Limite e Continuidade

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-: ..... ' ;\ ..,-
.2 i)kIEir)i.i. O.h~t~~iFit
Lii'\lliTE E CONTINUIDAOé,;1\ '1 1'0') f.,,~,
,' .
27
i
i
I
I
j
28
Neste capítulo) começamos a discutir a idéia de limite que é central no curso ele Cálculo. No início cio
Capítulo I mencionamos o Problema da Tangente. A solução desse problema permite entender
intuitivamente o conceito de limite e visualizar uma situação geométrica na qual o cálculo de certos
limites leva à determinação da reta tangente ao gráfico de uma função.
A RETA TANGENTE
Temos uma funcãoze consideramos um ponto fixo P(xoJ(xo» do gráfico. Como podemos determinar
a equação de uma reta tangente ao gráfico que passa pelo ponto dado? Na realidade devemos também
esclarecer o que significa dizer que '"' tal reta seja tangente ao gráfico nesse ponto. Esse processo pode
ser descrito nas quatro etapas seguintes:
1. Consideramos um outro ponto Q no gráfico da função; esse ponto terá coordenadas (x,j(x» c
se escrevemos ~x = x - xo, as coordenadas de Q podem ser reescritas na forma
(xo + ~x,j(xo + 6,.\"».
Determinamos a inclinação msec da reta que passa por P e Q. Essa reta é uma reta secante ao
gráfico e sua inclinação é dada por
j(xo + 6,.\") - j(xo) j(xo +~) -j(xo)
msec = (xo + 6,.\") - Xo = 6,.'(
2.
3.
o quociente anterior é chamado com frequência pelo nome de "quociente de diferenças".
O passo crucial é o seguinte: imaginemos que o ponto Q desliza sobre o gráfico na direção de
P mas sem chegar a P (dizemos que Q tende a P, ou que Q se aproxima de P e indicaremos
isso escrevendo º ~P). Então tentamos determinar o que ocorre com as inclinações mSJ:.C
nesse processo de aproximação: se essas inclinações se aproximam "de algúm número real m
diremos que o limite de msec quando Q tende a P é o número m e escrevemos
I· I· j(xo + 6,.\") - j(xo)1m m sec = 1m = m
Llx-D D.x-D ~
Notar que afirmar que º tende a P sem chegar a P é equivalente a afirmar que x (abscissa de
Q) tende a Xo (abscissa de P) sem chegar ao valor xo, ou seja, Sx ~ O mas Ax =1= O.
Por razões geométricas dizemos que a reta tangente à curva no ponto P é a reta que passa por
esse ponto com inclinação m:" Sua equação na forma ponto-inclinação é dada pela equação
y - j(xo) = m(x - xo)
4.
Observações
a A expressão ~ não é um produto mas apenas uma notação para representar o que chamamos
de "incremento" da variável x, que pode ser positivo (se x >xo), ou negativo (se x < xo), e
correspondentemente o ponto Q se aproximará de P nas duas direções possíveis.
Se o quociente msec não se aproximar de nenhum número real, diremos que o gráfico da função
Jnão tem reta tangente no ponto (xo,j(xo», ou que a funçãoJnão tem reta tangente no ponto P.
b
--.•.•.~ ..
c No processo de limite que estarnos descrevendo é naturt:! que Q l:unc:,l'hl'~lIl' ;lll !'I'I1!" ." !)l)i~
caso contrário o quociente de diferenças seria um quociente do upo () ljt;.:: L'11l '\t.I"I'1:!!iL":1 .:
um desastre,
E" C !ljo!l;:)1 O () I)/\.~ :1.11 ~ _.
Seja j(x) = 3.\"2 - 2'1:+ I. Vamos determinar a reta tangente ao gráfico Ih)of)\)lll\) (1,/( I)) ( I .. ')
seguindo as etapas anteriores, Primeiro calculamos o quociente de ditcrcnç.i-, c Sillll'liri',IIIl(IS :1
expressão resultante:
.1(1 +~x) -/(1)
~x
3( I + tix)2 - 2( I + L\X) + I - 2
tix
(3 + óc"x + 3~'l:2) - (2 + 2~\') - I
õx
4~'I: + 3L\o.'l:2
~x
= 4 + 3~x
se ~x =1= O, Essa última expresão se aproxima de 4 quando ~x ->- O, Escrevemos lirn (4 /- "0 h) -r 4
,\\ ,11 .
Logo podemos afirmar que a inclinação da tangente no ponto dado é 4, e a equação da langcl1f<' ('l'Slllla
y - 2 = 4(x - I) O
EXEMPLO (2.2)
Repetimos o mesmo problema anterior para a função j(x) = IX e o ponto (l.jC I» = (1. I)
j(1+~x)-j(l) JI+óx-1
óx ~'I:
JI+~x-1 JI+ÓX+l
~x JI+~x+1
(I +óx)-I
tix( J 1+ óx + I)
tix
~(JI +Ax + I)
1
JI +Ax + I
._se~x =1= O, Então lim =:= j, e a equação da taon~enoteore.sulta y .2'~ == ±{;r ,....:.j-). 2;
o óx-O J I + ~t + 1 o • 2 d"
EXEMPLO (2.3)
Mesmo problema para a função j(x) = l no ponto correspondente a x = -2, ou seja (-2 _1.)
, 2 '
Começamos calculando o quociente de diferenças
29
J( -2 + L\.X) - ;( -:)
~x
_(_I )
-2 + L~X - ')
~'(
----'--+~
-2 + L~X 2
~'(
2+(-2+L~X)
2(2 +~)
,
2(i1x)(2 + Ax)
I
'-1-+_2~\:
se ~ =/; O. Então lim 4 12A _ = ~ e então a equação da tangente é y - (-+) = 4!(x - (-2» quedx-D + ti-'( 4 -
simplificada leva à equação
y + i = ~ (x + 2). D
Observações
b
Enfatizamos que no processo descrito acima ~x se aproxima de O em qualquer das duas
direções possíveis, ou seja quando ~x > Oe quando i1:c< Oe o valor do limite obtido deve ser
único. Dizemos que o limite assim calculado é bilateral.
Se, quando ~ se aproximar-ée-ê-consiéerasres -apeaas -valores-Ae > -Ov-e-processo anterior
leva ao que chamamos limite lateral pela direta, enquanto que se consideramos apenas valores
i1x < O, esse processo leva ao "Cálcülo'·clo',iimitel-aterm -pela=esquerda .-Escrevemos -lirn ou
, 6x-+O+
lim respectivamente.
Il.~-+O-
a
Pode ocorrer que para uma função dada f em um certo ponto P(xo,}(xo» os dois limites
laterais do quociente de diferenças 3 mas sejam distintos. Nesse caso o limite (bilateral) não
existe pois a existência do limite leva embutida a condição que ~ se deve aproximar de O
independentemente da direção de aproximação.
d Também pode ocorrer que algum limite lateral (ou ambos) não existam. Nesse caso estam os
novamente no caso de inexistência de limite.
c
."~~!~ção Quando 3 o limite do quociente de"diferenças no:ponro'(xo;j{-XoJ1,"esse\"arorm é
denotadoporfCxofe'{'chamado de "derivada de fno ponto xo".
EXEMPLO (2.4)
Seja j{x) = rxl. Vamos mostrar que não existe a derivada z'(O). Observemos quefmuda de defmição
no ponto O, logo é necessário calcular os limites laterais do quociente de diferenças em O:
Supomos então que Xo = Oe que L1x > O:
j(0 + ~) - j(0)
, i1x
1L1x1- O = Ax = 1
L1x ~
30
Então lim fIO + ~x) - }(O) = lirn I
~\x~(}+ L1,"'C L\.t-·()-;-
Similarmente se L1,-r < O,
I. •
}(O + 6.);:) - J(O) = i~\i - O = -~\ =-1
~\ L~X ~\
Então lim }(O + ~\) - }(O) = lim (-I) = -I. Concluimos que a função não tem reta tangente em x
ux~l)-- 6x ~t~O-
= O OLl equivalentemente quefnão tem derivada em O.
Esboçando o gráfico desta função observaremos que ele tem um "pico" na origem.D
EXEMPLO (2.5)
Para o caso geralj(x) = x", onde n é um número natural qualquer e .eu .2 um ponto arbitrário, temos
j' ( ) = I" (x o + ~) n - x3Xo L\.~~ ~-r
Usamos agora a fórmula do binômio
(a + by = 'an + ( '; )a,>---Ib + C; )a1>---2b2 + ... + ( :1 )ab1>---1 + b"
()
n(n-l)···(n-k+ I)
onde em geral o coeficiente binomial ~ = k! . Daí obtemos
n(n - I)nxü-I~"'( + xã2~2 + ... + n.xo~n-I + ~n
I ) I" 2!}(xo = ~~ ~-r
n(n - I) 2 ,. 1
= l~~(n.XÕ-1 + 2! xã ~ + ... + nxcõx"> + Sx": )
= nxõ-I.D
Nos exemplos detalhados anteriormente usamos sem indicar explícitamente algumas das propriedades
básicas do processo de cálculo de limites.
Se duas expressões têm limite, então a soma, a diferença, o produto e o quociente, tem como limite a
soma, a diferença, o produto e o quociente dos limites respectivamente (no último caso dos quocientes
devemos supor também que nenhum denominador é nulo).
Nos 5 exemplos anteriores o cálculo dos limites dos quocientes de diferenças pôde ser realizado
porque depois de algumas simplificações algébricas foi possível cancelar o denominador Sx com um
fator semelhante do numerador. Nem sempre isso pode ser feito; mais adiante veremos outras
situações nas quais é neces~~{~9-lJS~r.t~;~_nicasapropriadas paI'!. determinar certos limites.
DEFINiÇÃO DE LIMITE
Motivados pelos exemplos anteriores, queremos discutir o conceito geral de limite de uma função
quando a variável independente se aproxima de um certo valor. Básicamente queremos escrever em
termos matemáticos a afirmação "quando a variávelx se aproxima de um valor xo, os valores JCx) se
aproximam de um número real/".
31
No que segue. a frase "uma t'urcilofestá definida em volta de um valor .\"0" significará que a função
está definida em um intcrv alo (':. h) pura JI~um par de números ti L h com li < .to < h,
Definição (informal)
Sejaj(x) uma função dcfinida Yv em volt! ele Ull1 \:1I(,r Xo cxccto possivelmente no ponto xo. Então
diremos que um número real i é 0 limite du fLII1~à~)/qLlal1du.\ tende :1Xo, se os valoresj(x) estilo tão
próximos de I quanto quisermos. 'IIx suficientemente próximo de Xo mas .x =1=Xo.
e A frase "quanto quisermos" significa que podemos exigir qualquer grau de aproximação
entre os valoresj(x) e !.
• A frase "'11 x suficientemente próximo de Xp mas .r *' x.," . significa todos os valores de x a
LIma certa distância positiva de .\0.
i!) Como x *' Xli- o ponto XII I1<lL)pertence necessariamente ao domínio DeI)·
Definição (formal)
Sejaj(x) uma função definida '11 x em volta de um valor Xo exceto possíveImente no valor xo. Então
diremos que um número real I é o limite da função f quando x se aproxima de Xo se, dado um número
E > O arbitrário, :3 um número 8 > O tal que
lf(x) - l1 < E
(qualquer grau de aproximação entre os valores f(x) e 1),
'11 x tal que
O < ~\:- Xo I < 8.
('IIx suficientemente próximo de Xo mas x *' xo)·
Nesse caso escrevemos
Il~mj(x) = I I.r Xo
Nas duas definições (formal ou informal), podemos separar o cálculo do limite exigindo que x se
aproxime do ponto Xo em uma direção apenas. Nesse caso falamos dos limites laterais para x -. Xo +
(x tende a Xo pela direita), ou para x -. Xo - (x tende a Xo pela esquerda). Neste sentido a existência do
limite de uma função em um ponto dado é equivalente à existência dos dois limites laterais e à
igualdade entre ambos.
A definição informal é totalmente correta quando interpretamos as frases nela contidas como indicamos
na definição formal. A 23 definição porém, tem uma virtude que a informal não tem: -as,.propriedades
do limite ou "leis do limite" podem ser provadas com ela est-abelecendo com todo o rigor matemático-
técnicas que tornam possível o cálculo de limites de uma forma razoávelmente stmples-oomo -indicao
teorema seguinte:
Teorema (2.6) (Leis do Limite)
Sejam f e g funções definidas '\Ix em volta de um valor Xo exceto possívelmente no valor Xo, e
suponhamos que ambas têm limite no ponto xs, digamos Iimf(x) = I) e limg(x) = /2 . Então
X-Xo X-Xo
1. lim(f(x) + g(x)] = I) + 12
X-Xo.
32
"'"'
"'"'
2.
3.
4.
5.
"""' 6.
!i!;~[trx) - g(x)] = II -/2
lim[cJ(x)] = C/I ,\::I constante real c
.'(-Xt'
lim[j(x)g(X)] = /112
.\_·X'"
Ii111 I' f(x) ] = ls. , se g(x) =t= O \::Ixsuficientemente próximo de Xo (mas x =F XC)~ c l : :r O.
X-.\,; _ g(x) 12
E!}l 4ftx) = Ft ' com J(x) 2: O se n for par ; para n ímpar J(x) pode assumir valores
positivos ou negativos sem nenhuma restrição.
EXEMPLO (2.7)
a Sejaj'(x) = x; então é evidente que lim x = xu.x ...•xo
b Seja fix) = x" onde n é um número natural. Aplicando a 43 propriedade n vezes vem que
lim x" = xô·
X-Xo
c Seja fix) = cx"; pela 33 propriedade deduzimos que lim cx" = cxõ.
.1'-.1'0
d Seja P(x) um polinômio de grau n, P(x) = a;x" + an-Ix'l-I + ... + alx + ao com a; =F O. Então
aplicamos a parte C junto com as propriedades 1 e 2 e obtemos que
lim P(x) = P(xo).
'<-'<0
e Seja F(x) uma função racional (quociente de polinômios). Aplicando a partcd-cencluimes ·que
'v'xo E n(F)
lim F(x) = F(xo). O
X-Xo
EXEMPLO (2.8)
Consideremos de novo a função fix) = l. O que ocorre quando x tende a O ? Observamos
primeiramente que f assume valores negativos ou positivos de cada lado de O; isso nos leva a analisar
as aproximações laterais em O separadamente. Quando x se aproxima de O pela direita, os valores de
J(x) são cada vez maiores e neste" caso particular podemos afirmar que fix)cre.sce sem limitação:
fiO, I) = 10; fiO,OOI) = 1.000; fiO, 000001) = 1.000.000 ... , e assim por diante. Isso significa que
os valores fix) não se aproximam de nenhum número real e concluimos então que o limfix) ~. Algo
. x-O+
similar ocorre.quando x se aproxima de O pela esquerda (escrevemos nesse caso x'~·'O'-);'mas'desta
vez' observamos que os valores fix) decrescem sem limitação: jr~O,Ol) = -100
fi-O,OOOI) = -10.000 ; fi-O,OOOOOOl) = -IO.OOO.ÓOO, e assim por diante. A 'conclusão 'é 'que
limfix) também ~. A falta de existência de qualquer limite lateraljá indica que a função não tem limite
x-O-:
no ponto O.
Uma situação semelhante aparece para a função g(x).= ;n' com n natural: quando n é par e x se
aproxima bilateralmente de O, os valores de g crescem sem limitação; se n for ímpar g apresenta o
mesmo comportamento que a função l quando x se aproxima de cada lado de O.
33
EXEMPLO (2.9)
Uma situação parecida à anterior e que está relacionada com a parte 5 das Leis dos limites ocorre
quando queremos determinar o lim .tex) no caso em que limj(x) = /, *' O e lirn g(x) = /2 == t)
.{-"XI) g(.y) x-xo X-XI)
quando x Sê aproxima lateralmente ou bilateralmente de xu. Vamos mostrar que nesta situação o limit.-
do quociente não pode existir. A idéia é rac iocinar por absurdo: suponhamos que e.'\i~l\.'
t~~~:~= /3· Então da igualdade
tex) = J(x) g(x)
g(x)
obtemos aplicando a lei do produto
1, = limJ(x) = lim .I«X) limg(x) = 13 x O = O
x-Xo .T-X0 •..f? x) ."(-·"fo
que é uma contradição.
EXEMPLO (2.10)
Com a notação do exemplo anterior, se I, = 12 = O então nada se pode assegurar em geral sobre a
existência do limite do quociente. Observe os dois exemplos seguintes:
a Se j(X) = x2 e g(x) = x, então lim fi(X» = limx = O .
.r+O g X .t-{)
b S j( ) ()? - I' fix) J' I ' I . I" - .e x = x e g x = x- , entao rm ---;--) = im X e esse u timo Imite nao existe.
.r+O g\.x x+O
Baseados nestes últimos exemplos podemos fazer as seguintes afirmações:
• Se limj(x) *' ° e lim g(x) = 0, então o lim fi(X» não existe.
X-'<o .<-xo '<-'<0 g X
• Se limJ(x) = ° e lim g(x) = O, então o lim fi(X) pode existir.
x-xo '<-'<0 '<-'<0 g x)
EXEMPLO (2.11)
Sejamf(x) = x2 -x - 2 e g(x) = x2 - 2" - 3. Queremos determinar os limites seguintes:
a lim fi(x~ ; neste caso tanto f como g têm limites nulos e então o quocientepode.re- .limite;
x-I g X.J- .' .
c: '~'d' fu - b J{?)' (x+1)(x-2) x-/ f
tatorarnos as uas nçoes e o temos g(x) = (x + 1)(x _ 3) = x -:3 (atenção: -J. ~ D(g)
, de modo que a última igualdade vale apenas quando x =/:. -1). Mas no processo de cálculo do
limite quando x -+- -1, x nunca assume o valor -}, logo lim f(x) = lim x - 2 = 1..
.<-1 g(x) x-I X - 3 4 '
(propriedade e do Ex.(2.7».
b lim f((x» ; neste caso observamos que limf(x) = 4 e limg(x) = 0, então o quociente não tem
x-3 g X x-3 .<-3
limite (Exemplo (2.9». .
34
---- ~ •• ~ •••••• ~7 •••••••••••••••••••••••• ~~·rsrnBRUD'.E~"zy~W~••0~'~VRM2?~·~··ea$•••••• m~~;M~t'll
c I· Ir.\")Iln -' -' - .
x-I g(x) ,
Ex.(2.7».
neste caso o ponto -I E D( .~ )
c- -4
--2 1 (propriedade e do
2
, então
EXEMPLO (2.12)
Como calculamos limites de uma Iunção definida por partes? Para a função
r -3x2 + :2.x- 1 , se x<2
J(x) = L
-I se x=2
4x+ 1 se x> :2
x-3
queremos calcular os limites para x -> I. x -> 2, x -> 3 e x -> 5:
a Para x -> 1 , observamos que em volta do ponto J a função está definida pelo polinômio
-3x2 + 2x - 1 Isso significa que limfix) = lim( -3x2 + 2x - I) = -2 (propriedade d do
x-I x-I
Ex.(2.7).
b Para x -> 2 , observamos que f muda de definição em cada lado do ponto 2 , logo é necessário
analisar oa limites laterais nesse ponto. Para x < 2, f coincide com o polinômio -3x2 + 2l" - I,
logo, pela definição de limite temos que limfix)= lim(-3x2+2x-I)
.<-2- .<-2-
lime -3x2 + 2x - I) = -9 (propriedade e do Ex.2.7). Para o limite lateral pela direita
.<-2
observamos que f coincide agora com a função racional 4x + 1 Entãox-3·
limfix)= lim 4x +31 = lim 4x +31 = -9 (propriedade d do Ex.(2.7». A igualdade entre C~
.<-2+ .<-2+ X - .<-2 x-
dois limites laterais mostra que limfix) = -9 . (é interessante destacar mais uma vez que
.<-2 .
nestes cálculos, o valor que a função tem no ponto 2 , é completamente irrelevante para o
cálculo desses limites ).
Para x -+ 3, vemos que f está definida em volta do ponto 3 pela função racional 4x + 1 . Logo
x-3
limfix) = lim 4x +..: . Neste caso notamos que lime4x + I) = 13 enquanto que lim(x - 3) = O
.<-) x-3 X - J .<-3 .<-3
. Concluimos então que li~~;l"~31 i1 e daí o limite daf~ nesse ponto.
c
d Se x -+ 5 deduzimos como na parte C que ~~fix) = ~~ ~ ~ 31 = ~21(propriedade e do
Ex.(2.7».O
Outro resultado útil no cálculo de limites é descrito no seguinte
Teorema (2.13) (Teorema do Confronto - TC)
Sejamf, g e h três funções definidas em volta de um ponto Xo (não necessáriamente em xo), tais que
Vx * Xo e próximo de xo,
fix) S g(x) S h(x).
35
~----------------------------------------------------------~~~~-------------------------- ..
Então se
limj(x) = lim h(x) = I
x-xo .T-'XO
a função g(x) tem limite no ponto Xo e I~mg(x) = I,
x Xo
Uma forma informa! e intuitiva de entender a conclusão desse reorerna é observando que a medida que
x se aproxima de Xi), os valores f(x) e h(x) se aproximam de !e como g(x) está entre J(x) e h(x), g(_'I.')
deve também aproximar-se de I.
Esse teorerna também se aplica ao caso de limites laterais (mudando limite por limite lateral pela
esquerda ou por limite lateral pela direita, no enunciado e na conclusão),
Em relação às funções trigonométricas, afirma.nos (sem demonstração) que se f denota qualquer lima
delas, limJ{x) = .I(xo) VXo E D(j) , Os gráficos dessas funções confirmam essas propriedades,
."(-:to
EXEMPLO (2,14)
, --,.' I' sen(x) IComo uma aplicação do 11..;, mostramos que im x = :
x-O
. I d" 'fi sen(x). (p ,E suficiente calcular o limite lateral pe a irerta pOIS a unção x e par or ser quociente de duas
funções ímpares), e então o comportamento no lado direito de O é idêntico ao comportamento no lado
esquerdo de O. Então se x > Oestá próximo de O, temos que
sen(x)
sen(x) < x < ( )-cos J'(
logo, dividindo às duas desigualdades por sen(x) (que é positivo) e invertendo as desigualdades
obtemos
()
sen(x)
cos x < x <
e agora como lim cos(x) = lim cos(x) = cos(O) = 1, e também
x-Ü+ x-O
lim 1 = lim I = I obtemos
x-Ü+ x-O
" II'm sen(x) I I '
x...{}- X =, conc ulmos quelim se:cx) = I , Como o mesmo resultado vale pela esquerdax-Ü+ '
I, sen(x) = I O1m v- ,x-O ,,-
Neste último exemplo temos um quociente onde o numerador e o denominador separadamente têm
limite 0010, ..
EXEMPLO (2,15)
P I· I - cos(x) O A idéi c: 'rovemos agora que lffi = " I ela e transtormar o quociente em outro que envolve a
x-O x
função sen(x) e depois usar o Ex(2.l4), :
36
x
I - cos(x) I + coy(x)
x I + cos(x)
I - COS2(X)
x(1 +cos(x»
! - cosf.r)
)
scn - (x)
x(1 +C(l:1(X)
scn(x) i= sent.v) _'_ --'---.\ ! + cos(x)
Então usando a Lei do produto de limites.
I cosf,x) _ _ scn(x)lim -- - = Ilm(sen(x» 11m ,_ lim -,-----''--:-:-
_,--{) X x--II .v __11 -' x--f) I + cos(x)
= O x I x ~ = O_O
Esses dois limites anteriores permitem calcular as derivadas das funções sen(x) e cos(x) em qualquer
ponto:
EXEMPLO (2_16)
a Se j(x) = sen(x), então /(xo) = cos(xo) 'lixo E ~- Primeiro expandimos o quociente de
diferenças e agrupamos os termos da seguinte forma
sen(xo +~) - sen(xo) sen(xo)cos(~) + cos(xo)sen(~:() - sen(xó')
~:( ~x
_ () cos(~x) - I () sen(~x)
- sen Xo ~:( + cos Xo ~:(
. . cost Ax) - 1 . sen(~:()
Pelos Ex. antenores, lirn ~ = O e lirn ~ I. Logo pela Lei de limites da
ll.T-{) ll.T-{)
soma e produto por constantes,
lim j(xo +~) - j(xo) = cos(xo)_D
ll.~-{) Ax
b Se j(x) = cos(x), então /(xo) = -sen(xo). A prova depende de transformar o quociente de
diferenças na forma apropriada
cos(xo + ~:() - cos(xo) _ cos(.X'o)cos(~) - sen(xo)sen(~) - cosC-X'o)
~~-- .~ ~
( ) cos(~) - 1 () sen(~X')= cos Xo ~ - sen Xo, ~X'
Usando as leis mencionadas de limites e os dois Ex. anteriores, vem que
lim fixo +~) - j(xo) = -sen(xo).O
ll.T-{) ÔX
37
--,
LIMITES NO INFINITO
As vezes prccissarnos conhece c o comportamento J..: urna função quando a variável cresce OeJ (:';C!"é·.\Ce
sem limitação.
Dada lima funçãor cujo domínio contém algum intervalo infinito do tipo (0,0) ou seja, nU) =:> (0,:.0),
perguntamos qual é o comportamento da f se .r cresce sem limitoção, Caso os valores f(x) se
aproximem de um número real I diremos que "o limite de j(x) quando x tende o O) é o número I" e
escrevemos
lim/(x) = I .x- ....f·
ATENÇÃO
A frase usada nessa definição "x tende a 00" é usada costumeiramente em tCálculo e parece indicar que
a variável x se aproxima de algo batizado com o nome "00", O símbolo 00 não representa nenhum
número e não devemos atribuir a ele nenhum significado matemático, portanto não está correto
interpretar que x -4 00 , significa "aproximar-se do infinito". O que é correto entender, é que x cresce
sem limitação.
Se a função f tiver um domínio n(f) =:> (-'"..o, a) , para algum número a, nos perguntamos novamente
qual é o comportamento dafse x decresce sem limitação. Caso os valoresj(x) se aproximem de um
número real I diremos que "o limite dej(x) quando x tende a -00 é o número l" e escrevemos
i}~X) = 11
Neste caso também devemos entender que x não se aproxima de -00 mas que x decresce sem
limitação. O símbolo -00 também não tem nenhum significado matemático e não faz nenhum sentido
realizar operações matemáticas com ele.
As Leis dos limites continuam válidas trocando nas hipóteses "Iim" por "Iirn " , ou por "lim" .
. x-x o x---o:> x--=o
EXEMPLO (2.17)
Voltando ao exemplo daJ~)l~)..;=:.J. ,podemos obse~ar:qu:~u~.ndo.x cresce sem3imitação,(!)s
valores dej(x) se tomam cada vez. mais próximos de O: j(102) = 0,01 ,j(106) = 0,000001 ,eté. Se
x decresce sem limitação, teremos j( -103) = -0,001 , j( 105) = -0,0000 I , etc. Podemos' afirmar
então que
)~x) = ° e l~x) = °
Para a função g(x) = -J" ,com n inteiro positivo, podemos verificar os mesmos comportamentos dafx
e portanto assegurar que
lirn g(x) = ° e limg(x) = °x->-w x-+co
38
-
o Te também vale mod ificando no enunciado "x -+ Xn" por "x -- -co" ou por "x -> 00" e mantendo o
resto das hipóteses.
r-
EXEi:ilPLO (2.18)
scn(x)
Calcular )in~ x . Neste caso não podemos usar a Lei do quociente para limites pOIS nem o
numerador nem o denominador se aproximam de nada quando x decresce sem limitação. O que fazer
então? Observe que -I :Ssen(x) :S I, então como x -> -co , podemos supor que x é negativo =>
I sen(x) 1
dividindo por :( arnbas desigualdades vem que - x::: x ::: x então como
I I sen~~)
lim C-y) = lim (-x,) = O deduzimos nclo Te que lim x = C. Um argumento similar, baseado
x---<.O ..\. x-(1) .l'-w -'
I scn(x) I . ' d . . . sen(x)nas desigualdades - x:S x' :S x ' válidas para to o x posrtrvo, mostra que .t~ x = O.O
I, cos(x) O I' cos(x) O (Esse argumento permite tamb~m mostrar que x~ x =, e que x~ x =, observar que
como no caso anterior, o numerador e denominador separadamente não têm limites para x -> -co ou
para x --> (0),
Do mesmo modo podemos assegurar que para qualquer n E N, l~S~~~X) = O 'x~ S~~~x) = O ,
lim cos(x) - O I' cos(x) = O,
n -, e 1m n.r-sco X x--w X
..-..•.
b
"'
~
,""" .-
EXEMPLO (2.19)
.Mostremos que lim sen( xl ) 11 , e que limx sen( l )= O :
x-o - x-O
a Analisemos o que ocorre com a 1a função quando x --> O + : a expressão _~ cresce sem
limitação e o seno dela oscila indefinidamente entre os valores -I e 1, logo lim sen( l) 11 .
. x-Ü+
Quandox -+ 0- , temos igualmente que .~ decresce sem limitação e o seno novamente oscila
indefinidamente entre -1 e I sem aproximar-se de nenhum número real; novamente esse limitelateral não existe. Daí deduzimos a I a afirmação.
Observe primeiramente que não podemos aplicar a Lei do produto de limites, pois o fator
sen( l ) não tem limite como acabamos de ver. Então como -1 ~ sen( l )~'1, se x > 0,
teremos -x ~ x sen( l )~x . Então pelo Te , vem que .!~x sen( l )= O . Do mesmo modo,
se x < O , vem que -X'::: X sen( l ):::x , eaplieando de.novo o Te , contluimos 'que "lim x-
I ~
sen( x) = O. Isto prova a 2a afirmação.D
Porque não existem limites em certos pontos xo? Básicamente temos três motivos para isso:
• Os limites laterais existem mas são distintos, ou algum limite lateral i1.
• Crescimento ou decrescimento ilimitado quando x se aproxima lateralmente do ponto,
• Oscilações da função cujas amplitudes não diminuem para O.
39
~--- ,. - -s:na *NC.=n"C'
LIMITES INFINITOS
Já encontramos casos nos quais certas funções f tinham um comportamento peculiar: quando a
variável x se aproxima de um ponto x., (lateralmente ou bilateralmente). os valores J{x) crescem (ou
decrescem) sem limitação. Em casos assim afirmamos corretamente que o correspondente limite não
existia. Queremos enunciar uma frase que caracterize esse comportamento:
Se quando x ....•Xo (bilateralmente). os valores de f(x) crescem sem limitação (ou decrescem sem
limitação) diremos que o "limite de f(x) é x)" (ou que o "limite de .fCx) é -00") e escreveremos
lim.fCx) = co (ou que limj(x) = -00).
.r....•.·'(o· .\ to
Faremos a mesma afirmação para limites laterais quando x -> Xo -, ou quandox ....•Xo +.
ATENÇÃO
Quando escrevemos limJCx)'= 00, não estamos afirmando que o limite existe, apenas estamos
.T-XO
indicando de uma forma particular que a função cresce sem limitação quando x se aproxima de xo. Do
mesmo modo, a igualdade lim JCx) = -00, não afirma que a função tenha limite lateral pela direita,
.T--""o+
apenas indica que ela decresce sem limitação quando x se aproxima lateralmente pela direita do ponto
Xo·
EXEMPLO (2.20)
Calcular lim 3x22 - 4x + 5 (observe que. não podemos aplicar a Lei do quociente (porque 7)).X-:L) 2x + x - 9
Dividimos por x2 , numerador e denominadore obtemos
3-..i+~
. x x.!
=!~ I 92+---
X x2
lim 3x2 - 4x + 5
X-+GO 2x2 + X - 9
J..
2
pois o numerador tem limite 3 e o denominador tem iimite 2 e agora sim podemos aplicar a Lei de
quociente.O
EXEMPLO (2.21)
Seja P(x) = a.x" + an-rxn-I + ... + arx"" ao um polinômio de grau n (a, *- O).Vamos mostrar que
·~:~"'-'"''"''''·'-·-;quandox ....•-00 oux=. 00,0 termo de maior grau, a.x" , é o que determina o cõmportamento da
função:
P(x) = anxn(l + all-I 1.. + ... + El..._I_ + EQ._I_)
a; x a; Xn-I a; x"
Cada termo do parêntese desde o 2° em diante tem limite O quando x ~ -00, ou quando x ~ 00, logo, o
parêntese tem limite 1 nos dois casos e consequentemente os valores de P(x) são cada vez mais
parecidos com os valores do termo a.x".
40
~ -------------------------- ----~~~~~~~~~~~..------------------~'~'~
Então temos quando n for par:
~ SI: a; > O. lim P(x) = 00 • e iim ?(x) = co.
x-rn x-:r)
e Se a; < O, lim P(x) = -00 • e lim P(x) = -'-O .
.\"--0:' X--.J:
Quando n for ímpar:
'ij) Se (J" > O. lim PCx) = -'-O. e lim F(x) = W .
.\"-_·1., .\-'_J
't' Se a.. < O. lim PCr) = CfJ. e lim F(.\") = -'-O.
x--co :(-:1"
Levando em conta este Exemplo podemos afirmar que para qualquer polinômio P
lim P(x) = lim a.x"
.l-···r .\"--7':'
c tam bem
limP(x) = lima"xn
:('-.:0 .l-X:
Baseado no exemplo anterior podemos afirmar em geral que se
P(x) = a.x" + an-1xn-l + ... + alx + ao
e
Q(x) = bmxm + brn-1X"l-l + ... + b IX + bo
são polinômios de grau nem respectivamente, então
I~ ~~~ ~x--ml
e também
I· P(x) I' a; n-m1m -- = 1m ---x
x-<X> Q(x) X-w b;
A determinação final desses limites vai depender de várias situações : se n < m , os dois limites no
infinito são nulos. ; se n = m , os dois limites coincidem com ~: ' e se n > m , o limite será 00 ou -00,
dependendo do sinal de abn , da paridade de n - m , e se x ...• -00 , ou se x ...• 00.
m
Os "limites no infinito" e "limites infmitos" que acabamos de descrever, correspondem gráficamente às
"assíntotas horizontais e verticais" do<gpáfiooGe·.umanmçã0. -
AssíNTOT AS HORIZONTAIS EVERTICAIS
Definição A reta vertical de equação x = c é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f, se
pelo menos algum limite lateral em c é 00 ou -00.
A condição significa geométricamente que o gráfico da f cresce sem limitação quando a variável x se
aproxima lateralmente de um lado ou do outro ou bilateralmente, de c. Informalmente dizemos que o
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gráfico "encosta" na reta vertical. Exemplos desta situação são as funções g(x) = xl" para n E N : a
reta x = O ou seja o eixo r. é lima assíntota vertical. Se/for urna função racional e tiver urna assíntotn
vertical x :-::C , então c -é lima raiz do denominador. A recíproca não é verdadeira em geral : se
f(x) = X,2 +x - 2 as raizes do denominador são 1 e -3 e calculando os limites obtemos
x': + 2x - -,
- - , )
lim _\2 + X - 2 = _; . lirn -\- +~"( - 2~ = 00 e lim -\- + x - ~ = ~J)
.r-·l .r- + 2.r - 3 .. ··3·- .\*- --;-_'\.-- -' :C--.\+ .Y- + 2'( -~.J
Então a reta x = -.3 é a única assintota vertical.
Encontraremos frequentemente situações do tipo seguinte:
/Cx)
• para x < c e próximo de c. Ji!:1./Cx):F O . }i.T-g(x) = O e g{x)
. J(x) i(x) . -
=> lim --o = co ou ---J'.o. st:' -- -' - for > O ou < O respectivamente.
x-c- g(x) :;(x)
. . . - () O fCx)O para x > c e proxrrno de c. 11mICx) :;: O . lrm g x = e -'--(.)
x-c+' x-c+ g X
=> lim fix) = 00 ou --co se j(x) for> O ou < O respectivamente .
.t-c+ g(x) , . g(x)
• para x *- c e próximo de c, V~J(x) *- O , ~Í!:Jg(x) = O e g(x)
=> lim fix) = 00 ou --co se fl.x) for> O ou < O respectivamente.
x-c g(x) 'g(x)
Em todos esses casos a reta vertical x = c é uma assíntota vertical.
Os polinômios de qualquer grau não têm assíntotas verticais, veja o exemplo (2.7) parte d.
Definição A reta horizontal de equação y = c. é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função
J, se }imJCx) = c, ou se:!~.f{x)-="c.
tem um sinal fixo
tem um sinal fixo'
tem um sinal fixo
Geométricamente a existência de uma assíntota horizontal y = c , significa que o gráfico da função se
aproxima da reta horizontal de equação y = c quando x -+ 00 ou quando x -+ --co respectivamente.
Novamente observamos que nenhum polinômio P(x) de grau 2: 1 tem assíntotas horizontais, pois
lim IP(x) I = 00. As funções racionais somente têm assíntotas horizontais quando o grau do numerador
.~-..=cc
for:S do que o grau do denominador.
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
O próximo passo é analisar o conceito de continuidade de uma função:
. . - .. _. - . .•....,.~_.-- ,-.-
Definição (2.22)
Dada uma funçãofe um ponto xs E D(j), diremos queJé contínua em Xo se limfix) = fixo).
X-+Xo
A idéia de continuidade é muitas vezes descrita informalmente pela frase "uma mudança pequena nos
valores de x E D(f) produz uma mudança pequena nos valores de j(x)" ou "o gráfico de uma função
contínua pode ser esboçado sem levantar o lápis do papel". Ambas as frases levam embutidas a
igualdade que caracteriza a continuidade: limj(x) = fixo)
X-Xo
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• o limite existe no ponto de continuidade (ou seja, os dois limites laterais existem e são iguais).
S esse limite; é o valor da função no próprio ponto.
Juntas, significam que se nos afastarmos de Xo a um ponto x próximo ele Xo , os valores JCx) ficam
próximos de J(xo) ; além disso, como os dois limites laterais coincidem com o valor da função no
pomo, o gráfico pode ser traçado sem interrupções ou "sem levantar o lápis".
Continuidade em intervalos
Uma função z é continua em um intervalo aberto (a, b), se for contínua em cada ponto.
Uma função f é contínua em um intervalo fechado [a, b], se for contínua em cada ponto de
(a,b) e se lim I(x) = ICu) e lim tCx) = j(b).
x-·u+' , , ,<-Ir-'Uma funçãofé contínua em um intervalo [a,b) , se for contínua em cada ponto de (a,b) e se
limJCx) = J(a).x-a+
Uma funçãofé contínua em um intervalo (a,b] , se for contínua em (a,b) e se limJCx) = JCb).
, x-iJ-:
A igualdade escrita na 3a parte é resumida na frase "fé contínua a direita no ponto a", enquanto que a
mencionada na 4a parte é resumida na frase ''fé contínua a esquerda no ponto b".
Na maioria dos exemplos que estudaremos neste curso, as funções que aparecem são contínuas em
todo o domínio tornando trivial o cálculo de limites.
Levando em consideração as Leis do limite, podemos enunciar um teorema semelhante para funções
contínuas:
Teorema (2.23) (Propriedades das Funções Contínuas)
Sejamfe g funções contínuas em um ponto Xo . Então
1. f +g é contínua em Xo
2.
3.
4.
5.
6.
f -g é contínua em Xo
cf é contínua em Xo para qualquer constante c
fg é contínua em Xo
I" . (I)g e contmua ern x., S(;; Xo E D g
fI é contínua em Xo com as hipóteses apropriadas relativas à paridade de n e o sinal de
JCxo).
Composição de funções contínuas
Se g for contínua no ponto xj effor contínua no ponto g(xo) , entãofo g é contínua em xo.
43
---..
EXEMPLO (2.24)
COS(Jx2 - I )A função ./Cx) = ).., . é contínua em seu domínio:
x- - JX
oU) = {x E ~/X2 - I 2: O e x :;:.O c 3}
= (-w.-lJ U [I.co) \ {O.3} = (-(.(),-IJ U [1.3) U (3.co)
pois o numerador é a composição das funções cosseno (contínua 'v' x) com a raiz quadrada (contínua 'cf
~'(I2: I). e o denominador é um polinômio com raízes O e 3 (contínuo \;j x *- Oe 3).
Urna consequência da continuidade é o seguinte resultado:
Permanência do sinal de funções contínuas
Se f for contínua em um ponto Xc, interior a oU) e f(xo) > O então :3 um intervalo (a. b) c 0(1)
e contendo Xo tal queAx) > O \;j X E (o. b).
Vale o mesmo enunciado trocando ''> O" por "< O".
Prova A afirmação anterior é consequência da definição de limite: comoAxo) > O, podemos tomar
um pequeno intervalo aberto de números positivos (c,d) 'que contém o valorj(xo) em seu.
interior. Logo vai existir pela continuidade um outro intervalo (a, b) contendo Xo tal que
(a,b) c D(f) e \;j x E (a,b) =Ax) E (c,d) e isso mostra que Ax) > O \;j X E (a,b). m.
Uma das atividades rotineiras em Cálculo é calcular aproximações numéricas de certos números reais
(raízes de equações por exemplo). Quando trabalhamos com funções contínuas podemos determinar
de forma elementar raízes de equações com qualquer precissão desejada (embora existam outros
métodos mais poderosos para esse fim). Esse método está baseado no seguinte teorema:
Teorema (2.25) (Teorema do Valor Intermediário-lVl)
Seja f uma função contínua em todo um intervalo fechado e finito [a,b]. Se c é qualquer
número entre Ao) eAb), então B algúm número X E [a,b] tal queAx) = c.
Esse teorema é descrito às vezes afirmando que "uma função contínua em [a, b] não pode passar do
valorAa) ao valorAb) sem passar por todos os valores intermediários (ou valores entreAq) eAb».
c Ein-bóra o enunciado do téôferna pareça mais ou menos óbvio, a prová utiliza idéias sofisticadas ''que
estão fora do alcance deste curso.
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