Oscilações

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Unidade II
2. Oscilações
Professor Dr. Edalmy Oliveira de Almeida 
Governo do Estado do Rio Grande do NorteSecretaria de Estado da Educação e da Cultura - SEECUNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE - UERNPró-Reitoria de Ensino de Graduação – PROEGHome Page: http://www.uern.br E-mail: proeg@uern.brUNIDADE: Campus Avançado de Natal
Sumario
Oscilações:
1. Movimento Periódico;
2. Movimento Harmônico Simples;
3. Energia no Movimento Harmônico Simples;
4. Movimento Harmônico Simples Angular;
5. Pendulo Simples;
6. Pêndulo físico;
7. Oscilações amortecidos;
8. Oscilações Forçadas e Ressonância.
1. Movimento Periódico:
O movimento periódico é aquele que se repete em um ciclo definido. Ele ocorrequando o corpo possui uma posição de equilíbrio estável e uma força restauradora que atuasobre o corpo quando ele é deslocado da sua posição de equilíbrio. O período T é o temponecessário para completar um ciclo. A frequência f (Eq. 01) é o número de ciclo por unidade detempo. A frequência angular W (Eq. 02) é 2π vezes a frequência.
fTTf
11 
Tfw
 22 
Figura 01 Exemplo de um movimento periódico. Quando o corpo é deslocado de sua posiçãode equilíbrio em x = 0, a mola exerce uma força restauradora que o leva de volta à posição deequilíbrio.
11/111  sscicloHzhertz
Eq. 01
Eq. 02
Exemplo 1
Um transdutor ultra-sônico (uma espécie de alto-falante), usado para diagnosticaexame médico, oscila com uma frequência igual a 6,7 MHz = 6,7 x 106 Hz. Quanto dura umaoscilação e qual é a frequência angular?
   
sradxw
scicloxcicloradw
Hzxw
fw
/102,4
/107,6/2
107,62
2
7
6
6






Dados:f = 6,7 x 106 HzT = ?W = ?
sT
sxT
sx
T
HzxT
fT
15,0 105,1
1107,6
1
107,6
1
1
7
6
6






2. Movimento Harmônico Simples:
Quando a força resultante for uma força restauradora Fx (Eq. 03) diretamenteproporcional ao deslocamento x, o movimento denomina-se movimento harmônico simples(MHS) Eq. 04.
kxF 
m
kx
m
Fa xx 
simples) harmônico (movimento m
kw 
Em muitos casos, essa condições é satisfeita se o deslocamento a partir do equilíbriofor pequeno. A frequência angular (Eq. 05), a frequência e o período (Eq. 06) em MHS nãodependem da amplitude, apenas da massa m e da constante da mola k. (ax = -w2x)
k
m
fT
m
kwf


21
2
1
2


Eq. 03
Eq. 04
Eq. 05
Eq. 06
  wtAx cos
O deslocamento, a velocidade e a aceleração em MHS são funções senoidais dotempo a amplitude A e o ângulo de fase Φ (Eq. 07) da oscilação são determinada pela posiçãoinicial e velocidade do corpo.
Eq. 07
Figura 02 Gráfico de x em função de t em um movimento harmônico simples. No casomostrado ϕ = 0.
A constante ϕ indicada na Eq. 07 denomina-se ângulo de fase. Ela nos informa emque ponto do ciclo o movimento se encontrava em t = 0. Vamos designar por x0 a posição em t= 0. Substituindo t = 0 e x = x0 na Eq. 07, obtemos
cos0 Ax  Eq. 08
Achamos a velocidade vx e a aceleração ax em função do tempo para um movimento harmônico simples derivando a Eq. 07 em relação ao tempo:
)cos(
)(
22
2 



wtAwdt
xd
dt
dva
wtwAsendt
dxv
xx
x Velocidade do MHS
Aceleração do MHS
Eq. 09
Eq. 10
Conhecendo-se a posição inicial x0 e a velocidade inicial v0x de um corpo oscilante,podemos determinar a amplitude A e a fase ϕ. Veja como fazer isso. A velocidade inicial v0x é avelocidade no tempo t = 0; substituindo vx = v0x e t = 0 na Eq. 09, temos
wAsenv x 0 Eq. 11
Para achar ϕ, divida a Eq. 11 pela Eq. 08. Essa divisão elimina A, e a seguir podemosexplicitar ϕ:




0
0
0
0 cos
wx
varctg
wtgA
wAsen
x
v
x
x


Ângulo de fase no MHS Eq. 12
Elevando ao quadrado a equação 08; divida a Eq. 11 por w, eleve o resultado aoquadrado e some com o quadrado da Eq. 08. O membro direito será igual a A2(sen2ϕ+cos2ϕ),que é igual a A2. O resultado final é
Amplitude no MHS
Eq. 13
(1) com (2) Somando
(2) 
(1) coscos
222
20
22220
0
22200




senAw
V
senAwV
wAsenV
AxAx
x
x
x




 
2
2020
2
20202
222202
20
2222202
20
cos
 cos
w
VxA
w
VxA
senAxw
V
AsenAxw
V
x
x
x
x






Dados:F = -6,0 Nx = 0,03 mm = 0,5 kgx = 0,02 ma) K = ?b) f = ?, w = ?, T = ?
Exemplo 2
A extremidade esquerda de uma mola horizontal é mantida fixa. Ligamos umdinamômetro na extremidade livre da mola e puxamos para direita; verificamos que a força queestica a mola é proporcional ao deslocamento e que uma força de 6,0 N produz umdeslocamento igual a 0,030 m. A seguir removemos o dinamômetro e amarramos a extremidadelivre a um corpo de 0,50 kg, puxamos o corpo até uma distância de 0,020 m.a) Calcule a constante da mola?b) Calcule a frequência, a frequência angular e o período da oscilação?
A força exercida pela mola
ssciclofT
Hzsciclociclorad
sradwf
sradkg
skg
m
kw
31,0/2,3
11
2,3/2,3/2
/20
2
/205,0
/200 2




b) Substituindo m = 0,5 kg
 
2
2
/200
/.200
/200
03,0
0,6
skgk
ms
mkgk
mNk
m
Nk
x
Fk
kxF
x
x





a)
Exemplo 3
Vamos retorna a mola horizontal discutida no exemplo 2. A constante da mola é k =200 N/m, e a mola está ligada a um corpo de massa m = 0,5 kg. Desta vez, forneceremos aocorpo um deslocamento inicial de + 0,015 m e uma velocidade inicial de + 0,40 m/s.a) Calcule o período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento?b) Escreva equações para o deslocamento, a velocidade e a aceleração em função do tempo?
a) T = 0,31s igual ao obtido antes
    
  
rad
msrad
smarctgwx
Varctg
mA
srad
smmw
VxA
x
x
93,053
015,0/20
/4,0
025,0
/20
/4,0015,0
0
0
0
2
22
2
2020










Dados:K = 200 N/mm = 0,5 kgx0 = + 0,015 m V0x = + 0,40 m/sa) T = ?, A = ?, ϕ = ?b) x = A cos (wt + ϕ), Vx = ?, ax = ?
b) x = A cos (wt + Φ) deslocamento do MHS
    
 
    
     radtsradsma wtAwdt
d
dt
dVa
radtsradsensm
wtwAsendt
dxV
radtsradmx
x
xxx
x
93,0/20cos/10
MHS no aceleração cos
93,0/20/5,0V
MHS do Velocidade 
93,0/20cos025,0
2
22
2
x







Exemplo 4
Os amortecedores de um carro velho de 1000 kg estão completamente gastos.Quando uma pessoa de 980 N sobe lentamente no centro de gravidade do carro, ele se abaixa2,8 cm. Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um obstáculo, ocarro oscila verticalmente com MHS. Considerando o carro e a pessoa uma única massaapoiada sobre uma única mola, calcule o período e a frequência da oscilação.
Dados:Massa do carro = 1000 kgPeso = 980 Nx = -2,8 cm → -0,028 mT = ?, f = ?
sT
skg
kgT
k
mT
k
mT
total
11,1
/105,3
11002
2
2
24







24 /105,3
028,0
980
skgk
m
Nk
x
Fk x



kgm
kgkgm
sm
Nkgm
g
Pkgm
mmm
total
total
total
total
pessoacarrototal
1100
1001000
/8,9
9801000
1000
2





HzsTf 9,011,1
11 
3. Energia no Movimento Harmônico Simples:
A energia conserva no MHS. A energia total pode ser expressa em termos daconstante da mola k e da amplitude A.
teconskAkxmVE x tan2
1
2
1
2
1 222 
Figura 03 Energia cinética k, energia potencial U e energia mecânica E em função da posição no MHS.
Eq. 14
Nesses pontos a energiaé parte cinética e partepotencial.
Demonstrando a equação 14 temos:
  
     
   
   
   
2
cos22
cos22
cos22
cos22
cos
22
2
2222
22
22222
22222
22
22
kAE
wtAkwtksenAE
mwkm
kwm
kwwtAkwtsenmwAE
wtAkwtsenAwmE
wtAkwtwAsenmE
wtAx
wtwAsenV
kxmVE
EEE
x
x
PC
















 222 222
222
222
222
xAkmV
kxkAmV
kAkxmV
kAkxmV
x
x
x
x




As expressões do deslocamento e da velocidade no MHS são consistente com aconservação da energia.Podemos explicitar a velocidade Vx do corpo em função do deslocamento x:
 
 
 
 22
22
22
222
xAm
kV
xAm
kV
xAm
kV
xAm
kV
x
x
x
x




A componente Vx da velocidade do corpo pode ser positiva ou negativa, dependendodo sentido do movimento. A velocidade máxima Vmáx ocorre em x = 0 e verificamos que:
wAAm
kVmáx 
Exemplo 5
Na oscilações discutida no exemplo 03, k = 200 N/m, m = 0,5 kg e o corpo que oscilaé solto a partir do repouso na ponto x = 0,02 m.a) Ache a velocidade máxima e a velocidade mínima atingidas pelo corpo que oscila?b) Ache a aceleração máxima?c) Calcule a velocidade e a aceleração quando o corpo está na metade da distância entre o pontode equilíbrio e seu afastamento máximo?d) Ache a energia mecânica total, a energia potencial e a energia cinética nesse ponto.
a) Velocidade Vx em função do deslocamento x é dada por:
22 xAm
kVx 
A velocidade máxima ocorre no ponto em que o corpo está deslocando da esquerda para a direita, passando por sua posição de equilíbrio, onde x = 0
 
smV
mkg
mNV
Am
kVV
x
x
máxx
/4,0
02,05,0
/200



A velocidade mínima (ou seja negativa) ocorre quando o corpo está se deslocando da direitapara a esquerda e passa pelo ponto em que x = 0; seu valor é Vmáx = - 0,4 m/s
b) Pela equação
m
kxax 
A aceleração máxima (mais positiva) ocorre no ponto correspondente ao maior valor negativo de x, ou seja, para x = - A; logo
 
  2/802,05,0 /200 smmkgmNa
Am
ka
máx
máx


A aceleração mínima (ou seja, a mais negativa) é igual a – 8,0 m/s2 e ocorre no ponto x = +A = + 0,02 m
c) Em um ponto na metade da distância entre o ponto de equilíbrio e o afastamento máximo,x = A/2 = 0,01 m. Pela equação temos:
   
smV
mmkg
mNV
xAm
kV
x
x
x
/35,0
01,002,05,0
/200 22
22



Escolhemos a raiz quadrada negativa porque o corpo está se deslocando de x = A até o pontox = 0
  2/401,05,0 /200 smmkgmNa
m
kxa
x
x


Nesta ponto, a velocidade e a aceleração possuem o mesmo sinal, logo a velocidade estácrescendo. As condições nos pontos x = 0, x = + A/2 e x = ± A são indicados na figura 04
d) A energia total possui o mesmo valor para todos os pontos durante o movimento:
  
JE
mmNkAE
04,0
02,0/2002
1
2
1 22


E é toda composta pela energia potencial.
E é uma parte energia potencial, em parte energia cinética.
E é toda composta pela energia cinética. E é em parte energia potencial, em parte energia cinética.
E é toda composta pela energia potencial.
Figura 04 Gráficos de E, K e U em função do deslocamento em MHS. A velocidade do corpo não é constante, portanto essas imagens do corpo em posições com intervalos iguais entre si não estão colocados em intervalos iguais no tempo.
4. Movimento Harmônico Simples Angular:
No movimento harmônico angular a frequência (Eq. 15) e a frequência angular (Eq.16) são relacionados ao momento de inércia I e a constante de tração K.
I
kw 
I
kf 21
5. Pêndulo Simples:
Um pêndulo simples é constituído por uma massa pontual m presa à extremidade deum fio sem massa de comprimento L. Seu movimento é aproximadamente harmônico simplespara amplitudes suficientemente pequenos, portanto a frequência angular (Eq. 17), afrequência (Eq. 18) e o período (Eq. 19) dependem apenas de g e L, não da massa ou daamplitude.
Eq 15
Eq 16
Figura 05 A roda catarian de um relógio mecânica. A mola helicoidal exerce um torquerestaurador proporcional ao deslocamento angular θ a partir da posição de equilíbrio. Logo omovimento é um MHS.
g
L
fwT
L
gwf
L
gw


212
2
1
2



Exemplo 6
Calcule a frequência e o período de um pendulo simples de 1000 m de comprimentoem um local onde g = 9,800 m/s2
HzsTf
ssm
m
g
LT s
015,046,63
11
46,63/8,9
100022

 
Eq. 17
Eq. 18
Eq. 19
Dados:f = ?T = ?L = 1000 mg = 9,8 m/s2
Figura 06 A dinâmica de um pêndulo simples.
6. Pêndulo Físico:
Um pêndulo físico é qualquer corpo suspenso em um eixo de rotação. A frequênciaangular (Eq. 20), a frequência e o período (Eq. 21), para oscilações de pequena amplitude, sãoindependentes da amplitude; dependem somente da massa m, da distância d do eixo de rotaçãoao centro de gravidade e do momento de inércia I em torno do eixo de rotação.
I
mgdw 
mgd
IT 2
Figura 07 Dinâmica de um pêndulo físico.
Eq. 20
Eq. 21
O momento de inércia de uma barra uniforme em relação a um eixo passando emsua extremidade é I = 1/3 ML2. A distância entre o pivô e o centro de gravidade é d = L/2
 
g
LT
LgM
MLT
dgm
IT
3
22
2/..2
..2
231






Caso a barra seja uma régua de um metro (L = 1m) e g = 9,8 m/s2, obtemos
   ssmmT 64,1/8,93 122 2  
Exemplo 7
Suponha que o corpo da figura acima seja uma barra uniforme de comprimento Lsuspensa em uma de suas extremidades. Calcule o período de seu movimento.
  forte mais ntoamortecime de força 4,0 fraca ntoamortecime de força 1,0 kmb kmb 
 
2
2
2/
4'
'cos
m
b
m
kw
twAex tmb

 
7. Oscilações amortecidos:
Quando uma força amortecedora proporcional à velocidade Fx = - bVx atua em umoscilador harmônico, o movimento denomina-se oscilação amortecida. Se b < 2 w = √k/m(subamortecimento), o sistema oscila com uma amplitude cada vez menor e uma frequência w’menor do que seria sem o amortecimento. Se b = 2w = √k/m (amortecimento critico) ou se b >2w = √k/m (superamortecimento), então o sistema ao ser deslocado retorna ao equilíbrio semoscilar.
Figura 08 Gráfico do deslocamento em função do tempo de um oscilador com leveamortecimento e com um ângulo de fase ϕ = 0. As curvas mostram dois valores da constantede amortecimento b.
Eq. 22
Eq. 23
8. Oscilações Forçadas e Ressonância:
Quando uma força propulsora que varia senoidalmente atua sobre um osciladorhormônio amortecido, o movimento resultante denomina-se oscilação forçada. A amplitude édada em função da frequência angular wd da força propulsora, e atinge um pico quando afrequência da oscilação natural do sistema. Esse fenômeno denomina-se resonância.
  2222 ddmáx wbmwk FA  Eq. 24
Figura 09 Gráfico da amplitude A da oscilação de um oscilador harmônico amortecido emfunção da frequência angular wd da força propulsora. O eixo horizontal índice a razão entre afrequência angular wd e a frequência angular w = √k/m da oscilação natural não amortecida.Cada curva apresenta um valor diferente da constante de amortecimento.
Lista de exercícios: Questão do trabalho (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10)
1. Se um objeto sobre uma superfície horizontal, sem atrito, é preso a uma mola, deslocado edepois liberado, ele irá oscilar. Se ele for deslocado 0,120 m da sua posição de equilíbrio eliberado com velocidade inicial igual a zero depois de 0,800 s verifica-se que o seudeslocamento é de 0,120 m no lado oposto e que ele ultrapassou uma vez a posição deequilíbrio durante esse intervalo. (a) Ache a amplitude. (b) o período. (c) a frequência.
2. O deslocamento de um objeto oscilando em função do tempo é mostrado na figura abaixo.Quais são (a) a frequência; (b) a amplitude; (c) o período; (d) a frequência angular dessemovimento?
3. Um oscilador harmônico simples possui massa de 0,500 kg e uma mola ideal cuja constante éigual a 140 N/m. Ache (a) o período, (b) a frequência, (c) a frequência angular das oscilações.
4. Um bloco de 2,0 kg sem atrito estápreso a uma mola ideal cuja constante é igual a 300 N/m.Em t = 0 a mola não está comprimida nem esticada, e o bloco se move no sentido negativo com12,0 m/s. Ache (a) a amplitude, (b) o ângulo de fase. (c) Escreva uma equação para a posiçãoem função do tempo.
5. Um corpo de 0,500 kg, ligado à extremidade de uma mola ideal de constante k = 450 N/m,executa um movimento harmônico simples com amplitude igual a 0,400 m. Calcule: (a) avelocidade máxima do cavaleiro; (b) a velocidade do cavaleiro quando ele está no ponto x = -0,005 m; (c) o módulo da aceleração máxima do cavaleiro; (d) a aceleração do cavaleiroquando ele está no ponto x = - 0,015 m; (e) a energia mecânica total do cavaleiro quando eleestá em qualquer ponto.
6. Um brinquedo de 0,150 kg executa um movimento harmônico simples na extremidade deuma mola horizontal com uma constante k = 300 N/m. Quando o objeto está a uma distância de0,012 m da posição de equilíbrio, verifica-se que ele possui uma velocidade igual a 0,300 m/s.Quais são (a) a energia mecânica total do objeto quando ele está em qualquer ponto; (b) aamplitude do movimento; (c) a velocidade máxima atingida pelo objeto durante o movimento?
7. Um orgulhoso pescador de água marinha profunda pendura um peixe de 65,0 kg naextremidade de uma mola ideal de massa desprezível. O peixe estica a mola de 0,120 m. (a)Qual é a constante da mola? Se o peixe for puxado para baixo e liberado, (b) qual é o períododa oscilação do peixe? (c) Que velocidade máxima ele alcançará?
8. Um corpo de 75 g sobre um trilho de ar horizontal, sem atrito, é preso a uma mola deconstante 155 N/m. No instante em que você efetua medições sobre o corpo de equilíbrio. Usea conservação da energia para calcular (a) a amplitude do movimento e (b) a velocidademáxima do corpo. (c) Qual é a frequência angular das oscilações?
9. Você puxa lateralmente um pêndulo simples de 0,240 m de comprimento até um ângulo de3,500 e solta-o a seguir. (a) Quanto tempo leva o peso do pêndulo para atingir a velocidademais elevada? (b) Quanto tempo levaria se o pêndulo simples fosse solto em um ângulo de1,750 em vez de 3,500?
10. Um prédio em São Francisco (EUA) tem enfeites luminosos que consistem em pequenosbulbos de 2,35 kg com quebra-luzes pendendo do teto na extremidade de cordas leves e finas de1,50 m de comprimento. Se um terremoto de fraca intensidade ocorrer, quantas oscilações porsegundo farão esses enfeites?
11. Uma barra de conexão de 1,80 kg de um motor de automóvel é suspensa por um eixohorizontal mediante um pivô em forma de cunha como indicado na figura abaixo. O centro degravidade da barra determinado por equilíbrio está a uma distancia de 0,200 m do pivô. Quandoele excuta oscilações com amplitude pequenas, a barra faz 100 oscilações completas em 120 s.Calcule o momento de inércia da barra em relação a um eixo passando pelo pivô.
12. Cada um dos dois pêndulo mostrados na figura abaixo consiste em uma sólida esferauniforme de massa M sustentada por uma corda de massa desprezível, porém a esfera dopêndulo A é muito pequena, enquanto a esfera do pêndulo B é bem maior. Calcule o período decada pêndulo para deslocamento pequenos. Qual das esferas leva mais tempo para completaruma oscilação?
13. Uma massa de 2,20 kg oscila em uma mola de constante igual a 250,0 N/m com umperíodo de 0,615 s. (a) Esse sistema é amortecido ou não? Como você sabe disso? Se foramortecido, encontre a constante de amortecimento b. (b) Esse sistema é não amortecido,subamortecido, criticamente amortecido ou superramortecido? Como você sabe que é assim?
14. Uma força propulsora variando senoidalmente é aplicada a um oscilador harmônicoamortecido de massa m e constante da mola k. Se a constante de amortecimento possui valorb1, a amplitude é A1 quando a frequência angular da força propulsora é igual a √k/m. Emtermos de A1, qual é a amplitude para a mesma frequência angular da força propulsora e amesma amplitude da força propulsora Fmáx quando a constante de amortecimento for (a) 3b1?(b) b1/2?