 40 minutos, for de 20ºF, determine a temperatura inicial do corpo.
Solução:
 
Pondo e , assim, identificando , identificaremos o fator de integração:
Multiplicando a equação obtida pelo fator de integração temos:
Integrando os limites t obtém-se na equação (1): 
Sabendo que 20 minutos a temperatura do corpo é , tem-se a equação (2)
	→		→	
E após 40 minutos a temperatura passa a ser de na equação (3)
	→		 →	
Dessa forma, temos dois valores de (equação (2) e equação (3)), igualando os mesmos podemos encontrar ...
 	→	 	→	 	→ 	→	
Assim, tendo o valor de , podemos substituir em uma das equações (2 ou 3) e encontraremos o valor de C...
	→		→	
Para determinarmos o valor da temperatura inicial do corpo apenas substituiremos os valores na equação (1),
 	→	
Logo, 
	→	
7.47)	Um corpo à temperatura de 50°F é colocada em um forno cuja temperatura é mantida em 150°F. Se após 10 minutos a temperatura do corpo for de 75°F. Determine o tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 100°F.
Solução:
 
Pondo e , assim, identificando , identificaremos o fator de integração:
Multiplicando a equação obtida pelo fator de integração temos:
Integrando os limites t obtém-se na equação (1): 
Em , temos , logo,
Em , temos 
 		
			 	
Obtemos então,
		 
	 		
 	
7.48)	Uma torta quente que foi cozida a uma temperatura constante de 325°F é retirada diretamente de um forno e colocado ao ar livre, na sombra, para resfriar, em um dia em que a temperatura ambiente é de 85°F. Após 5 minutos na sombra, a temperatura da torta foi reduzida a 250°F. Determine (a) a temperatura da torta após 20 minutos e (b) o tempo necessário para que a temperatura da torta seja de 275°F.
Solução:
 
Pondo e , assim, identificando , identificaremos o fator de integração:
Multiplicando a equação obtida pelo fator de integração temos:
Integrando os limites t obtém-se na equação (1): 
Em , temos , logo,
Em , temos 
 		
			 	
Obtemos então,
 		
				
		 
	 		
 	
7.49)	Prepara-se chá em uma taça pré-aquecida com água quente de modo que a temperatura, tanto da taça quanto do chá, esteja inicialmente em 190°F. Deixa-se então a taça esfriar em um quarto mantido à temperatura constante de 72°F. Dois minutos depois, a temperatura do chá é de 150°F. Determine (a) a temperatura do chá após 5 minutos e (b) o tempo que necessário para que a temperatura do chá atinja 100°F.
Solução:
 
Pondo e , assim, identificando , identificaremos o fator de integração:
Multiplicando a equação obtida pelo fator de integração temos:
Integrando os limites t obtém-se na equação (1): 
Em , temos , logo,
Em , temos 
 		
			 	
Obtemos então,
 		
				
		 
	 		
 	
REFERÊNCIAS
ALITOLEFF, S. S. Algumas Aplicações das equações diferenciais. Universidade Federal de Rondônia – UNIR. Ji-Paraná, 2011.