01 MatSistLin

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Revisa˜o sobre Sistemas Lineares e
Matrizes
Definic¸a˜o: A equac¸a˜o α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn = β, n ≥ 1, sendo xi ∈ R
varia´veis e α1, α2, ..., αn, β ∈ R e´ chamada de equac¸a˜o linear sobre R, nas
inco´gnitas x1, x2, ... , xn . Uma soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e´ uma n-upla de nu´meros
reais (b1, b2, ..., bn) tal que
α1 b1 + α2 b2 + ...+ αn bn = β
Por exemplo: Dada a equac¸a˜o linear
5x1 − 2x2 + 3x3 = 3,
a terna ordenada de nu´meros reais x1 = 2, x2 = -1 e x3 = -3 e´ uma soluc¸a˜o
pois 5.2 - 2.(-1) + 3.(-3) = 10 + 2 - 9 = 3
Definic¸a˜o: Um sistema linear S de m equac¸o˜es e n inco´gnitas e´ um conjunto
de m equac¸o˜es lineares, cada uma com n inco´gnitas (m, n ≥ 1), consideradas
simultaneamente e descrito por
S :

α11 x1 + α12 x2 + ... + α1n xn = β1
α21 x1 + α22 x2 + ... + α2n xn = β2
......................................................
αm1 x1 + αm2 x2 + ... + αmn xn = βm
i
ii
Quando β1 = β2 = · · · = βm = 0, dizemos que o sistema S e´ homogeˆneo.
Uma soluc¸a˜o de S e´ uma n-upla (b1, b1, · · ·, bn) satisfazendo cada uma das
m equac¸o˜es.
Exemplo: O sistema linear
S1 :

2 x1 + 5 x2 + 6 x3 = 13
x1 + 2 x2 − 3 x3 = 0
−3 x1 + 4 x2 − 7 x3 = −6
e´ na˜o homogeˆneo e uma soluc¸a˜o de S1 e´ (1, 1, 1). Nesse caso, S admite soluc¸a˜o
u´nica, o que na˜o ocorre, por exemplo, com
S2 :

x − y + z = 1
2x + 3y − z = 4
x + 4y − 2z = 3
que admite infinitas soluc¸o˜es, entre elas: (1, 1, 1) e (-1, 4, 6).
Dado um sistema linear S, podemos ter:
S :

imcompat´ıvel : na˜o admite soluc¸o˜es
compat´ıvel :

determinado: admite soluc¸a˜o u´nica
indeterminado: admite mais de uma soluc¸a˜o
Assim, nos exemplos anteriores, S1 e´ um sistema compat´ıvel determinado e S2
e´ um sistema compat´ıvel indeterminado.
Observe que: Todo sistema linear homogeˆneo S e´ compat´ıvel, uma vez que
(0, 0, · · ·, 0) e´ uma soluc¸a˜o de S.
iii
Operac¸o˜es Elementares sobre S
Um sistema S pode ser modificado por meio das chamadas de operac¸o˜es ele-
mentares sobre S, descritas abaixo:
I. Permutar duas equac¸o˜es;
II. Multiplicar uma das equac¸o˜es por um nu´mero real na˜o nulo;
III. Somar a uma das equac¸o˜es do sistema uma outra equac¸a˜o multiplicada por
um nu´mero real.
Se S1 e´ obtido a partir de S por um nu´mero finito de operac¸o˜es elementares,
dizemos que S1 e´ um sistema equivalente a S (denotamos por S1 ∼ S).
Observe que: se S1 ∼ S, enta˜o toda soluc¸a˜o de S1 e´ soluc¸a˜o de S, e vice-versa.
Ale´m disso, S e´ incompat´ıvel ⇐⇒ S1 e´ incompat´ıvel.
Exemplo: Dado o sistema linear S, encontre S1 tal que S ∼ S1.
Soluc¸a˜o: S:

2x + 5y + 6z = 13
x + 2y − 3z = 0
−3x + 4y − 7z = −6
iv
Definic¸a˜o: Um sistema linear do tipo
S :

α1r1 xr1 + ...........................+ α1n xn = β1
α2r2 xr2 + ..............+ α2n xn = β2
...........................................
αkrk xrk + ...+ αkn xn = βk
0 xn = βk+1
com α1r1 6= 0, α2r2 6= 0, ..., αkrk 6= 0 e ri > 0 , e´ escalonado se, e somente se,
1 ≤ ri < r2 < ... < rk ≤ n.
Exemplos: Esta˜o na forma escalonada os seguintes sistemas lineares:
S1 :

x + y − 2z = 1
y + 3z = 7
5z = 2
S2 :

3x − 2y + 5z − 6t = 4
7y + 4z − t = 12
z + 2t = 1
S3 :

x + 2y − 2z + 4t − 5w + 3v + 4u = 3
5z + 3w + 2v = 2
w − 2v + u = 5
3u = 7
Exemplo: Obtenha um sistema escalonado equivalente ao sistema linear S
abaixo:
Soluc¸a˜o: S:

x + 2y − 3z = 7
2x − 3y + 5z = 6
3x − 2y + 4z = 0
v
Resoluc¸a˜o de Sistemas Lineares
Dado um sistema linear S, podemos:
Discutir S:
S :

imcompat´ıvel : na˜o admite soluc¸o˜es
compat´ıvel :

determinado: admite soluc¸a˜o u´nica
indeterminado: admite mais de uma soluc¸a˜o
ou
Resolver S: encontrar todas as soluc¸o˜es de S.
Ao escalonarmos um sistema linear S, de m-equac¸o˜es e n-inco´gnitas, obtemos
uma das seguintes treˆs situac¸o˜es:
I. Numa das etapas do escalonamento obtemos
S
′
:

................................................
0.x1 + 0.x2 + ........+ 0.xn = βi, βi 6= 0
................................................
Como S
′
e´ incompat´ıvel segue que S tambe´m e´ incompat´ıvel.
vi
Exemplo 1:
S :

x + 3y − 2z = 2
3x − 2y + 5z = 6
2x − 5y + 7z = 3
vii
II. Obte´m-se um sistema escalonado do tipo
S
′
:

x1 + α12 x2 + .............+ α1n xn = β1
x2 + ..............+ α2n xn = β2
...........................................
xn = βn
Neste caso o sistema S
′
e´ compat´ıvel determinado pois podemos encontrar a sua
(u´nica) soluc¸a˜o de maneira recursiva, a partir da u´ltima equac¸a˜o, substituindo
os valores na equac¸a˜o anterior. Logo, S tambe´m e´ compat´ıvel determinado e
admite soluc¸a˜o u´nica.
Exemplo 2:
S :

x + 3y − 2z = 2
3x − 2y + 5z = 6
2x − 5y + 6z = 3
viii
III. Obte´m-se um sistema escalonado do tipo
S
′
:

x1 + ...+ α1r2 xr2 + ...+ α1r3 xr3 + ...+ α1rp xrp + .......+ α1n xn = β1
xr2 + ...................................................+ α2n xn = β2
xr3 + ....................+ α3n xn = β3
......................................
xrp + ..........+ αpn xn = βp
com p < n. Neste caso o sistema S
′
e´ compat´ıvel indeterminado e, portanto
S tambe´m e´ compat´ıvel indeterminado.
Exemplo 3:
S :

x + 3y − 2z = 2
3x − 2y + 5z = 6
2x − 5y + 7z = 4
ix
Matrizes
Definic¸a˜o: Dados m, n ≥ 1 dois nu´meros inteiros, uma matriz real m × n e´
uma sequeˆncia dupla de nu´meros reais, distribuidos numa tabela do tipo :
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... . . .
...
am1 am2 · · · amn
 , X =

x1
x2
...
xn
 , B =

b1
b2
...
bm

Usamos a notac¸a˜o A = (aij), 1 ≤ i ≤m, 1 ≤ j ≤ n. Vamos indicar por Mm×n(R)
o conjunto das matrizes reais de m linhas e n colunas e Mn(R) o conjunto das
matrizes reais quadradas de ordem n. Na matriz A
A(1) = ( a11 a12 · · · a1n ) , A(2) = ( a21 a22 · · · a2n ) , · · · · · · · · · ,
A(m) = ( am1 am2 · · · amn )
sa˜o as linhas de A e
A(1) =

a11
a21
...
am1
 , A(2) =

a12
a22
...
am2
 , · · · ,A(n) =

a1n
a2n
...
amn

sa˜o as colunas de A.
Operac¸o˜es com Matrizes
Dizemos que duas matrizes m × n, A = (aij) e B = (bij), sa˜o iguais se, e somente
se, aij = bij, para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Por exemplo,
(
1 2 3
x y 2
)
=
(
z 0 1
7 1 2
)
⇐⇒ x = 7, y = 1 e z = 3.
x
Dadas as matrizes m × n, A = (aij) e B = (bij), definimos a soma A + B
como sendo a matriz cujo termo geral e´ aij + bij, isto e´,
A + B =

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n
...
... . . .
...
am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn

e a multiplicac¸a˜o de uma matriz m × n, A = (aij), por um nu´mero real α,
resulta a matriz m × n denotada por α A e dada por
α A =

α a11 α a12 · · · α a1n
α a21 α a22 · · · α a2n
...
... . . .
...
α am1 α am2 · · · α amn

Assim, por exemplo, se A =
 1 23 5
4 6
 e B =
−2 07 8
−3 10
, temos que:
A + B =
 −1 210 13
1 16
 e 3B =
 −6 021 24
−9 30

Produto de Matrizes
Consideremos as matrizes A = (aij) do tipo m × n e B = (bjk) do tipo
n × p. O produto A B e´ a matriz m × p cujo termo geral e´ dado por
cik =
n∑
j=1
aij bjk = ai1 b1k + ai2 b2k + · · · + ain bnk
xi
Dessa forma, considerando as matrizes:
A =
 2 1−1 0
3 7

3×2
e B =
(
1 2 3 4
0 1 −1 3
)
2×4
a matriz A.B e´ a matriz 3 × 4, dada por:
A.B =
 2.1 + 1.0 2.2 + 1.1 2.3 + 1.(−1) 2.4 + 1.3(−1).1 + 0.0 (−1).2 + 0.1 (−1).3 + 0.(−1) (−1).4 + 0.3
3.1 + 7.0 3.2 + 7.1 3.3 + 7.(−1) 3.4 + 7.3

e, portanto:
A.B=
 2 5 5 11−1 −2 −3 −4
3 13 2 33

Matrizes Especiais
1. A matriz A = (aij) ∈ Mn(R), com aij = 0, se i 6= j e aii = 1, e´ chamada de
matriz identidade de ordem n e e´ denotada por In. Por exemplo, para
n = 3,  1 0 00 1 0
0 0 1

2. Dada a matriz A = (aij) ∈Mm×n(R), a matriz transposta de A, denotada
por At, e´ a matriz B = (bij) ∈ Mn×m(R), sendo bij = aji, com i = 1, 2,
. . . , m; e j = 1, 2, . . . , n.
xii
Matrizes Invers´ıveis e Sistemas de Cramer
Definic¸a˜o: Dizemos que uma matriz A ∈ Mn(R) e´ invers´ıvel se, e somente
se, existir uma matriz B ∈ Mn(R) de modo que A B = B A = In. Esta matriz,
se existir, e´ chamada de matriz inversa de A, e e´ indicada por A−1.
Podemos determinar a inversa de uma matriz invers´ıvel A usando o seguinte
conceito: uma matriz B que puder ser obtida a partir de A apo´s um nu´mero
finito de operac¸o˜es elementares (descritas abaixo) sobre as linhas de A,
(I) Permutar duas linhas de A;
(II) Multiplicar uma linha de A por um nu´mero real na˜o nulo;
(III) Somar a uma linha de A uma outra linha de A multiplicada por
um nu´mero real;
e´ dita equivalente a A (denota-se por B ∼ A). Ale´m disso, vale o seguinte
Teorema: Uma matriz A e´ invers´ıvel se, e somente se, In ∼ A e a mesma
sucessa˜o de operac¸o˜es elementares que levam A em In transformam In em A
−1.
Exemplo 1: Determine se a matriz e´ invers´ıvel e encontre sua inversa, se
poss´ıvel, sendo
A =
 1 −1 11 1 0
−1 2 −1
. Calcule A A−1.
O procedimento a ser adotado e´ o seguinte: se A e´ uma matriz de ordem n,
montamos uma matriz n × 2n, na qual as primeiras n colunas sa˜o as colunas
da matriz A e as u´ltimas n colunas sa˜o as colunas da matriz identidade de
ordem n. No exemplo acima ficamos com a seguinte situac¸a˜o:
xiii 1 −1 1 ... 1 0 01 1 0 ... 0 1 0
−1 2 −1 ... 0 0 1

xiv
Exemplo 2: Determine, se existir, a matriz inversa da matriz A, quando:
A =

2 1 −1 3
1 0 −1 0
−3 1 2 1
−1 2 −1 −1
.
Soluc¸a˜o: Como a matriz A e´ quadrada de ordem 4, vamos trabalhar com a
matriz 4 × 8, na qual as primeiras quatro colunas sa˜o as colunas da matriz A
e as u´ltimas quatro colunas sa˜o as colunas da matriz identidade de ordem 4.
Ficamos, dessa forma, com a seguinte situac¸a˜o:
2 1 −1 3 ... 1 0 0 0
1 0 −1 0 ... 0 1 0 0
−3 1 2 1 ... 0 0 1 0
−1 2 −1 −1 ... 0 0 0 1

xv
Sistemas de Cramer
Consideremos o sistema linear
S :

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
......................................................
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm
Fazendo
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... . . .
...
am1 am2 · · · amn
 , X =

x1
x2
...
xn
 e B =

b1
b2
...
bm

temos que S pode ser escrito na forma matricial A X = B, sendo que a matriz
A e´ chamada “matriz associada”ao sistema linear S. Chamamos de sistema
de Cramer a um sistema linear como o anterior, com m = n, cuja matriz
associada e´ invers´ıvel. Neste caso, X = A−1 B e´ a soluc¸a˜o do sistema. Em
particular, quando o sistema de Cramer n × n e´ homogeˆneo, ele so´ admite a
soluc¸a˜o trivial.
Exemplo: Resolver o sistema de Cramer

x − y + z = 0
x + y = 2
−x + 2y − z = 3
Soluc¸a˜o: A matriz A associada a S e´: A =
 1 −1 11 1 0
−1 2 −1
. Ale´m disso,
B =
 02
3
.
Ja´ sabemos que a matriz A e´ invers´ıvel e sua inversa e´:
xvi
A−1 =
−1 1 −11 0 1
3 −1 2

Logo: S admite soluc¸a˜o u´nica, que e´ dada por:
X = A−1.B =
−1 1 −11 0 1
3 −1 2
 •
 02
3
 =
−13
4
