planos e retas

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ÁLGEBRA I – Turma F – Profª Luciane Mulazani dos Santos	
PLANOS E RETAS - 12/09/2012
PLANO
1) Determine a equação geral do plano ( que:
 a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor 
=(2,–3,1);
 b) passa pelo ponto A(1,(2,1) e é paralelo aos vetores 
 e 
;
 c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e C( 0,–2,2);
 d) passa pelos pontos P((2,1,0),Q((1,4,2) e R(0,(2,2);
 e)passa pelos pontos A(2,1,5), B((3,(1,3) e C(4,2,3);
 f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores 
=(2,–1,1) e 
=( –3,1,(2); 
 g) passa pelo ponto P(2,(1,3) e é paralelo ao plano XOZ; 
RESP: a)(:2x(3y+z(7=0 b)(:x(y(z=0 c)(:12x+2y(9z+22=0
 d) (:12x+2y(9z+22=0 e)(:6x(14y(z+7=0 f)(:x+y(z(5=0 
 g)(:y+1=0 
2)Determine a equação geral do plano ( que contém os pontos A (1,(2,2) e B((3,1,(2) e é perpendicular ao plano (: 2x+y(z+8-0. RESP: (: x(12y(10z(5=0
3) Um plano ( que contém o ponto P(3,3,(1) intercepta os semieixos coordenados positivos OX,OY e OZ, respectivamente nos pontos A,B, e C, tais que
 e 
. Determine a equação geral de (. RESP: (;x+2y+3z(6=0
4)Determinar equação geral do plano ( que passa pelo ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular aos planos 
(1: 2x –y –4z– 6 = 0 e (2: x + y + 2z ‑3 = 0. RESP: (: 2x(8y+ 3z=0
5) Calcule o volume do tetraedro, cujas faces são os planos coordenados e o plano
 (:5x+4y(10z(20=0. RESP: VT=
 u.v.
6) Dados os planos (1: -4x +4y –4 = 0 e (2: -2x + y + z = 0, determine:
a) a interseção entre (1 e (2.
b) o ângulo formado entre (1 e (2.
RESP: a) y = z +2 e x = z+1				b) 30°
7) Sabendo que o plano (: x+y(z(2=0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos D, E e F, determine a área A e a altura h do triângulo DEF. 
RESP: 
8) No paralelepípedo abaixo, tem-se que P = (2,4,3)
Determine a equação do plano que passa pelos pontos A, E e C.
Determine a equação do plano que passa pelos pontos O, P e D.
Determine a equação do plano que contém a face BCDP
Determine as coordenadas de um vetor normal ao plano que contém face DPFE
9) Determine um vetor normal:
a) ao plano ( determinado pelos pontos P=(-1,0,0), Q = (0,1,0) e R = (0,0,-1)
b) ao plano β que passa pelos pontos A=(1,0,1) e B= (2,2,1) e é paralelo ao vetor (1,-1,3)
c) ao plano π que passa pelo ponto A=(1,0,3) e é ortogonal ao vetor (3,2,5)
RETA NO ℝ3
1) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos seguintes casos:
a) determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor 
=(3,1,4);
b) determinada pelos pontos A(2,‑1,3) e B(3,0,–2) ;
c) possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor diretor 
=(2,–2,3);
d) possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos A(5,–2,3) e B(–1,–4,3); 
e) possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação 
; 
f) possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor 
 = (–2,0,–2);
g) possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor 
=(8,3,0);
h) possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ;
i) possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ.
RESP: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) , 
 , 
 , 
b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) , 
 , 
 , 
;
c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) , 
 , 
, 
 ;
d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) , 
 , 
 ;
e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) , 
 , 
 , 
 ;
f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) , 
 , 
�� EMBED Equation.3 ;
g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) , 
 , 
 ;
h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0) , 
 ; 
 i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1) , 
.
 
2) Sendo A=(4,3,0) e B=(–2,–3,3), os pontos M e N dividem o segmento AB em três partes. Sabendo que o ponto P=(0,-1,0), liga-se aos pontos A e B formando as retas PM e PN, determine o ângulo formado entre elas. 
 RESP: ( = arc cos 
 ,( ( 700 31'43''
3) A reta 
, forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos pontos A(0,(5,(2) e B(1, n(5, 0). Calcular o valor de n. RESP: n=7 ou n=1
4) Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= 
, com 
. RESP: 
 
5) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das retas: 
 a) 
, e que passa pelo ponto P(2,3,5);
 b) 
, e que passa pelo ponto P(2,–3,1);
 c) 
 e 
, e que passa pelo ponto P(3,(3,4). 
 RESP: a)t: 
 
 c) 
6) São dadas as retas 
 e 
 e o ponto A(3,–2,1). Determine as coordenadas dos pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, de modo que A seja o ponto médio do segmento PQ. RESP: P(1, –1,0) e Q(5,3,2)
7) Determine as equações da reta s, traçada pelo ponto P((1,(3,1), que seja concorrente com a reta 
 e seja ortogonal ao vetor 
.
RESP: 
8)
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