Equações e Gráficos de Retas

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA 
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
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Professor: Gabriel de Oliveira Alves – gabriel.alves@unec.edu.br 
CAPÍTULO 4 - RETAS E EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 
 
Apesar de sua simplicidade, a reta é um conceito essencial em matemática e é 
continuamente apresentada na experiência cotidiana de maneiras úteis e interessan-
tes. No estudo da reta, primeiro descobriremos uma correspondência entre uma reta 
e uma equação de primeiro grau em x e y. A equação representará a reta e este será 
o gráfico da equação. Referente a essa relação, teremos o seguinte teorema. 
 
TEOREMA 
 
A equação de cada reta pode ser expressa em termos do primeiro grau. Reciproca-
mente, o gráfico de uma equação do primeiro grau é uma reta. 
 
DEMONSTRAÇÃO: Suponha que comecemos com uma reta fixa no plano de coor-
denadas. A reta pode ou não ser paralela ao eixo y. Primeiro, uma reta L é conside-
rada paralela ao eixo e a uma distância a do eixo (1.1). A abscissa de todos os 
pontos da reta é igual a a, então podemos ver imediatamente que uma equação da 
reta é 
(1.1) 
𝑥 = 𝑎 
 
Por outro lado, as coordenadas de cada ponto na reta a uma distância a do eixo y 
satisfazem a equação x = a, de modo que a reta L seja o gráfico da equação. 
 
A seguir, consideramos uma reta que não é paralela ao eixo y (1.2). Esta reta tem 
uma inclinação e intercepta o eixo y em um ponto cuja abscissa é zero. A inclinação 
é chamada de m e b ordenada do ponto de interseção. Então, se (x, y) são as coor-
denadas de qualquer outro ponto na reta, a fórmula para a inclinação de uma reta 
que passa por dois pontos é aplicada e a equação é obtida 
 
 
 
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𝑦 − 𝑏
𝑥 − 0
= 𝑚, 
 
Ao qual se reduz a 
(1.2) 
𝑦 − 𝑚𝑥 + 𝑏 
 
 
 
 
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Esta equação torna evidente a inclinação e a ordenada para a origem da reta que 
representa, se diz que está na forma ordenada pela origem. 
 
Começamos com uma reta fixa e a equação (1.2) foi obtida. Suponha agora que se 
comece com a equação e determine seu gráfico. É claro que a equação está satis-
feita se 𝑥 = 0 e 𝑦 = 𝑏. Seja (x, y) um ponto no gráfico diferente de (0, b). Isso signi-
fica que 𝑥 𝑒 𝑦 satisfazem a equação (1.2) e, consequentemente, a equação equiva-
lente. 
𝑦 − 𝑏
𝑥 − 0
= 𝑚 
 
Esta equação indica que o ponto (x, y) do gráfico deve estar na reta que passa por 
(0, b) com inclinação m. Portanto, qualquer ponto cujas coordenadas satisfaçam a 
equação (1.2) está sobre a reta. 
 
Foi demonstrado que as equações de todas as retas no plano podem ser expressas 
nas formas (1.1) e (1.2) e, inversamente, que os gráficos dessas equações são re-
tas. Para completar a prova do teorema, basta apontar que a equação geral de pri-
meiro grau 
(1.3) 
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 
 
Pode ser colocado na forma (1.1) ou (1.2). Considerando as constantes A, B e C, 
onde A e B não são simultaneamente zero. Consequentemente, se B = 0, então A 
≠ 0 e a equação (1.2) se reduz a 
(1.4) 
𝑥 = − 
𝐶
𝐴
 
 
Então, se B ≠ 0, podemos encontrar para y na equação (1.3). Ficando assim 
(1.5) 
𝑦 = − 
𝐴
𝐵
𝑥 − 
𝐶
𝐵
 
 
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A equação (1.4) tem a mesma forma que a equação (1.1) com 𝑎 = −(𝐶/𝐴) e a 
equação (1.5) tem a forma da equação (1.2) com 𝑚 = −(𝐴/𝐵) e 𝑏 = −(𝐶/𝐵). As-
sim a prova do teorema se completa. 
 
Observe que a equação (1.3), com B ≠ 0, dá um único valor correspondente a 
y para cada valor de x. Isso significa que a equação define uma função cujo gráfico é 
uma reta não paralela ao eixo y. 
 
EXEMPLO RESOLVIDO: 
Suponha que um produtor saiba que o custo total de fabricação de 1.000 unidades de 
seu produto é R$ 8.500,00 enquanto o custo total de fabricação de 2.000 unidades é 
R$ 11.500,00. Suponha que esta relação entre o custo e o número de unidades fabri-
cadas seja linear, encontre a relação, represente graficamente a equação e interprete 
o gráfico. Qual é o custo total de produção de 2.500 unidades? 
 
Solução: A forma de dois pontos da reta é usada com x igual ao número de unidades 
fabricadas e y igual ao custo total de fabricação de x unidades. A reta passa por 
(1.000, 8.500) e (2.000, 11.500) e tem a equação 
 
𝑦 − 8500 = 3 (𝑥 − 1000) 
3𝑥 – 𝑦 = −5500 
Se x = 2.500, então y = 13.000, então o custo total é de R$ 13.000 para fazer 2.500 
unidades. O gráfico é dado abaixo. 
3. (2500) – 𝑦 = −5500 
7500 – 𝑦 = −5500 
– 𝑦 = −5500 − 7500 
 
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𝑦 = 13000 
 
A ordenada para a origem é 5500. Isso significa que, se nenhuma unidade for fabri-
cada, o custo fixo (aluguel, equipamento, etc.) será de R$ 5.500,00. A inclinação é 3, 
o que significa que custa R$ 3,00 para fazer cada unidade. Observe que, nesta apli-
cação, os valores negativos de x e y não têm sentido. 
 
 
Vá para a aba VÍDEOS COMPLEMENTARES e assista ao vídeo ASSOCIAÇÃO 
DE UMA EQUAÇÃO DE 1º GRAU A UMA RETA NO PLANO CARTESIANO. 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS: 
 
AYRES, Frank Jr. Geometria analítica, plana e sólida. Trad. de Ana Amália F. B. 
São Paulo, McGraw-Hill, 1998. 
BOULOS, Paulo & OLIVEIRA, Ivan de Camargo e. Geometria Analítica – Um trata-
mento vetorial. Rio de Janeiro, McGraw-Hill do Brasil, 1987. 
IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar – Geometria Analítica. V.7. 
São Paulo, Atual Editora, 1998. 
LEHMANN, Charles H. Geometria Analítica. Trad. de Ruy Pinto da S. Sieczkowisk. 
Porto Alegre, Editora Globo, 1998. 
SANTOS, Reginaldo J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Belo 
Horizonte, Imprensa Universitária da UFMG, 2002. 
STEINBRUCH, Alfredo & WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. McGraw-Hill, São 
Paulo, 1987. 
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. Makron Books, São Paulo, 2000.