Soluções de Exercícios do Livro Análise Real vol.2   Elon Lages Lima
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Soluções de Exercícios do Livro Análise Real vol.2
Elon Lages Lima
Sumário
1 Exercícios do Livro Análise Real vol.2 1
1.1 Topologia do Espaço Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 O espaço euclidiano n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Bolas e conjuntos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Sequências em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.7 Aplicações contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.8 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.9 Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.10 Conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.11 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Caminhos em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1 Caminhos diferenciáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2 Cálculo diferencial de caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.3 A integral de um caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.4 Caminhos retificáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 Funções Reais de n Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.1 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.2 Funções de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.3 O Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.4 A fórmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.5 Pontos críticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.6 Funções convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Capítulo 1
Exercícios do Livro Análise Real vol.2
1.1 Topologia do Espaço Euclidiano
1.1.1 O espaço euclidiano n-dimensional
Exercício 1
Se |u+ v| = |u|+ |v|, com u 6= 0 (norma euclidiana), prove que existe \u3b1 \u2265 0 tal que v = \u3b1 · u.
Solução.
|u+ v| = |u|+ |v| \u21d2 |u+ v|2 = |u|2 + 2|u||v|+ |v|2
\u21d2 \u3008u+ v, u+ v\u3009 = |u|2 + 2|u||v|+ |v|2
\u21d2 |u|2 + 2\u3008u, v\u3009+ |v|2 = |u|2 + 2|u||v|+ |v|2
\u21d2 \u3008u, v\u3009 = |u||v|.
Tomemos o vetor w = v \u2212 \u3008v, u\u3009\u3008u, u\u3009u. Como \u3008u, v\u3009 = |u||v|, então temos que:
\u3008w,w\u3009 =
\u2329
v \u2212 \u3008v, u\u3009\u3008u, u\u3009u, v \u2212
\u3008v, u\u3009
\u3008u, u\u3009u
\u232a
=
|u|2|v|2 \u2212 \u3008v, u\u30092
|v|2 = 0
\u21d2 v = \u3008v, u\u3009\u3008u, u\u3009 .
Onde
\u3008v, u\u3009
\u3008u, u\u3009 =
|u||v|
|u|2 =
|v|
|u| > 0.
Portanto, desde que u 6= 0, \u2203 \u3b1 > 0 , tal que v = \u3b1 · u.
CAPÍTULO 1. EXERCÍCIOS DO LIVRO ANÁLISE REAL VOL.2 2
Exercício 2
Sejam x, y, z \u2208 Rn tais que (na norma euclidiana) |x \u2212 z| = |x \u2212 y| + |y \u2212 z|. Prove que existe
t \u2208 [0, 1] tal que y = (1\u2212 t)x+ tz. Mostre que isto seria falso nas normas do máximo e da soma.
Solução. Chamando u = x\u2212y e v = y\u2212z , temos que |u+v| = |u|+|v|. Ora, mas pela desigualdade
triangular |u + v| \u2264 |u| + |v|, onde a igualdade ocorre se, e só se u = \u3b1v, para a lgum \u3b1 \u2265 0 \u2208 R,
disto resulta que existe \u3b1 \u2265 0 \u2208 R tal que u = \u3b1v, isto é, x\u2212y = \u3b1(y\u2212z) \u21d2 (1+\u3b1)y = x+\u3b1z \u21d2
y = ( 1
1+\u3b1
)x+ ( \u3b1
1+\u3b1
)z, daí chamando t = \u3b1
1+\u3b1
, temos que t \u2208 [0, 1] e satisfaz y = (1\u2212 t)x+ tz.
Se tomarmos os pontos x = (1, 0), y = (0, 0) e z = (0, 1), é fácil ver que eles não são colineares mas
satisfazem |x\u2212z|S = |x\u2212y|S+ |y\u2212z|S , portanto na norma da soma a afirmação não é verdadeira. Da
mesma forma os pontos x = (2, 0), y = (1, 0) e z = (0, 1/2) são um contra-exemplo pra afirmação
se considerarmos a norma do máximo.
Exercício 3
Sejam x, y \u2208 Rn não-nulos. Se todo z \u2208 Rn que é ortogonal a x for também ortogonal a y, prove que
x e y são múltiplos um do outro.
Solução. Tem-se x 6= 0 e y 6= 0. Se x = y não há nada para demonstrar.
Suponha x 6= y então o vetor y \u2212 \u3008x, y\u3009|x|2 · x é ortogonal a x e, por hipótese, também é ortogonal a y e
assim \u2329
y, y \u2212 \u3008x, y\u3009|x|2 · x
\u232a
=
\u2329
x, y \u2212 \u3008x, y\u3009|x|2 · x
\u232a
\u21d2
\u2329
y \u2212 x, y \u2212 \u3008x, y\u3009|x|2 · x
\u232a
= 0.
como y \u2212 x 6= 0, temos
y \u2212 \u3008x, y\u3009|x|2 · x = 0 \u21d2 y =
\u3008x, y\u3009
|x|2 · x,
portanto y é múltiplo de x.
Exercício 4
Se \u2016x\u2016 = \u2016y\u2016, prove que z = 1
2
(x + y) é ortogonal a y \u2212 x. (A medida de um triângulo isósceles é
também altura).
Solução. \u2329
1
2
(x+ y), y \u2212 x\u232a = 1
2
\u3008x+ y, y \u2212 x\u3009
= 1
2
(\u3008x, y\u3009 \u2212 \u3008x, x\u3009+ \u3008y, y\u3009 \u2212 \u3008x, x\u3009)
= 1
2
(\u3008y, y\u3009 \u2212 \u3008x, x\u3009)
= 1
2
(|y|2 \u2212 |x|2)
= 0,
como queríamos provar.
CAPÍTULO 1. EXERCÍCIOS DO LIVRO ANÁLISE REAL VOL.2 3
1.1.2 Bolas e conjuntos limitados
Exercício 1
Dados a 6= b em Rn determine c, pertencente à reta ab, tal que c \u22a5 (b \u2212 a). Conclua que para todo
x \u2208 ab, com x 6= c, tem-se |c| < |x|.
Solução. ab = {a+ t(b\u2212 a); t \u2208 R}
Como c \u2208 ab ; c = a+ t(b\u2212 a) onde t é tal que \u3008c, b\u2212 a\u3009 = 0\u21d2 \u3008a, b\u2212 a\u3009+ t|b\u2212 a|2 = 0
\u21d2 t = \u2212\u3008a, b\u2212 a\u3009|b\u2212 a|2 .
Assim, c é completamente determinado.
Por outro lado:
|c|2 < |c|2+ |b\u2212a|2 = |c+(b\u2212a)|2 = |a+ t(b\u2212a)+(b\u2212a)|2 = |a+(1\u2212 t)(b\u2212a)|2 = |x|2 \u2200x \u2208 ab
com x 6= c.
Portanto, |c| < |x|,\u2200x \u2208 ab.
Exercício 2
Sejam |x| = |y| = r, com x 6= y (norma euclidiana). Se 0 < t < 1, prove que |(1 \u2212 t)x + ty| < r.
Conclua que a esfera S(0; r) não contém segmentos de reta.
Solução. Seja xy o segmento de reta de extremos x e y. Então xy = {(1\u2212 t)x+ ty; t \u2208 [0, 1]}.
Temos que
|(1\u2212 t)x+ ty| = |x\u2212 tx+ ty| = |x+ t(y \u2212 x)| \u2264 |x|+ t|y \u2212 x| \u2264 r + t|y \u2212 x| < r.
Como S(0; r) = {x \u2208 Rn; |x| = r}, vê-se facilmente que a esfera não contém segmentos de reta.
Exercício 3
Dados o conjunto convexo X \u2282 Rn e o número real r > 0, seja Br(X) =
\u22c3
x\u2208X
Br(x). Prove que
Br(X) é convexo.
Solução. Sejam a, b \u2208 Br(X). Então existem x0, x1 \u2208 X tal que a \u2208 Br(x0) e b \u2208 Br(x1), portanto
|a\u2212 x0| < r e |b\u2212 x1| < r.
Seja c um ponto do segmento ab , então c = (1 \u2212 t)a + tb, para algum t \u2208 (0, 1), daí para este t
tome xc = (1\u2212 t)x0 + tx1 · xc \u2208 X pois X é convexo. Além disso, temos:
|((1\u2212 t)a+ tb)\u2212 xc| = |((1\u2212 t)a+ tb)\u2212 ((1\u2212 t)x0 + tx1)|
= |(1\u2212 t)(a\u2212 x0) + t(b\u2212 x1)|
\u2264 |(1\u2212 t)(a\u2212 x0)|+ |t(b\u2212 x1)|
= (1\u2212 t)|(a\u2212 x0)|+ t|(b\u2212 x1)|
< (1\u2212 t)r + tr
= r.
Logo, c = (1 \u2212 t)a + tb \u2208 Br(X), e como c é um ponto arbitrário do segmento ab, segue que
ab \u2282 Br(X), portanto Br(X) é convexo.
CAPÍTULO 1. EXERCÍCIOS DO LIVRO ANÁLISE REAL VOL.2 4
Exercício 4
Prove que o conjunto X = {(x, y) \u2208 R2;x2 \u2264 y} é convexo.
Solução. Tomemos a = (x1, y1) e b = (x2, y2) \u2208 X \u21d2 x21 \u2264 y1 e x22 \u2264 y2. Seja z = t(x2 \u2212
x1, y2\u2212y1)+(x1, y1) um ponto pertencente ao segmento que liga a e b. Temos que [(1\u2212t)x1+tx2]2 =
(1\u2212 t)2x21 + 2t(1\u2212 t)x1x2 + t2x22.
Como (x1\u2212x2)2 \u2265 0 \u21d2 x21+x22 \u2265 2x1x2, daí [(1\u2212t)x1+tx2]2 = (1\u2212t)2x21+2t(1\u2212t)x1x2+t2x22 \u2264
(1\u2212 t)2x21 + t(1\u2212 t)(x21 + x22) + t2x22 = (1\u2212 t)x21 + tx22 \u2264 (1\u2212 t)y1 + ty2, portanto X é convexo.
Exercício 5
Seja T : Rm \u2212\u2192 Rn uma transformação linear. Prove que se T 6= 0 então T não é uma aplicação
limitada. SeX \u2282 Rm é um conjunto limitado, prove que a restrição TX : X \u2212\u2192 Rn de T ao conjunto
X é uma aplicação limitada.
Solução. De fato, dado x \u2208 Rm se |T (x)| = c \u2208 R+ então |T (nx)| = nc > 0. Logo T não é limitada,
pois R é um corpo arquimediano.
Seja X \u2282 Rm um conjunto limitado. Tomemos a norma da soma, e como X é limitado, existe K tal
que |x| \u2264 K, \u2200x \u2208 X . Temos x = x1e1 + · · ·+ xmem. Seja M = máx{|T (e1)|, · · · , |T (em)|}. Daí,
|T (x)| = |T (x1e1 + · · ·+ xmem)| = |x1T (e1) + · · ·+ xmT (em)|
\u2264 |x1||T (e1)|+ · · ·+ |xm||T (em)| \u2264M(|x1|+ · · ·+ |xm|) \u2264M ·K.
Portanto T (X) é um conjunto limitado.
CAPÍTULO 1. EXERCÍCIOS