Atividade para NOTA 6 de aluno

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Nome: José Mirtênio da Paz RA: Nº 1701677 
Curso: Engenharia de Produção Disciplina: Cálculo 1 MCA001 
Atividade da Semana 06 Data: 12/12/2017 (4º Bimestre) 
 
Atividade para NOTA 
Pergunta 1 
 
Exercício 1 (ponto: 3,0) 
 
a) Use a substituição 𝑢 = ln 𝑥 para obter a primitiva de 𝑓(𝑥) =
1
𝑥. ln 𝑥
 
 
Resolução: 
∫
1
𝑥. ln 𝑥
 𝑑𝑥  ∫
1
𝑥
.
1
ln 𝑥
 𝑑𝑥  ∫
1
ln 𝑥
.
1
𝑥
 𝑑𝑥 Fazendo: 
𝑢 = ln 𝑥 
𝑑𝑢 =
1
𝑥
 𝑑𝑥 
 
∫
1
𝑢
 𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝐶 = 𝐥𝐧|𝐥𝐧 𝒙| + 𝑪 
 
 
b) Calcule: ∫
1
𝑥. ln 𝑥
 𝑑𝑥
𝑏
2
, 𝑏 > 2. 
 
 
Resolução: 
O cálculo de integrais definidas é dada por: ∫ 𝑓(𝑥) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 
Onde 𝐹(𝑥) é a primitiva, a qual já calculamos no item anterior (a). 
∫
1
𝑥. ln 𝑥
 𝑑𝑥 = 𝐥𝐧|𝐥𝐧 𝒙| + 𝑪 
 
Agora vamos utilizar os intervalos indicados: 
 
∫
1
𝑥. ln 𝑥
 𝑑𝑥
𝑏
2
⇨ ln|ln 𝑥| |
𝒃
𝟐
 = ln(ln 𝒃) − ln(ln 𝟐) 
 
 
c) Decida se: ∫
1
𝑥. ln 𝑥
 𝑑𝑥
∞
2
, é 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒. 
 
 
Resolução: 
Para que a integral imprópria seja convergente, devemos ter: 
 
lim
𝑏→∞
∫
1
𝑥. ln 𝑥
 𝑑𝑥
𝑏
2
= 𝐿 
 
 
2 
 
E 𝑳 tem que ser real e finito, caso contrário será divergente. Sabemos que pelo item anterior (b), 
que: 
∫
1
𝑥. ln 𝑥
 𝑑𝑥
𝑏
2
= ln(ln 𝒃) − ln(ln 𝟐) 
 
 
Logo, basta aplicar no limite: 
 
lim
𝑏→∞
ln(ln 𝒃) − ln(ln 𝟐) = ∞ − ln(ln 2) = ∞ 
 
Logo, essa integral diverge. 
 
 
 
 
Exercício 2 (ponto: 3,0) 
 
Calcule as integrais indefinidas (primitivas) de: 
 
a) ∫ 𝑥5. √𝑥6 + 4 𝑑𝑥 
 
Resolução: 
∫ 𝑥5. √𝑥6 + 4 𝑑𝑥 ∫ √𝑥6 + 4 𝑥5𝑑𝑥 Fazendo: 
𝑢 = 𝑥6 + 4 
𝑑𝑢 = 6𝑥5 𝑑𝑥  
𝑑𝑢
6
= 𝑥5 𝑑𝑥 
 
Substituindo na integral, temos: 
 
 
∫ √𝑢 
𝑑𝑢
6
  
1
6
. ∫ √𝑢 𝑑𝑢  
1
6
.
2
3
. √𝑢3 + 𝐶  
1
9
. √(𝑥6 + 4)3 
 
 
b) ∫
4𝑥 − 11
𝑥2 − 7𝑥 + 10
 
 
Resolução: 
 
Para resolução deste exercício, usaremos o método das frações parciais. 
Calculando as raízes pelo processo resolutivo de Bháskara: 
 
{
𝑎 = 1 
𝑏 = −7
𝑐 = 10
 
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
∆= (−7)2 − 4.1.10 
∆= 9 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
  𝑥 =
−(−7) ± √9
2.1
  𝑥 =
7 ± 3
2
 
 
 𝒙𝟏 = 𝟓 𝒆 𝒙𝟐 = 𝟐 
 
Sabendo que: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Temos: 𝑎. (𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2) = 0 
 
Vem: 1. (𝑥 − 5). (𝑥 − 2) = 0 𝑜𝑢 (𝑥 − 5). (𝑥 − 2) = 0 
 
 
 
3 
∫
4𝑥 − 11
𝑥2 − 7𝑥 + 10
 𝑑𝑥  ∫
4𝑥 − 11
(𝑥 − 5). (𝑥 − 2)
 𝑑𝑥 ∫ [
𝐴
(𝑥 − 5)
+
𝐵
(𝑥 − 2)
] 𝑑𝑥 
 
4𝑥 − 11
𝑥2 − 7𝑥 + 10
=
𝐴
(𝑥 − 5)
+
𝐵
(𝑥 − 2)
  4𝑥 − 11 = 𝐴. (𝑥 − 2) + 𝐵. (𝑥 − 5) 
 
4𝑥 − 11 = 𝐴. (𝑥 − 2) + 𝐵. (𝑥 − 5) ⇨ 4𝑥 − 11 = 𝐴𝑥 − 2𝐴 + 𝐵𝑥 − 5𝐵 
 
4𝑥 − 11 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 − (2𝐴 + 5𝐵) 
 
{
𝐴 + 𝐵 = 4 
2𝐴 + 5𝐵 = 11 
 ∴ 𝐴 = 3 𝑒 𝐵 = 1 ou ainda: 
 
𝑆𝑒 𝑥 = 𝟓  4. 𝟓 − 11 = 𝐴. (𝟓 − 2) + 𝐵. (𝟓 − 5)  9 = 3. 𝐴 ∴ 𝑨 = 𝟑 
 
𝑆𝑒 𝑥 = 𝟐  4. 𝟐 − 11 = 𝐴. (𝟐 − 2) + 𝐵. (𝟐 − 5)  − 3 = −3. 𝐵 ∴ 𝑩 = 𝟏 
 
Logo: ∫
4𝑥 − 1
𝑥2 − 7𝑥 + 10
 𝑑𝑥  ∫
4𝑥 − 1
(𝑥 − 5). (𝑥 − 2)
 𝑑𝑥 ∫ [
𝟑
(𝑥 − 5)
+
𝟏
(𝑥 − 2)
] 𝑑𝑥 
 
 ∫ [
𝟑
(𝑥 − 5)
+
𝟏
(𝑥 − 2)
] 𝑑𝑥 = 𝟑. 𝐥𝐧|(𝒙 − 𝟓)| + 𝐥𝐧|(𝒙 − 𝟐)| + 𝑪 
 
 
 
c) ∫(2𝑥 + 1) . cos 𝑥 𝑑𝑥 
 
Resolução: 
 
Para resolver essa integral, vamos utilizar o método de integração por partes: 
∫ 𝑢 . 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 + 𝐶 
Com: 
𝑢 = (2𝑥 + 1) 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = cos(𝑥) 𝑑𝑥 𝑣 = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 
 
 Aplicando a regra de integração por partes, temos: 
∫(2𝑥 + 1) . cos 𝑥 𝑑𝑥 = (2𝑥 + 1). 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) − ∫ 2. 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 𝐶 
 = (2𝑥 + 1). 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) − 2. [cos(𝑥)] + 𝐶 
 = (𝟐𝒙 + 𝟏). 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) + 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝒙) + 𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Exercício 3 (ponto: 2,0) 
 
Calcule o valor médio da função 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 2𝑥 entre 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 2. 
 
Resolução: 
 
Valor médio de uma função: 𝑀 =
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏 − 𝑎
 
 
∫ 𝑥5 + 2𝑥 𝑑𝑥
2
0
= 
𝑥6
6
+ 𝑥2 |
2
0
 ⇨ [(
26
6
+ 22) − (
06
6
+ 02)] =
64
6
+ 4 =
44
3
 
 
𝑀 =
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏 − 𝑎
 ⇨ 𝑀 =
44
3
2 − 0
 ⇨ 𝑀 =
44
3
2
 ∴ 𝑀 =
22
3
 
 
Portanto, o valor médio da função 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 2𝑥 no intervalo de ⟦0; 2⟧ é 𝑀 =
22
3
. 
 
Exercício 4 (ponto: 2,0) 
 
Calcule: ∫
𝑥2
𝑥3 + 1
𝑑𝑥
2
0
 
 
Resolução: 
∫
𝑥2
𝑥3 + 1
𝑑𝑥
2
0
 Utilizando o método da substituição, temos: 
𝑢 = 𝑥3 + 1 
𝑑𝑢 = 3𝑥2 𝑑𝑥 ⇨ 
𝑑𝑢
3
= 3𝑥2 𝑑𝑥 
 
 Substituindo os intervalos, vem: 𝑠𝑒 𝑥 = 0 ⇨ 𝑢 = 0
3 + 1 ∴ 𝑢 = 1 
𝑠𝑒 𝑥 = 2 ⇨ 𝑢 = 23 + 1 ∴ 𝑢 = 9 
 
∫
1
𝑥3 + 1
. 𝑥2𝑑𝑥 ⇨ ∫
1
𝑢
.
𝑑𝑢
3
 ⇨ 
9
1
 
1
3
. ∫
1
𝑢
 𝑑𝑢 ⇨ 
9
1
1
3
. ln|𝑢| |
9
1
 ⇨ 
1
3
. (ln|9| − ln|1|) ≈ 0,73 
2
0