QUESTÕES FUNÇÃO ITA 1971 A 2017

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QUESTÕES DE FUNÇÕES DO ITA DE 1971 A 2017 
 
ENUNCIADOS 
 
 
1) (ITA 1971) Se f é uma função real de variável real dada por 
  2f x x ,
 então 
 2 2f x y
 é igual a: 
a) 
        f f x f y 2f x f y 
 para todo x e y. 
b) 
        2f x 2f f x f x f y 
 para todo x e y. 
c) 
       2 2f x f y f x f y 
 para todo x e y. 
d) 
         f f x f f y 2f x f y 
 para todo x e y. 
e) 
        2f f x 2f y 2f x f y 
 para todo x e y. 
 
2) (ITA 1972) Seja 
  2f x x px p  
 uma função real de variável real. Os valores de p 
para os quais 
 f x 0
 possua raiz dupla positiva são: 
a) 
0 p 4. 
 b) 
p 4
 c) 
p 0.
 
d) 
 f x 0
 não pode ter raiz dupla positiva. 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
3) (ITA 1973) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função 
  ktX t C e , 
 onde 
 X t
 é um número de bactérias no tempo 
t 0;
 C e k são 
constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número 
inicial de bactérias 
 X 0 ,
 duplica em 4 horas, quantas bactérias se pode esperar no fim 
de 6 horas? 
a) 3 vezes o número inicial. 
b) 2,5 vezes o número inicial. 
c) 
2 2
 vezes o número inicial. 
d) 32 2 vezes o número inicial. 
e) n.d.a. 
 
4) (ITA 1973) A lei de decomposição do radium no tempo 
t 0,
 é dada por 
  ktM t C e , 
 onde 
 M t
 é a quantidade de radium no tempo t, C e k são constantes 
positivas e e é a base do logaritmo neperiano. Se a metade da quantidade primitiva 
 M 0 ,
 desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos? 
a) 11 100 da quantidade inicial. 
b) 61 2 da quantidade inicial. 
c) 161 2 da quantidade inicial. 
d) 1161 2 da quantidade inicial. 
e) n.d.a. 
 
 
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5) (ITA 1974) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto dos números 
reais. Sejam as funções 
f : A B
 
  y f x ,
 
g : D B
 
  x g t ,
 e a função 
composta 
f g : E K
 (e, portanto, 
     z f g t f g t . 
 Então, os conjuntos E e K 
são tais que: 
a) 
E A
 e 
K D
 
b) 
E B
 e 
K A
 
c) 
E D,
 
D E
 e 
K B
 
d) 
E D
 e 
K B
 
e) n.d.a. 
 
6) (ITA 1974) O conjunto de todos os valores de x para os quais existe um y real de 
modo que 2
10 10 2
7 2x x
y log log
3 4x
   
   
   
 é dado por: 
a) intervalo aberto A, de extremos 
2
 e 
2.
 
b) intervalo aberto A, de extremos 
3
 e 
3.
 
c) intervalo aberto A, de extremos 3
2

 e 3
.
2
 
d) intervalo aberto A, de extremos 3
2

 e 1. 
e) n.d.a. 
 
7) (ITA 1975) Seja 
 
x x
x x
e e
f x
e e





 definida em 
.
 Se g for a função inversa de f, o 
valor de 
7
g
25e
 
 
  será: 
a) 
4
3
 b) 
7e
25
 c) 
e
25
log
7
 
 
 
 d) 
2
7
25e
 
 
  e) NDA 
 
8) (ITA 1976) Considere 
   g : a,b,c a,b,c
 uma função tal que 
 g a b
 e 
 g b a.
 Então, temos: 
a) a equação 
 g x x
 tem solução se, e somente se, g é injetora. 
b) g é injetora, mas não é sobrejetora. 
c) g é sobrejetora, mas não é injetora. 
d) se g não é sobrejetora, então 
  g g x x
 para todo x em 
 a,b,c .
 
e) n.d.r.a. 
 
9) (ITA 1976) Seja A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se 
f : A B
 e 
g : B A
 são funções tais que 
  f g x x,
 para todo x em B e 
  g f x x,
 para 
todo x em A, então, temos: 
a) existe 
ox
 em B, tal que 
  of y x ,
 para todo y em A. 
b) existe a função inversa de f. 
 
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c) existe 
ox
 e 
1x
 em A, tais que 
o 1x x
 e 
   o 1f x f x .
 
d) existe a em B, tal que 
     g f g a g a .
 
e) n.d.r.a. 
 
10) (ITA 1976) Seja A uma função real de variável real x, tal que: 
 2x xe 2e A x 1 0,   
 para todo número real x. 
Nestas condições, temos: 
a) 
 A 0 1,
 
   A x A x , 
 para todo número real x e não existe um número real 
x 0,
 satisfazendo a relação 
 A x 1.
 
b) 
 A 0 1
 e 
 A x 0,
 para algum número real x. 
c) 
 A 1 0
 e 
   A x A x , 
 para todo número real x. 
d) não existe um número real x, não nulo, satisfazendo a relação 
 A x 1
 e não existe 
um número real x, satisfazendo 
   A x A x . 
 
e) n.d.r.a. 
 
11) (ITA 1976) Considere a seguinte função real de variável real 
 
x x
x x
e e
M x .
e e





 
Então 
a) Para todo 
x 1,
 ocorre 
 M x 1.
 
b) Para todo número real x ocorrem, simultaneamente, 
   M x M x  
 e 
 0 M x 1. 
 
c) Existem um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que 
   M a M b .
 
d) 
 M x 0,
 somente quando 
x 0
 e 
 M x 0
 apenas quando 
x 0.
 
e) n.d.r.a. 
 
12) (ITA 1977) Considere a função 
  2F x x 1 
 definida em . Se 
F F
 representa 
a função composta de F com F, analise as afirmações abaixo: 
(1) 
   2F F x x x 1 
, para todo x real. 
(2) Não existe número real y, tal que 
  F F y y.
 
(3) 
FoF
 é uma função injetora. 
(4) 
  F F x 0,
 apenas para dois valores reais de x. 
O número de afirmativas VERDADEIRAS é: 
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 
 
13) (ITA 1977) Supondo que 
a b,
 onde a e b são constantes reais, considere a função 
   H x a b a x  
 definida no intervalo fechado 
 0,1 .
 Podemos assegurar que: 
a) H não é uma função injetora. 
b) Dado qualquer 
y,
 sempre existe um 
x
 em 
 0,1
 satisfazendo 
 H x y.
 
c) Para cada 
y,
 com 
a y b, 
 corresponde um único real 
x,
 com 
0 x 1, 
 tal que 
 H x y.
 
 
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d) Não existe uma função real G, definida no intervalo fechado 
 a,b ,
 satisfazendo a 
relação 
  G H x x
 para cada x em 
 0,1 .
 
e) n.d.a. 
 
14) (ITA 1978) Sejam o conjunto dos números reais e f uma função de em 
.
 
Sejam 
B
 e o conjunto 
    1f B x ; f x B ,   
 então: 
a) 
  1f f B B 
 
b) 
  1f f B B 
 se f é injetora. 
c) 
  1f f B B 
 
d) 
  1f f B B 
 se f é sobrejetora 
e) n.d.a. 
 
15) (ITA 1978) Seja 
 f x
 uma função real de variável real. Se para todo x no domínio 
de f temos 
   f x f x , 
 dizemos que a função é par; se, no entanto, temos 
   f x f x ,  
 dizemos que a função é ímpar. Com respeito à função 
  2
eg x log sen x 1 sen x ,
    
 podemos afirmar que: 
a) está definida apenas para 
x 0.
 
b) é uma função que não é par nem ímpar. 
c) é uma função par. 
d) é uma função ímpar. 
e) n.d.a. 
 
16) (ITA 1978) Qual das funções definidas abaixo é bijetora? Obs. 
 x ; x 0   
 
e 
 a,b
 é o intervalo fechado de extremos a e b. 
a) 
f : 
 tal que 
  2f x x .
 
b) 
f :  
 tal que 
 f x x 1. 
 
c) 
   f : 1,3 2,4
 tal que 
 f x x 1. 
 
d) 
 f : 0,2 
 tal que 
 fx sen x.
 
e) n.d.a. 
 
17) (ITA 1979) Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é ímpar; 
     f x y f x f y ;  
 e 
 f x 0,
 se 
x 0.
 Definindo 
 
   f x f 1
g x ,
x


 se 
x 0.
 
Sendo n um número natural, podemos afirmar que: 
a) f é não-decrescente e g é uma função ímpar. 
b) f é não-decrescente e g é uma função par. 
c) f é não-decrescente e 
   0 g n f 1 . 
 
d) f não é monótona e 
   0 g n f 1 . 
 
e) não é possível garantir que 
   0 g n f 1 . 
 
 
 
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18) (ITA 1980) Sejam 
A
 e 
B
 subconjuntos não vazios de e 
f A B, 
 
g B A 
 
duas funções tais que 
Bfog I ,
 onde 
BI
 é a função identidade em B. Então podemos 
afirmar que: 
a) 
f
 é sobrejetora. 
b) 
f
 é injetora. 
c) 
f
 é bijetora. 
d) 
g
 é injetora e par. 
e) 
g
 é bijetora e ímpar. 
 
19) (ITA 1980) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva 
2y ax bx c  
 passa pelos pontos 
 1,1
, 
 2,m
 e 
 m,2
, onde m é um número real 
diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que: 
a) Ela admite um mínimo para todo m tal que 
1 3
m
2 2
 
. 
b) Ela admite um mínimo para todo m tal que 
0 m 1 
. 
c) Ela admite um máximo para todo m tal que 
1 1
m
2 2
  
. 
d) Ela admite um máximo para todo m tal que 
1 3
m
2 2
 
. 
e) Ela admite um máximo para todo m tal que 
0 m 1 
. 
 
20) (ITA 1982) Seja 
f : 
 definida por 
 
x a
, se x b
f x .x b
b, se x b

 
 
   
 Se 
  f f x x
 
para todo x real e 
 f 0 2, 
 então 
a) 
ab 2 
 b) 
ab 1 
 c) 
ab 0
 d) 
ab 1
 e) 
ab 2
 
 
21) (ITA 1983) Dadas as funções 
 2
2xf x log x
 e 
  2g x 2sen x 3sen x 1  
 
definidas para 
x 0
 e 
1
x ,
2

 o conjunto 
       *A x : g f x 0 f x 0,2     
 
é dado por 
a)  52 6 6 5A 4 , 4 , 4
  
   
 
b)  52 6 6 5A 2 , 2 , 2
  
   
 
c) 
 2 6 6 5A 4 , 4 , 4   
 
d)  2 2 52 6 6 5A 4 , 4 , 4
  
   
 
e)  52 6 6 5A 2 , 4 , 2
  
   
 
 
 
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22) (ITA 1983) Sejam três funções 
f ,u,v : 
 tais que 
 
 
1 1
f x f x
x f x
 
   
 
 
para todo 
x
 não nulo e 
     2 2u x v x 1 
 para todo 
x
 real. Sabendo-se que 
0x
 é 
um número real tal que 
   0 0u x v x 0 
 e 
o o
1 1
f 2,
u(x ) v(x )
 
  
 
 o valor de 
o
o
u(x )
f
v(x )
 
 
 
 é: 
a) 
1
 b) 
1
 c) 
2
 d) 
1
2
 e) 
2
 
 
23) (ITA 1984) Seja 
 
2x 4f x e ,
 onde 
x
 e é o conjunto dos números reais. 
Um subconjunto D de tal que 
f : D
 é uma função injetora é: 
a) 
 D x : x 2 ou x 0   
 
b) 
 D x : x 2 ou x 2    
 
c) 
D 
 
d) 
 D x : 2 x 2    
 
e) 
 D x : x 2  
 
 
24) (ITA 1985) Considere as seguintes funções: 
 
7
f x x
2
 
 e 
  2
1
g x x
4
 
 
definidas para todo x real. Então, a respeito da solução da inequação 
     g f x g f x ,
 podemos afirmar que: 
a) Nenhum valor de x real é solução. 
b) Se 
x 3
 então x é solução. 
c) Se 
7
x
2

 então x é solução. 
d) Se 
x 4
 então x é solução. 
e) Se 
3 x 4 
 então x é solução. 
 
25) (ITA 1985) Dadas as sentenças: 
I – Sejam 
f : X Y
 e 
g : Y X
 duas funções satisfazendo 
  g f x x,
 para todo 
x X.
 Então, f é injetiva, mas g não é necessariamente sobrejetiva. 
II – Seja 
f : X Y
 uma função injetiva. Então, 
     f A f B f A B ,  
 onde A e B 
são dois subconjuntos de X. 
III – Seja 
f : X Y
 uma função injetiva. Então, para cada subconjunto A de X, 
    CCf A f A
 onde 
 CA x X | x A  
 e 
     
C
f A x Y | x f A .  
 
podemos afirmar que está (estão) correta(s): 
a) As sentenças I e II. b) As sentenças II e III. 
c) Apenas a sentença I. d) As sentenças I e III. 
e) Todas as sentenças. 
 
 
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26) (ITA 1986) Sejam a, b, c números reais dados com 
a 0.
 Suponha que 
1x
 e 
2x
 
sejam as raízes da função 
2y ax bx c  
 e 
1 2x x .
 Sejam 
3
b
x
2a
 
 e 
2
4
2b b 4ac
x .
4a
 
 
 Sobre o sinal de y podemos afirmar que: 
a) 
y 0,
 
x , 
 
1 3x x x 
 
b) 
y 0,
 
x , 
 
4 2x x x 
 
c) 
y 0,
 
x , 
 
1 4x x x 
 
d) 
y 0,
 
x , 
 
4x x
 
e) 
y 0,
 
x , 
 
3x x
 
 
27) (ITA 1986) Seja 
f : 
 uma função que satisfaz à seguinte propriedade: 
     f x y f x f y ,  
 
x, y . 
 Se 
    2210g x f log x 1 
 então podemos 
afirmar que 
a) O domínio de g é e 
   g 0 f 1 .
 
b) g não está definida para os reais negativos e 
    210g x 2f log x 1 , 
 para 
x 0.
 
c) 
 g 0 0
 e 
    210g x 2f log x 1 , 
 
x . 
 
d) 
   g 0 f 0
 e g é injetora. 
e) 
 g 0 1 
 e 
    
2
1
2
10g x f log x 1 , x .
 
     
 
 
28) (ITA 1986) Seja 
a ,
 
0 a 1 
 e f a função real de variável real definida por 
 
 2
1
2x 2a a
f x .
cos 2 x 4cos x 3


   
 Sobre o domínio A desta função podemos afirmar que: 
a) 
 , 2 A   
 
b) 
A 2, 2    
 
c) 
 2, 2 A 
 
d) 
 x | x e x 2 A   
 
e) 
A 2, 2   
 
 
29) (ITA 1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função 
f : .
 
1. Se existe 
x
 tal que 
   f x f x 
 então f não é par. 
2. Se existe 
x
 tal que 
   f x f x  
 então f é ímpar. 
3. Se f é par e ímpar então existe 
x
 tal que 
 f x 1.
 
4. Se f é ímpar então 
f f
 (f composta com f) é ímpar. 
Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números 
a) 1 e 4 b) 1, 2 e 4 c) 1 e 3 d) 3 e 4 e) 1, 2 e 3 
 
 
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30) (ITA 1987) Considere 
 x g y
 a função inversa da seguinte função: 
  2y f x x x 1,   
 para cada número real 
1
x .
2

 Nestas condições, a função g é 
assim definida: 
a) 1 3
g(y) y ,
2 4
  
 para cada 
3
y .
4

 
b) 1 1
g(y) y ,
2 4
  
 para cada 
1
y .
4

 
c) 3
g(y) y ,
4
 
 para cada 
3
y .
4

 
d) 1
g(y) y ,
4
 
 para cada 
1
y .
4

 
e) 3 1
g(y) y ,
4 2
  
 para cada 
1
y .
2

 
 
31) (ITA 1987) Considere a função 
 y f x
 definida por 
  3 2f x x 2x 5x,  
 para 
cada x real. Sobre esta função, qual das afirmações abaixo é verdadeira? 
a) 
 y f x
 é uma função par. 
b) 
 y f x
 é uma função ímpar. 
c) 
 f x 0
 para todo real x. 
d) 
 f x 0
 para todo real x. 
e) 
 f x
 tem o mesmo sinal de x, para todo real 
x 0.
 
 
32) (ITA 1988) Seja 
   2
2f x log x 1 , 
 
x , 
 
x 1. 
 A lei que define a inversa 
de f é: 
a) 
y1 2 ,
 
y . b) 
y1 2 , 
 
y . 
 
c) 
y1 1 2 , 
 
y . 
 
d) 
y1 2 , 
 
y , 
 
y 0.
 
e) 
y1 1 2 , 
 
y , 
 
y 0.
 
 
33) (ITA 1988) Considere 
   2
1
2
A x log 2x 4x 3 ,  
 
x . 
 Então temos: 
a) 
 A x 1,
 para algum 
x ,
 
x 1.
 
b) 
 A x 1,
 para algum 
x .
 
c) 
 A x 1,
 apenas para 
x
 tal que 
0 x 1. 
 
d) 
 A x 1,
 para cada 
x
 tal que 
0 x 1. 
 
e) 
 A x 1,
 para cada 
x .
 
 
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34) (ITA 1988) Sejam f e g funções reais de variável real definidas por 
   2f x ln x x 
 e 
 
1
g x .
1 x


 Então, o domínio de 
f g
 é: 
a) 
 0,e
 b) 
 0,1
 c) 
 e,e 1
 d) 
 1,1
 e) 
 1,
 
Nota: 
f g
 é a lei definida por 
     f g x f g x
 para cada x de seu domínio. 
 
 
35) (ITA 1988) Seja 
f : 
 uma função estritamente decrescente, isto é, quaisquer x 
e y reais com 
x y
 tem-se 
   f x f y .
 Dadas as afirmações: 
I. f é injetora. 
II. f pode ser uma função par. 
III. Se f possui inversa então sua inversa também é estritamente decrescente. 
Podemos assegurar que: 
a) apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
b) apenas as afirmações II e III são falsas. 
c) apenas a afirmação I é falsa. 
d) todas as afirmações são verdadeiras. 
e) apenas a afirmação II é verdadeira. 
 
36) (ITA 1989) Os valores de 
,
 
0    
 e 
,
2

 
 para os quais a função 
f : 
 
dada por 
  2 2f x 4x 4x tg   
 assume seu valor mínimo igual a 
4,
 são 
a) 
4

 e 
3
4

 b) 
5

 e 
2
5

 c) 
3

 e 
2
3

 d) 
7

 e 
2
7

 e) 
2
5

 e 
3
5

 
 
37) (ITA 1989) Sejam A e B subconjuntos de 
,
 não vazios, possuindo B mais de um 
elemento. Dada uma função 
f : A B,
 definimos 
L: A A B 
 por 
    L a a,f a ,
 
para todo 
a A.
 Podemos afirmar que 
a) A função L sempre será injetora. 
b) A função L sempre será sobrejetora. 
c) Se f for sobrejetora, então L também o será. 
d) Se f não for injetora, então L também não o será. 
e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora. 
 
38) (ITA 1989) Sejam 
f ,g : 
 duas funções tais que 
a) 
g f : 
 é injetora. Verifique se f é injetora e justifique sua resposta. 
b) 
g f : 
 é sobrejetora. Verifique se g é sobrejetora e justifique sua resposta. 
 
39) (ITA 1990) Dadas as funções 
 
x
x
1 e
f x ,
1 e



 
 x 0 
 e 
 g x xsen x,
 
x ,
 
podemos afirmar que: 
a) ambas são pares. b) f é par e g é ímpar 
c) f é ímpar e g é par. d) f não é par e nem ímpar e g é par. 
e) ambas são ímpares. 
 
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40) (ITA 1990) Seja 
f : 
 a função definida por   2
x 2, se x 1
f x x , se 1 x 1.
4, se x 1
  

   


 
Lembrando que se 
A
 então 
    1f A x : f x A ,   
 considere as afirmações: 
(I) f não é injetora e 
    1f 3,5 4 . 
 
(II) f não é sobrejetora e 
     1 1f 3,5 f 2,6 . 
 
(III) f é injetora e 
    1f 0,4 2, .   
 
Então podemos garantir que: 
a) apenas as afirmações II e III são falsas. 
b) as afirmações I e III são verdadeiras. 
c) apenas a afirmação II é verdadeira. 
d) apenas a afirmação III é verdadeira. 
e) todas as afirmações são falsas. 
 
41) (ITA 1990) Seja a função 
   f : 2 3  
 definida por 
 
2x 3
f x 1.
x 2

 

 
Sobre sua inversa podemos garantir que: 
a) não está definida pois f não é injetora. 
b) não está definida pois f não é sobrejetora. 
c) está definida por 
 1
y 2
f y , y 3.
y 3
  

 
d) está definida por 
 1
y 5
f y 1, y 3.
y 3
   

 
e) está definida por 
 1
2y 5
f y 1, y 3.
y 3
   

 
 
42) (ITA 1990) Sejam as funções f e g dadas por: 
 
1, se x 1
f : , f x
0, se x 1
 
  

 
   
2x 3
g : 1 , g x
x 1

  

 
Sobre a composta 
     f g x f g x
 podemos garantir que: 
a) se 
3
x ,
2

 
  f g x 0
 b) se 
3
1 x ,
2
 
 
  f g x 1
 
c) se 
4
x 2,
3
 
 
  f g x 1
 d) se 
4
1 x ,
3
 
 
  f g x 1
 
e) n.d.a. 
 
43) (ITA 1991) Considere as afirmações: 
I- Se 
f : 
 é uma função par e 
g : 
 uma função qualquer, então a 
composição 
g f
 é uma função par. 
II- Se 
f : 
 é uma função par e 
g : 
 uma função ímpar, então a composição 
f g
 é uma função par. 
 
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III- Se 
f : 
 é uma função ímpar e inversível então 1f :  é uma função 
ímpar. 
Então: 
a) Apenas a afirmação I é falsa; 
b) Apenas as afirmações I e II são falsas; 
c) Apenas a afirmação III é verdadeira; 
d) Todas as afirmações são falsas; 
e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
44) (ITA 1991) Sejam 
a
, 
a 1
 e 
f : 
 definida por 
 
x xa a
f x .
2


 A 
função inversa de 
f
 é dada por: 
a) 
 2
alog x x 1 
, para 
x 1
. 
b) 
 2
alog x x 1  
, para 
x
. 
c) 
 2
alog x x 1 
, para 
x
. 
d) 
 2
alog x x 1  
, para 
x 1 
. 
e) n.d.a. 
 
45) (ITA 1991) Seja 
f : 
 definida por: 
 
x
2
e , se x 0
f x x 1, se 0 x 1
ln x, se x 1
 

   


 
Se 
D
 é um subconjunto não vazio de tal que 
f : D
 é injetora, então: 
a) 
D 
 e 
   f D 1,  
. 
b) 
   D ,1 e,   
 e 
   f D 1,  
. 
c) 
 D 0, 
 e 
   f D 1,  
. 
d) 
 D 0,e
 e 
   f D 1,1 
. 
e) n.d.a. 
Notação: 
    f D y : y f x , x D   
 e 
ln x
 denota o logaritmo neperiano de 
x
. 
Observação: esta questão pode ser resolvida graficamente. 
 
46) (ITA 1992) Considere as funções 
*f : ,
 
g : 
 e *h :  definidas 
por: 
 
1
x
xf x 3
 
 
  ;   2g x x ;   81h x
x

. 
O conjunto dos valores de 
x
 em * tais que 
     f g x h f x ,
 é subconjunto de: 
a) 
 0,3
 
b) 
 3,7
 
c) 
 6,1
 
 
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d) 
 2,2
 
e) n.d.a. 
 
47) (ITA 1992) O domínio da função 
 
 
 
2
2
2x 3x 1
f x log 3x 5x 2
 
  
 é: 
a) 
 
1 3 3
,0 0, 1, ,
2 2 2
     
         
     
 
b) 
1 5 5
, 1, ,
2 2 2
     
        
     
 
c) 
1 1 2 3 3
, , 1, ,
2 2 3 2 2
       
          
      
 
d) 
   ,0 1,  
 
e) n.d.a. 
 
48) (ITA 1992) Dadas as funções 
f : 
 e 
g : 
 ambas estritamente 
decrescentes e sobrejetoras, considere 
h f g
. Então podemos afirmar que: 
a) 
h
 é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. 
b) 
h
 é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. 
c) 
h
 é estritamente crescente, mas não é necessariamente inversível. 
d) 
hé estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente. 
e) n.d.a. 
 
49) (ITA 1993) Seja 
f : 
 uma função não nula, ímpar e periódica de período p. 
Considere as seguintes afirmações: 
I. 
 f p 0
 
II. 
   f x f x p , x     
 
III. 
   f x f x p , x    
 
IV. 
   f x f x , x    
 
Podemos concluir que: 
a) I e II são falsas. b) I e III são falsas. 
c) II e III são falsas. d) I e IV são falsas. 
e) II e IV são falsas. 
 
50) (ITA 1993) Um acidente de carro foi presenciado por 
1
65
 da população de 
Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento 
t
 horas após é 
dado por: 
 
kt
B
f t
1 Ce


 onde 
B
 é a população da cidade. Sabendo-se que 
1
9
 da 
população soube do acidente 
3
 horas após então o tempo que passou até que 
1
5
 da 
população soubesse da notícia foi de: 
a) 
4
 horas. b) 
5
 horas. c) 
6
 horas. 
d) 
5
 horas e 
24
 min. e) 
5
 horas e 
30
 min. 
 
 
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51) (ITA 1994) Dadas as funções reais de variável real 
 f x mx 1 
 e 
 g x x m, 
 
onde 
m
 é uma constante real com 
0 m 1 
, considere as afirmações: 
I. 
     f g x g f x
, para algum 
x
. 
II. 
   f m g m
. 
III. Existe 
a
 tal que 
    f g a f a .
 
IV. Existe 
b
 tal que 
  g f b mb.
 
V. 
  0 g g m 3 
. 
Podemos concluir que: 
a) todas são verdadeiras. 
b) apenas quatro são verdadeiras. 
c) apenas três são verdadeiras. 
d) apenas duas são verdadeiras. 
e) apenas uma é verdadeira. 
 
52) (ITA 1995) Seja a função 
f : 
 definida por 
a x se x
2 2
f (x)
a
sen x se x
2 x 2
   
     
   

 
onde 
a 0
 é uma constante. Considere 
  K y ; f y 0  
. Qual o valor de 
a
, 
sabendo-se que 
f K
2
 
 
 
? 
a) 2
4
 b) 
2

 c) 

 d) 2
2
 e) 2 
 
53) (ITA 1996) Seja 
f : 
 definida por 
 
2
3x 3, x 0
f x
x 4x 3, x 0
 
 
  
. Então: 
a) 
f
 é bijetora e 
   1
2
f f f 21
3
   
 
. 
b) 
f
 é bijetora e 
   1
2
f f f 99
3
   
 
. 
c) 
f
 é sobrejetora, mas não é injetora. 
d) 
f
 é injetora, mas não é sobrejetora. 
e) 
f
 é bijetora e 
   1
2
f f f 3
3
   
 
. 
 
54) (ITA 1996) Considere as funções reais 
f
 e 
g
 definidas por 
 
2
1 2x
f x ,
1 x



 
 x 1,1  
 e 
 
x
g x ,
1 2x


 
 1x .
2
  
 O maior subconjunto de onde pode 
ser definida a composta 
f g,
 tal que 
  f g x 0,
 é: 
 
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a) 
1 1 1
1, ,
2 3 4
   
       
   
 b) 
 
1 1
, 1 ,
3 4
 
     
 
 
c) 
 
1
, 1 ,1
2
 
    
 
 d) 
 1,
 
e) 
1 1
,
2 3
 
  
 
 
 
55) (ITA 1996) Seja 
*f :  
 uma função injetora tal que 
 f 1 0
 e 
     f x y f x f y  
 para todo 
x 0
 e 
y 0.
 Se 
1x ,
 
2x ,
 
3x ,
 
4x
 e 
5x
 formam nessa 
ordem uma progressão geométrica, onde 
ix 0
 para 
i 1,2,3,4,5
 e sabendo que 
     
5
i 1
i 1
f x 13f 2 2f x

 
 e 
 
4
i
1
i 1 i 1
x
f 2f 2x ,
x 
 
   
 
 então o valor de 
1x
 é: 
a) 
2
 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 
 
56) (ITA 1997) Sejam 
f ,g : 
 funções tais que 
 g x 1 x 
 e 
     3f x 2f 2 x x 1   
, para todo 
x
. Então, 
  f g x
 é igual a 
a) 
 3x 1
 b) 
 31 x
 c) 3x d) x e) 2 x 
 
57) (ITA 1997) O domínio 
D
 da função 
 
 2 2
2
x 1 x
f x ln
2x 3 x
      
 
   
 é o conjunto 
a) 
 D x :0 x 3 2    
 
b) 
 D x : x 1 ou x     
 
c) 
 D x :0 x 1 ou x     
 
d) 
 D x : x 0  
 
e) 
 D x :0 x 1 ou x 3 2        
 
 
58) (ITA 1997) Se e 

 representam, respectivamente, o conjunto dos números 
racionais e o conjunto dos números irracionais, considere as funções 
f ,g : 
 
definidas por 
0, se x
f (x)
1, se x

 

 
1, se x
g(x)
0, se x

 

 
Seja 
J
 a imagem da função composta 
f g : 
. Podemos afirmar que: 
a) 
J 
 b) 
J 
 c) 
 J 0
 d) 
 J 1
 e) 
 J 0,1
 
 
59) (ITA 1998) Sejam as funções 
f : 
 e 
g : A 
, tais que 
  2f x x 9 
 e 
  f g x x 6 
, em seus respectivos domínios. Então, o domínio 
A
 da função 
g
 é: 
a) 
 3, 
 b) c) 
 5, 
 
 
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d) 
   , 1 3,   
 e) 
, 6 
 
 
 
60) (ITA 1998) Seja 
f : 
 a função definida por 
  xf x 3a 
, onde 
a
 é um 
número real, 
0 a 1 
. Sobre as afirmações: 
(I) 
     f x y f x f y 
, para todo 
x, y
. 
(II) 
f
 é bijetora. 
(III) 
f
 é crescente e 
    f 0, 3,0  
. 
Podemos concluir que: 
a) Todas as afirmações são falsas. 
b) Todas as afirmações são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras. 
d) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
e) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 
 
61) (ITA 1998) Seja 
f : 
 a função definida por 
 f x 2sen 2x cos2x 
. Então: 
a) 
f
 é ímpar e periódica de período 

. 
b) 
f
 é par e periódica de período 
2
. 
c) 
f
 não é par nem ímpar e é periódica de período 

. 
d) 
f
 não é par e é periódica de período 
4
 
e) 
f
 não é ímpar e não é periódica. 
 
62) (ITA 1999) Considere as funções 
f
 e 
g
 definidas por 
 
2
f x x
x
 
, para 
x 0
 e 
 
x
g x
x 1


, para 
x 1 
. O conjunto de todas as soluções da inequação 
    g f x g x
 é: 
a) 
 1,
 b) 
 , 2 
 c) 
 2, 1 
 
d) 
 1,1
 e) 
   2, 1 1,   
 
 
63) (ITA 1999) Sejam 
f ,g,h : 
 funções tais que a função composta 
h g f : 
 é a função identidade. 
Considere as afirmações: 
I. A função 
h
 é sobrejetora. 
II. Se 
0x 
 é tal que 
 0f x 0
, então 
 f x 0
 para todo 
x
 com 
0x x
. 
III. A equação 
 h x 0
 tem solução em . 
Então: 
a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. 
b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
c) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras. 
e) Todas as afirmações são falsas. 
 
 
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64) (ITA 1999) Sejam 
f ,g : 
 funções definidas por 
 
x
3
f x
2
 
  
 
 e 
 
x
1
g x .
3
 
  
 
 
Considere as afirmações: 
I. Os gráficos de 
f
 e 
g
 não se interceptam. 
II. As funções 
f
 e 
g
 são crescentes. 
III. 
       f 2 g 1 f 1 g 2    
 
Então: 
a) Apenas a afirmação (I) é falsa. 
b) Apenas a afirmação (III) é falsa. 
c) Apenas as afirmações (I) e (II) são falsas. 
d) Apenas as afirmações (II) e (III) são falsas. 
e) Todas as afirmaçõessão falsas. 
 
65) (ITA 2000) Considere 
f : 
 definida por 
 
x
f x 2sen3x cos .
2
 
   
 
 Sobre 
f
 podemos afirmar que: 
a) é uma função par. 
b) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 
4
. 
c) é uma função ímpar e periódica de período fundamental 
4 3
. 
d) é uma função periódica de período fundamental 
2
. 
e) não é par, não é ímpar e não é periódica. 
 
66) (ITA 2000) Sejam 
f ,g : 
 definidas por 
  3f x x
 e 
  3cos5xg x 10 .
 
Podemos afirmar que 
a) 
f
 é injetora e par e 
g
 é ímpar. 
b) 
g
 é sobrejetora e 
g f
 é par. 
c) 
f
 é bijetora e 
g f
 é ímpar. 
d) 
g
 é par e 
g f
 é ímpar. 
e) 
f
 é ímpar e 
g f
 é par. 
 
67) (ITA 2001) O conjunto de todos os valores de 
m
 para os quais a função 
 
   
   
2 2
2 2
x 2m 3 x m 3
f x
x 2m 1 x m 2
   

   
 está definida e é não negativa para todo 
x
 real é: 
a)
1 7
,
4 4
 
 
 
 b) 
1
,
4
 
 
 
 c) 
7
0,
4
 
 
 
 d) 
1
,
4
 
 
 
 e) 
1 7
,
4 4
 
 
 
 
 
68) (ITA 2001) Considere as funções 
 
x5 7
f x
4


, 
 
x5 7
g x
4


 e 
h(x) arc tg(x).
 
Se 
a
 é tal que 
     h f a h g a
4

 
, então 
   f a g a
 vale: 
a) 
0
 b) 
1
 c) 
7
4
 d) 
7
2
 e) 
7
 
 
 
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69) (ITA 2001) Se 
 f : 0,1 
 é tal que, 
 x 0,1 , 
 
 
1
f x
2

 e 
 
1 x x 1
f x f f
4 2 2
     
     
    
 então a desigualdade válida para qualquer 
n 1,2,3,
 e 
0 x 1 
 é: 
a) 
 
n
1 1
f x
22
 
 b) 
 
n
1 1
f x
22
 
 
c) 
 
n 1
1 1
f x
22 
 
 d) 
 
n
1
f x
2

 
e) 
 
n
1
f x
2

 
 
70) (ITA 2002) Seja 
 f : P
 dada por 
   f x y ; sen y x  
. Se 
A
 é tal que 
 f x 
, 
x A 
, então 
a) 
 A 1,1 
. b) 
 A a, 
, 
a 1 
. 
c) 
 A a, 
, 
a 1 
. d) 
 A ,a 
, 
a 1  
. 
e) 
 A ,a 
, 
a 1  
. 
Nota: Se 
X
 é um conjunto, 
 P X
 denota o conjunto de todos os subconjuntos de 
X
. 
 
71) (ITA 2002) Sendo par a função dada por 
 
ax b
f x
x c



, 
c x c  
, então 
 f x
, 
para 
c x c  
, é constante e igual a 
a) 
a b
 b) 
a c
 c) 
c
 d) 
b
 e) 
a
 
 
72) (ITA 2003) Mostre que toda função 
 f : \ 0 ,
 satisfazendo 
     f xy f x f y 
 em todo seu domínio, é par. 
 
73) (ITA 2003) Considere uma função 
f : 
 não constante e tal que 
     f x y f x f y  
, 
x, y 
. Das afirmações: 
I. 
 f x 0
, 
x 
. 
II. 
    nf nx f x
, 
x 
, *n  . 
III. f é par. 
é (são) verdadeira(s): 
a) apenas I e II. b) apenas II e III. c) apenas I e III. 
d) todas. e) nenhuma. 
 
74) (ITA 2004) Sejam as funções 
f
 e 
g
 definidas em por 
  2f x x x 
 e 
   2g x x x  
 em que 

 e 

 são números reais. Considere que estas funções são 
tais que 
f
 g 
valor 
mínimo 
ponto de 
mínimo 
valor 
máximo 
ponto de 
máximo 
 
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1
 
0
 
9 4
 
0
 
Então a soma dos valores de 
x
 para os quais 
  f g x 0
 é igual a: 
a) 
0
 b) 
2
 c) 
4
 d) 
6
 e) 
8
 
 
75) (ITA 2004) Considere a função 
f : 
, 
 f x 2cos x 2isen x 
. Então, 
x, y 
, o valor do produto 
   f x f y
 é igual a 
a) 
 f x y
 b) 
 2f x y
 c) 
 4i f x y 
 
d) 
 f xy
 e) 
   2f x 2i f y 
 
 
76) (ITA 2005) Seja 
 D / 1
 e 
f : D D
 uma função dada por 
 
x 1
f x
x 1



. 
Considere as afirmações: 
I  
f
 é injetiva e sobrejetiva. 
II  
f
 é injetiva, mas não sobrejetiva. 
III  
 
1
f x f 0
x
 
  
 
, para todo 
x D
, 
x 0
. 
IV  
   f x f x 1  
, para todo 
x D
. 
Então, são verdadeiras: 
a) apenas I e III b) apenas I e IV c) apenas II e III 
d) apenas I, III e IV e) apenas II, III e IV 
 
77) (ITA 2006) Seja 
 f : 0,1 
 definida por 
 
2x, 0 x 1 2
f x
2x 1, 1 2 x 1
 
 
  
. 
Seja 
 g : 1 2,1 2 
 dada por 
 
 
 
f x 1 2 , 1 2 x 0
g x
1 f x 1 2 , 0 x 1 2
    
 
   
, com 
f
 definida 
acima. Justificando a resposta, determine se 
g
 é par, ímpar ou nem par nem ímpar. 
 
78) (ITA 2008) Seja 
   2f x ln x x 1  
, 
x
. Determine as funções 
h,g : 
 
tais que 
     f x g x h x 
, 
x 
, sendo 
h
 uma função par e 
g
 uma função impar. 
 
79) (ITA 2008) Um intervalo real 
D
 tal que a função 
f : D
 definida por 
   2f x ln x x 1  
 é injetora, é dado por 
a) b) 
( ,1]
 c) 
 0,1/2
 d) 
 0,1
 e) 
[1/ 2, )
 
 
80) (ITA 2009) Seja 
 f : \ 1 
 definida por 
 
2x 3
f x
x 1



. 
a) Mostre que 
f
 é injetora. 
b) Determine 
    D f x ;x \ 1  
 e 
 1f : D \ 1  
. 
 
81) (ITA 2009) Seja 
 f : \ 0
 uma função satisfazendo às condições: 
     f x y f x f y  
, para todo 
x, y
 e 
 f x 1
, para todo 
 x \ 0
. 
Das afirmações: 
 
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I. 
f
 pode ser ímpar. 
II. 
 f 0 1
. 
III. 
f
 é injetiva. 
IV. 
f
 não é sobrejetiva, pois 
 f x 0
 para todo
x
. 
é (são) falsa(s) apenas 
a) I e III. b) II e III. c) I e IV. d) IV. e) I. 
 
82) (ITA 2010) Seja 
f : 
 bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa 
1f : 
 também é ímpar: 
 
83) (ITA 2010) Analise se a função 
f : 
, x x3 3
f (x)
2


 é bijetora e, em caso 
afirmativo, determine a função inversa 1f  . 
 
84) (ITA 2010) Sejam 
f ,g : 
 tais que 
f
 é par e 
g
 é ímpar. Das seguintes 
afirmações: 
 I. 
f g
 é ímpar, 
 II. 
f g
 é par, 
III. 
g f
 é ímpar, 
É (são) verdadeiras(s) 
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) todas 
 
85) (ITA 2010) Considere conjuntos 
A,B
 e 
 C A B 
. Se 
A B
, 
A C
 e 
B C
 são domínios das funções reais definidas por 
 ln x  
, 2x 6x 8   e 
x
5 x
 

, respectivamente, pode-se afirmar que 
a) 
C ,5   
 b) 
 C 2, 
 c) 
C [2,5[
. 
d) 
C [ ,4] 
 e) C não é intervalo. 
 
86) (ITA 2012) Analise se 
f : 
, 
 
2
2
3 x , x 0
f x
3 x , x 0
  
 
 
 é bijetora e, em caso 
afirmativo, encontre 1f :  . 
 
87) (ITA 2012) Considere um número real 
a 1
 positivo, fixado, e a equação em 
x
 
2x xa 2 a 0   
, 

. 
Das afirmações: 
 I. Se 
0 
, então existem duas soluções reais distintas; 
 II. Se 
1  
, então existe apenas uma solução real; 
 III. Se 
0 
, então não existem soluções reais; 
 IV. Se 
0 
, então existem duas soluções reais distintas, 
é (são) sempre verdadeira(s) apenas 
a) I. b) I e III.c) II e III. d) II e IV. e) I, III e IV. 
 
 
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88) (ITA 2013) Determine o maior domínio 
D
 da função 
f : D
, 
   
x x
4
f x log 4sen x cos x 1 
 
 
 
. 
 
89) (ITA 2013) Considere funções 
f ,g,f g : 
. Das afirmações: 
I. Se 
f
 e 
g
 são injetoras, 
f g
 é injetora; 
II. Se 
f
 e 
g
 são sobrejetoras, 
f g
 é sobrejetora; 
III. Se 
f
 e 
g
 não são injetoras, 
f g
 não é injetora; 
IV. Se 
f
 e 
g
 não são sobrejetoras, 
f g
 não é sobrejetora, 
é (são) verdadeira(s) 
a) nenhuma. b) apenas I e II. c) apenas I e III. 
d) apenas III e IV. e) todas. 
 
90) (ITA 2013) Considere as funções 
f
 e 
g
, da variável real 
x
, definidas, 
respectivamente, por 
 
2x ax bf x e  
 e 
 
ax
g x ln
3b
 
  
 
, 
em que 
a
 e 
b
 são números reais. Se 
   f 1 1 f 2   
, então pode-se afirmar sobre a 
função composta 
g f
 que 
a) 
 g f 1 ln3
 
b) 
 g f 0
 
c) 
g f
 nunca se anula. 
d) 
g f
 está definida apenas em 
 x : x 0 
 
e) 
g f
 admite dois zeros reais distintos. 
 
91) (ITA 2014) Considere as funções 
f : 
, 
  xf x e
, em que 

 é uma 
constante real positiva, e 
 g : 0, 
, 
 g x x
. Determine o conjunto solução da 
inequação 
     g f x f g x
. 
 
92) (ITA 2014) Considere as funções 
f ,g : 
, 
 f x ax m 
, 
 g x bx n 
, em 
que 
a
, 
b
, 
m
 e 
n
 são constantes reais. Se 
A
 e 
B
 são as imagens de 
f
 e de 
g
, 
respectivamente, então, das afirmações abaixo: 
I. Se 
A B
, então 
a b
 e 
m n
; 
II. Se 
A 
, então 
a 1
; 
III. Se 
a,b,m,n
, com 
a b
 e 
m n 
, então 
A B
, 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) nenhuma. 
 
93) (ITA 2014) Das afirmações: 
I. Se 
x, y \
, com 
y x 
, então 
x y \ 
; 
II. Se 
x
 e 
y \
, então 
xy \
; 
 
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III. Sejam 
a,b,c
, com 
a b c 
. Se 
   f : a,c a,b
 é sobrejetora, então 
f
 não é 
injetora, 
é (são) verdadeira(s) 
a) apenas I e II. b) apenas I e III. c) apenas II e III. 
d) apenas III. e) nenhuma. 
 
94) (ITA 2015) Considere as funções 
1 2f , f , f : 
, sendo 
 
1
1
f x x 3
2
 
, 
 
2
3
f x x 1
2
 
 e 
 f x
 igual ao maior valor entre 
 
1f x
 e 
 
2f x
, para cada 
x
. 
Determine: 
a) Todos os 
x
 tais que 
   
1 2f x f x
. 
b) O menor valor assumido pela função f. 
c) Todas as soluções da equação 
 f x 5
. 
 
95) (ITA 2016) Seja f a função definida por 
   2
x 1f x log x 2x 8 .  
 Determine: 
a) O domínio 
fD
 da função f. 
b) O conjunto de todos os valores de 
fx D
 tais que 
 f x 2.
 
c) O conjunto de todos os valores de 
fx D
 tais que 
 f x 1.
 
 
96) (ITA 2016) Considere as seguintes afirmações: 
I. A função 
 
10
x 1
f x log
x
 
  
 
 é estritamente crescente no intervalo 
 1, .
 
II. A equação x 2 x 12 3  possui uma única solução real. 
III. A equação 
 xx 1 x 
 admite pelo menos uma solução real positiva. 
É (são) verdadeira(s) 
a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. 
d) I, II e III. e) apenas III. 
 
97) (ITA 2017) Esboce o gráfico da função 
f : 
 dada por 
  x
1
f x 2 .
2
 
 
 
 
 
RESPOSTAS: 
 
1) d; 2) d; 3) d; 4) d; 5) d; 6) c; 7) a; 8) a; 9) b; 10) a; 11) e; 12) e; 13) c; 14) a; 15) d; 
16) c; 17) c; 18) a; 19) b; 20) a; 21) a; 22) b; 23) e; 24) e; 25) b; 26) c; 27) c; 28) e; 
29) a; 30) a; 31) e; 32) b; 33) e; 34) b; 35) a; 36) c; 37) a; 38) Disc.; 39) c; 40) d; 41) e; 
42) c; 43) e; 44) c; 45) b; 46) c; 47) a; 48) a; 49) b; 50) a; 51) e; 52) d; 53) b; 54) a; 
55) b; 56) c; 57) e; 58) c; 59) a; 60) e; 61) c; 62) e; 63) d; 64) e; 65) b; 66) e; 67) d; 
68) d; 69) e; 70) b; 71) e; 72) Disc.; 73) a; 74) d; 75) b; 76) a; 77) Disc.; 78) Disc.; 
79) c; 80) Disc.; 81) e; 82) Disc.; 83) Disc.; 84) d; 85) c; 86) Disc.; 87) c; 88) Disc.; 
89) a; 90) e; 91) Disc.; 92) e; 93) e; 94) Disc.; 95) disc.; 96) b; 97) Disc. 
 
 
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RESOLUÇÕES 
 
 
1) (ITA 1971) Se f é uma função real de variável real dada por 
  2f x x ,
 então 
 2 2f x y
 é igual a: 
a) 
        f f x f y 2f x f y 
 para todo x e y. 
b) 
        2f x 2f f x f x f y 
 para todo x e y. 
c) 
       2 2f x f y f x f y 
 para todo x e y. 
d) 
         f f x f f y 2f x f y 
 para todo x e y. 
e) 
        2f f x 2f y 2f x f y 
 para todo x e y. 
 
RESOLUÇÃO: d 
   
2
2 2 2 2 4 4 2 2f x y x y x y 2x y     
 
      
2
2 2 4f f x f x x x  
 
           2 2f x y f f x f f y 2f x f y    
 
 
 
2) (ITA 1972) Seja 
  2f x x px p  
 uma função real de variável real. Os valores de p 
para os quais 
 f x 0
 possua raiz dupla positiva são: 
a) 
0 p 4. 
 b) 
p 4
 c) 
p 0.
 
d) 
 f x 0
 não pode ter raiz dupla positiva. 
e) nenhuma das respostas anteriores. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Para que a função quadrática tenha raiz dupla, seu discriminante 

 deve ser nulo. 
2p 4 1 p 0 p 0 p 4         
 
Para que a raiz dupla seja positiva, a soma das raízes deve ser positiva. Assim, temos: 
1
p
0 p 0
2 1
     

 
Logo, não há valor de p que satisfaça as duas condições, o que implica que 
 f x 0
 
não pode ter raiz dupla positiva. 
 
 
3) (ITA 1973) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função 
  ktX t C e , 
 onde 
 X t
 é um número de bactérias no tempo 
t 0;
 C e k são 
constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número 
inicial de bactérias 
 X 0 ,
 duplica em 4 horas, quantas bactérias se pode esperar no fim 
de 6 horas? 
a) 3 vezes o número inicial. 
 
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b) 2,5 vezes o número inicial. 
c) 
2 2
 vezes o número inicial. 
d) 32 2 vezes o número inicial. 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Sabendo que o número inicial de bactérias 
 X 0 ,
 duplica em 4 horas, então 
   X 4 2 X 0 . 
 
Como 
  ktX t C e , 
 então 
  k 0X 0 C e C  
 
 
1
k 4 4k k 4X 4 C e 2 C e 2 e 2        
No fim de 6 horas, teremos: 
     
6
1 3
6
k 6 k 34 2X 6 C e C e C 2 C 2 2 2 C          
Logo, o número de bactérias após 6 horas é 32 2 vezes o número inicial. 
 
 
4) (ITA 1973) A lei de decomposição do radium no tempo 
t 0,
 é dada por 
  ktM t C e , 
 onde 
 M t
 é a quantidade de radium no tempo t, C e k são constantes 
positivas e e é a base do logaritmo neperiano. Se a metade da quantidade primitiva 
 M 0 ,
 desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos? 
a) 11 100 da quantidade inicial. 
b) 61 2 da quantidade inicial. 
c) 161 2 da quantidade inicial. 
d) 1161 2 da quantidade inicial. 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO:d 
Sabendo que a metade da quantidade primitiva 
 M 0 ,
 desaparece em 1600 anos, então 
   
   M 0 M 0
M 1600 M 0 .
2 2
  
 
Como 
  ktM t C e , 
 então 
  k 0M 0 C e C   
 
 
1
k1600 1600k 1 100k 16
C
M 1600 C e e 2 e 2
2

          
 
A quantidade de radium, após 100 anos, é 
 
1
k100 16M 100 C e C 2 .

     
Logo, a quantidade perdida em 100 anos é 
 
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     
1 1
16 16M 0 M 100 C C 2 C 1 2 ,
 
      
 
ou seja, é 1161 2 da quantidade inicial. 
 
 
5) (ITA 1974) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto dos números 
reais. Sejam as funções 
f : A B
 
  y f x ,
 
g : D B
 
  x g t ,
 e a função 
composta 
f g : E K
 (e, portanto, 
     z f g t f g t . 
 Então, os conjuntos E e K 
são tais que: 
a) 
E A
 e 
K D
 
b) 
E B
 e 
K A
 
c) 
E D,
 
D E
 e 
K B
 
d) 
E D
 e 
K B
 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Para que a função 
f g : E K
 esteja bem definida, devemos ter 
     f g t f g t
 
gt D E D  
 
Observe que não é possível aplicar 
f g
 em um t que não pertença a D, pois 
 g t
 não 
estaria definido. 
 
f g fg t D Im D  
 
   ff g t Im B K  
 
Observe que 
f g fIm Im B, 
 mas, para garantir que a imagem de 
f g
 esteja contida 
no seu contradomínio K, é preciso que K contenha B. 
 
 
6) (ITA 1974) O conjunto de todos os valores de x para os quais existe um y real de 
modo que 2
10 10 2
7 2x x
y log log
3 4x
   
   
   
 é dado por: 
a) intervalo aberto A, de extremos 
2
 e 
2.
 
b) intervalo aberto A, de extremos 
3
 e 
3.
 
c) intervalo aberto A, de extremos 3
2

 e 3
.
2
 
d) intervalo aberto A, de extremos 3
2

 e 1. 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: c 
 
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Para que um logaritmo esteja bem definido é preciso que sua base seja positiva e 
diferente de 1, e o logaritmando seja positivo. Assim, para o logaritmando mais interno, 
temos: 
2
2
7 2x x
0
3 4x
 


 
O numerador tem raízes 
1 2 2 
 e o denominador raízes 3
.
2

 Dispondo essas raízes 
sobre a reta real e aplicando o método dos intervalos, temos: 
 
3 3
x 1 2 2 x x 1 2 2
2 2
           
 (*) 
Como 2
10 2
7 2x x
log
3 4x
  
 
 
 também é um logaritmando, temos: 
2 2 2
0
10 2 2 2
2
2
7 2x x 7 2x x 7 2x x
log 0 10 1 1 0
3 4x 3 4x 3 4x
4 2x 3x
0
3 4x
      
       
   
 
 

 
O numerador tem discriminante negativo, então o numerador é sempre positivo. Assim, 
temos: 
2
2
2
4 2x 3x 3 3
0 3 4x 0 x
2 23 4x
 
       

 (**) 
Fazendo a interseção dos intervalos (*) e (**), temos: 
3 3 3 3
x | x , .
2 2 2 2
   
        
   
 
 
 
7) (ITA 1975) Seja 
 
x x
x x
e e
f x
e e





 definida em 
.
 Se g for a função inversa de f, o 
valor de 
7
g
25e
 
 
  será: 
a) 
4
3
 b) 
7e
25
 c) 
e
25
log
7
 
 
 
 d) 
2
7
25e
 
 
  e) NDA 
 
RESOLUÇÃO: a 
Se g for a função inversa de f, então 
   f x y g y x.  
 
 
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 
7 7
g x f x
25 25
 
   
 
 
 
x
x x 2xx
2x 2x 2x
x x 2xx
x
1
e
e e e 1 7ef x 25e 25 7e 7 18e 32
1 25e e e 1e
e



 
         
 
 
2x
e e e e
16 16 1 16 16 4
e 2x log x log log log
9 9 2 9 9 3
   
          
   
 
e
7 4
g log
25 3
e
7 4 4
g log e e
25 3 3
 
 
       
 
 
 
 
8) (ITA 1976) Considere 
   g : a,b,c a,b,c
 uma função tal que 
 g a b
 e 
 g b a.
 Então, temos: 
a) a equação 
 g x x
 tem solução se, e somente se, g é injetora. 
b) g é injetora, mas não é sobrejetora. 
c) g é sobrejetora, mas não é injetora. 
d) se g não é sobrejetora, então 
  g g x x
 para todo x em 
 a,b,c .
 
e) n.d.r.a. 
 
RESOLUÇÃO: a 
Como a, b e c são elementos de um conjunto, vamos assumir que eles são distintos dois 
a dois. 
O valor de 
 g c
 pode ser a, b ou c. Vamos analisar as características da função em cada 
um dos casos. 
1º) 
 g c a
 
   g b g c a, 
 o que implica que g não é injetora 
c
 não é imagem de ninguém, o que implica g não é sobrejetora 
2º) 
 g c b
 
   g a g c b, 
 o que implica que g não é injetora 
c
 não é imagem de ninguém, o que implica g não é sobrejetora 
3º) 
 g c c
 
Nesse caso a função é bijetora, pois todos os elementos do contradomínio são imagem 
de algum elemento do domínio (sobrejetora) e cada elemento é imagem de um único 
elemento do domínio (injetora). 
Observe agora que, para que a equação 
 g x x
 tenha solução, devemos ter 
 g c c,
 
o que implica g é injetora. Por outro lado, se g é injetora, então 
 g c c,
 o que implica 
que a equação 
 g x x
 tem solução. 
Assim, a equação 
 g x x
 tem solução se, e somente se, g é injetora. 
Note ainda que 
    g g a g b a 
 e 
    g g b g a b, 
 mas o valor de 
    g g c g c c 
 somente no 3º caso e g não é sobrejetora nos 1º e 2º casos. 
 
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9) (ITA 1976) Seja A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se 
f : A B
 e 
g : B A
 são funções tais que 
  f g x x,
 para todo x em B e 
  g f x x,
 para 
todo x em A, então, temos: 
a) existe 
ox
 em B, tal que 
  of y x ,
 para todo y em A. 
b) existe a função inversa de f. 
c) existe 
ox
 e 
1x
 em A, tais que 
o 1x x
 e 
   o 1f x f x .
 
d) existe a em B, tal que 
     g f g a g a .
 
e) n.d.r.a. 
 
RESOLUÇÃO: b 
Seja 
 f x y,
 com 
x A
 e 
y B,
 então 
    x A g f x x g y x    
 
    y B f g y y f x y    
 
Observe então que 
   f x y g y x,  
 o que implica que g é a função inversa de f e, 
consequentemente, f e g são bijetoras. Logo, a alternativa b) é a correta. 
A alternativa a) é falsa, pois se 
ox
 é imagem de todos os elementos do domínio então f 
não é injetora e, consequentemente, não é bijetora. 
A alternativa c) é falsa, pois a expressão apresentada implica que f não é injetora e, 
portanto, não é bijetora. 
A alternativa d) é falsa, pois, para todo 
a B,
 
        f g a a g f g a g a .  
 
 
 
10) (ITA 1976) Seja A uma função real de variável real x, tal que: 
 2x xe 2e A x 1 0,   
 para todo número real x. 
Nestas condições, temos: 
a) 
 A 0 1,
 
   A x A x , 
 para todo número real x e não existe um número real 
x 0,
 satisfazendo a relação 
 A x 1.
 
b) 
 A 0 1
 e 
 A x 0,
 para algum número real x. 
c) 
 A 1 0
 e 
   A x A x , 
 para todo número real x. 
d) não existe um número real x, não nulo, satisfazendo a relação 
 A x 1
 e não existe 
um número real x, satisfazendo   A x A x . 
 
e) n.d.r.a. 
 
RESOLUÇÃO: a 
     
2x
2x x x 2x
x
e 1
e 2e A x 1 0 2e A x e 1 A x
2e

         
 
 
2 0
0
e 1 1 1
A 0 1
2 12e
  
  

 
 
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   
2x 2
2x x x x
x
e 1
A x 1 e 2e 1 0 e 1 0 e 1 x 0
2e

            
 
 
2x
2x
x
e 1
e 0, x A x 0, x
2e

       
 
 
 
 
2 x 2x x 2x2x
x 2x x
x
1
1
e 1 1 e e 1 eeA x A x , x
2 22e e 2e
e
 


  
         
Logo, a alternativa correta é a). 
 
 
11) (ITA 1976) Considere a seguinte função real de variável real 
 
x x
x x
e e
M x .
e e





 
Então 
a) Para todo 
x 1,
 ocorre 
 M x 1.
 
b) Para todo número real x ocorrem, simultaneamente, 
   M x M x  
 e 
 0 M x 1. 
 
c) Existem um a (número real positivo) e um b (número real negativo), tais que 
   M a M b .
 
d) 
 M x 0,
 somente quando 
x 0
 e 
 M x 0
 apenas quando 
x 0.
 
e) n.d.r.a. 
 
RESOLUÇÃO: e 
a) INCORRETA, pois 
 M x
 é sempre menor do que 1. 
 
x
x x 2x 2xx
x x 2x 2x 2xx
x
1
e
e e e 1 e 1 2 2eM x 1 1, x
1e e e 1 e 1 e 1e
e



   
        
   
 
b) INCORRETA, pois 
 M x
 é negativo sempre que x é negativo. 
 
 
 
 
x x x x
x xx x
e e e e
M x M x
e ee e
   
  
 
    

 
Se 
 
2x
2x 0 2x
2x
e 1
x 0 2x 0 e e 1 e 1 0 M x 0
e 1

           

 
Se 
 
2x
2x 0 2x
2x
e 1
x 0 2x 0 e e 1 e 1 0 M x 0
e 1

           

 
c) INCORRETA, conforme mostrado a seguir. 
       a 0 b 0 M a 0 M b 0 M b 0 M a         
 
d) INCORRETA, pois 
 M x 0
 se, e somente se, 
x 0.
 
 
2x
2x 2x 0
2x
e 1
M x 0 e 1 0 e 1 e 2x 0 x 0
e 1

           

 
Logo, a alternativa correta é e). 
 
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12) (ITA 1977) Considere a função 
  2F x x 1 
 definida em . Se 
F F
 representa 
a função composta de F com F, analise as afirmações abaixo: 
(1) 
   2F F x x x 1 
, para todo x real. 
(2) Não existe número real y, tal que 
  F F y y.
 
(3) 
FoF
 é uma função injetora. 
(4) 
  F F x 0,
 apenas para dois valores reais de x. 
O número de afirmativas VERDADEIRAS é: 
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 
 
RESOLUÇÃO: e 
(1) FALSA 
       
2
2 2 4 2 2 2FoF x F F x F x 1 x 1 1 x 2x 1 1 x x 2           
 
(2) FALSA 
   2 2FoF y y y 2 y  
, que é satisfeita, por exemplo, para y = 0. 
(3) FALSA 
         2 2 2 2FoF x x x 2 x x 2 FoF x       
 
Logo, 
FoF
 é par e portanto não é injetora. 
(4) FALSA 
   2 2FoF x x x 2 0 x 0 ou x 2      
 
 
 
13) (ITA 1977) Supondo que 
a b,
 onde a e b são constantes reais, considere a função 
   H x a b a x  
 definida no intervalo fechado 
 0,1 .
 Podemos assegurar que: 
a) H não é uma função injetora. 
b) Dado qualquer 
y,
 sempre existe um 
x
 em 
 0,1
 satisfazendo 
 H x y.
 
c) Para cada 
y,
 com 
a y b, 
 corresponde um único real 
x,
 com 
0 x 1, 
 tal que 
 H x y.
 
d) Não existe uma função real G, definida no intervalo fechado 
 a,b ,
 satisfazendo a 
relação 
  G H x x
 para cada x em 
 0,1 .
 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: c 
Sabendo que 
a b b a 0,   
 então 
   H x a b a x  
 é uma função do 1º grau 
crescente de domínio 
 HD 0,1
 e imagem 
      HIm H 0 ,H 1 a,b . 
 Assim, 
 H x
 
é uma bijeção de 
 0,1
 em 
 a,b .
 
a) INCORRETA, pois 
 H x
 é bijetora e, portanto, injetora. 
b) INCORRETA, pois a imagem de 
 H x
 é o intervalor fechado 
 a,b .
 
c) CORRETA, pois 
 H x
 é uma bijeção de 
 0,1
 em 
 a,b .
 
 
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d) INCORRETA, pois se 
1G F ,
 então 
  G F x x
 e 1F existe pois F é bijetora. 
 
 
14) (ITA 1978) Sejam o conjunto dos números reais e f uma função de em 
.
 
Sejam 
B
 e o conjunto 
    1f B x ; f x B ,   
 então: 
a) 
  1f f B B 
 
b) 
  1f f B B 
 se f é injetora. 
c) 
  1f f B B 
 
d) 
  1f f B B 
 se f é sobrejetora 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: a 
Seja 
      1 1o ox f B f x B f f B B,
     
 então a alternativa a) está correta. 
O diagrama seguinte representa uma situação em que f é injetora e 
  1f f B B. 
 
Logo, as alternativas b) e c) são incorretas. 
 
Sejam 
ox B
 e 
1x B
 tais que 
   o 1f x f x ,
 então 
     o 1f x f x f B . 
 
          1 1o 1f f B x ; f x f B x ,x f f B
     
 
Como 
1x B,
 então 
  1f f B B. 
 Logo, a alternativa d) é incorreta. 
Observe essa situação no diagrama seguinte. 
 
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Observe que, da forma como 1f  está definida ela não é necessariamente uma função, 
como nos exemplos apresentados nos dois diagramas. 
 
 
15) (ITA 1978) Seja 
 f x
 uma função real de variável real. Se para todo x no domínio 
de f temos 
   f x f x , 
 dizemos que a função é par; se, no entanto, temos 
   f x f x ,  
 dizemos que a função é ímpar. Com respeito à função 
  2
eg x log sen x 1 sen x ,
    
 podemos afirmar que: 
a) está definida apenas para 
x 0.
 
b) é uma função que não é par nem ímpar. 
c) é uma função par. 
d) é uma função ímpar. 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: d 
Sabemos que 21 sen x 1  para todo 
x ,
 então a raiz quadrada 21 sen x está 
sempre bem definida e 
2sen x 1 sen x 0,  
 o que implica que o logaritmando é 
sempre positivo. Logo, o domínio da função g são todos os números reais e a alternativa 
a) é incorreta. 
Vamos agora analisar a paridade da função g. 
       22
e eg x log sen x 1 sen x log sen x 1 sen x
                
 
2
2 2
e e
2
sen x 1 sen x
log sen x 1 sen x log sen x 1 sen x
sen x 1 sen x
               
   
 
 2 2
e e
2 2
1 sen x sen x 1
log log
sen x 1 sen x sen x 1 sen x
    
     
       
 
     
1
2 2
e elog sen x 1 sen x log sen x 1 sen x g x

        
 
Logo, g é ímpar, as alternativas b) e c) são incorretas e a d) é correta. 
 
 
 
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16) (ITA 1978) Qual das funções definidas abaixo é bijetora? Obs. 
 x ; x 0   
 
e 
 a,b
 é o intervalo fechado de extremos a e b. 
a) 
f : 
 tal que 
  2f x x .
 
b) 
f :  
 tal que 
 f x x 1. 
 
c) 
   f : 1,3 2,4
 tal que 
 f x x 1. 
 
d) 
 f : 0,2 
 tal que 
 f x sen x.
 
e) n.d.a. 
 
RESOLUÇÃO: c 
a) f não é bijetora 
    2f x f x x ,  
 então f não é injetora e, portanto, não é sobrejetora; 
b) f não é bijetora 
        ff f 0, 1, Im 1,
       
 
Logo, f não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora. 
c) f é bijetora 
f é uma função do 1º grau, então é estritamente crescente o que implica que f é injetora. 
           ff 1,3 f 1 ,f 3 2,4 Im 2,4   
 
Logo, f é sobrejetora e, portanto, bijetora. 
d) f não é bijetora 
   f x sen x 1,1    
 f não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora 
 
 
17) (ITA 1979) Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é ímpar; 
     f x y f x f y ;  
 e 
 f x 0,
 se 
x 0.
 Definindo 
 
   f x f 1
g x ,
x


 se 
x 0.
 
Sendo n um número natural, podemos afirmar que: 
a) f é não-decrescente e g é uma função ímpar. 
b) f é não-decrescente e g é uma função par. 
c) f é não-decrescente e 
   0 g n f 1 . 
 
d) f não é monótona e 
   0 g n f 1 . 
 
e) não é possível garantir que 
   0 g n f 1 . 
 
 
RESOLUÇÃO: c 
Como f é impar, então 
   f x f x ,  
 
x . 
 
 1 2 1 2 1 2x x x x 0 f x x 0      
 
             1 2 1 2 1 2 1 2f x x f x f x f x f x 0 f x f x        
 
Logo, f é não-decrescente. 
Como 
     f x y f x f y ,  
 então, sendo n um número natural, tem-se 
 f n n f (1) 
. 
Isso pode ser verificado pelo P.I.F., notando que: 
1º) 
 f 0 0
 
 
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f é ímpar 
     f 0 f 0 f 0 0   
 
2º) Hip. de Indução: 
   f k k f 1 , k  
 
3º) 
             f k 1 f k f 1 k f 1 f 1 k 1 f 1       
 
Logo, pelo P.I.F., 
 f n n f (1). 
 
 
       
 
f n f 1 n f 1 f 1 n 1
g n f 1
n n n
   
   
 
   0 g n f 1  
 
 
 
18) (ITA 1980) Sejam 
A
 e 
B
 subconjuntos não vazios de e 
f A B, 
 
g B A 
 
duas funções tais que 
Bfog I ,
 onde 
BI
 é a função identidade em B. Então podemos 
afirmar que: 
a) 
f
 é sobrejetora. 
b) 
f
 é injetora. 
c) 
f
 é bijetora. 
d) 
g
 é injetora e par. 
e) 
g
 é bijetora e ímpar. 
 
RESOLUÇÃO: a 
Como 
g B A 
 é uma função, então 
y B x A   
 tal que 
 x g y
. 
Logo, 
y B 
, temos 
         By I y fog y f g y f x   
, ou seja, todo elemento 
y B
 é imagem pela função 
f
 de algum 
x A
. Isso significa de 
f A B 
 é 
sobrejetora. 
Isso permite concluir que a alternativa (a) está correta. Vamos agora analisar as outras 
alternativas. 
A seguir, vamos apresentar um contraexemplo que mostra que as outras alternativas 
estão erradas. 
   
      
    
      
      
A 0,1,2 e B 0,1
f 0,1 , 1,0 , 2,1 fog 0 f g 0 f 1 0
g 0,1 , 1,0 fog 1 f g 1 f 0 1
 
     
 
    
 
Observe que, nesse contraexemplo, as condições do enunciado são satisfeitas, mas 
f
 
não é injetora e 
g
 não é para nem ímpar, além de não ser sobrejetora. 
Note que, se 
f
 for bijetora, 
g
 será a função inversa de 
f
, mas, como mostrado acima, 
isso não é necessário para que sejam satisfeitas as condições do enunciado. 
 
 
19) (ITA 1980) No sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, a curva 
2y ax bx c  
 passa pelos pontos 
 1,1
, 
 2,m
 e 
 m,2
, onde m é um número real 
diferente de 2. Sobre esta curva podemos afirmar que: 
a) Ela admite um mínimo para todo m tal que 
1 3
m
2 2
 
. 
b) Ela admite um mínimo para todo m tal que 
0 m 1 
. 
 
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c) Ela admite um máximo para todo m tal que 
1 1
m
2 2
  
. 
d) Ela admite um máximo para todo m tal que 
1 3
m
2 2
 
. 
e) Ela admite um máximo para todo m tal que 
0 m 1 
. 
 
RESOLUÇÃO: b 
Seja 
  2f x y ax bx c   
, então 
  2f 1 a 1 b 1 c 1 a b c 1         
 
  2f 2 a 2 b 2 c m 4a 2b c m         
 
  2 2f m a m b m c 2 m a mb c 2         
 
   4a 2b c a b c m 1 3a b m 1           
 
       
      
2 2m a mb c 4a 2b c 2 m m 4 a m 2 b 2 m
m 2 m 2 a m 2 b m 2
              
       
 
 m 2 m 2 a b 1     
 
         mm 2 a b 3a b 1 m 1 m 1 a m a
m 1
             

 
Observando que 
a 0 0 m 1   
, então a função admite ponto de mínimo para todo 
m
 tal que 
0 m 1 
. 
 
 
20) (ITA 1982) Seja 
f : 
 definida por 
 
x a
, se x b
f x .x b
b, se x b

 
 
   
 Se 
  f f x x
 
para todo x real e 
 f 0 2, 
 então 
a) 
ab 2 
 b) 
ab 1 
 c) 
ab 0
 d) 
ab 1
 e) 
ab 2
 
 
RESOLUÇÃO: a 
Sejam 
x b 
 e 
x a
b,
x b

 

 então 
  
   
   2
x a
a
x a a 1 x a b 1x bf f x x f x x x
x ax b b 1 x a bb
x b


            
    

 
       2 2a 1 x a b 1 b 1 x a b x       
 
Fazendo identidade de polinômios, temos: 
 
2 2
b 1 0 b 1
a 1 a b b 1 b 1
a b 1 0
    

       

 
 
Assim, temos: 
 
x a
, se x 1
f x .x 1
1, se x 1


 
 
 
 
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Note que, temos 
    f f 1 f 1 1. 
 
   
0 a
f 0 2 f 0 2 a 2
0 1

       

 
 
x 2
, se x 1
f x x 1
1, se x 1


  
 
 
 ab 2 1 2     
 
 
 
21) (ITA 1983) Dadas as funções 
 2
2xf x log x
 e 
  2g x 2sen x 3sen x 1  
 
definidas para 
x 0
 e 
1
x ,
2

 o conjunto 
       *A x : g f x 0 f x 0,2     
 
é dado por 
a)  52 6 6 5A 4 , 4 , 4
  
   
 
b)  52 6 6 5A 2 , 2 , 2
  
   
 
c) 
 2 6 6 5A 4 , 4 , 4   
 
d)  2 2 52 6 6 5A 4 , 4 , 4
  
   
 
e)  52 6 6 5A 2 , 4 , 2
  
   
 
 
RESOLUÇÃO: a 
Seja 
 f x y,
 então 
        2g f x 0 g f x g y 0 2sen y 3sen y 1 0       
 
 k
sen y 1 y 2k , k y
2 2
1 5
sen y y k 1 , k y y
2 6 6 6
 
       

  
          
 
      
 
1
2
1
22 2
2x 2 x
4x
4x 4x
f x log x f x f x log x log x
1
2 log x log x
2
     
   
 
   
2
12 22 2 2 2
4xf x log x 4x x 4 x 4 x x 4
2
   
          
 
   
6
16 6 6 6 6 6
4xf x log x 4x x 4 x 4 x x 4
6
    
          
 
 
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   
5 5 5 6 5 5
15 6 6 6 6 6 6 5
4x
5
f x log x 4x x 4 x 4 x x 4
6
     
           
 
 52 6 6 5A 4 , 4 , 4
  
    
 
 
 
22) (ITA 1983) Sejam três funções 
f ,u,v : 
 tais que 
 
 
1 1
f x f x
x f x
 
   
 
 
para todo 
x
 não nulo e 
     2 2u x v x 1 
 para todo 
x
 real. Sabendo-se que 
0x
 é 
um número real tal que 
   0 0u x v x 0 
 e 
o o
1 1
f 2,
u(x ) v(x )
 
  
 
 o valor de 
o
o
u(x )
f
v(x )
 
 
 
 é: 
a) 
1
 b) 
1
 c) 
2
 d) 
1
2
 e)2
 
 
RESOLUÇÃO: b 
   
     
   
2 2
o o
o o o o
u x v x1 1
f 2 f 2
u x v x u x v x
  
             
 
 
 
 
 
   
 
o o o
oo o o
o
u x v x u x 1
f 2 f 2
u xv x u x v x
v x
   
         
  
 
 
 
Como 
 
 
1 1
f x f x
x f x
 
   
 
, vem: 
 
   
 
 
   
 
o o
o oo o
o o
u x u x1 1
f f 2
v x v xu x u x
f
v x v x
  
             
     
    
 
Fazendo 
o
o
u(x )
f y,
v(x )
 
 
 
 temos: 
21y 2 y 2y 1 0 y 1
y
       
 
Logo, 
o
o
u(x )
f 1
v(x )
 
 
 
. 
 
 
23) (ITA 1984) Seja 
 
2x 4f x e ,
 onde 
x
 e é o conjunto dos números reais. 
Um subconjunto D de tal que 
f : D
 é uma função injetora é: 
a) 
 D x : x 2 ou x 0   
 
b) 
 D x : x 2 ou x 2    
 
 
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c) 
D 
 
d) 
 D x : 2 x 2    
 
e) 
 D x : x 2  
 
 
RESOLUÇÃO: e 
Inicialmente, vamos identificar o domínio de validade de   2x 4f x e . 
2x 4 0 x 2 ou x 2     
 
As funções 
xy e
 e 
y x,
 com 
x 0,
 são injetoras. A composição de funções 
injetoras é injetora. Assim, para que   2x 4f x e  seja injetora, devemos escolher D 
de forma que 
2y x 4 
 seja injetora. Os intervalos 
x 2 
 e 
x 2
 estão em ramos 
distintos da parábola, basta escolher um dos dois intervalos. Logo, uma opção de 
conjunto D para que a função seja injetora é 
 D x : x 2 .  
 
 
 
24) (ITA 1985) Considere as seguintes funções: 
 
7
f x x
2
 
 e 
  2
1
g x x
4
 
 
definidas para todo x real. Então, a respeito da solução da inequação 
     g f x g f x ,
 podemos afirmar que: 
a) Nenhum valor de x real é solução. 
b) Se 
x 3
 então x é solução. 
c) Se 
7
x
2

 então x é solução. 
d) Se 
x 4
 então x é solução. 
e) Se 
3 x 4 
 então x é solução. 
 
RESOLUÇÃO: e 
        g f x g f x g f x 0  
 
Seja 
 f x y,
 então 
        2
1 1 1
g f x g f x g y 0 y 0 y
4 2 2
         
 
 
7 1 1 1 7 1
y f x x y x 3 x 4
2 2 2 2 2 2
             
 
Logo, se 
3 x 4, 
 então x é solução. 
 
 
25) (ITA 1985) Dadas as sentenças: 
I – Sejam 
f : X Y
 e 
g : Y X
 duas funções satisfazendo 
  g f x x,
 para todo 
x X.
 Então, f é injetiva, mas g não é necessariamente sobrejetiva. 
II – Seja 
f : X Y
 uma função injetiva. Então, 
     f A f B f A B ,  
 onde A e B 
são dois subconjuntos de X. 
III – Seja 
f : X Y
 uma função injetiva. Então, para cada subconjunto A de X, 
    CCf A f A
 onde 
 CA x X | x A  
 e 
     
C
f A x Y | x f A .  
 
 
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podemos afirmar que está (estão) correta(s): 
a) As sentenças I e II. b) As sentenças II e III. 
c) Apenas a sentença I. d) As sentenças I e III. 
e) Todas as sentenças. 
 
RESOLUÇÃO: b 
I – INCORRETA 
         1 2 1 1 2 2 1 2x x g f x x x g f x f x f x       
 f é injetiva 
Seja 
      0 0 0 0x X y f x Y tal que g y g f x x       
 g é sobrejetiva 
II – CORRETA 
Sendo f é injetiva, então se 
0 fy Im
, existe um único 
0x X
 tal que 
 0 0f x y .
 
1º) 
       
0 0 0y f A f B y f A y f B     
 
   1 2 1 0 2 0x A x B tais que f x y f x y      
 
Como f é injetiva, então 
   1 2 1 2f x f x x x .  
 
     1 2 0 1 2x x A B y f x f x f A B        
 
     f A f B f A B   
 
2º) 
   0 0 0 0y f A B x A B tal que y f x     
 
       0 0 0 0 0 0 0x A B x A x B y f x f A y f x f B           
 
   
0y f A f B  
 
     f A B f A f B   
 
Logo, 
     f A B f A f B .  
 
III – CORRETA 
   C C0 0 0 0y f A x A tal que y f x   
 
      
CC
0 0 0 0 0x A x A y f x f A y f A       
 
    CCf A f A 
 
Poderíamos também usar o resultado demonstrado em II. 
Como f é injetiva, então 
       C Cf A f A f A A f     
 
      CC0 0 0y f A y f A y f A    
 
    CCf A f A 
 
 
 
26) (ITA 1986) Sejam a, b, c números reais dados com 
a 0.
 Suponha que 
1x
 e 
2x
 
sejam as raízes da função 
2y ax bx c  
 e 
1 2x x .
 Sejam 
3
b
x
2a
 
 e 
2
4
2b b 4ac
x .
4a
 
 
 Sobre o sinal de y podemos afirmar que: 
a) 
y 0,
 
x , 
 
1 3x x x 
 
b) 
y 0,
 
x , 
 
4 2x x x 
 
 
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c) 
y 0,
 
x , 
 
1 4x x x 
 
d) 
y 0,
 
x , 
 
4x x
 
e) 
y 0,
 
x , 
 
3x x
 
 
RESOLUÇÃO: c 
Como 
a 0,
 2b 4ac 0  e 
1 2x x ,
 então 2
1
b b 4ac
x
2a
  

 e 
2
2
b b 4ac
x
2a
  

. 
Além disso, temos 
1 3 2x x x , 
 pois 
3x
 é a média das raízes. 
2 2
4
2b b 4ac b b 4ac
x
4a 2a 4a
  
    
 
Como 2 2b 4ac b 4ac
0
4a 2a
 
   
, então 
3 4 2x x x 
. 
Como a parábola possui concavidade voltada para baixo, então 
y 0
 quando 
1 4x x x 
. 
A figura a seguir ilustra a situação do problema. 
 
 
 
27) (ITA 1986) Seja 
f : 
 uma função que satisfaz à seguinte propriedade: 
     f x y f x f y ,  
 
x, y . 
 Se 
    2210g x f log x 1 
 então podemos 
afirmar que 
a) O domínio de g é e 
   g 0 f 1 .
 
b) g não está definida para os reais negativos e 
    210g x 2f log x 1 , 
 para 
x 0.
 
c) 
 g 0 0
 e 
    210g x 2f log x 1 , 
 
x . 
 
d) 
   g 0 f 0
 e g é injetora. 
 
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e) 
 g 0 1 
 e 
    
2
1
2
10g x f log x 1 , x .
 
     
 
 
RESOLUÇÃO: c 
a) INCORRETA 
Como 
2x 1 0, x ,   
 e f está definida para todos os reais, então o logaritmando é 
sempre positivo e o domínio de g é 
.
 
        2210 10g 0 f log 0 1 f log 1 f 0   
 
b) INCORRETA, pois 
gD .
 
c) CORRETA 
     f x y f x f y  
 
           x y 0 f 0 0 f 0 f 0 f 0 2f 0 f 0 0         
 
        2210 10g 0 f log 0 1 f log 1 f 0 0    
 
         x y f x x f x f x f 2x 2f x      
 
          22 2 210 10 10g x f log x 1 f 2log x 1 2f log x 1     
 
d) INCORRETA 
g não é injetora, pois é uma função par 
          2 22 210 10g x f log x 1 f log x 1 g x      
 
e) INCORRETA 
 g 0 0,
 conforme mostrado em c). 
          
         
2 2 21
2 2 2
10 10 10
22
22
10
g x f log x 1 f log x 1 f log x 1
g x
f log x 1 g x 4g x
2
                   
          
 
Observe que a expressão acima só é verdadeira para as funções constantes 
 g x 0
 ou 
 g x 4,
 que não atendem