Capitulo 9

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Cap.9 – Transformação de Tensão 
 
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
  
   
  
 
 
  
 
 
 
0
0
0 0 0
xx xy
yx yy
 
  
 
 
 
  
  xx xy
yx yy
 

 
 
  
 
= 
  xx xy
yx yy
 

 
 
  
 
  ' ' ' '
' ' ' '
x x x y
y x y y
 

 
 
  
 
= 
Estado de tensão em um ponto: 
Diagrama de corpo livre 
Equilíbrio de forças: 
       ' cos cos cos sin sin cos sin sin 0x x xy xy yA A A A A                     
   2 2
sin 2 2sin cos ;
1 cos 2 1 cos 2
sin ; cos ;
2 2
  
  

 
 
' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
x xy
         
' 0xF 
Sendo que: 
2 2
' cos sin 2sin cosx x y xy         
' 0yF 
   2 2' ' sin cos cos sinx y y x xy          
' ' sin 2 cos 2
2
x y
x y xy
        
 
Para obter a nova tensão normal na direção y’ : 
90º  
' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
x xy
         
' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
y xy
         
2 2
' sin cos 2sin cosy x y xy         
2 2
' cos sin 2sin cosx x y xy         
' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
x xy
         
' ' sin 2 cos 2
2
x y
x y xy
        
 
' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
y xy
         
2 2
' cos sin 2sin cosx x y xy         
   2 2' ' sin cos cos sinx y y x xy          
2 2
' sin cos 2sin cosy x y xy         
2 2
'
2 2
'
2 2
' '
cos sin 2sin cos
sin cos 2sin cos
sin cos sin cos cos sin
x x
y y
x y xy
     
     
       
    
    
     
         
    ' T 
Exercícios: 
O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento mostrado na 
figura. Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30º 
no sentido horário em relação à posição mostrada. 
Exercício: 
Tensões Principais 
 ' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
x xy
          
Exemplo: 
80
50
25
xx
yy
xy
MPa
MPa
MPa



 

 
 ' ' sin 2 cos 2
2
x y
x y xy
         
 
Tensões Principais 
 ' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
x xy
          
 '
2sin 2 2cos 2 0
2
x yx
xy
     

   

 ' cos 2 sin 2
2 2
x y x y
x xy
          
p tan 2
2
xy
p
x y


 

 
 
 
Tensões Principais representam a tensão normal máxima e a tensão 
normal mínima em um determinado ponto 
ângulo principal 
ou 
plano principal onde ocorrem as 
tensões máxima e mínima 
Tensões Principais 
2
2
1
2 2
x y x y
xy
         
 
2
2
2
2 2
x y x y
xy
         
 
2
x y
m
 



onde: 
2
2
max
plano 2
x y
xy
 
 
 
  
 
Tensão principal máxima 
Tensão principal mínima 
Por convenção: 
1 2 
 ' ' sin 2 cos 2
2
x y
x y xy
         
 
 ' '
0
x y 




Tensão de cisalhamento máxima: 
 
2
tan 2
x y
s
xy
 


 
 
   s
ângulo de cisalhamento 
máximo 
2
2
max
2
x y
xy
 
 
 
  
 
Exemplos: 
•A transformação da tensão no plano têm uma solução gráfica que é fácil de 
lembrar. 
Círculo de Mohr — tensão no plano 
•A transformação da tensão no plano têm uma solução gráfica que é fácil de 
lembrar. 
Círculo de Mohr — tensão no plano 
Exemplos: 
(1) (2) 
(3) 
•A tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal média associada podem 
também ser localizadas usando o círculo de Mohr. 
2
 
2
minmaxminmax
max abs
  avg
Tensão de cisalhamento máxima absoluta 
*Exercícios Cap 9 - Hibbeler 7ª ed 
 
10, 11, 13, 14,16, 19, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 34, 39, 41, 
42, 43, 46, 47, 49, 76, 77, 78, 81, 82, 84, 87 
 
 
*Cap. 6 (Beer, Johnston, 3ªed) 
 
5, 6, 17, 19, 22, 23, 29, 54, 57,