Lista de Exercícios Gabarito - Modelagem de Sistemas Discretos

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Mod. Sist. Disc. 
Lista de Exercícios I - Cadeias de Markov 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1) a) E = {A, B, H} 
 
P = 
 
 b) 
 
 p
2
AA = 0,50 
 
c) (0,333; 0,333; 0,333) * P
2
 = 31,5% 
 
d)  = (0,32, 0,39, 0,29) 
 
e)  BH = 2,67 ;  HH = 3,45 
 
2) 0.651 / 0.258 / 0.091 
 
 31.5% 
 
3)Estados: nível do estoque no início do dia = {0, 1, 2,...4} 
P00 = 0 (estoque voltou ao nível máximo, como a demanda máxima é de 2 unid., não 
é possível que no início do tinha não haja mercadoria em estoque) 
P21 = 1/3 (o dia começou com 2 unid. em estoque, não ocorrendo, portanto, 
reposição de mercadoria. A prob. de demanda de uma unidade é 1/3) 
 
0 0 1/3 1/3 1/3 
0 0 1/3 1/3 1/3 
1/3 1/3 1/3 0 0 
0 1/3 1/3 1/3 0 
0 0 1/3 1/3 1/3 
 
 2 
 
 
4) a) 4 ; b) 1, 2, 3, 5, 6 ; c) Não 
OBS: {1, 3, 5} e {2 ,6} cadeias fechadas 
 1, 3, 5: periódicos k = 3 
 2, 6: aperíodicos 
 
5) P1: Ergódica (todos os estados são apenas recorrentes); 
 P2: Não ergódica (1, 2 e 3 são transientes, 4 é absorvente) 
 
 
6) a) 60% (3/5) , 40% (2/5) 
 b) 64% (16/25) , 20% (1/5) , 16% (4/25) 
 c) µ11 = 1,65; µ22 = 2,51 (primeiro processo) 
 µ11 = 1,56; µ22 = 5 e µ33 = 6,25 (segundo processo) 
 
Dica: Usar o teorema: µii = 1/πi 
 
7) Ação 1 (valores médios são 16.67 e 16.00) 
 
8)  = (0,346; 0,384; 0,269) 
 
9) a. 













1000
7,01,002,0
06,004,0
0001
P 
 
b. A = (I – Q )-1R = Elim Superv 
 T 0,533 0,466 
 P 0,23 0,77 
 
Eventualmente, 46,66% dos candidatos em treinamento (ou seja: aproximadamente 21 
pessoas) se tornarão supervisores e 77,7% dos que estão na fase prática (ou seja: 
aproximadamente 16 pessoas) se tornarão supervisores. 
 
10) . O processo de produção tem 6 estados: 
início em I (s1) 
inspeção após I (i1) 
início em II (s2) 
inspeção após II (i2) 
descarte após inspeção I ou II ( j ) e boa após II (B) 
 
Unidades que entram em J e B são terminais e, em conseqüência, J e B são nós absorventes. 
 
 3 





















100000
010000
9,003,0007,000
005,095,0000
003,009,0007,0
005,00095,00
2
2
1
1
G
J
i
s
i
s
P
 
 


























9,003,0
005,0
003,0
005,0
007,000
95,0000
09,0007,0
0095,00
ReQ 
 

























 
96,004,0
92,008,0
88,012,0
84,016,0
)(
07,107,000
02,107,100
98,003,107,107,0
93,098,002,107,1
)( 11 QIeQI 
 
Uma peça passa pela máquina I 1,07 vezes; pela inspeção I, 1,02 vezes; pela máquina II, 
0,98 vez ; e, pela inspeção II, 0,93 vez. 
 
Para determinar o número de peças concluídas em um lote inicial de 1000 peças, a linha 
superior de (I – Q)-1 nos mostra que: 
P(descartada) = 0,16 e P(boa) = 0,84 
Isto é, 1000 x (0,84) = 840 peças serão concluídas em um lote de 1000. 
OBS: Este problema admite outra solução. Apresentei a que considerei mais “popular” 
 
11) a. Estados: 1 semana, 2 semanas, 3 semanas, Biblioteca 
 
 1 2 3 B 













1000
1000
9,01,000
7,003,00
P 
b. (I – Q) -1 = 











100
01,010
03,03,01
; Logo o livro permanece com o aluno 1,33 semanas em 
média.