GA - Caderno De Exercicios 5 - Distâncias e Cônicas com resolução

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6. Distâncias 
 
6.1 Distância entre dois pontos 
 
No R2: 
22 )()(||),( ABABBA yyxxABd 
 
 
 
 
No R3:
222
),( )()()(|| ABABABBA zzyyxxABd 
 
 
 
 
6.2 Distância entre ponto e reta 
||
||
),(
u
vu
d rP 



 
 
 
 
 
 
22
00
ba
cbyax
d rP



||
),(
, P=(x0, y0) e r: ax+by+c=0. 
 
6.3 Distância entre ponto e plano 
222
000
cba
dczbyax
d P



||
),( 
, P=(x0, y0, z0) e : ax+by+cz+d=0. 
 
 
7. Cônicas 
 
Cônicas: parábola, elipse, circunferência ou hipérbole. 
 
Cônicas degeneradas: retas ou pontos. 
 
 
7.1 Circunferência 
 
Equação reduzida: 
22
0
2
0 Ryyxx  )()(
 
 
 
 
 
 
7.2 Elipse 
Equação canônica: 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 
 
 
 
7.3 Hipérbole 
 
Equação canônica: 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 (ramos à esquerda e à direita) 
 
 
 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 




b
yy
a
xx
 (ramos acima e abaixo) 
 
 
 
 
 
7.4 Parábola 
 
Parábola vertical: 
 
Equação geral: 
cbxaxy  2
 
Intersecções com o eixo x: 
a
acbb
x
2
42 

 
Intersecção com o eixo y: (0, c) 
Vértice da parábola: 





 

a
acb
a
b
V
4
4
 ,
2
2 
 
 
 
 
 
Parábola vertical: 
 
Equação geral: 
cbyayx  2
 
Intersecções com o eixo x: 
a
acbb
y
2
42 

 
Intersecção com o eixo y: (0, c) 
Vértice da parábola: 









a
b
a
acb
V
2
 ,
4
42
 
 
 
 
 
 
 
1. Considerando os pontos A e B representados abaixo, determine a distância d(A, B). 
 
 
 
Resolução: 
As coordenadas dos pontos A e B são, respectivamente, (3, 4) e (7, 2). Como a 
distância entre dois pontos é dada por 
22
),( )()(|| ABABBA yyxxABd 
, 
vamos substituir xA por 3, xB por 7, yA por 4 e yB por 2: 
22
),( )42()37( BAd
 
O próximo passo é calcularmos 7-3=4 e 2-4=-2: 
22
),( )2()4( BAd
 
Elevando 4 ao quadrado e -2 ao quadrado, temos: 
416),( BAd
 
Vamos agora somar 16 e 4: 
20),( BAd
 
Finalmente, calculando a raiz quadrada de 20, temos: 
47,4),( BAd
 
Portanto, a distância entre os pontos A e B é igual a 4,47. 
 
2. Sejam A=(2, 5, -4) e B=(3, 3, 2). Calcule d(A, B) e d(B, A). 
Resolução: 
Quando estamos tratando de pontos no R3, a distância entre A e B é dada por 
 
222
),( )()()(|| ABABABBA zzyyxxABd 
 
Para que possamos calcular a distância entre os pontos A e B, vamos substituir xA 
por 2, xB por 5, yA por 5, yB por 3, zA por -4 e zB por 2: 
222
),( ))4(2()53()23(||  ABd BA
 
Calculando 3-2=1, 3-5=-2 e 2-(-4)=2+4=6, temos: 
222
),( 6)2(1||  ABd BA
 
Elevando 1, -2 e 6 ao quadrado, temos, respectivamente, 1, 4 e 36: 
3641||),(  ABd BA
 
Cuja soma resulta em: 
 
 
41||),(  ABd BA
 
Calculando a raiz quadrada de 41, temos: 
40,6||),(  ABd BA
 
que é a distância entre os pontos A e B propostos inicialmente. 
 
3. Determine a distância entre o ponto P=(5, 7) e a reta r:y=2x+2. 
Resolução: 
A imagem abaixo apresenta a reta r:y=2x+2 e o ponto P=(5, 7). 
 
Para calcularmos a distância entre a reta r:2x+-y+2 e o ponto P=(5, 7), vamos 
utilizar a fórmula 
22
00
),(
||
ba
cbyax
d rP



 
onde a, b e c são os coeficientes de x, y e o termo independente na expressão r: 
ax+by+c=0, respectivamente, ou seja, a=2, b=-1 e c=2 e x0 e y0 são as coordenadas 
do ponto P, isto é, x0=5 e y0=7. Vamos então substituir esses valores. 
22
),(
)1()2(
|2)7)(1()5)(2(|


rPd
 
Efetuando as multiplicações indicadas e elevando os termos 2 e -1 ao quadrado, 
temos: 
14
|2710|
),(


rPd
 
Vamos agora somar e subtrair os termos que aparecem no numerador e no 
denominador. 
5
|5|
),( rPd
 
Como temos a raiz quadrada de 5 no denominador, podemos fazer a racionalização 
desse denominador, ou seja, vamos multiplicar numerador e denominador por 
5
 
para que tenhamos um número racional no denominador. 
 
 
5
5
.
5
5
),( rPd
 
Multiplicando 5 por 
5
, temos 
55
 e multiplicando 
5
 por 
5
, temos 
5255.55.5 
. Logo, 
5
55
),( rPd
 
Vamos agora simplificar os dois números 5, o que resulta em: 
5),( rPd
 
Calculando a raiz quadrada de 5, temos: 
24,2),( rPd
 
Portanto, a distância entre o ponto P e a reta r é igual a 2,24 unidades de 
comprimento. 
 
4. Sabendo que A=(1, 0, 3) e r:M=(3t+1, 2t, 5t-2), encontre a distância entre o ponto 
A e a reta r. 
Resolução: 
Cálculo do vetor diretor: 
Sabemos que 
r:M=(3t+1, 2t, 5t-2) 
que é equivalente a 
r:M=(1+3t, 0+2t, -2+5t) 
Podemos decompor então como a soma de dois vetores 
r:M=(1, 0, -2)+( 3t, 2t, 5t) 
donde 
r:M=(1, 0, -2)+t( 3, 2, 5) 
Logo, temos um vetor diretor de r: 
)5 ,2 ,3(u

. 
Uma outra forma de obtermos o vetor diretor é considerarmos os coeficientes de t 
na expressão r:M=(3t+1, 2t, 5t-2). Note que os coeficientes são, respectivamente, 3, 
2 e 5. Logo, 
)5 ,2 ,3(u

. 
 
Vamos agora obter um ponto pertencente à reta r para determinarmos o vetor 
v
 . 
Sabemos que 
r:M=(3t+1, 2t, 5t-2) 
Fazendo t=0, temos 
M=(3(0)+1, 2(0), 5(0)-2) 
Vamos efetuar os produtos indicados 
M=(0+1, 0, 0-2) 
E, finalmente, somar os devidos termos 
M=(1, 0, -2) 
 
Como já temos um ponto M que pertence à reta r, podemos obter o vetor 
v
 tal 
que 
MAMAv 
 
Como A=(1, 0, 3) e M=(1, 0, -2), temos 
)2 ,0 ,1()3 ,0 ,1( v

 
O que resulta em 
)5 ,0 ,0(v

 
Finalmente, podemos calcular a distância entre A e r: 
 
 
||
||
),(
u
vu
d rA 



 
Primeiro vamos calcular o produto vetorial 
vu


. Sabemos que 
500
523
kji
vu


 
Para calcularmos o determinante, vamos repetir as duas primeiras colunas após a 
terceira coluna e efetuar ar multiplicações necessárias 
01500010
00500
23523  ji
jikji
vu


 
Somando os termos semelhantes, temos 
jivu

1510 
 
Precisamos agora calcular o módulo de 
vu


: 
jivu

1510 
 
Para isso basta calcularmos a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada 
componente do vetor 
vu


 
222 0)15(10 vu

 
Como 102=100, (-15)2=225 e 02=0, temos 
0225100  vu

 
Somando 100, 225 e 0, temos 
325vu

 
Que resulta em 
03,18vu

 
Como já temos o módulo de 
vu


, precisamos agora do módulo de 
u
 que é dado 
por 
2
3
2
2
2
1 uuuu 

 
Como 
)5 ,2 ,3(u

, temos 
222 523 u

 
Vamos elevar cada termo ao quadrado 
2549 u

 
e, em seguida, efetuar a somas indicadas 
38u

 
Calculando a raiz quadrada de 38, temos 
16,6u

 
Finalmente, a distância entre A e r é 
16,6
03,18
),( rAd
 
O que resulta em 
93,2),( rAd
 
 
 
 
5. Encontre a distância entre o ponto D=(4, 1, 6) e o plano :2x+3y+z-2=0. 
Resolução: 
Podemos calcular a distância entre D e  utilizando a fórmula 
222
000
),(
||
cba
dczbyax
d D



 
onde x0, y0, z0 são as coordenadas de D e a, b, c e d são os coeficientes de 
:2x+3y+z-2=0, ou seja, x0=4, y0=1 e z0=6 e a=2, b=3, c=1 e d=-2. 
222
),(
)1()3()2(
|)2()6)(1()1)(3()4)(2(|

Dd
 
Primeiro, vamos efetuar as multiplicações e as potências indicadas 
194
|2638|
),(


Dd
 
Vamos agora somar os termos que constam no numerador e também no 
denominador 
14
|15|
),( Dd
 
Como |15|=15, temos 
14
15
),( Dd
 
Finalmente, vamos racionalizar o denominador. Para isso, basta multiplicarmos 
numerador e denominador por 
14
 
14
14
.
14
15
),( Dd
 
Como 
141514.15 
 e 
141414.14 2 
, temos 
14
1415
),( Dd
 
Multiplicando 15 por 
14
 e dividindo o resultado por 14, a distância entre D e  é 
igual a 
01,4),( Dd
 
 
6. Qual é a equação reduzida de uma circunferência com centro em C=(2, 2) e raio 
r=4? 
Resolução: 
A equação reduzida de uma circunferência corresponde a 
22
0
2
0 Ryyxx  )()(
 
Como C=(2, 2), temos 
222 4)2()2(  yx
 
 
7. Determine a equação geral de uma circunferência com centro em C=(1, 3) e raio 
r=3? 
Resolução: 
Para obtermos a equação geral de uma circunferência, inicialmente vamos 
considerar a equação reduzida 
22
0
2
0 Ryyxx  )()(
 
Substituindo x0 por 1 e y0 por 3, temos 
222 3)3()1(  yx
 
 
 
Vamos agora desenvolver os produtos notáveis 
12)1( 22  xxx
 e 
96)3( 22  yyy
, pois sabemos que 
  222 2 bababa 
. 
99612 22  yyxx
 
Agrupando os termos semelhantes, temos 
16222  yxyx
 
 
8. Qual é a cônica cuja equação corresponde a x2+y2+2x+6y=8? 
Resolução: 
Sabemos que a equação da cônica é igual a 
x2+y2+2x+6y=8 
Precisamos agora descobrir qual é a sua forma para que, com isso, possamos 
determinar que cônica é essa. Pensando em produtos notáveis, podemos agrupar 
os termos em x e adicionar 1 e -1 a esses termos. Esse procedimento não altera a 
equação, mas permite que possamos escrever x2+2x+1 como (x+1)2. Mas como é 
possível saber que nesse caso é preciso adicionar 1 e -1? A resposta é bem simples: 
basta considerarmos o coeficiente de x e dividirmos esse coeficiente por 2 e, em 
seguida, elevarmos o resultado ao quadrado: 2:2=1 e 12=1. Agrupamos também os 
termos em y e acrescentamos 9 e -9 a esses termos. A escolha desses números é 
feita da mesma maneira que explicamos anteriormente. Nesse caso, dividimos o 
coeficiente de y por 2 e elevamos o resultado ao quadrado: 6:2=3 e 32=9. Dessa 
forma podemos escrever y2+6y+9 como sendo (y +3)2. 
x2+2x+1-1+ y2+6y+9-9=8 
Substituindo, então, x2+2x+1 por (x+1)2 e y2+6y+9 por (y +3)2, temos 
(x+1)2-1+ (y +3)2-9=8 
Vamos agora soma -1 e -9, o que resulta em -10 
(x+1)2+ (y +3)2-10=8 
Somando 10 nos dois membros, temos 
(x+1)2+ (y +3)2=8+10 
Vamos agora somar 8 com 10 
(x+1)2+ (y +3)2=18 
Como a equação obtida possui o formato 
22
0
2
0 Ryyxx  )()(
, trata-se de 
uma circunferência de raio 
18R
 e centro em (-1, -3). 
 
9. A figura abaixo apresenta uma elipse com centro na origem, semi-eixo vertical 
igual a 3 e semi-eixo horizontal igual a 4. 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações, determine a equação canônica dessa elipse. 
Resolução: 
A equação canônica da elipse é 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 
onde x0 e y0 são as coordenadas do centro da elipse e a e b são os semi-eixos da 
elipse. Substituindo x0 e y0 por 0 e 0, respectivamente e a e b por 4 e 3, 
respectivamente, temos 
1
3
)0(
4
)0(
2
2
2
2



 yx
 
o que resulta em 
1
916
22

yx
 
que é a equação canônica da elipse dada. 
 
10. Determine qual é a cônica de equação 25x2+9y2+100x+18y-116=0. 
Resolução: 
Para sabermos qual é a cônica cuja equação é 
25x2+9y2+100x+18y-116=0 
precisamos encontrar a sua forma padrão. Inicialmente vamos agrupar os termos 
em x e os termos em y. 
25x2+100x+9y2+18y-116=0 
Podemos agora, em relação aos termos em x, colocar 25 em evidência. Em relação 
aos termos em y, podemos colocar 9 em evidência. 
25(x2+4x)+9(y2+2y)-116=0 
Vamos agora acrescentar 4 e -4 ao termo (x2+4x) e vamos também acrescentar 1 e 
-1 ao termo (y2+2y). 
25(x2+4x+4-4)+9(y2+2y+1-1)-116=0 
Com isso, podemos utilizar os produtos notáveis para simplificarmos esses termos. 
A seguir iremos colocar parênteses nos termos a serem simplificados para que 
possamos visualizar melhor. 
25((x2+4x+4)-4)+9((y2+2y+1)-1)-116=0 
Podemos escrever x2+4x+4 como (x+2)2 e y2+2y+1 como (y+1)2. 
25((x+2)2-4)+9((y+1)2-1)-116=0 
Multiplicando 25 por (x+2)2 e por -4 e multiplicando 9 por (y+1)2 e por -1 temos 
 
 
25(x+2)2-100+9(y+1)2-9-116=0 
Vamos agora somar os termos -100, -9 e -116 
25(x+2)2+9(y+1)2-225=0 
Somando 225 nos dois membros, temos 
25(x+2)2+9(y+1)2=225 
Vamos agora dividir os dois membros por 225 
225
225
225
)1(9
225
)2(25 22



 yx
 
Logo, temos 
1
25
)1(
9
)2( 22



 yx
 
Podemos escrever 9 como sendo 32 e 25 como sendo 52 
1
5
)1(
3
)2(
2
2
2
2



 yx
 
Como a equação está na forma 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
, 
temos uma elipse de centro em (-2, -1) e cujos semi-eixos medem 3 (horizontal) e 
5 (vertical). 
 
11. Determine a equação canônica da hipérbole apresentada na figura abaixo. 
 
 
 
Resolução: 
A forma da equação canônica da hipérbole é 
1
)()(
2
2
0
2
2
0 



b
yy
a
xx
 
Nesse caso, x0=0, y0=0, a=3 e b=1 
1
1
)0(
3
)0(
2
2
2
2



 yx
 
Subtraindo os termos entre parênteses e elevando os denominadores ao quadrado, 
temos 
1
19
22

yx
 
que corresponde a 
1
9
2
2
 y
x
 
a equação canônica da hipérbole em questão. 
 
 
12. Determine a equação da parábola apresentada abaixo. 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Observando o gráfico, a parábola passa pelos pontos (0, 0), (5, 12) e (10, 0). Para 
que possamos encontrar a equação dessa parábola, vamos substituir cada um 
desses pontos na equação y=ax2+bx+c. 
 
Para o ponto (0, 0), temos 
y=ax2+bx+c 
0=a(0)2+b(0)+c 
0=0+0+c 
0=c 
c=0 
 
Para o ponto (5, 12), temos 
y=ax2+bx+c 
12=a(5)2+b(5)+0 
12=a(25)+b(5)+0 
12=25a+5b 
Ou, de maneira equivalente, 
25a+5b=12 
 
Note que obtivemos uma equação linear com duas incógnitas. Como há uma 
infinidade de soluções para essa equação, no momento não é possível encontrar os 
valores de a e de b, mas iremos utilizá-la depois. 
 
Para o ponto (10, 0), temos 
y=ax2+bx+c 
0=a(10)2+b(10)+0 
0=a(100)+b(10)+0 
0=100a+10b 
 
 
Ou, de maneira equivalente, 
100a+10b=0 
 
Para encontrarmos os valores de a e b, vamos resolver o sistema de equações 
 





010100
12525
ba
ba
 
 
Há várias possibilidades de resolução desse sistema. Vamos utilizar o método da 
adição. Observe que 100:25=4. Logo, se multiplicarmos a primeira equação por -4 
será possível zerarmos o coeficiente de a ao somarmos as duas equações. 
 





010100
)4( x12525
ba
ba
 
Multiplicando cada termo da primeira equação por -4 temos 





010100
4820100
ba
ba
 
Vamos agora somar as duas equações 
48100 
010100
4820100






b
ba
ba
 
Como 
4810  b
 
Podemos multiplicar a equação por -1, o que resulta em 
4810 b
 
Dividindo os dois membros por 10, temos 
10
48
b
 
Logo 
8,4b
 
Vamos agora calcular o valor de a. O procedimento é bem simples. Basta 
substituirmos b por 4,8 em uma das duas equações.Independente da escolha, o 
resultado obtido é o mesmo. Substituindo b por 4,8 na equação 25a+5b=12 temos 
25a+5(4,8)=12 
Vamos multiplicar 5 por 4,8 
25a+24=12 
Subtraindo 24 dos dois membros temos 
25a=12-24 
que é igual a 
25a=-12 
Agora basta dividir os dois membros por 25 
25
12
a
 
Logo 
a=-0,48 
Como a=-0,48, b=4,8 e c=0, a equação procurada é 
y=-0,48x2+4,8x 
 
13. Qual é a cônica cuja equação corresponde a x2+y-10=0? 
 
 
Resolução: 
Vamos isolar a variável y. 
x2+y-10=0 
Primeiro, vamos somar 10 nos dois membros 
x2+y=0+10 
que é igual a 
x2+y=10 
Agora basta subtrairmos x2 dos dois membros, o que resulta em 
y=-x2+10 
que é uma parábola vertical com concavidade voltada para baixo. 
 
14. Determine qual é a cônica de equação igual a y2+2x+3y+5=0. 
Resolução: 
05322  yxy
 
532 2  yyx
 
2
532 

yy
x
 
2
5
2
3
2
2

yy
x
 
Parábola horizontal com concavidade voltada para esquerda. 
 
 
15. Represente graficamente a parábola dada por x2-6x-y+5=0. 
Resolução: 
Vamos escrever essa equação sob a forma y=ax2+bx+c 
Sendo assim, temos 
y=x2-6x+5 
Uma forma de representarmos graficamente uma parábola é encontrarmos as 
coordenadas do vértice e, caso existam, as raízes dessa equação. Depois, basta 
representar a parábola que passa pelos pontos encontrados. 
Inicialmente, calculando as raízes, temos: 
a
acbb
x
.2
42 

 
Como a=1, b=-6 e c=5 temos 
)1.(2
)5).(1.(4)6()6( 2 
x
 
Fazendo –(-6)=6, (-6)2=36 e 4.(1).(5)=20 temos 
2
20366 
x
 
Como 36-20=16, temos 
2
166
x
 
que resulta em 
 
 
2
46
x
 
Para resolvermos esse problema, precisamos calcular, separadamente, 
2
46
1

x
 e 
2
46
2

x
. Logo 
5
2
10
2
46
111 

 xxx
 
e 
1
2
2
2
46
222 

 xxx
 
Portanto, as raízes são 1 e 5. 
Vamos agora calcular as coordenadas do vértice utilizando a fórmula 





 

a
cab
a
b
V
4
..4
,
2
2 
Vamos substituir a por 1, b por -6 e c por 5 





 



)1(4
)5).(1.(4)6(
,
)1(2
6 2
V
 





 

4
2036
,
2
6
V
 







4
16
,
2
6
V
 
 4,3 V
 
 
Logo, o vértice está localizado no ponto (3, -4). 
Sendo assim, a representação gráfica da parábola é a seguinte