FUNÇÕES

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CÁLCULO A UMA VARIÁVEL 
 
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Ementa do Curso 
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2 
 Funções Reais 
 Limites 
 Continuidade 
 Derivada – Taxas Relacionadas - Funções Crescentes e 
Decrescentes – Máximos e Mínimos – Construção de 
Gráficos – Convexidade - 
 Integrais – Integrais Definidas – Técnicas de 
Integração – Áreas e Volumes. 
 
Bibliografia 
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3 
 STEWART, James. Cálculo. Vol 1. 
 ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. 
 LEITHOLD. O Cálculo. 
 MUNEM, FOULIS. Cálculo. 
 FLEMING, GONÇALVES. Cálculo A. 
 GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 
Vol 1. 
 SIMMONS, George. Cálculo Com Geometria 
Analitica 1 
 
 
 
Função real de uma variável real 
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4 
1.1) O conjunto dos números reais 
 Existe uma correspondência biunívoca entre 
os pontos da reta e o conjunto . 
 Reta numérica : - origem 
 - unidade de medida 
 - sentido de leitura 
 

Intervalos Reais 
 
a b 
}/{),( bxaxba 
Intervalo aberto 
a 
b 
}/{],( bxaxba 
Intervalo semi aberto 
a b 
}/{],[ bxaxba 
b 
}/{],( bxxb 
),( 
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f(x) = c, c R 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico é uma reta paralela ao eixo das abscissas. 
 

 
1) Função Constante 
 
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6 
2) Função do 1º grau (Função Afim) 
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Toda função polinomial da forma f(x) = ax + b, 
com a ≠ 0 , é dita função do 1° grau. 
Casos Especiais 
 Função linear: b = 0, Ex: f(x) = 3x 
Representa grandezas diretamente proporcionais. 
 
 Função Identidade b = 0 e a = 1, ou seja, f(x) = x 
Reta bissetriz do 1º e 3º quadrantes. 
a - Coeficiente angular; 
declividade da reta; taxa 
de variação da função; 
está relacionado ao 
ângulo de medida α 
(determinado pelo gráfico 
da função) e a horizontal 
 (o eixo x). 
b - Coeficiente linear; 
ordenada do ponto 
em que o gráfico 
da função corta o 
eixo y. 
a > 0 
a < 0 
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P2 
a = tg  
 
 
 
P1P 
Cálculo do coeficiente angular (inclinação da reta): 
 
P1 P2 
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).().( 0000
0
0 xxmyyxxmyy
xx
yy
m rrr 



 Onde mr é o coeficiente angular da reta r e (x0 , y0) 
são as coordenadas de um ponto dado, 
pertencente à reta r. 
 
 
).( 00 xxmyy r 
baxy 
b – coeficiente linear (onde a reta intercepta o eixo y) 
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Raiz ou zero de uma função → é o valor de x que 
anula a função. É a abscissa do ponto onde a reta 
intercepta o eixo x. 
Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular. 
 
-5 5
-5
5
x
y
-5 5
-5
5
x
y
a > 0 a < 0 
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Estudo do sinal – Inequação do 1º grau: 
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-b/a 
+ + + + + + + 
- - - - - - - - - 
f(x) = a x +b 
-b/a 
+ + + + + + + + 
- - - - - - - - - 
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3) Gráfico de uma função definida 
por mais de uma sentença 
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1, 1
( )
2, 1
x se x
f x
se x
 
 

X Y 
1 2 
2 3 
( ) 1, 1f x x se x  
4) Função do 2º grau 
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Chama-se FUNÇÃO QUADRÁTICA qualquer função de R em R 
dada por uma lei da forma: 
com a, b e c números reais e 
Domínio  
Conjunto Imagem é o conjunto formado por todos as ordenadas y, 
que representam imagens das abscissas x, por meio da função. 
 
  cbxaxxf  2
D f( ) = R
a
acbb
xcbxaxxf
2
4
00)(
2
2 
Zeros da função → Resolver a equação do 2º 
grau: 
Soma das raízes - 
 
 
Produto das raízes - 
a
b
S 
a
c
P 
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 ∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = 0 
 
 
 
 
a > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a < 0 
 
 
 
 
 
 
	
 
 
 ∆ > 0 → duas raízes reais e diferentes 
 ∆ < 0 → não tem raiz real 
 ∆ = 0 → duas raízes reais e iguais 
a → concavidade da parábola 
 
 
 
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TERMO INDEPENDENTE - c 
c 
y 
x 
y = ax2 + bx + c 
Exemplo : 
4 
y 
x 
y = x2 - 2x + 4 
Ponto em que a parábola toca no eixo y 
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Vértice da parábola: 
 
a
b
xV
2

a
yV
4


Se a > 0 → ponto máximo 
Se a < 0 → ponto mínimo 
 
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Estudo do sinal da função: 
 ∆ > 0 ∆ < 0 ∆ = 0 
 
 
 
 
a > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
X1 X2 
+ + 
+ + X1=X2 
+ + 
+ 
X1 X2 
+ 
- - 
- - 
- - 
- 
X1=X2 
- 
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Função Exponencial 
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10,)(  acomaxf x
nmnm
nmnm
nmnm
aa
aaa
aaa
.)(
:
.





Propriedades da potenciação: 
n mnm
mm
aa
aa


/
/1
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Gráfico da Função Exponencial 
Características: 
 
• Está todo acima do eixo x Im(f) = (0, ∞ ) 
• Corta o eixo y no ponto de ordenada 1 (0, 1) 
 
xaxf )(
 Função Descrescente Função Crescente 
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x 
y 
y = ax 
a > 1 
y = ax 
0 < a  1 
Ex: 
y = 2 
x 
Ex: 
y = (1/2 )
x 
Função Logarítmica 
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xab log
Logaritmando Logaritmo 
Base do logaritmo 
Condição de Existência: 
0a 01  b
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abxa xb log
Consequências da definição: 
01log b
1log bb
nbnb log
caca bb  loglog
ab
ab log
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Propriedades Operatórias: 
  00,logloglog  beababa ccc
00,logloglog 





beaba
b
a
ccc
  0,loglog  aana b
n
b
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Mudança de Base 
b
a
a
c
c
b
log
log
log 
ba
b
a
a cc
c
c
b loglog
log
log
log 
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Função Logarítmica: 
RRf 
*:   xxf blog
*
R
Domínio 
  Rf Im
Imagem 
R
  * RfD
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Representação Gráfica 
  xxf 2log
1
x
y
1
2
1
2
1
0
Base > 1 
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  xxg
2
1log
1
2
x
y
1
1
0
Representação Gráfica 
0 < Base < 1 
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x 
y 
 1 
y = loga x
 
a > 1 
y = loga x
 
0 < a  1 
y = log2 x 
y = log1/2 x 
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x 
y = loga x 
y = ax 
y = x 
 f(x) = ax 
 f -1(x) = loga x 
a > 1 
 Crescente 
Função Inversa: 
Os gráficos são simétricos em relação à 
bissetriz do 1º e 3º quadrantes 
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x 
y 
y = loga x 
y = ax 
y = x 
 1 
 f(x) = ax 
 f -1(x) = loga x 
 0 < a  1 
 Decrescente