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O Teorema Fundamental do Cálculo e Aplicações da Integral

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um teorema similar a (7.29)
Teorema (7.36)
Suponhamos que f é contínua em (a,b] e que limJCx) = 00.
x+b+
Se a integral imprópria f:1ICx)ldx for convergente, então a intergral imprópria f:JCx)dx .converge,
A demonstração segue as mesmas idéias do teorema (7.29).
Finalmente mencionamos que em vários exemplos importantes aparecem simultâneamente integrais
impróprias com intervalos de íntegração infinitos e ao mesmo tempo funções com descontinuidades
infinitas, Nestes casos devemos partir o intervalo de integração em dois ou mais intervalos: intervalos
finitos onde a função não é limitada, e intervalos infinitos onde a função não tem descontinuidades
infmitas. Observe o exemplo (7.38) sobre a função Gama de Euler.
Prova EXEMPLO (7.37)
. . fTr dx fI dx f<XldxTestar a convergência das integrais impróprias o 1 _ cos(x) , -I rx e --oo~.
a o integrando da 1a integral se torna infmito nas duas extremidades O e tt . A substituição t =
tg( X2) e algumas identidades trigonométricas nos permitem escrever cos(x) = 1 - t~ ,1 + t
sen(x) = 2t e..!l!... = 1+ t2 ~ dx = _2-dt então
1+ t2 dx 2 1+ t2 '
f dx f dt1 - cos(x) = f2
Daí concluimos que
172
,r-.. .
1.1.
fo
lr dx = f~ dt
1 - costx) o t2
- Nesta última integral temos uma função com uma descontinuidade infmita em O e também umintervalo de integração infmito. Então escrevemos
f
oo d.[ = fI dI + f:tl dt
o i- o t= I t2
---- Os resultados anteriores nos permitem afirmar que a Ia integral diverge enquanto-que a 2
a
converge. Lego J1r 1 dx () diverge.o - cos r
b o integrando se torna infmito quando r ~ O - e quando x ~ O +, logo como a função não
mantém o mesmo sinal em [-1,1] \ {O}, devemos analisar as duas integrais seguintes
separadamente:
1. J~x-+dx = ~x+ ] ~~= ~ (li ~ - II=> lim r~~x - ~dx = - ~
2. J~x-+dx= ~x31 = ~ (1-€~) => ~!]J>:-·+dx= ~
Concluimos que a integral J I dx converge e seu valor é l.. - l.. = O
-I IX 2 2
c Neste caso é tentador argumentar a partir da igualdade
f:r> dx f-
I dx fO dx fI dx foo dx
-<:.O ~ = -<:.O ~ + -I ~ + o ~ + I 7
que sendo a 13 e 43 integrais convergentes e a soma r ~+ r d~ = O (faça na Ia integral a
-I x o x
substituição li = -x) , então a integral r di converge. Isso porém está errado: é verdade
-<X> X
que a 13 e 43 integrais são convergentes, mas para calcular as integrais impróprias r d-; e
-I x~
I dx .J devem ser calculados os limites07'
I· f-E dx I' fI dxun -e ill1-
E...o _I x E-+O" x
separadamente, sem levar em conta que r: ~"(+ J~~ = O. Este é mais um exemplo do
fato que em geral
lim f-E dx + lim JI dx =#= lim(J-E dx + fI dx)
(-{) -I X E...o E x E-+O _I x E x
a menos que cada limite exista separadamente. Logo a integral f' a; diverge.
-<X> X
EXEMPLO (7.38) A Função Gama de Euler
Um exemplo importante que aparece em diversas aplicações é dado pela função Gama I''(s)
r(s) = J~e-xxs-Idx, s > O
Esta integral é convergente pois ela pode ser escrita como
O < s < 1 a primeira integral converge pois e-x::; 1
J~e-xxs-1dx + J: e-xxs-1dx. Para
no intervalo [O, a] e então
173
1 IDa0< e-,rxl-I :::Xl-I = ~ e O < 1 -s < 1; aplicamos o teorema (7.35) a e concluimos que
x
e-x~-Idx converge. Quando s 2: 1 essa integral não é imprópria e sempre existe. Por outro lado,
dado qualquer número real s, aplicamos a RH e obtemos o limite
lim(e-,rxl-1x2) = O
:C-+<Xl
de onde concluimos que deve existir um número positivo K tal que
=> e-·Txs-I < _1_ V x 2: K. Então temos que
- x2
Vx~K
A Ia integral não é imprópria e existe pois e-,r~-I é contínua em [a,K]; na 2a aplicamos o teorema
(7.28) a e deduzimos que converge.
Uma propriedade interessante da função r é a seguinte: seja s = n um natural ~ I, integrando por
partes vem que
então
r(n) = lim fI e-,rxn-I dx = lim[-e-,rxn-I r=1 + (n - 1) lim fI e-xxn-2dx
l-+<Xl o l-c.o .\"=0 I-+<CJ o
e aplicando a RH ao primeiro termo do 2° membro obtemos que lim[-e-xxn-Il::' = O, ~
t-+<CJ .'41
r(n) = (n - 1) f~e-,rxn-2dx = (n - I )r(n - I)
e iterando essa igualdade obtemos
r(n) = (n-I)(n-2) ... 3.2.1 f~e-:Xdx = (n-l)!
Logo
I f~e-,rxn-1dx = (n - I)! I
Essa igualdade que permite escrever um fatorial por meio de uma integral, é importante em várias
aplicações.
Observação (7.39)
Usando as definições das diversas integrais impróprias, pode ser mostrado que
todas as técnicas de integração já estudadas podem ser aplicadas ao cálculo de integrais
impróprias convergentes (observe o exemplo abaixo). Deixamos.ao leitor interessado a
tarefa de verificar esta afirmação.
EXEMPLO (7.40)
Calcular a integral f~xe-,r2dx.
Fazemos a substituição u = x2 ~ xdx = ~l ; se x = O, u = Oe se x -+ 00, U -+ 00 ~
foo »e=' dx = .L foo e+du = lim l(1- e-I) = l.o 2 o t-+<Xl 2 2
r>.
r--
174,-..
r-.
"..-"
~
-