A Integral

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6
A {,tNT€GRAL
121
.•_- ... - ./ .. - . - .. -.. -.; .. -
Nos capítulos anteriores foram desenvolvidas as ferramentas do Cálculo que posibilitaram a solução do
Problema da Tangente. No que segue descreveremos a solução do Problema da Area. Este
problema consiste em determinar a área limitada pelo gráfico de uma função contínua e positiva em um
intervalo fechado [a,b] , o eixo x e as duas retas verticais x = a e x = b; observe a figura abaixo
a b
Intuitivamente observamos que essa região tem uma área determinada e devido ao fato de não termos
fórmulas que permitam calculá-Ia com precisão, ela resultará 'de âlgum processode aproximação/Esse
processo está descrito nas seguintes etapas:
1. o intervalo [a, b] é dividido em um número [mito de intervalos determinados por pontos
a = Xo < XI < ... < Xi-I < x, < ... < x; = b. Denotaremos por P a coleção desses pontos de
divisão; a coleção P é chamada de "partição" do intervalo [a, b].
2. escolhemos (arbitráriamente) pontos Z; E [X i-)' X; ].
3. Formamos a soma fmita
flzl)(Xj -xo) +flZ2)(X2 -XI) + ... +flz;)(x; -X;_I) + ... +flzn)(xn -Xn-I)
que representa a soma das áreas dos retângulos de base X; - X;_I e alturaj'(a.) respectivamente,
para cada um dos intervalos da partição; essa soma constitui uma aproximação da área que
queremos determinar. A aproximação será tanto mais precisa quanto mais "fina" seja a divisão
de [a,b] pelos pontos Xo, Xj, ... , X;, ... , Xn, ou de outro modo, quanto menor seja a máxima
distância entre pontos consecutivos da partição P; é conveniente ter uma notação para essa
distância máxima: ela será denotada por /lP/I e chamada de "norma da partição P", ou seja
/I P /1= maior·dzrs"'distãncias'{'X;--Xj:.o:/)'quando'Í'=·1,2, ... ,·n.
aumentamos indefinidamente o número de pontos de subdivisão de modo que a norma das
partições tenda para zero e definimos a área A como
A = lim [j(ZI)(XI -xo) +j(Z2)(X, -XI) + ... +j(zn)(xn -Xn-I)]IIPU....o -
4.
Este procedimento deve ser obviamente suplementado com uma prova que ele leva a um valor único A,
o que não é dificil de fazer com um certo refmamento do conceito de continuidade, e também que A
122
..' .. -:- .-- ..- ..,.
independe da escolha de pontos de subdivisão e dos pontos z, E [Xi-! .x.].
Quando a função contínua I não é positiva em todo [a, b], o limite anterior não é uma área, mas
representa a uma soma algébrica de áreas: A = soma de áreas de regiões no semiplano superior -
soma de áreas de regiões no semiplano inferior.
Esse valor A é às vezes chamado de "area líquida com sinal" dai no intervalo [a, b].
EXEMPLO (6.1)
Apliquemos esse processo ao caso particular da função j(x) = x2 no intervalo [0,1]. Escolhemos os
pontos de divisão x, = *" para i = 0,1, ... ,n, e os pontos z, = *". A soma da parte 3 é dada por
(h)2 h +(~)2 h + +(~)2 h + ... +(~)2 h =
12 + 22 + ... + ;2 + + n2 _ tn(n + 1)(2n + 1)
n3 - n3
= .l2n3 + 3n2 + n = .l(2 + ..1. + _1_)
6 n3 6 n n2
Agora é fácil observar que se P denota a divisão pelos pontos x, = ~, a norma 1/ P 1/ = -t, e essa
norma tende a zero quando n ~ 00, logo a parte 4 do processo de cálculo da área é completado quando
calculamos o limite À!m t(2 + + + n\ ). Portanto a área entre o gráfico da parábola x2, o eixo X e as
verticais x = ° e x = 1, é +.
De um modo geral podemos notar que o procedimento descrito nas etapas de 1 a 4, é complicado de
aplicar a uma função contínua qualquer, porém ele nos permitirá estudar propriedadesdesse.cálculo ..e
obter outros meios alternativos muito mais abrangentes e simples para o cálculo de áreas com sinal.
O PROCESSO INVERSO DA DERIVAÇÃO: A INTEGRAL INDEFINIDA
o problema que vamos a analisar agora é o seguinte: dada uma funçãoj(x) defmida em um intervalo I,
existe uma função F(x) diferenciável no mesmo intervalo tal que F (x) = j(x) ? Se tal função F existir,
ela é chamada de primitiva ou antiderivada dafno intervalo L
Este é o problema inverso da derivação e quando ele puder ser resolvido afirmativamente, há uma
infinidade de respostas possíveis. Com efeito, suponhamos que dada a função I definida em um
intervalo I, existam duas funções F e G tais que F (x) = j(x) e G' (x) = j(x) Vx E I. Então a função
H(x) = F(x) - G(x) tem derivada nula no intervalo I e aplicando o TVM a H(x) obtemos que dado um
ponto x) E I fixo e outro x E I arbitrário, 3 c E ao interior de I tal que
H(x) -H(x) = H' (c) (x -xd = °
e então H(x) = H(xd. Isso mostra que H é constante em I e então F(x) - G(x) é constante em I :.
G(x) = F(x) + C. Consequentemente se pudermos determinar uma função F(x) tal que F (x) = j(x),
qualquer outra G(x) com a mesma propriedade é obtida da F somando uma constante. Podemos
afirmar então que dada uma função Ie uma primitiva F em um intervalo I,
{primitivas da/no intervalo I} = {F(x) + C / C constante qualquer}
Notação: qualquer primitiva da função f em um dado intervalo I, será representada pela única notação
123
· .
fj(x)dx, que é lida como "integral indefinida de j(x) dx". O símbolo dx é lido também como
"diferencial de x" e indica qual é a variável (neste caso x) em relação à qual estamos integrando.
Quando for preciso, indicaremos também explícitamente o intervalo I.
Por exemplo, as funções x;, x; + 2, x; - 1, etc. são todas primitivas de fix) = x2 em qualquer
intervalo I; qualquer uma delas será denotada pela mesma expressão f x2dx.
A partir de uma tabela de derivadas obtemos imediatamente uma tabela de primitivas ..Natabela
seguinte, C denota uma constante arbitrária, também chamada de "constante de integração".
derivadas
-ª-(xn+l) = (n + l jx"
dx
:Ix (seníx) = cos(x)
:Ix (costx) ~ -sen(x)
:Ix (tg(x) = sec\x)
:Ix (cotgíx) = -cossec 2 (x)
:Ix (secfx) = sec(x)tg(x)
-ª-(eX) = e"
dx
:Ix (ln~l) = 1
integrais indefinidas
f n+lx"dx = _x__ + C se n *- 1n + 1 '
f cos(x)dx = sen(x) + C
f sen(x)dx = -cos(x) + C
f sec\x)dx = tg(x) + C
f cossec2(x)CÚ" = -cotg(x) + C
f sec(x)tg(x)CÚ" = sec(x) + C
f e+dx = e' + C
f ldx = ln]x] +Cx
Em geral, as propriedades de diferenciação de somas, diferenças e produtos de funções por constantes,
têm propriedades similares para integrais indefinidas: .
Teorema (6.2)
(a) f(cj(x»d'C = c fj(x)dx ,se c é qualquer constante real
(b) f(f(x) +g(x»dx = fj(x)dx + Jg(x)dx
(c) f(f(x) - g(x»dr: = fj(x)dr: - Jg(x)dx
As igualdades que envolvem o símbolo f devem ser entendidas como igualdades entre conjuntos de
funções e não como igualdades entre duas funções específicas. Por exemplo, quando escrevemos
f (x2 + cos(x)dx = f x2dx + f cos(x)CÚ"
3
queremos indicar que a coleção das funções da forma ~ +sen(x) + C (onde C é qualquer constante
real), que formam o membro da esquerda, coincide com a coleção de todas as funções da forma
124
. _~_-....o-. _ .., .. ..
._..."' ... -." """' -.. -"- .. '
3
; +D (onde D é qualquer constante real), somadas com as funções da forma sen(x) + E (onde E é
qualquer constante real), que formam o membro direito da igualdade.
Nos cálculos de primitivas é mais simples adicionar a constante de integração na etapa final do cálculo,
o que não altera o resultado [mal.
EXEMPLO (6.3)
1. a. A derivada de qualquer primitiva de uma função/, coincide com!
1x (f f(x)dx) = f(x)
Se f é diferenciável em um intervalo aberto I, a integral de sua derivada é a coleção de
todas as funções da forma f(x) + C :
f/(x)dx = fix) + C
b.
EXEMPLO (6.4)
Para um polinômio P(x) = a.x" + an_IXn-1 + ... + alx + ao, temos
f P(x)dx = ~xn+1 + an-I x" + ... + ELx2 + aox + Cn+I n 2
EXEMPLO (6.5)
Em certos casos é útil reescrever a função a ser integrada de outra forma equivalente para determinar
sua primitiva:
1. a.
x3 - 3x1- + x2 + 3xt - i
se f(x) = 1.. ==>
x5
ff(x)d-c = f (x li - 3x* +xt + 3xfo- - ~ x-i- )dx
= Í-x ~_.&x T~+ 2-x ~ + 30 x1t - 2.x+ + C18' 29 13 11 6
b. se f(x) = _--=-1__
I + sen(x)
f f(x)dx = f 1 1 - sen(x) dx
I + sen(x) 1 - sen(x)
= f 1 - sen(x) dx
cos2(x)
= f( COs~(x) - cs:~~;) )dx
= f (sec2(x) - sec(x)tg(x»)dx
= tg(x) - sec(x) + C
125
- _o",,: - _ •.••. :.., •. "'-,.... =-. :'.. ' ..
. ~..-.'. ~-.-
~ -
Vamos detalhar agora algumas técnicas de integração para o cálculo de primitivas; de um modo geral
observamos que para cada regra de derivação temos uma correspondente de integração.
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUiÇÃO
Esta técnica está baseada na Regra da Cadéia e é usada no cálculo de integrais de funções que tem a
forma de um produto do tipo JCg(x))g' (x); a integral é transformada em uma integral dafunção J:
Suponhamos que conhecemos uma primitiva F da função f em um intervalo I, ou seja,
:Ix (F(x)) = JCx) (observar que a letra usada x pode ser qualquer outra). Então afirmamos que se g(x)
for uma função com derivada contínua em I,a integral
f JCg(x))g' (x)dx = F(g(x)) + C
Se u = g(x), usando a regra da cadéia temos que C;; = g' (x), ou, na linguagem das diferenciais,
du = g'(x)dx =>
-ª-(F(u)) = L(F(u)) du = JCu) du = JCg(x))g' (x)
dx du dx dx
Logo
fJCg(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C
Para aplicar esta técnica de integração, é necessário que uma parte da função a ser integrada seja a
derivada de outra parte, e também que a integral que aparece na nova variável u.. seja simples de
determinar. Um detalhe importante de observar é que a nova variável u deve ser contínuamente
diferenciáve1 no seu intervalo de definição.
EXEMPLO (6.6)
Nestes exemplos calculamos a integral indefinida JJCx)dr: :
1. a. Seja JCx) =sen(x)cos(x); então pondo li = sen(x) => du = cos(x)dx
2
J J'" sen (x)=> sen(x) cos(x)dx = u du = l~- + C = 2 + C
b. Para a mesma função f , substituimos li = cos(x) => du = -sen(x)dx =>
J J 2 cos
2(x)sen(x)cos(x)dx = - u du = _l~ + C = 2 + C.
Observamos nas partes (a) e (b) urna aparente discrepância nos cálculos. A constante de
integração C no cálculo de primitivas permite justificar esses resultados: pela identidade
trigonométrica sen2(x) + cos2(x) = I vem que sen2(x) = I - cos2(x) => o resultado
da parte (a) pode ser reescrito na forma
126
~'
2
sen (X) C
2 +
1 - cos2(x) C= 2 +
J sen(x) cos(x)dx =
=
=
c.
e sendo C uma constante qualquer, a constante D = C + t é igualmente arbitrária,
2
I - d fu - d J?: sen (x) C (C bi âria) . idportanto a co eçao e nçoes a rorma 2 + constante ar itrana ,comCl e
com a coleção de funções da forma COS~(x) +D (D constante arbitrária).
Seja fCx) = sen3(x)cos(x); fazemos a substituição li = sen(x) => du = cos(x)dx =>
4 .
f· 3 f 4 sen (x)sen (x)cos(x)dx = uê du = ~ + C = 4 + C
Seja fCx) = e./X ; fazemos a substituição u =.fX => du = ~ dx => du = 21 dx
fi 2"x li
=> 211 du = dx =>
f e./X dx = f ~(2udu) = 2feudu = 2eU + C = 2e.fi + Cfi . u
Seja fCx) = (4x + 5) 7; fazemos a substituição u = 4x + 5 => du = 4d'\" => ~l = dx
d.
e.
f (4x + 5) 7dx = J'U7.~t,=··tf't."7<da'=""·~.z~8 ~C'=· 312{4xr+-.sl··+,c
f. Seja fCO) = cos(cos(O»sen(O); fazemos a substituição li = cos(O) => du = - sen(O)
~
g.
f cos(cos(O»sen(O)dO = - f cos(ll)dll = -sen(u) + C = -sen(cos(O» + C
Seja fCx) = x2 ; fazemos a substituição u = 3 - 2x3 ~ du = -6x2d'C13 - 2x3
~ _ du = x2d" ~
6
f x2 dx = f _1_ (-.1.du) = _.1. f zr+du = _.1.íuf + C = _2- (3 - 2x3) t + C1/3- 2x3 tu 6 . 6 6 4 24'
Seja fCx) = Jx2 +x4, com domínio restrito ao intervalo (0,00); reescrevemos
fCx) = JX2(1 +x2) = xll,,+-'X2. -Fazemos ..-a<5Ubstituiçãe ',~J'='J. +.x2 ...;::=:>du=.2xdx
~ du = xdx ~
2
h.
i.
f Jx2 +x4 dx = f xJl +x2 dx = f Jü ~l = ~ f u't du = ~ ~ u+ + C = j (1 +x2)+ + C
Seja Ax) = x2 (1 - 3x3 ) +; fazemos a substituição u = 1 - 3x3 => du = -9x2 dx
~ _du = x2dx ~
9
127
128
- ".-.- ----~:..-.:;.
j.
f X2 (1 - 3x3) tdx = f ut (- ~l ) = - ~ f utdu = - ~ ~ ut + C = -14 (1 - 3x3) t + C
Seja j(x) = xl/I +x; fazemos a substituição li = I +x => X = li-I e du = dx =>
fx~dx =
=.JClt ~J~,l/iidll
=,}{ll ~l)u+ du
= f (ut - u+ )dll
= ~ut -~ut +C7 4
373 4= ""7(1+x)3 -"4(1 +x)T + C
k. Seja j(x) = (I + 1)~. Determinar a primitiva ou integral indefinida F(x) dej(x) talx '
que F(l) = -4. Fazemos a substituição u = 1+ 1 => du = -~dX"
x
=> -du = _l_dx =>
x2
f (1+ 1) ;2 dx = f u( -dll) = - f udu = - ~2 + C = - i (l + 1)2+ C
Queremos determinar' a 'primitiva ,F(x) = - i (l + 1)2 + C tal
- 4 = F(l) = (l +>~) 2 + C => -4 = 4 + C => C = -8. Então
F(x) = ~"i( 1 + 1)2 - 8
que
I. Seja j(x) = cos(x)esen(x). Determinar a primitiva F(x) de j(x) tal que F( ~ ) = O.
Fazemos a substituição u = sen(x) => du = cos(x)dx =>
f cos(x)esen(x)dx = f er du = e" + C = esen(x)+C
e queremos que o = esen( ~ ) + C = C=-e
m.
Então F(x) = esen(x) + C
=> F(x) = esen(x)- e.
Seja j(x) = cos(~(x)). Determinar a primitiva F(x) de j(x) tal que F(l) = 1L
Fazemos a substituição li = ln(x) => du = '!; =>
f cos(~(x)) dx =,J cOS(U)dll = sen(u) + C = sen(ln(x)) + C
Então F(x) = sen(ln(x)) + C, e queremos que tt = sen(ln(I)) + C => C = 1r
=> F(x) = sen(ln(x)) + 1L
Seja j(x) = ln~x). Determinar a primitiva F(x) de j(x) tal que F(e) = 1. Fazemos a
substituição u = ln(x) => du = 1" =>
f ln~x) dx = f udu = z; + C = (ln(x))2 + C
Então F(x) = (ln(X))2 + C e queremos que 1 = (ln(e))2 + C => C = O. A primitiva
procurada é então F(x) = (ln(x))2.
n.
o. Seja JCx) = tg(x); fazemos a substiruição li = cos(x) levando em conta que
du = -sen(x)dx. Então
f t (x)dx = f sen(x) dxg cos(x)
= -f ~I
= -lnlul+C
= -lnlcos(x)I + C
= lnl CO;(x) I +C
= lnlsec(x) I + C
EXEMPLO (6.7) (Velocidade de Escape)
Suponha que um projétil é disparado verticalmente desde o solo com uma velocidade. inicial vo no
instante t = 0, de tal modo que a única força agindo sobre o projétil em qualquer instante posterior, é a
força devida a gravidade. Dependendo do valor de vo, o projétil irá subir até uma altura máxima para
depois retomar à superfície da Terra. Se pudessem ser imprimidas velocidades grandes Vo, qual seria
aquela para a qual o projétil escaparia sem retomar mais?
SOLUÇÃO Pela Ia Lei de Newton a força de atração entre dois objetos é diretamente proporcional ao
produto das massas m I e m; e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os
centros das massas. Neste caso, se F denota a força de atração e y é a distância do projétil ao
centro da Terra,
onde G denota a constante de proporcionalidade (G é a constante de gravitação
universal).
Por outro lado, a 2a Lei de Newton afirma que a força F sobre um objeto em movimento, é
proporcional à aceleração produzida (neste caso na direção vertical), e a constante de
proporcional idade é a massa do objeto. Logo, como aceleração = derivada da velocidade em
relação ao tempo (a(t) = C;;; = s- => F = mIa e
cf2y Gmlm2
ml dt2 = - y2
cf2y Gm2
dt2 =-~
onde m2 é a massa da Terra. Na superficie da Terra a aceleração devida à força da
gravidade é cf2y = -g = -9 8.llL (no SI) =>
dt2 ' S2
Gm2
=s= -Ji2
e daí obtemos que Gm2 = gR2 =>
129
.•• - ':' •• !. -":•••.
mas dv = dv dy = dv v(t) =>
dt dy dt dy
dv gR2
-v=---
dy y2
vdv = _gR2 dJ;
y-
Nessa última equação calculamos as primitivas de cada membro escrevendo
Jvdv = -gR2 f ;~
considerando que no 10membro integramos em relação à variável v, enquanto que no 20
membro integramos em relação à variável y. Uma forma alternativa de justificar esses cálculos
é observando que a velocidade depende da distânciay ao centro da Terra e portanto a
izualdade dv v = - gR2 pode ser reescrita na forma
o dy y2
e agora integrando ambos os membros em relação à variável y, vem que
f L( .Lv2)dy = _gR2 f dydy 2 y2
R'.Lv2 = ~+C
2 Y
R'Basta observar agora que quando y = R , v = Vo => tvõ = gR - + C
=> C = tvõ - gR. Então temos a expressão da velocidade vem termos da distância y
J2gR2v(y) = -y- + võ - 2gR
Para que o projétil não volte mais à superficieda Terra será necessário então que v(y) > O
V Y , então a menor velocidade inicial para que isso ocorra será
võ - 2gR = O, ou seja quando
Vo = J2gR
pois o termo 2gyR2 é sempre positivo. Usando os valores g = 9,8 n; e R = 6,4 xl 06
s-
m, obtemos a velocidade de escape para a Terra: vo :::::11,2 ":z .•
Observação:
Como as duas Leis de Newton são universais, ou seja, valem em todo canto do universo, a velocidade
de escape para outros planetas pode ser calculada com a mesma expressão J2gR usando o valor
130
>: •••. ~ -.' .••. ~.-- .. ~.
correspondente de g nos outros planetas.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Esta técnica de integração é consequência direta da regra de derivação do produto:
Da igualdade
:Ix (f(x)g(x» = j(x)g(x) +j(x)g'(x)
obtemos integrando em ambos os membros em relação a x,
j(x)g(x) = f :Ix (f(x)g(x»dx = fj(x)g(x)dx+ fj(x)g'(x)dx
então temos
- f j(x)g' (x)dx = j(x)g(x) - f j (x)g(x)dx
EXEMPLO (6.8)
Calcular as integrais indefinidas seguintes:
1. a. Jxe" dx; neste caso escrevemos j(x) = x e g' (x) = eX; então j (x) = 1 e g(x) = e",
Daí obtemos Jxe" dx = xe" - J e" dx = xe' - e' + C
JeXsen(x)dx; escrevemos fCx) = e" e g' (x) = sen(x), então 1tx) = 'e" --e
g(x) = -cos(x). Daí obtemos
f eXsen(x)dx = -e cos(x) + f eoTcos(x)dx
A segunda integral é tratada da mesma forma: escrevemosj(x) = e" e g' (x) = cos(x)
~ !(x) = e" e g(x) = sen(x). Então
J eXcos(x)dx = eXsen(x) - J eXsen(x)dx
e inserindo essa integral no primeiro cálculo, obtemos frnalmente
f eXsen(x)dx = -e0Tcos(x) + f e" cos(x)dx
= -e; cos(x) + eoTsen(x)- f eXsen(x)dx
e a mesma integral aparece no 20 membro com o sinal trocado. Passamospara o 010
membro e resulta
b.
2 f eXsen(x)dx = eoT( sen(x) - cos(x) )
Finalmente, passamos o fator 2 ao segundo membro e acrescentamos a constante de
integração:
f eXsen(x)dx = i e" (sen(x) - cos(x») + C
c. fxrln(x)dx, r"* -1; para o caso r = -1, veja o Exemplo(6.6) (n). A escolha mais
131
• 00'" __ -,,,--
__ O 0•• -:.
, j 1 xr+1
apropriada éj(x) = ln(x) e g (x) = x", então (x) = x e g(x) = r + 1 . Integrando
por partes
d.
fxrln(x)dx = xr+1 ln(x) - _1_ J xr+1dxr+l r+l x
r+1 1 J= _x-ln(x) - -- xrdx
r+l r+l
xr+1 xr+1
= ; + 1 ln(x) - (r"+ 1)2 + C
f ln(x )d,; integramos por partes pondo j(x) = ln(x) e g' (x) = 1 => j (x) = 1 e
g(x) = x, então
e.
f ln(x)dx = xln(x) - J dx = xln(x) -x+ C
fsen-I (x)dx; escolhemos j(x) = sen" (x) e g' (x) = 1, então I (x) = 1 eJl -x2
g(x) = x, então
J sen-I (x)dx = x sen -I (x) - J x dxJl -x2
a 2a integral é calculada por substituição pondo li = 1 - x2 => du = -Zxdx
=> - du = xdx => f x dx = _l f du =
2 Ji _x2 2 jU
1 1 1-"2 f u-T du = -li 2 + C = - J 1 - x2 + C; inserindo este resultado na parte anterior
J -I -I J .,sen (x)dx = x sen (x) + 1 -x- + C
f.
Observar que deveriamos escrever -C como constante de integração, mas sendo
arbitrária tanto faz escrever -C como +C,
ftg-I(x)dx; escolhemosj(x) = tg-I(x) e g'(x) = 1 => j(x) = I, e g(x) = x =>1 +x- .
Jtg-I(x)dx=xtg-I(x)-J x ,d,1 +x-
e a 2a integral é calculada pela substituição li = 1 + x2 = du = 2xdx = ~l = xdx
=> f x dx = 1.. f du = 1.. lnJuJ+ C = llnJl + x2J = lln(l + x2). Então
1+x2 2 u 2 2 2
ftg-I(x)dx =.xtg-l(X)-J x., dx1 +x-
=xtg-1(x)- i ln(I+x2)+C
= X tg -I (x) - ln J 1 + x2 + C
g. f X tg-1 (x)dx; a escolha apropriada para essa integral é j(x) = tg-I (x) e g' (x) = x,
entãoj(x) = 1., e g(x) = x2
2
• Logo
1+x-
fxtg-1(x)dx= x2 tg-l(x)_lJ x2 dx2 2 1 +x2
A 2a intefal pode ser calculada fácilmente com o seguinte artifício
x2 =x+l-1=1_ I=>
I + x2 1 + x2 1 + x2
132
J X2 ') dx = J(1 - 1 ')) dx = x - tg -I (x)1+x- 1+x-
Então
Jxtg-I(x)dx= x; tg-I(X)_~ J ] :2X2dx
x2 -I 1 ( -I)'"'="Ttg ',(xl'-Z'x,--tg (x) + C
ALGUMAS FÓRMULAS DE REDUÇÃO PARA INTEGRAIS INDEFINIDAS
1. Calcular f (ln(x) t dx onde n é um número natural. Usamos integração por partes com
n(ln(x)t-I
fCx) = (ln(x)t e g'(x) = 1 ~ I (x) = x e g(x) = x :
f(ln(X»"dx = x(ln(x»n - n f(ln(x»n-1dx
Aplicamos a fórmula repetidamente até chegarmos em uma integral do tipo f dx = x + C
Calcular f senn(x)tÚ' onde n é um número natural. Usamos integração por partes comj(x) =
senn-I(x) e g'(x) =sen(x), então/(x) = (n-l)senn-2(x)cos(x) e g(x) = -cos(x) ~
f sen" (x)d-r = - senn-I (x) cos(x) + (n - 1) fsenn-2(x) cos2(x)dx
2.
3.
n-I f n-2 ')= - sen (x)cos(x) + (n - 1) sen (x)(l- sen-(x»dx
= - sen .Q-J (x) cos(x) + (n - 1)(f sen n-2 (x)dx - f sen n (x)dx )
Agrupando no 1°membro obtemos
n f sen"(x)dx = - senn-I (x) cos(x) + (n - 1) J senn-2(x)d-r
J senn(x)dx = - ,; senn-I(x)cos(x)+ n;; 1 J senn-2(x)dx
Aplicamos a fórmula repetidamente até chegarmos nas integrais Jsen(x)dx = -cos(x) + C (se
n for ímpar), ou f dx = x + C (se n for par)
Calcular f cosn(x)dx onde n é um número natural. Usamos integração por partes com
j(x) = COSn-1(x) e g' (x) = cos(x) ~ I (x) == -(n - 1) COSn-2(x) sen(x) e g(x) = sen(x) ~
J cosn(x)dx = COSn-I(x) sen(x)+ (n - 1) J cosn-2(x) sen\x)dx
,= cosn-I(x) sen(x) + (n - I)J cosn-2(x) (1- cos2(x»tÚ'
= COS"-I(x) sen(x) + (n - 1) (J COS,/-2(x)dx - J cosn(x)dx )
Então
n J cosn(x)tÚ' = cos=" (x) sen(x) + (n - 1)J cosn-2(x)dx
J cosn(x)dx = À cos?" (x) sen(x) + n;; 1 J cosn-2(x)dx
133
"'-.... -""'. ".. , .: .. -::- .-.-'-"\!.=-::':' '- 7-~":.._·,~-~·"";'.'- -.~~' _..._~'...•.• ;.. •
_._, ._.. - --=- .•.~ :=...:
4.
Aplicamos repetidamente a fórmula até obter as integrais f cos(x)dx = sen(x) + C (se n for
ímpar), ou f dx = x + C (se n for par)
Calcular ftgn(x)dx. Primeiramente escrevemos tgn(x) = tgn-2(x) tg2(X) =
tgn-2(x)(sec2(x) - 1). Então
J tgn(x)dx = J tgn-2(x)sec2(x)d~ -J tgn-2(x)dx
Agora calculamos a integral ftgn-2(x) sec2(x)tÚ" por substituição com u = tg(x)
=> du = sec2(x)dx =>
n-)
J 1/-2 2 f J un-I tg (x)tg (x) sec (x)dx = un--du = -- = -=-~~n-I n-I
Por tanto
n-If tgn(x)dx = tg
n
_ ~~) - f tgn-\x)dx
Aplicando repetidamente chegaremos nas integrais ftg(x)tÚ" = ln/sec(x)/ + C (se n for ímpar),
ou f dx = x + C (se n for par)
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
Junto com as fórmulas de redução provadas anteriormente, mostramos como calcular integrais de
certas combinações de potências de funções trigonométricas.
1. Integrais do tipo fsenm(x)cosn(x)tÚ", com m e n naturais.
a. Se n = 2k+ 1, escrevemos cos'{x) = COS2k(x)cos(x) ="(1 - serfex))k cos(x), e
fazemos a substituição u = sen(x)
f senm(x) cosn(x)dx = f senn(x) (1 - sen2(x») k cos(x)tÚ"
= f un (I - u2 / du
A expressão dentro da integral é um polinômio na variável li cuja integral é imediata.
Se m = 2k+ 1, escrevemos senm(x) = sen2k(x) sen(x) = (1 - cOS2(x»k sen(x), e
fazemos a substituição u = cos(x)
f senm(x)cosn(x)dx = f(I -cos2(x)/cosn(x) sen(x)tÚ"
b.
c.
A última integral é imediata.
Se as potências de seno e cosseno forem ambas pares, usamos fórmulas de redução do
. 2 1 - cos(2x) 2 1+ cos(2x) .tipo sen (x) = 2 e cos (x) = 2 para transformar a rntegral em
outra com expoentes 2 unidades menores. Isso levará eventualmente a integrais do tipo
fsenP(x)dx ou f cosq(x)d~ com p e q naturais pares se nem forem distintos, ou se
sen(2x)
n = m pode ser usada a identidade sen(x)cos(x) = 2 e aplicar repetidamente a
l34
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2.
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fórmula de redução para a integral f( sen~2x) ) ndx.
Integrais do tipo ftgm(x)secn(x)dx com me n naturais.
( 2) k-Ia. Se n = 2k, escrevemos sec'{x) = sec2k-2(x) sec2(x) = 1 + tg (x) sec+(x) e
fazemos a substituição u = tg(x)
f tgm(x)secn(x)dx = f tgm(x) ( 1 + tg\x») k-1 sec2(x)d'C
= f um(1 + u2)k-l du
e esta última é a integral de um polinômio na variável u.
b. Se m = 2k+ 1, escrevemos tgm(x)secn(x) = tg2k(x)secn-1(x)sec(x)
tg(x) = (sec? (x) - IIsec'"! (x) sec(x) tg(x), e fazemos a substituição u = sec(x)
f tgm(x) secn(x)dx = f (sec-'(x) -l)k sec"? (x) sec(x)tg(x)
= f (u2 - 1)kun-1du
c.
e essa última integral é imediata.
Nos casos n ímpar e m par devemos usar identidades trigonométricas e/ou integração
por partes, o que for mais apropriado e simples. Para o caso da integral f sec(x)d'C
usamos o artifício seguinte:
f f sec(x) + ta(x)sec(x)dx = sec(x) o dxsec(x) + tg(x)
= f sec2(x) + sec(x) tg(x) dx
sec(x) + tg(x)
então fazemos a substituição li = sec(x) + tg(x) ~ du = (sec2 (x) + sec(x) tg(x») dx
=>
d.
f sec(x)dx = f ~I
= lnlul + C
= lnlsec(x) + tg(x) I + C
Para o caso da integral fcosec(x)dx usamos um artificio similar:
f ()dx f ( ) cosec(x) + cotg(x) dxcosec x = cosec x --~;.....-._-=::...~cosec(x) + cotg(x)
2
= f cosec (x) + cosec(x)cotg(x) dx
cosec(x) + cotg(x)
e fazendo a substituição u = cosec(x) +cotg(x),
du = -( cosec2(x) + cosec(x)cotg(x»)dx ~
e
135
,......,.
3.
J cosec(x)dx = - J d:
= -ln/lI/ + c
= -ln( Icosec(x) + cotg(x) I) + C
Para as integrais fsen(nx) cos(rnx)dx, ou fsen(nx) sen(rnx)dx, ou f cos(nx) cos(mx)dr,
usamos as identidades trigonométricas
sen(nx)cos(rnx) = á [sen«n - m)x) + sen«n + m)x) ]
sen(nx)sen(mx) = á [cos«n - m)x) - cos«n + m)x)]
cos(nx)cos(rnx) = á [cos«n - m)x) + cos«n + m)x)]
As integrais resultantes são imediatas.
SUBSTITUiÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Para calcular integrais onde aparecem raízes quadradas dos tipos Ja2 - x2, ou Jx2 - a2, ou
J a2 + x2, com a > O, fazemos um tipo de sustituíção "inversa" que permite eliminar a raiz (o nome
"inversa" vem do fato que a variável original é uma função da nova variável).
• para eliminar a raiz na expressão J a2 - x2, fazemos x = a sen(O), onde O E [-; , ; ]. Então
dx = acos(O)dfJ => Ja2 _x2 = acos(O) pois cos(O) 2: O em [-; , ;]. Neste caso é útil
.jaz -x2
lembrar que O = sen " (~), sen(O) = te cos(O) = a .
• para eliminar a raiz na expressão Jx2 - a2, fazemos x = a sec(O), onde O E [O, ;), ou
O E [zr, 3;). Então dx = asec(O)tg(O)dO e Jx2 - a2 = a tg(O), pois tg(O) 2: O em qualquer
J Z . Z
dos dois intervalos. Como no caso anterior, O = sec " ( ~), sen(O) = x; a e
cosCO) = ~.
• para eliminar a raiz na expressão Ja2 +x2, fazemos x = a tg(O), onde O E (-; , ; ). Então
dx = a sec? (O) e J a2 + x2 = a sec( O) pois sec( O) > O nesse intervalo. Para este caso, O =
tg-1 (~), sen(O) = x e cos(O) = a
Jaz +x2 Ja2+xz
As substituições descritas anteriormente transformam as integrais em integrais de funções
trigonornétricas que podem ser resolvidas usando as técnicas anteriores e reescrevendo os resultados
em termos de x. É interessante observar que mesmo que certas integrais não contenham raízes desses
tipos, se elas tiverem as expressões aZ - x2, ou XZ - a2, ou aZ + XZ nos integrandos, as ..substituições
indicadas transformam as expressões em funções trigonométricas cujas integrais podem ser mais
simples de determinar.
EXEMPLO (6.9)
Calcular f Jaz x- XZ dx. A substituição indicada é x = a sen(O)
Ja2 - XZ = acos(O). Então
==> dx = acos(O)dO e
136
.' . ":. --'
º -
f Ja2 -X
2
dx = f acos(O) acos(O)dO
x a sen(O)
2
= a f 1 - sen (O) dO
sen(B)
= a f cosec( O)dO - a f sen( O)dO
= -alnlcosec(O) + cotg(O) I + acos(O) + C
Ja2 -x2 Ja2 -x2Agora usamos o fato que cosec(6I) = f, cotg(O) = x e cos(O) = ---;;a-- e concluimos
f J 7 x2 a + J a2 - x2a-x- dx = Ja2 _x2 - aln x +C
EXEMPLO (6.10)
Calcular f d-c dx. Neste caso fazemos a substituição x = a tg(O) => dx = asec2(6I)d61 e
Ja2 +x2
Ja2 +x2 = asec(6I). Então
-
f dx dx = f asec2(O) dOJa2 + x2 asec(O)
= f sec(6I)dO
= lnlsec(O) + tg(O) I +C
Ja2 +x2Usamos agora que sec(O) = a e tg(O) = ~ e obtemos
f dx dx = ln J a2 +x2 + X + C
Ja2 +x2 a
EXEMPLO (6.11)
Jx2 a2Calcular f x dx. A substituição é dad por x = asec(O) => dx = asec(6I) tg(6I)d61 e
Jx2 - a2 = a tg(O).
f Jx2 - a2 f a ta(O)x dx = ase~(O) asec(6I) tg(O)dO
= a f tg\O)dO
= a tg(O) - aO + C
Jx2 - a2 J 2 2
Das identidades tg(6I) = a e O = tg-I ( X ;; a ), concluimos que
f JX2 - a2 dx = J 2 - 2 _ t -I ( Jx2 - a2 J Cx x a ag a +.
137
.•. •... .. ;..~-.:,
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
Esta técnica é aplicada ao cálculo de primitivas de funções racionais, ou seja, quociente de polinômios,
que constituem uma das classes mais importantes de funções.
Seja F(x) = ~~~ um quociente de dois polinômios. Se o grau de P(x) for maior ou igual.ao.grau.de
Q(x), dividimos os polinômios obtendo um polinômio quociente q(x) e um polinômio resto r(x) cujo
grau é inferior ao grau de Q(x),
P(x) = q(x)Q(x) + r(x)
e então
P(x) r(x)
F(x) = Q(x) = q(x) + Q(x)
Logo, para integrar F(x) basta calcular f q(x)dx que é trivial e integrar o quociente de -polinômios
;~~) onde o grau do numerador é estritamente menor do que o grau do denominador. Vamos dirigir
nossa atenção ao cálculo de integrais de funções racionais desse último tipo.
Suponhamos então que a função racional F(x) é um quociente de polinômios ~~~, onde o grau de
P < o grau de Q.
FATO GERAL:
Todo polinômio com coeficientes reais pode sempre ser fatorado como um produto de fntor,esJine.ru;es
do tipo x - a com diversos valores a, repetidos ou não repetidos:
(x - ai rI(x - a2Yz ... (x- ak)nk
e de fatores quadráticos irredutíveis do tipo x2 + bx + c ,repetidos ou não repetidos:
(x2 + b IX + CI )ml (x2 + b2x + C2 )mz •.• (x2 + bp: + Cj)nlj
Então
• para cada fator linear da forma (x - a)p do polinômio Q(x), o quociente ~~~ contém uma
soma de termos do seguinte tipo (1)
AI A2 Ap-- + + ... + ---'----
x-a (x-a)2 (x-a)p
e
• para cada fator quadrático da forma (x2 + bx + c)q do polinômio Q(x), o quociente P(x)
Q(x)
contém uma soma de termos do seguinte tipo (2)
AI +Blx + A2 +B2x + ... + Aq +Bqx
x2 + bx + C (x2 + bx + c) 2 (x2 + bx + c) q
138
·.0 ••• r.- , _ _.
o quociente ~~~ é igual à soma de todas as frações "parciais" assim determinadas, e as constantes
que aparecem em todas essas frações são únicas. Uma vez determinadas todas as constantes, a integral
f ~~~ dx é a soma de todas as integrais das frações parciais. De modo que para integrar uma função
racional devemos sequir o seguinte. roteiro:
1. Se o grau de P for ~ grau de Q , é realizada a divisão dos polinômios para escrever
P(x) () r(x) d ()' . d d· . - .( \ ' d dQ(x) = q x + Q(x) ,on e q x e o quociente a ivisao e.J:~x-).. e .o.resto, .on e o.grau . e
r(x) < grau de Q(x).
O polinômio Q(x) é fatorado completamente como produto de fatores lineares (repetidos ou
não) e de fatores quadráticos irredutíveis (repetidos ou não).
O quociente ;~?)é escrito com soma das correspondentes frações do tipo (1) e das frações
do tipo (2), e são determinadas todas as constantes dessas frações.
Por último, são calculadas todas as integrais indefinidas das frações que aparecem na
decomposição da parte 3.
2.
3.
4.
Para finalizar todo este processo devemos determinar as integrais das frações do tipo (1) e do tipo (2):
• para as integrais f d'C n ,devemos separar os casos n = 1 e n > 1 :
(x- a)
se n = I, a substituição u = x - a , du = dx, transforma a integral f x ~ a na
integral
f ~~= lnlul + C = lnlx - ai + C
I, a mesma substituição transforma a integral f ( dx n na integral
x-a)
f d -n+1 I--R=_u __ +C= +cu" I-n (l-n)(x-ar-I
• Para as integrais f .,A +Bx m dx , também separamos os casos m = 1 em> 1;
(x- + bx+ c)
completando quadrados no denominador
x2 + bx + c = x2 + bx + ( ~ ) 2 + C _ ~2
=(X+~)2+d2
ii se n >
onde d = J c _ ~2
iii se m = I, analisamos os dois termos que aparecem
B J x 2 dx.
(x+ ~) + d2
139
140
x +.k.
Para o primeiro fazemos a substituição u =T => du = C;; =>
A f 1 dx = A f 1 du
( x + ~ ) 2 + cf- d 1 + u2
= ~ tg-1(u) + C
x +.k.
e substituimos u por _~d;-,2,-
obtemos
Para o segundo termo fazemos a mesma substituição e
ud- b.
B J x dx - B J ----=2~du
(x + ~ ) 2 + cf- - d 1 + 1I2
=BJ
iv
x + .k.
e substituimosu por d 2
se m > 1, analisamos os dois termos que aparecem:
AI 12 r" [ x, rdx[(x+~) +cf- (x+~) +cf-,
fazendo a mesma substituição do caso iii que irá nos levar a considerar-básicamente as
duas integrais seguintes com certas constantes adicionais como nos casos anteriores:
f 1 dxef u dx(1 +u2)1n (1 +u2)m
Mudemos a letra li
redução escrevendo
para a letra x, Para a primeira integral usamos uma fórmula de
i; = f 12m dx na forma(1 +x )
(l +x2) -x2
(1 +x2)m
1 1
a segunda integral
g'(x) - x .- (1 + x2)m ,
é calculada por partes pondo j(x) = x e
obtida integrando por substituição fazendo
,r-.. .
.-
' ..
u = 1+ x2 que resulta em g(x) = 1 1 ' e então obtemos
2(1 -:-m)(1 + x2)m-
I -I -{ x - 1 J 1 dx}-> m-I 2(1-m)(1+x2)'n-1 2(1-m) (1+x2)nl-1
x + 2m - 3 Im-I
2(m - 1)(1 +x2 )m-l 2(m - 1)
v
Isso estabelece a fórmula de redução a qual, aplicada repetidamente, leva à integral
J 1 dx = tg-I(x) + C.
(1 +X2)
Para a integral J u 2 )m dx usamos o mesmo procedimento da parte anterior para
(1 + u
calcular a funçãog.
141