Lista 3

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GEX-102 - Geometria Analítica e Álgebra Liner - LISTA 3
1. Considere a reta r no plano xy, dada em coordenadas homogêneas por
2x− 4y − 7 = 0.
a) Determine a equação de r no "novo"sistema de coordenadas depois de uma translação do
sistema cartesiano para a "nova"origem O1 = (7,−2).
b) Determine a equação de r depois de fazer uma rotação no sistema cartesiano de um ângulo
θ = pi/4.
2. Considere os pontos no plano, dados em coordenadas cartesianas
P1 = (7,−2), P2 = (8, 1), P3 = (0,−4), P4 = (0, 0).
a) Faça uma translação do sistema cartesiano para a nova origem O1 = (−3,−7). Determine
os pontos P1, P2, P2 e P4 no novo sistema de coordenadas.
b) Faça uma rotação do sistema cartesiano num ânulo de θ = pi/2. Determine os pontos no
novo sistema de coordenadas.
3. Considere a circunferência no plano dada em coordenadas cartesianas
(x+ 2)2 + (y − 7)2 = 10.
Determine uma rotação e/ou uma translação no sistema cartesiano de forma que o centro dessa
circunferência fique na origem do novo sistema de coordenadas. Em seguida, encontre a equa-
ção dessa circunferência no novo sistema de coordenadas.
4. Considere a elipse no plano, dada em coordenadas cartesianas
a)
2x2 + 3y2 − 8x+ 6y − 7 = 0.
Determine a equação da elipse, depois da origem sofrer uma translação para a nova origem
O1 = (−1, 4).
b)
7x2 +
√
3y2 − 2x+ 5y = 10.
Determine a equação da elipse, depois da origem sofrer uma translação para a nova origem
O1 = (9,−2).
5. Escreva as equações das seguintes cônicas:
a)[Elipse] Os focos são F1 = (−1, 2) e F2 = (3, 2) e satisfaz dist(P, F1) + dist(P, F2) = 6;
b)[Elipse] Os focos são F1 = (−1,−1) e F2 = (1, 1) e satisfaz |dist(P, F1)−dist(P, F2)| = 2;
c)[Parábola] O foco é F = (0, 0) e a reta diretriz é x+ y = 2.
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6. Determinar a equação e identificar a trajetória de um ponto que se move de maneira que sua
distância ao ponto F = (6, 0) é sempre igual a duas vezes sua distância a reta 2x− 3 = 0.
7. Determine a equação e identifique as seguintes cônicas
a) Focos F1 = (−3, 0) e F2 = (3, 0) e vértices A1 = (−2, 0) e A2 = (2, 0).
b) Focos F1 = (0,−4) e F2 = (0, 4) e vértices A1 = (0,−5) e A2 = (0, 5).
8. Reduzir cada uma das equações de forma a identificar a cônica que ela representa. Faça um
esboço do seu gráfico identificando, quando for o caso, o foco, os vértices, excentricidade e
assíntotas.
a) −25x2 + 9y2 = 225; b) 10x2 − 100y = 0; c) x2 + y = 0;
d) 10x2 − y2 = −100; e) x2 − y2 = −1; f) −101x2 + 2
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y2 = 200;
9. Determine as seguintes cônicas em coordenadas polares
a) (x+ 2)2 + (y − 2)2 = 100; b) 100y2 + 10x2 = 1;
c) −10x2 + 49y2 = −490; d) 54y2 = −8y.
10. Determine a equação da elipse, seus vértices, excentricidade e faça um esboço nos seguintes
casos
a) a = 3; F1 = (−4, 0), F2 = (−1, 0).
b) a = 5; F1 = (0,−2), F2 = (0, 3).
c) a = 4; F1 = (1,−1), F2 = (2, 2).
11. Escreva a equação da elipse quando:
a) F1 = (1,−2), F2 = (3, 2) e dist(P, F1) + dist(P, F2) = 6.
b) F1 = (−1,−1), F2 = (1, 1) e dist(P, F1) + dist(P, F2) = 4.
12. Dada a equação da elipse. Determine os valores a, b, c, excentricidade e, seus focos F1, F2. Por
fim faça um esboço da elipse.
a) 4x2 + 2y2 = 1.
b) x2 + 8y2 = 1.
c) 10x2 + y2 = 36.
13. Mostre que a equação da elipse com focos F1 = (x0 − c, y0) e F2 = (x0 + c, y0) e que satisfaz
dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a, a > c
é
x− x0
a2
+
y − y0
b2
= 1,
onde b =
√
a1 − c2.
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14. Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice V = (0, 0), utilizando as
informações dadas
a) O foco é F = (8, 0) ; b) A reta diretriz tem equação y = 2.
c) O eixo é Ox e o ponto P = (5, 10) pertence a parábola.
15. Dadas as cônicas, em coordenadas cartesianas, reescreva-as em coordenadas polares
a) (x− 1)2 + (y + 8)2 = 100; b) 4x2 − 10y2 = −12.
16. Mostre que a equação da elipse com focos nos pontos F1 = (x0 − c, y0) e F2 = (x0 + c, y0) e
satisfaz
dist(P, F1) + dist(P, F2) = 2a em que a > c,
é
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
= 1,
onde b =
√
a2 − c2.
17. Considere a seguinte quádrica
x2
16
− y
2
1
+
z2
100
= 1.
a) Identifique a quádrica acima;
b) Faça a interseção da quádrica com os planos coordenados pi1 : z = 0; pi2 : y = 0 e
pi3 : x = 0. Em seguida identifique a cônica;
c) Faça a interseção da quádrica com o plano y = 1. Em seguida explore o cônica obtida.
18. Dada a seguinte quádrica
x+ 16y2 + 25z2 = 0.
a) Identifique a quádrica acima;
b) Faça a interseção da quádrica acima com o plano pi : x = −1;
c) Identifique a curva (cônica) do item b) destacando, se for o caso, o centro, o foco, vértices,
excentricidade, assíntotas, raio.
19. Reduzir cada uma das equações de forma a identificar a quádrica que ela representa e faça um
esboço do seu gráfico:
a) 4x2 − 2y2 + z2 = 1; b) x2 + y + z2 = 0; c) x2 − 9y2 = 9; d) 4x2 − 9y2 − 36z = 0.
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20. Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do plano pi : x = 2 e do ponto
P = (−2, 0, 0) . Que conjunto é este?
21. Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P = (x, y, z) tais que a soma das distân-
cias de P aos dois pontos P1 = (2, 0, 0) e P2 = (−2, 0, 0) é igual à 6. Que lugar geométrico é
este?
22. Determine a equação do lugar geométrico dos pontos P = (x, y, z) tais que o módulo da
diferença entre as distâncias de P = (x, y, z) aos dois pontos P1 = (2, 0, 0) e P2 = (−2, 0, 0) é
igual à 3. Que lugar geométrico é este?
23. Quais dos seguintes objetos não podem ser associados a elipsoides, pelo aspecto de sua super-
fície externa?
a) Um ovo. b) uma bola de rugby. c) uma câmara de ar. d) uma bola de futebol. e)
um charuto.
24. Sejam A = (0, 3, 0) e B = (0,−3, 0). Obtenha uma equação do lugar geométrico dos ponto
P ∈ R3 tais que dist(P,A) + dist(P,B) = 10 e identifique-o.
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