2. Determine uma familia de soluções das equações diferencias seguintes: (a) dy dx − y x = −y 2 x ; (b) x dy dx + y = −2x6y4; (c) dx dt + t+ 1...

(a) A equação diferencial é uma equação linear homogênea de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o fator integrante μ(x) = e^(ln|x|) = |x|. Multiplicando ambos os lados da equação por μ(x), obtemos: |xy'| - y = -y^2 Podemos reescrever isso como: d/dx (xy) = -y^2 Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos: xy = 1/(c - x) Portanto, a solução geral é: y = (1/(cx)) - 1/x (b) A equação diferencial é uma equação linear não homogênea de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o fator integrante μ(x) = e^(∫1/x dx) = e^(ln|x|) = |x|. Multiplicando ambos os lados da equação por μ(x), obtemos: x(dy/dx) + y = -2x^7y^4 Podemos reescrever isso como: d/dx (x^2y) = -2x^9y^4 Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos: x^2y = 1/(5x^5) + c Portanto, a solução geral é: y = (1/(5x^7)) + c/x^2 (c) A equação diferencial é uma equação linear não homogênea de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o fator integrante μ(t) = e^(∫(t+1)/t dt) = e^(t+ln|t|) = t*e^t. Multiplicando ambos os lados da equação por μ(t), obtemos: t*e^t(dx/dt) + 2te^t*x = (t+1)*e^t Podemos reescrever isso como: d/dt (t*e^t*x) = (t+1)*e^t Integrando ambos os lados em relação a t, obtemos: t*e^t*x = (t+1)*e^t - e^t + c Portanto, a solução geral é: x = [(t+1)/t] - 1/t + c/(t*e^t) (d) A equação diferencial é uma equação não linear de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando a substituição y = u^2. Então, dy/dx = 2u(du/dx), e a equação diferencial se torna: 2u(du/dx) + (4u^2 - 8u^-1)x = 0 Podemos dividir ambos os lados por 2u(4u - 8u^-2) para obter: (du/u)/(4u - 8u^-2) = -dx/x Integrando ambos os lados em relação a u, obtemos: (1/4)ln|4u - 8u^-2| = -ln|x| + c Simplificando, obtemos: ln|u^4 - 2| = -4ln|x| + c Substituindo u = sqrt(y), obtemos: ln|y^2 - 2| = -4ln|x| + c Portanto, a solução geral é: y^2 - 2 = c/x^4