Curvas polares

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2011.1
 1 
 
Algumas equações em coordenadas polares e seus respectivos traços 
 
 
Circunferência 
 
1) r = a, a  R* - circunferência com centro no pólo e raio |a|. 
2) r = 2acos, a  R* - circunferência com centro no ponto (a,0), passando pelo pólo e com 
raio |a|. 
3) r = 2asen, a  R* - circunferência com centro no ponto (a, /2), passando pelo pólo e 
com raio |a|. 
 
r =2acosθ, a > 0 r = 2acosθ, a < 0 
 
 
r = 2asenθ, a > 0 r = 2asenθ, a < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituto de Matemática. - Departamento de Matemática. 
MATA03 – Cálculo B - 
 2 
Limaçon: r = a  b cos e r = a  b sen, a  R* e b  *R 
 
 
1) Limaçon com laço: |a| < b 
 
 
r = a + b cosθ r = a – b cosθ 
 
 
r = a + b senθ r = a – b senθ 
 
 
 
 
 
 
2) Cardióide: |a| = b 
 
 
r = a +|a|cosθ r = a – |a|cosθ 
 
 
 3 
r = a + |a| senθ r = a – |a| senθ 
 
 
 
 
3) Limaçon sem laço: |a| > b (não passa pelo pólo) 
 
r = a + b cosθ r = a – b cosθ 
x
y
 
x
y
 
r = a + b senθ r = a – b senθ 
x
y
 
x
y
 
 
 
) Se a rosácea tem p pétalas então o ângulo entre os eixos de d
Se n é ímpar a rosácea possui n pétalas.
Se n é par a rosácea possui 2n pétalas.
4) Quando fazemos r = 0
 4 
 
 
 
Leminiscata 
 
r
2
 = a cos(2θ) ou r2 = a sen(2θ) , a *R 
 
r
2
 = a cos(2θ) , a > 0 r2 = a cos(2θ) , a < 0 
x
y
 
 
 
x
y
 
 
 
r
2
 = a sen(2θ), a > 0 r2 = a sen(2θ), a < 0 
x
y
 
x
y
 
 
 
Rosácea 
r = a cos(nθ) ou r = a sen(nθ), a *R e n }1,1{*  Z 
Obs: 
1) 
 
2 uas pétalas consecutivas é 2π/p.
 das pétalas, resolvemos a equação para r = a e r = -a. 
, na equação, obtemos as retas que limitam as pétalas. 
 
 
Alguns exemplos: 
 
 
3) Para determinar os eixos 
 5 
 
 
r = 3 cos(2θ) r = 3 cos(3θ) 
x
y

 
x
y

a



 
r = -3 cos(3θ) r = 3 sen(3θ) 
x
y




 
x
y




 
r = -3 sen(3θ) r = 4sen(4θ) 
x
y




 
x
y
 
 
 
 6 
 
 
 
Espirais 
 
1) Espiral de Arquimedes: r = aθ, a *R 
 
r = 2θ, 2πθ0  r = -2θ, 2πθ0  
x
y
 
x
y
 
 
 
2) Espiral Logarítmica: r = aθe , a 
*
 R 
 
r = 






4
θ
e , 4πθ0  
r = 






2
θ
e , 2πθ0  
x
y
 
x
y