lista 1

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UFOP - Universidade Federal de Ouro Preto
ICEB - Departamento de Matema´tica
1a Lista de Ca´lculo I - MTM 122 - 2015
1. Um nu´mero inteiro x e´ ı´mpar se puder ser escrito da forma 2k+ 1 para algum k ∈ Z. Mostre que, se x2 e´ impar,
enta˜o x tambe´m e´ impar.
2. Mostre que, se x2 e´ par, enta˜o x e´ par.
3. Mostre que
√
3 e´ irracional.
4. Mostre que a soma e o produto de nu´meros racionais e´ racional. (Dica: Use que a soma e o produto de nu´meros
inteiros e´ inteiro)
5. Mostre que
√
3 + 1
2
e´ irracional.(Dica: Escreva
√
3 + 1
2
=
√
3
2
+
1
2
e use o exerc´ıcio acima)
6. Escrever os nu´meros seguintes na forma
p
q
, p, q ∈ Z , q 6= 0.
a) 0, 125;
b) 0, 333 . . .;
c) 3, 14288 . . .;
d) 0, 428571428571 . . .;
Sugesta˜o
0, 4444 . . . =
4
10
+
4
102
+
4
103
+
4
104
+ . . .
=
4
10
[
1 +
1
10
+
1
102
+
1
103
+
1
104
+ . . .
]
=
4
10
.
1
1− 1
10
= 49
7. Ache todos os valores de x para os quais
√
x2 + 7x + 12 e´ real.
8. Ache o conjunto soluc¸a˜o da desigualdade dada e mostre-o na reta nume´rica real.
a) 5x + 2 > x− 6 e) 5
x
<
3
4
b)
2
3
x− 6 ≤ 2 f) x + 1
2− x ≤
x
3 + x
c) 3− x < 5 + 3x g) 4x2 − 9x < 9
d) 2 < 4x + 2 < 9 + 4x h) 1− x− 2x2 ≥ 0
9. Estude o sinal de cada expressa˜o:
a) 3x− 1
b) 3− x
c) 2− 3x
d) 5x + 1
e) (2x− 1)(3− 2x)
f)
x− 1
x− 2
g) (2x + 1)(x− 2)
h)
2− 3x
x + 2
i)
2− x
3− x
j) j) x(x− 3)
l) x(x− 1)(2x + 3)
m) (x− 1)(1 + x)(2− 3x)
n) x(x2 + 3)
o) (2x− 1)(x2 + 1)
10. Resolva cada equac¸a˜o;
1
a)
2x− 1
x + 1
< 0
b)
1− x
3− x ≥ 0
c)
x− 2
3x + 1
> 0
d) (2x− 1)(x + 3) < 0
e)
x− 1
x− 2 ≤ 0
f) x(2x− 1) ≥ 0
g) (x− 2)(x + 2) > 0
h)
2x− 1
x− 3 > 5
i)
x
2x− 3 ≤ 3
j)
x− 1
2− x < 1
l) x(2x− 1)(x + 1) > 0
m) (2x− 1)(x− 3) > 0
n) (2x− 3)(x2 + 1) < 0
o)
x− 3
x2 + 1
< 0
p)
x3 − 1
x2 + x + 1
≥ 0
11. Divida x3 − a3 por x− a e conclua que x3 − a3 = (x− a)(x2 + ax + a2)
12. Decomponha cada expressa˜o como produto de duas;
a) x2 − a2
b) x4 − a4
c) x5 − a5
d) xn − an, onde n ∈ N
13. Simplifique
a)
x2 − 1
x− 1
b)
x3 − 8
x2 − 4
c)
4x2 − 9
2x + 3
d)
1
x
− 1
x− 1
e)
1
x2
x− 1
f)
1
x2
− 1
9
x− 3
g)
1
x
− 1
5
x− 5
h)
1
x
− 1
p
x− p
i)
1
x2
− 1
p2
x− p
j)
(x + h)2 − (x− h)2
h
14. Resolva as seguintes equac¸o˜es.
a) x2 − 4 > 0
b) x2 − 1 < 0
c) x2 > 4
d) x−1 > 1
e)
x2 − 9
x + 1
< 0
f)
x2 − 4
x2 + 4
g) (2x− 1)(x2 − 4) ≤ 0
h) 3x2 ≥ 48
15. Considere o polino˜mio do 2o grau ax2 + bx + c, onde a 6= 0, b e c sa˜o reais dados.
a) Verifique que
ax2 + bx + c = a
[(
x +
b
2a
)2
− ∆
4a2
]
, onde ∆ = b2 − 4ac.
b) Conclua de (a) que, se ∆ > 0, as raizes de ax2 + bx + c sa˜o dadas pela fo´rmula
x =
−b±√∆
2a
.
c) Sejam x1 =
−b +√∆
2a
e x2 =
−b−√∆
2a
, (∆ ≥ 0) as raizes de ax2 + bx + c. Verifique que
x1 + x2 = − b
a
e x1.x2 =
c
a
.
16. Considere o polinoˆmio do 2o grau ax2 + bx+ c e sejam x1 e x2 como no item (c) do exerc´ıcio acima. Verifique
que
ax2 + bx + c = a(x− x1)(x− x2).
17. Utilizando o exerc´ıcio 16, fatore cada polinoˆmio do 2o grau abaixo.
2
a) x2 − 3x + 2
b) x2 − x− 2
c) x 2− 2x = 1
d) x2 − 6x + 9
e) 2x2 − 3x
f) 2x2 − 3x + 1
g) x2 − 25
h) 3x2 + x− 2
i) 4x2 − 9
j) 2x2 − 5x.
18. Considere o polinoˆmio do segundo grau ax2 + bx + c e suponha ∆ < 0. Utilizando o item (a) do exerc´ıcio 15 ,
prove:
a) se a > 0, enta˜o ax2 + bx + c > 0 para todo x
b) se a < 0, enta˜o ax2 + bx + c < 0 para todo x
3