O uso da resolução de problemas no ensino de matemática

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O problema de Guthrie como metodologia no ensino da Análise 
Combinatória e Probabilidade
Neuza Pinto
Especialista em Educação Matemática – UEL – PR
neuzapin@seed.pr.gov.br
 Orientador: Professor Mestre Daniel de Lima
profdalima@hotmail.com 
Resumo: Este artigo procura mostrar que a resolução de problemas em aulas de 
matemática é uma metodologia de ensino criativa que estimula o interesse e o gosto 
pela matemática. Esta pesquisa apresenta uma construção metodológica eficiente 
na prática do ensinar com compreensão, contribuindo na melhoria da qualidade e 
do rendimento escolar. A resolução de problemas constitui uma metodologia de 
trabalho importante para a comunidade da educação matemática em todo mundo, a 
investigação educacional tem dedicado atenção particular ao tema. Este trabalho foi 
desenvolvido a partir da história dos jogos de azar popularizado pelos gregos e 
divulgado através das cartas trocadas entre Pascal e o Cavaleiro De Meré de onde 
surgiu a Teoria das Probabilidades, conteúdo este retratado neste artigo, servindo 
como apoio ao ensino de análise combinatória começando pelo princípio 
multiplicativo delineando o desenvolvimento do Teorema das Quatro Cores onde 
afirma que “todo mapa pode ser colorido com quatro cores” respeitando-se a 
condição de que países com alguma fronteira em comum tenham cores diferentes. 
Palavras-chave: resolução de problemas, análise combinatória, interdisciplinaridade, 
teorema das quatro cores.
Abstract: This article seeks to show that problem solution in math classes is a 
creative teaching methodology that stimulates the interest and the pleasure for 
mathematics. This research presents an efficient methodology construction in the 
practice of teaching with understanding, contributing to the improvement of quality 
and school performance. Problem solution constitutes an important job methodology 
for the community of mathematics education around the world, the educational 
research has dedicated a particular attention to the subject. This work was developed 
from the history of gambling popularized by the Greeks and disseminated through 
the exchange of letters between Pascal and the rider De Mere through which 
appeared the Theory of Probability, content retracted in this article, serving as a 
teaching support of combinatory analysis and starting for the multiplicative principle 
by outlining the development of the Four Color Theorem which declares that "any 
map can be colored with four colors" respecting the condition that some countries 
with common border have different colors. 
 
1-INTRODUÇÃO
 Por que o rendimento escolar na disciplina de matemática é tão baixo? 
Será mesmo que a matemática é o “bicho papão” dos estudantes? Vale mencionar 
que o ensino da matemática sempre seguiu padrões e normas convencionais dentro 
de uma pedagogia tradicionalista nos moldes dos livros didáticos e ainda segue esta 
proposta, apesar do mundo moderno informatizado e interligado exigir um aluno 
mais crítico, capaz de enfrentar desafios e estar sempre aprendendo. 
 “Ninguém está contente com a escola que está aí, mas todo mundo 
sonha com uma outra escola, uma escola que funcione bem e que cumpra seu 
papel, que é de dar instrução a todos. Todo mundo quer que a escola seja essa 
espécie de escada que conduz a um andar superior, a uma melhoria de vida, a um 
melhor emprego com um melhor salário”. (CECCON, 1982, p.18)
 Para preparar um cidadão dentro desse modelo com muitas 
responsabilidades, professores e pedagogos necessitam de adaptar-se aos atuais 
padrões da sociedade contemporânea, sugerindo sempre uma nova forma de 
ensinar, como declarou recentemente o Secretário da Educação José Fernandes de 
Lima: “Muitas coisas estão sendo ensinadas em sala de aula sem uma 
sistematização”. 
 “O maior desafio do universo acadêmico, hoje, consiste em responder 
quais são os resultados efetivos da educação oportunizada pelas escolas. Na 
verdade, esse desafio se confunde com uma exigência social que não pode ser 
postergada. Para isso, seria indispensável examinar, sem idealismo, romantismo, ou 
partidarismo, com objetividade, os dados estatísticos, entre outros, sobre o ensino 
fundamental, médio e superior”. (Lizia Helena Nagel) 
 Em virtude disso, os educadores precisam inovar suas práticas 
pedagógicas, desenvolvendo nos alunos a capacidade de resolver problemas. 
 No livro “Na vida dez, na escola zero” (1991) revela uma realidade bem 
cruel em relação a escolaridade das pessoas, na vida sabem muito bem lidar com 
as “contas”, isto é, com os números e na escola nos resultados de testes formais 
não conseguem se sobressair. Então: Escola Pra quê? É sabido que no Brasil as 
pessoas tidas inteligentes são aquelas que sabem manipular os números ou que 
sabem raciocinar e as menos inteligentes são as que não sabem raciocinar. Quando 
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se depara com uma pessoa ou criança que faz conta rápida e de “cabeça” diz logo 
que ele é “bom em matemática”. Será que é verdade? 
 Não é difícil nos depararmos com alunos que tem uma verdadeira 
aversão a matemática, construindo uma imagem negativa, deixando revelar a sua 
não aplicabilidade e utilidade.
 Há muitos anos estudiosos se detém na expectativa de mudanças na 
educação e que estas reformas educacionais não sejam apenas nas propostas 
curriculares, material didático, livro didático, mas que estas mudanças sejam em 
nível organizacional e funcional. Não basta equipar as escolas com DVD, TVS, 
Biblioteca do Professor, se não mudar a concepção do educador, mudar os métodos 
de ensino e da avaliação. Será que está sempre para o futuro, a escola onde o aluno 
encontre sua identificação, que desenvolva suas aptidões, que consiga interagir a 
aprendizagem dos conteúdos específicos com seus projetos de vida, consagrando 
assim a sua vida pessoal e profissional?
 Para compreendermos melhor este desinteresse da escola em especial 
a disciplina de matemática por parte dos alunos, deve-se inteirar de como se 
processa o raciocínio da criança e do adolescente. Como suporte a este trabalho 
alicerça-se nas concepções e contribuições pedagógicas de Piaget e Vigotski, no 
que concede a construção do número.
Para aprofundar-se neste tema e propor-se soluções à ele, desenvolve-
se aqui uma abordagem diferente as tradicionais no ensino da Análise Combinatória. 
Espera-se com isso mostrar que é possível resgatar este prazer pelo aprender 
quando o tema proposto está ligado à situações reais e práticas do vivenciar do 
discente.
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2-DESENVOLVIMENTO DO PROJETO DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA NA 
ESCOLA
 Por Piaget a aprendizagem é dada através da aquisição de 
conhecimentos adquiridos pela criança definindo duas formas: físico e lógico 
matemático. O físico é formado por um mecanismo funcional que vem de uma 
experiência própria. O lógico matemático é formado pela reflexão do abstrato.
 
 “É apenas em torno de sete anos, portanto que a discordância é 
compreendida ou manipulada, não sob sua forma explicita, correspondente ao 
“embora”, mas sob sua forma implícita, marcada pelo “apesar de” (quand même) 
tomado adverbialmente, ou por certos “mas”, [...]. A que fatores devemos recorrer 
para explicar esta idade de 7 anos? Por ora, nada podemos afirmar. Entretanto, uma 
hipótese vem logo à mente. Vimos que a discordância, ou pelo menos a 
discordância explicita, resulta do sentimento de exceção a uma regra geral. Mas 
através de que operações a mente chega estabelecertais regras e, sobretudo, a 
sentir as exceções? Através daquilo que os lógicos chamam adição e multiplicação 
lógicas. (PIAGET, 1967, p. 61)
 “As funções psicológicas superiores, típicas do ser humano, são, por um 
lado, apoiadas nas características biológicas da espécie humana e, por outro lado, 
construídas ao longo de sua história social”. Como a relação do indivíduo com o 
mundo é medida pelos instrumentos e símbolos desenvolvidos no interior da vida 
social, é enquanto ser social que o homem cria suas formas de ação no mundo e as 
relações complexas entre suas funções psicológicas. Para desenvolver-se 
plenamente como ser humano o homem necessita assim de mecanismos de 
aprendizado que movimentarão seus processos de desenvolvimentos. (VYGOTSKY 
por Oliveira, 2005, p. 78)
 Ora, se Piaget menciona que é a partir dos sete anos que a criança pode 
fazer correspondência ao objeto de forma abstrata, para Vigotski, contemporâneo a 
Piaget, o homem precisa de uma organização de material para se desenvolver 
culturalmente. Vigotski defende que a inteligência, o raciocínio são capazes de 
entender e compreender conceitos, embora não aceite que o ensino seja automático 
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(mecânico), submetendo as crianças e adolescentes a rotinas e stressantes e 
desmotivadora. Na verdade destaca o processo intelectual da aprendizagem. Cabe 
então ao professor, criar formas e mecanismos desafiadores para contemplar as 
diferenças individuais tão presente em nossas salas de aulas. Fica determinado o 
espaço escolar o lugar onde ocorrerão as intervenções pedagógicas propostas no 
“Plano de Intervenção”, o professor será um provocador do processo ensino-
aprendizagem. Como ressalta Piaget referindo-se ao professor coma uma peça 
importante do ensino, devendo: estar atento de forma a presenciar todas as 
situações da sala de aula, não deixar de desenvolver problemas difíceis, não temer 
a perda de tempo e incentivar os alunos a pensar e relacionar objetos. O papel do 
professor não é meramente um transmissor de conhecimentos científicos prontos e 
acabados, mas o de auxiliar, ajudar nas tarefas proposta, levando o aluno a construir 
seus próprios conhecimentos.
 Outro fato, resultante das interpretações teóricas de Vigotski é a 
fundamental participação da sociedade na escola, visto que o aluno é um sujeito 
com capacidade de aprender para modificar o meio em que vive construindo valores 
como: moral, social, religioso, cívico, preservação do meio ambiente, cultural,... 
 Desde o início do século XX que discussões entre professores de 
Matemática vêm se intensificando e apontando para uma necessidade de 
compreensão no ensino da Matemática, nas diretrizes curriculares descrevem a 
possibilidade dos estudantes realizarem análises, discussões, apropriação de 
conceitos e formulação de idéias.
 Nesses estudos, professores procuram trazer para a educação 
matemática escolar um ensino diferenciado dos nossos pais/ou avós, que 
receberam de forma tradicionalista, com métodos puramente sintéticos e com rígidas 
demonstrações. É um processo lento e difícil, pois, os professores que atuam em 
sala, em sua maioria, também receberam uma educação matemática tradicional, 
baseada em teoremas, regras e exercícios sem muita aplicação e pouca ligação 
com seu cotidiano. Cabe ao docente empenhar-se neste processo de 
transformação, partindo da necessidade que ele venha a encontrar em seus alunos 
de entender os porquês dos conteúdos propostos.
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 No Brasil, apesar de estudo da Educação Matemática estar em 
desenvolvimento, dando muita ênfase a mudança da prática pedagógica dos 
professores, em muito se tem avançado em relação ao ensino, a aprendizagem, 
conhecimento matemático e a melhoria da qualidade de ensino.
 A mudança dos métodos de ensinar matemática tem como objetivo 
principal fazer com que os estudantes se apropriem dos conceitos matemáticos de 
forma crítica, capaz de agir com autonomia nas suas relações sociais. Para tanto as 
práticas pedagógicas dos educadores não devem ser impostas e sim, dar a 
possibilidade do educando construir seus conhecimentos sob uma visão histórico-
critíca, de forma que os conteúdos sejam apresentados, construídos e reconstruídos 
influenciando na formação do pensamento e na produção de conceitos por meio de 
idéias e das tecnologias.
 Portanto, é importante que o processo pedagógico em Matemática 
contribua para que o estudante tenha condições de constatar regularidades, 
generalizar, apropriar-se da linguagem matemática e poder descrever e interpretar 
fenômenos físicos e de outras áreas do conhecimento científico. 
 Este estudo propõe uma mudança na prática de ensinar matemática 
com compreensão às crianças e jovens do mundo contemporâneo. A matemática 
que está presente em todas as séries da Educação Básica deve promover a reflexão 
sobre suas finalidades e aplicabilidade no cotidiano dos estudantes, devendo 
relacioná-la com sua vivência. Desta forma este estudo tem por finalidade organizar 
um material didático eficiente aplicado ao Ensino Médio, criando espaço dentro da 
escola para uma reflexão e discussão das práticas metodologicas adotadas pelo 
professor, visando uma superação das deficiências e defasagem da Educação 
Matemática. Finalizando, espera-se criar condições necessárias ao professor em 
ousar, sair da mesmice, ultrapassar limites no que se refere ao ato de ensinar e 
aprender, permitindo que realize sua função de educador com prazer e 
determinação.
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“O Tratamento da Informação é instituído conteúdo estruturante diante da 
necessidade do estudante dominar um conhecimento que lhe dê condições de 
realizar leituras críticas dos fatos que ocorrem em seu entorno, interpretando 
informações que se expressam por meio de tabelas, gráficos, dados percentuais, 
indicadores e conhecimentos das possibilidades e chances de ocorrências de 
eventos. Isso se revela necessário, pois vivemos um momento histórico 
caracterizado pela facilidade e rapidez no acesso às informações e que exigem o 
desenvolvimento do espírito crítico e a capacidade de analisar e tomar decisões, 
diante de diversas situações da vida em sociedade.” (Diretrizes Curriculares da 
Educação Básico do Paraná – 2006).
Há muito tempo o homem vem transformando a natureza com objetivo único e 
exclusivo de sobrevivência. Será este de fato o seu propósito? Mas para isto ele 
criou ferramentas adequando-as às suas necessidades. Das necessidades e 
curiosidades surgiram às ciências, dentre tantas a MATEMÁTICA. 
A matemática é uma ferramenta desenvolvida pelo homem que auxilia nas 
mais variadas tarefas do seu cotidiano. Perguntas como:
• Qual a quantidade máxima de números de telefone de uma cidade que 
podem ser formados com prefixo 3322, utilizando além do prefixo, quatro 
outros algarismos?
• Quais as chances de se acertar as seis dezenas da MEGASENA, apostando 
com um único cartão com seis dezenas?
• No lançamento de dois dados equilibrados, quantos são os resultados 
possíveis? Destes resultados, quantos apresentam soma igual a nove?
• Quais são as possibilidades possíveis no lançamento sucessivo de três 
moedas comuns?
De perguntas como estas, surgiu a necessidade do estudo de problemas de 
contagem. Estas perguntas podem ser respondidas usando conceitos de AnáliseCombinatória e Probabilidade, porém este trabalho procura responder as tais, 
instigando a pesquisa e o raciocínio lógico. Livros didáticos em sua maioria priorizam 
o estudo de fórmulas, tais como arranjos, combinações e permutações. Procura-se 
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aqui além dessas discussões, principalmente mostrar aplicabilidade destes 
conceitos levando-se em conta o uso do princípio fundamental de contagem..
Tal como Francis Guthrie (Londres, 22 de Janeiro de 1831 - Claremont, 
Cape Town, 19 de outubro de 1899 ) foi um matemático e botânico sul-africano, 
quando estudante entrou para a história da matemática por ter formulado uma boa 
questão, quando em 1852 concluiu seus estudos no University College, em Londres, 
tornando-se mais tarde professor de matemática na África do Sul, ao colorir o mapa 
dos condados da Inglaterra, tomando certo cuidado de não pintar com a mesma cor 
países vizinhos, isto é, países que possuem alguma linha, ou seja, fronteiras em 
comum. Percebeu que quatro cores seriam suficientes para colorir o mapa.
Partindo disto, experimentou e conseguiu pintar vários outros mapas, 
utilizando apenas quatro cores. Matemático que era, procurou logo demonstrar que 
quatro cores eram suficientes para pintar qualquer mapa.
Sabemos, pois que menos de quatro cores são insuficientes para pintar 
certos mapas, dependendo dos mapas são necessárias pelo menos quatro cores.
Utilizando-se desta idéia, foi introduzido o conceito de Raciocínio 
Multiplicativo. Vejamos alguns exemplos, tomando como base os esboços de 
algumas bandeiras dos estados brasileiros. 
Na figura 1 duas cores são mais que suficientes para pintar, 
escolhendo ao acaso qualquer cor, sendo azul e vermelha tem-se: 
 
 Fig. 1
 Traçado da bandeira do Acre
Portanto, temos duas possibilidades.
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Na figura 2 , escolhendo as cores: azul, vermelho e verde tem-se:
 
 
 
Fig. 2 
Traçado da bandeira do Paraná
Portanto, temos seis possibilidades.
No mapa traçado da bandeira do Estado do Amazonas, como no 
traçado do mapa do Paraná, existe uma única região que não faz fronteiras com as 
demais, portanto três cores também são suficientes para colorir. Também teremos 
seis possibilidades
Diferentemente da figura 3 (traçado da bandeira do Estado da Bahia) e 
da figura 4 (Projeção de um tetraedro num plano) que para pintá-las são necessárias 
quatro cores diferentes, convém mencionar que em agrupamentos de cinco países, 
pelo menos dois deles não são vizinhos. 
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Fig. 3 Fig. 4
Bandeira do Estado da Bahia Projeção de um tetraedro em um plano
Após estudos relativos ao Teorema das Quatro Cores proposto por 
Guthrie, montou-se um projeto de implementação que utilizando-se deste teorema 
procura-se abordar conceitos de Análise Combinatória. As atividades 
confeccionadas contendo traçado das bandeiras dos estados do Acre, Alagoas, 
Paraná, Amazonas e da Bahia e ainda os traçados da projeção de um tetraedro no 
plano, foram entregues aos alunos, distribuídos lápis de cor com o objetivo de que 
cada um deles tivesse as suas conclusões. Para o fechamento das atividades foi 
entregue aos educandos o esboço do quadro “O Pescador” de Tarsila do Amaral, 
para que fosse colorido como preferirem, independente do número de cores, sem 
que os alunos soubessem exatamente como a pintora o fez”. Após a atividade 
pronta e recolhida, foi apresentado em um grande painel com todas as pinturas e 
uma cópia do quadro original em tamanho real.
Como desafio, foi também entregue separadamente, o modelo da 
figura 5, que é a representação das vincas feitas a partir da dobradura de um cubo, 
para esta atividade foram dadas as mesmas instruções de colorir o mosaico 
utilizando apenas quatro cores de sua preferência, obedecendo ao critério de que 
espaços que possuem segmentos de retas comuns tivessem cores diferentes, a 
partir destas pinturas foi feito um grande mural, para que todos pudessem visualizar 
as diferentes formas de se colorir um mapa, utilizando apenas quatro cores.
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 Fig. 5 
 Mosaico feito a partir da dobradura do Cubo
2-1 – PROBLEMATIZAÇÃO:
Fig.6
 Fonte: http://www.o-parana.com/diretorio/catimages/mapa-estado-parana.gif
 Acesso em: 04/12/2008
A figura 6 mostra o mapa do estado do Paraná dividido em regiões: Noroeste, 
Norte Central, Norte Pioneiro, Centro Ocidental, Centro Oriental, Centro Sul, Oeste, 
Sudoeste, Sudeste e Mesorregião Metropolitana de Curitiba. 
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I) É possível colorir estas regiões do mapa, utilizando apenas quatro 
cores, mas respeitando a condição de que regiões que possuem linhas de 
fronteiras comuns tenham cores diferentes? 
II) O conceito usado para este caso pode ser estendido a outros mapas?
III) De quantas maneiras pode-se colorir o mapa das regiões do estado 
do Paraná, usando apenas quatro cores, de forma que municípios com 
fronteira comum tenham cores diferentes? 
 Para responder à estas perguntas e fazer a interdisciplinaridade, 
procurou-se interagir arte com matemática. Desta forma necessitou-se o 
conhecimento de algumas características relativas às cores, onde apresentou-se 
alguns quadros de “Persil” – Roberto Pereira da Silva pintor paranavaiense já expôs 
seus trabalhos em inúmeras exposições por várias cidades brasileiras. Em 2006 foi 
reconhecido internacionalmente com o projeto Arte na Escola. Persil foi também 
professor da rede pública de ensino, recentemente homenageado com a Comanda 
da Ordem Estadual do Pinheiro no Grau de Cavaleiro, troféu este destinado aqueles 
que se destacaram por serviços relevantes prestados ao Estado do Paraná. 
Neste ínterim procurou-se falar da COLORIMETRIA e a 
ESPECTROSCOPIA, esta última, é uma nova ciência desenvolvida através de 
trabalhos e experiências realizadas por Isaac Newton, falou-se um pouco dos tipos 
de cores e de sua simbologia. 
Com o objetivo de demonstrar a importância e fazer com que os alunos 
percebam as conexões entre os temas matemáticos e entre a matemática e as 
outras disciplinas, procurou-se falar da Genética, um ramo da Biologia que estuda as 
leis da transmissão dos caracteres hereditários e as propriedades das partículas que 
asseguram essa transmissão. É na genética que mais se utiliza uma parte da 
matemática, a Probabilidade, sendo isto foi feito através de situações problemas 
cuidadosamente selecionados, com exemplos do tipo: para saber quais casais terão 
filhos com cabelos crespos fazendo uma análise da Combinação dos seus genes, e 
ainda o gene que codifica a cor dos olhos.
A característica principal deste artigo é a objetividade, facilitando o dia-
a-dia do professor, não descuidando do rigor conceitual que exige a Análise 
Combinatória. A unidade didática que foi formulada, no seu final dispõe de uma 
relação de situações problemas bem diversificados, fazendo com que o aluno possa 
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aprofundar e ampliar os conhecimentos recém adquiridos em prosa e verso, 
situações desafiadoras, esta por sua vez como requer diferentes estratégias na 
resolução. Foram oportunizadas as discussões em grupo e comentadas num 
seminário geral, desta forma o educando pode avaliar seus conhecimentos e 
apropriando-se deles, favorecidos pela interação com os colegas.Nesta etapa 
coube ao professor observar os alunos durante o momento de resolução, 
socializando as estratégias e as fórmulas. 
Um outro recurso oportunizado na Produção da Unidade Didática, com 
o objetivo do desenvolvimento do raciocínio matemático, foi apresentação de jogos 
como: Jogos dos Sapinhos, Rio e Teste de Q.I. Estes jogos sugeridos potencializou 
diferentes maneiras de resolução de problemas, favorecendo a formação de 
comunidades multiculturais.
3-CONCLUSÃO:
A Produção Didática Pedagógica que foi elaborada, não é somente 
mais uma lista de exercícios estruturados relacionando a matemática com arte e 
biologia e sim um documento importante que apresenta fatos essenciais dentro da 
nova proposta curricular de melhoria e qualidade de ensino da rede pública do 
estado do Paraná. Esta, mostra aos demais professores uma opção de trabalho 
possível de ser desenvolvida nas salas de aula, e ao mesmo tempo servindo de 
reflexão para a prática pedagógica dos docentes.
 Os conteúdos de Análise Combinatória e Probabilidade devem ser 
apresentados aos alunos de forma desafiadora, para que se possam desenvolver 
vários aspectos do raciocínio lógico-matemático como: o combinatório, a percepção 
de padrões, as regularidades e por fim fazendo um elo com generalização nos 
estudos dos conceitos e das fórmulas.
Para que não haja falha na seqüência dos temas que abrange a 
Análise Combinatória e Probabilidade, recomenda-se a elaboração dos materiais 
manipuláveis necessários às práticas descritas, bem como um roteiro prévio 
seguindo ou não, ao livro didático adotado pela instituição de ensino ou a do próprio 
professor que apropriar-se desta idéia.
Na seqüência, promoveu-se uma aula de resolução de problemas em 
grupo, favorecendo entre os educando as discussões, troca de idéias e a busca de 
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soluções, sempre chamando a atenção dos alunos à presença da matemática em 
vários ramos do nosso cotidiano como: senha de banco, código de barra, números 
de telefone, placas de carros, etc.. 
Foram atendidas seis turmas, sendo 3 turmas no período matutino, 
uma no vespertino e duas turmas no noturno, num total de 212 alunos, perfazendo 
nove aulas por turma, das quais duas delas destinadas para colorir as bandeiras e o 
mosaico, uma hora/aula para a apresentação e discussão do Problema das Quatro 
Cores na Tv Pen Drive, destacando a parte histórica das probabilidades uso e 
aplicação, quatro horas/aula para a exposição e dedução das fórmulas da Análise 
Combinatória: Arranjo com repetição, Arranjo sem repetição, Permutação simples e 
Combinação simples a partir de resolução de exercícios proposto no projeto de 
intervenção pedagógica e duas horas/aula para a definição e aplicação das 
Probabilidades.
A abordagem dos detalhes mais complexos desse conteúdo foi 
desenvolvida em momentos adequados, no decorrer do trimestre, mantendo a 
organização dos conceitos do livro didático adotado pela instituição de ensino, 
relacionando-os com a vivência e com outras áreas do conhecimento em especial a 
Biologia.
Com a proposta quis-se que os alunos pudessem cada vez mais 
aproximar os conceitos trabalhado com a realidade e através de problemas 
progressivos construírem noções básicas da Análise Combinatória e Probabilidade 
sem memorização de fórmulas, tão tradicionalmente repassados nos dias atuais.
 “A Matemática não é exclusivamente o instrumento destinado à 
explicação dos fenômenos da natureza, isto é, das leis naturais. Não. Ela possui 
também um valor filosófico de que, aliás, ninguém duvida; um valor artístico, ou 
melhor, estético, capaz de lhe conferir o direito de ser cultivada por si mesma, tais as 
numerosas satisfações e júbilos que essa ciência nos proporciona.” (SOUZA, 2008, 
p.43).
3.1-RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os resultados obtidos na primeira ação que foi a Produção do Projeto 
de Intervenção Pedagógica na Escola “Produção Didático-Pedagógica” de mesmo 
título. Juntamente com o Professor Mestre Orientador Daniel de Lima (FAFIPA) foi 
produzido uma Unidade Didática, direcionada aos alunos do 2º. Ano do Ensino 
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Médio dentro do Conteúdo Estruturante “Tratamento da Informação” e do Conteúdo 
Específico “Análise Combinatória e Probabilidade”. Tomou-se o cuidado de 
apresentar os conceitos de forma inovadora não muito convencional, mas com uma 
criação de contextos significativos interdisciplinar com Artes. E no desenvolver da 
produção didática deixou-se claro que este conteúdo é de grande relevância em 
aplicações de outras áreas do conhecimento humano, em especial a Biologia, 
garantindo a aquisição dos conceitos pelos alunos não só pela memorização de 
fórmulas, mas também na reelaboração dos conhecimentos. 
 Na segunda ação, houve a formação de um grupo de apoio com os 
professores de Matemática da escola onde foi implementado o projeto, com objetivo 
de aplicar e vivenciar a proposta. A colaboração destes professores fez a diferença, 
pois as técnicas e práticas sugeridas puderam ser aperfeiçoadas e ampliando a 
clientela assistida, atingindo assim um número maior de alunos, notando-se inclusive 
alguns avanços interessantes na metodologia de trabalho dos docentes envolvidos.
 Na terceira ação, aplicação da implementação pelo professor PDE 
na sala de aula de sua atuação, pode-se verificar, conforme indica o gráfico na 
sequência, que todos os alunos conseguiram colorir com êxito as figuras 1 e 2, já a 
figura 3, 98% obtiveram sucesso na pintura, na figura 4, 96% e 95% pintaram 
corretamente o mosaico da figura 5. Com estes percentuais nota-se um bom 
desempenho por parte dos alunos, o fato de a maioria ter conseguido pintar com 
sucesso as figuras, pode se atribuir á facilidade da proposta. O clima de boa 
aceitação pelas pinturas, mesmo sendo alunos de faixa etária que varia de 16 a 21 
anos, não houve rejeição ao trabalho, todos fizeram sem reclamar, aceitando de 
bom grado a iniciativa. Nestas duas primeiras aulas, destinadas a colorir os mapas 
ocorreu num clima harmonioso, festivo e cordial, ao contrário do que se imaginava. 
Além disso, foi constatado que o erro cometido foi prontamente percebido pelo 
aluno, logo após ter cometido, indagando ao professor da possibilidade de pintar um 
outro corretamente.
Em relação a montagem do mural com todos os mapas coloridos da 
figura 5, pode-se observar a satisfação dos educandos ao encontrar o seu trabalho 
exposto e o espanto pela grandiosidade das possibilidades de se colorir um mesmo 
mapa, utilizando somente quatro cores.
Considera-se esta atividade uma prática integrante das aulas de 
matemática para o ensino da Análise Combinatória e Probabilidade, e esta 
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experiência indica que, quando usada de modo planejada e com regularidade 
descobre que os riscos que corremos revertem em resultados positivos e que 
professores e alunos encontram prazeres e realizações com a MATEMÁTICA.
0%
20%
40%
60%
80%
100%
fig.1 e 2 fig.3 fig.4 fig.5
 Fig. 7 
 Distribuição percentual do desempenho dos alunos 
 em cinco situações propostas. 
 
3.2-ALGUNS DEPOIMENTOS DE PROFESSORES INTEGRANTES DO GTR 
(Grupo de Trabalho em Rede)
“– O projeto é muito interessante, pois sai do abstrato envolvendo o ensinar 
matemática dentro da realidade atual. Deve-se levarem consideração o 
conhecimento prévio do aluno diante da representação matemática sobre o assunto, 
pois as atividades práticas possibilitam a compreensão de conteúdos. Inclusive da 
matemática com outras disciplinas”.
Vera Lucia Ferreira Pinelli – NRE Maringá
“– Achei muito interessante a sua Produção Didática Pedagógica, pois enfatiza a 
resolução de situações problemas, que querer do aluno a utilização de 
competências e habilidades que adquiriu durante sua escolarização e em 
experiências de vida. Cabe ressaltar que um aspecto importante na representação 
matemática de um problema é o conhecimento prévio que o aluno tem sobre o 
assunto. Pois, ao formar uma representação do problema, o aluno recupera na 
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memória os procedimentos adequados á situação. É essa representação que orienta 
a recordação de tais procedimentos. Ao deparar com um problema, o indivíduo 
recorre aos esquemas que já assimilou e que lhe permitem formar uma 
representação apropriada a situação”.
Andréa Rubia Ferreira – NRE Maringá
“– Fiquei encantada com a riqueza de problemas apresentados no trabalho. 
Também foi excelente a relação do conteúdo de Analise Combinatória e 
Probabilidade com Biologia e Arte. E as atividades mostraram de fato que a 
matemática contribui em outros ramos do ensino. E que ela contribui para o estudo e 
compreensão de outras ciências, que ela está presente no dia-a-dia das pessoas. 
Gostaria na verdade de saber em quantas aulas esse trabalho será desenvolvido, 
pois são vários tópicos a serem abordados: cores, genética e o próprio problema 
apresentado em Um pouco de História. E fica a minha pergunta: ao abordarmos 
outros tópicos (mais de um), darmos ênfase a essas atividades, o aluno acaba se 
distanciando da matemática? Acredito sim, que devemos trabalhar a matemática 
relacionando-a com todas as áreas de conhecimento e sua aplicabilidade, mas 
quanto as teorias acredito que cabe a cada área de ensino desenvolve-las. 
Rosemeire Gomes – NRE Goioere 
“– De acordo com a leitura e como co-autora do seu projeto, vale afirmar que este 
está muito bem desenvolvido. Através da fundamentação teórica percebe-se que 
não é suficiente oferecer computadores e laboratórios de informática aos 
educandos, pois nem sempre as máquinas bastam. O professor precisa planejar 
uma nova maneira de dar aulas, um novo jeito de ensinar, despertando o espírito 
crítico e o raciocínio lógico , isso é a chave fundamental para a competição no 
mundo atual. As atividades contempladas na problematização está muito bem 
articulada com os conteúdos das disciplinas citadas, de forma significativa e 
integrada. É muito importante a indicação de textos e sites. 
Ângela Maria Gonçalves Esperandio – NRE Ivaiporã
“– Relato de alguns alunos das salas de aula em que a professora atua: A 
professora explica bem, mas precisa ser mais enérgica com a indisciplina. Muito boa 
professora e conteúdos de fácil compreensão devido à explicação da professora.”
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4-REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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vida na escola e a escola da vida. 3ª. ed. Petrópolis: Vozes, 1982.
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6-Sugestões de site para consulta
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PHPSESSID=20099051509315851
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/8974.pdf?
PHPSESSID=2009050714185175
http://ccet.ues.br/eventos/outros/egem/minicursos/mc56.pdf.
http://www.fae.ufmg.br/ebrapem/completos/09-02.pdf
http://www2.fe.usp.br/~etnomatemat?MariaSalettBiembengut.html
http://www2.rc.unesp.br/eventos/matematica/ebrapem2008/upload/108-1-A-
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http://www.somatematicaeducar.com.br/artigo-2008-11-12-43.pdf
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