lista equações diferencias

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Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Disciplina: CET148 - Cálculo Diferencial e Integral III
Professor: Adson Mota Rocha
1a Lista de Exercícios
SEMESTRE 2015.1
A Sequência Numéricas
A1 Determine o termo de ordem n de cada sequência abaixo. Em seguida, calcule o limite da
sequência e, conclua se ela convergente ou divergente:
(a)

1 +
1
2
, 1 +
3
4
, 1 +
7
8
, . . .
‹
(b)

1,
1
1 · 3,
1
1 · 3 · 5,
1
1 · 3 · 5 · 7, . . .
‹
(c)

1,−1
2
,
1
3
,−1
4
,
1
5
, . . .
‹
(d)
‚
√
1
3
,
√
3
4
,
√
5
5
,
√
7
6
,
√
9
7
, . . .
Œ
(e) (1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, 1 + 3 + 5 + 7 + 9, . . .)
(f)
‚
2,
22
1 · 2,
23
1 · 2 · 3,
24
1 · 2 · 3 · 4,
25
1 · 2 · 3 · 4 · 5, . . .
Œ
A2 Calcule o limite da sequência (an)n∈N, definida por
an = 1− 1
4
+
1
16
− . . .+ (−1)n 1
4n
.
A3 Calcule o limite da sequência
√
5,
È
5
√
5,
q
5
È
5
√
5, . . .
‹
.
A4 Calcule o limite da sequência, cujo termo geral an é dado por
an =
1
n2
+
2
n2
+
3
n2
+ . . .+
n
n2
.
A5 Calcule o limite de cada sequência abaixo, cujo termo geral an, é dado por:
(a)
√
n6 + 20n3 + 19− n3
(b) n sen (pi/n)
(c)
`n(n2 + 1)
2n2 − 1
(d)
4n2 − 3n
n2 + 5n− 6
(e)
n2
n+ 1
− n
2
n+ 2
(f)

1 +
1
3n
‹n
(g)
cos(n2 + 1)
n+ 4
(h)
√
n! + e2n
5
√
n!− en
(i) 2−n · cos(n)
(j)
2n+1
en−1
(k)
3n
√
n+ 1
7− 2n√n
(l)
1
3n+1
+

3
4
‹n−3
(m)

1 +
2
n
‹n
(n)
√
n+ 1−√n
(o)
n!
3n+1
(p) n
√
a, a > 0
(q)
3n + (−2)n
3n+1 + (−2)n+1
(r)
(n+ 1)n
nn+1
(s)
e2n − 1
n2 + 1
(t)
3
√
n2 sen(n2)
n+ 2
(u) n
√
n2 + n
1
A6 Usando as técnicas de limites, estude a convergência de cada sequência (an), definida abaixo:
(a)
‚
3n4 + 1
1− 2n4
Œ
(b) ((−1)n cos(pin))
(c)
‚
1√
n2 + 1−√n
Œ
(d)
�
n
2n
+
(−1)n
n
�
(e)
�
Z n
1
dx
x
�
(f)
�
n!
1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
�
(g)
€√
n2 + 1−√n
Ł
(h)

5n
2 + 5n
‹
(i)
€
n
√
1 + 2n
Ł
(j)

3n
2n + 5n
‹
(k)
�
10n
n+ sen(n)
�
(l)
�
1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
n!2n
�
(m)

nn
n!
‹
(n) (sen(npi))
(o)
‚
n2
`n(n+ 1)
Œ
(p) (`n(en + 2)− n)
(q)

1 + · · ·+ n
n2
‹
(r)
€
8
√
n2 + 1− 4√n+ 1
Ł
(s) (`n( n
√
n))
(t)
‚
nk
kn
Œ
, k > 1
(u) (1 + (−1)n)
A7 Calcule lim
n→∞ sn, sendo sn =
n
X
k=1
•
1
k
− 1
k + 1
˜
.
A8 Suponha A > 0. Dado x1 6= 0 arbitrário, defina uma sequência (xn) por
xn+1 =
1
2
�
xn +
A
xn
�
, n ≥ 1.
Mostre que se L = lim
n→∞xn, então L = ±
√
A.
A9 Determine se cada sequência (an)n∈N, definida abaixo, é limitada e/ou monótona:
(a)
‚
2n+1
n!
Œ
(b)
�
n!
nn
�
(c)
‚
n2 − 4
n2
Œ
(d)
€
`n
€
n
n+1
ŁŁ
(e)
��
1+
√
3
3
�n�
(f)
−e
pi
‹n‹
(g)
‚
5n+1 + 1
5n
Œ
(h)
€
sen
€
npi
2
ŁŁ
(i)
€
n2e−n
Ł
(j)
�
senh (n)
n
�
(k)
‚
n+ 3
√
n
n
Œ
(l)
€√
n+ 1−√n
Ł
(m)
�
n√
n2 + 1
�
(n)
�
Z n+1
n
1
t
dt
�
(o)

1 + 2 + . . .+ n
n2
‹
A10 Dada a sequência (an)n∈N, definida por
an =
1√
n+ 1
+
1√
n+ 2
+ . . .+
1√
2n
,
determine os quatro primeiros termos desta sequência. Decida, justificando sua resposta, se ela
é limitada e/ou monótona.
A11 Dada a sequência (an)n∈N, definida por
an =
1
1 · 2 +
1
2 · 3 + . . .+
1
n · (n+ 1),
determine os quatro primeiros termos desta sequência. Mostre que existe pelo menos um número
real c tal que an ≤ c, para todo n ∈ N (n = 1, 2, 3, . . .). Qual é o menor número c que satisfaz
essa condição?
2