Função raiz quadrada,distância euclidiana entre dois pontos função par e ímpar - slides - UFF

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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 11
22 de outubro de 2010
Aula 11 Pré-Cálculo 1
A função raiz quadrada
Aula 11 Pré-Cálculo 2
A função raiz quadrada
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação √
x
para representar
f−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
Aula 11 Pré-Cálculo 3
A função raiz quadrada
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação √
x
para representar
f−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
Aula 11 Pré-Cálculo 4
A função raiz quadrada
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação √
x
para representar
f−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação √
x
para representar
f−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação √
x
para representar
f−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
Aula 11 Pré-Cálculo 7
A função raiz quadrada
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação √
x
para representar
f−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação √
x
para representar
f−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação √
x
para representar
f−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação √
x
para representar
f−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
Aula 11 Pré-Cálculo 11
A função raiz quadrada
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação √
x
para representar
f−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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A função raiz quadrada
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação √
x
para representar
f−1(x).
Note então que, se a ≥ 0, então√a é o único número real≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domíniode f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x)= x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
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Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
Aula 11 Pré-Cálculo 31
Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
Aula 11 Pré-Cálculo 32
Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
Aula 11 Pré-Cálculo 33
Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
Aula 11 Pré-Cálculo 34
Explicando. . .
Se a ≥ 0, então √a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
real a.
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = x2
f−1 : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f−1(x) = √x
a ≥ 0, pois como vamos calcular√a = f−1(a), a deve estar no domínio de f−1, que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f−1 não seria uma função.
√
a ≥ 0, pois √a = f−1(a) pertence ao contradomínio de f−1, que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0,+∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
(
√
a)2 = (f−1(a))2 = f (f−1(a)) = (f ◦ f−1)(a) = a.
Aula 11 Pré-Cálculo 35
A função raiz quadrada
(Ir para o GeoGebra)
Aula 11 Pré-Cálculo 36
Propriedades
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Aula 11 Pré-Cálculo 37
Propriedades
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Aula 11 Pré-Cálculo 38
Propriedades
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Aula 11 Pré-Cálculo 39
Propriedades
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Aula 11 Pré-Cálculo 40
Propriedades
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Aula 11 Pré-Cálculo 41
Propriedades
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Aula 11 Pré-Cálculo 42
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 43
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 44
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 45
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 46
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 47
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 48
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 49
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 50
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 51
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 52
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 53
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 54
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 55
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 56
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 57
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 58
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
√
a2 = |a|.
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
que p2 = |a|2 = a2. De fato: se a ≥ 0, então |a|2 = |a| · |a| = a ·a = a2 e, se a < 0, então
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2. Como
√
a2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
quadrado é igual a a2, segue-se que
√
a2 = p = |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 59
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
Demonstração. Considere o número p =
√
a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (
√
a ·
√
b)2 = (
√
a)2 · (
√
b)2 = a · b.
Como
√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-se que
√
a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b
fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 60
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
Demonstração. Considere o número p =
√
a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (
√
a ·
√
b)2 = (
√
a)2 · (
√
b)2 = a · b.
Como
√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-
se que
√
a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b
fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 61
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
Demonstração. Considere o número p =
√
a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (
√
a ·
√
b)2 = (
√
a)2 · (
√
b)2 = a · b.
Como
√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-
se que
√
a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b
fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 62
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
Demonstração. Considere o número p =
√
a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (
√
a ·
√
b)2 = (
√
a)2 · (
√
b)2 = a · b.
Como
√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-
se que
√
a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b
fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 63
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
Demonstração. Considere o número p =
√
a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (
√
a ·
√
b)2 = (
√
a)2 · (
√
b)2 = a · b.
Como
√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-
se que
√
a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b
fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 64
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
Demonstração. Considere o número p =
√
a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (
√
a ·
√
b)2 = (
√
a)2 · (
√
b)2 = a · b.
Como
√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-
se que
√
a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b
fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 65
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
Demonstração. Considere o número p =
√
a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (
√
a ·
√
b)2 = (
√
a)2 · (
√
b)2 = a · b.
Como
√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-
se que
√
a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b
fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 66
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
Demonstração. Considere o número p =
√
a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (
√
a ·
√
b)2 = (
√
a)2 · (
√
b)2 = a · b.
Como
√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-
se que
√
a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b
fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 67
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
Demonstração. Considere o número p =
√
a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (
√
a ·
√
b)2 = (
√
a)2 · (
√
b)2 = a · b.
Como
√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-
se que
√
a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b
fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 68
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
Demonstração. Considere o número p =
√
a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (
√
a ·
√
b)2 = (
√
a)2 · (
√
b)2 = a · b.
Como
√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-
se que
√
a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b
fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 69
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
Demonstração. Considere o número p =
√
a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (
√
a ·
√
b)2 = (
√
a)2 · (
√
b)2 = a · b.
Como
√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-
se que
√
a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b
fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 70
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
Demonstração. Considere o número p =
√
a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (
√
a ·
√
b)2 = (
√
a)2 · (
√
b)2 = a · b.
Como
√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-
se que
√
a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b
fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 71
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a · b = √a ·
√
b e ∀a,b ≤ 0,
√
a · b = √−a ·
√
−b.
Demonstração. Considere o número p =
√
a · √b. Note que p = √a · √b ≥ 0 como
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = (√a · √b)2 = a · b. De fato:
p2 = (
√
a ·
√
b)2 = (
√
a)2 · (
√
b)2 = a · b.
Como
√
a · b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a · b, segue-
se que
√
a · b = p = √a · √b. A demonstração de que ∀a,b ≤ 0,√a · b = √−a · √−b
fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 72
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0,∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
Demonstração. Considere o número p =
√
a/
√
b. Note que p =
√
a · √b ≥ 0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√
a√
b
)2
=
(
√
a)2
(
√
b)2
=
a
b
.
Como
√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-
se que
√
a/b = p =
√
a/
√
b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a/b =
√−a/
√
−b fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 73
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0,∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
Demonstração. Considere o número p =
√
a/
√
b. Note que p =
√
a · √b ≥ 0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√
a√
b
)2
=
(
√
a)2
(
√
b)2
=
a
b
.
Como
√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-
se que
√
a/b = p =
√
a/
√
b. ∀a ≤ 0, ∀b< 0,
√
a/b =
√−a/
√
−b fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 74
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0,∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
Demonstração. Considere o número p =
√
a/
√
b. Note que p =
√
a · √b ≥ 0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√
a√
b
)2
=
(
√
a)2
(
√
b)2
=
a
b
.
Como
√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-
se que
√
a/b = p =
√
a/
√
b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a/b =
√−a/
√
−b fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 75
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0,∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
Demonstração. Considere o número p =
√
a/
√
b. Note que p =
√
a · √b ≥ 0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√
a√
b
)2
=
(
√
a)2
(
√
b)2
=
a
b
.
Como
√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-
se que
√
a/b = p =
√
a/
√
b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a/b =
√−a/
√
−b fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 76
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0,∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
Demonstração. Considere o número p =
√
a/
√
b. Note que p =
√
a · √b ≥ 0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√
a√
b
)2
=
(
√
a)2
(
√
b)2
=
a
b
.
Como
√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-
se que
√
a/b = p =
√
a/
√
b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a/b =
√−a/
√
−b fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 77
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0,∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
Demonstração. Considere o número p =
√
a/
√
b. Note que p =
√
a · √b ≥ 0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√
a√
b
)2
=
(
√
a)2
(
√
b)2
=
a
b
.
Como
√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-
se que
√
a/b = p =
√
a/
√
b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a/b =
√−a/
√
−b fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 78
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0,∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
Demonstração. Considere o número p =
√
a/
√
b. Note que p =
√
a · √b ≥ 0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√
a√
b
)2
=
(
√
a)2
(
√
b)2
=
a
b
.
Como
√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-
se que
√
a/b = p =
√
a/
√
b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a/b =
√−a/
√
−b fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 79
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0,∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
Demonstração. Considere o número p =
√
a/
√
b. Note que p =
√
a · √b ≥ 0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√
a√
b
)2
=
(
√
a)2
(
√
b)2
=
a
b
.
Como
√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-
se que
√
a/b = p =
√
a/
√
b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a/b =
√−a/
√
−b fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 80
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0,∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
Demonstração. Considere o número p =
√
a/
√
b. Note que p =
√
a · √b ≥ 0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√
a√
b
)2
=
(
√
a)2
(
√
b)2
=
a
b
.
Como
√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-
se que
√
a/b = p =
√
a/
√
b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a/b =
√−a/
√
−b fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 81
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0,∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
Demonstração. Considere o número p =
√
a/
√
b. Note que p =
√
a · √b ≥ 0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√
a√
b
)2
=
(
√
a)2
(
√
b)2
=
a
b
.
Como
√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-
se que
√
a/b = p =
√
a/
√
b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a/b =
√−a/
√
−b fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 82
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0,∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
Demonstração. Considere o número p =
√
a/
√
b. Note que p =
√
a · √b ≥ 0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√
a√
b
)2
=
(
√
a)2
(
√
b)2
=
a
b
.
Como
√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-
se que
√
a/b = p =
√
a/
√
b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a/b =
√−a/
√
−b fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 83
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0,∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
Demonstração. Considere o número p =
√
a/
√
b. Note que p =
√
a · √b ≥ 0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√
a√
b
)2
=
(
√
a)2
(
√
b)2
=
a
b
.
Como
√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-
se que
√
a/b = p =
√
a/
√
b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a/b =
√−a/
√
−b fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 84
Propriedade: demonstração
∀a ≥ 0,∀b > 0,
√
a
b
=
√
a√
b
e ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
b
=
√−a√−b .
Demonstração. Considere o número p =
√
a/
√
b. Note que p =
√
a · √b ≥ 0 como
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = (√a/√b)2 =
a/b. De fato:
p2 =
(√
a√
b
)2
=
(
√
a)2
(
√
b)2
=
a
b
.
Como
√
a/b é o único número real ≥ 0 que elevado ao quadrado é igual a a/b, segue-
se que
√
a/b = p =
√
a/
√
b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a/b =
√−a/
√
−b fica como exercício.
Aula 11 Pré-Cálculo 85
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 86
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 87
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então√a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 88
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 89
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 90
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 91
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 92
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 93
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 94
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 95
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 96
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 97
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 98
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 99
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ √a <
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0, √b > 0, b − a > 0 e√
b +
√
a > 0. Uma vez que
(b − a) = (
√
b −√a) · (
√
b +
√
a),
podemos escrever que √
b −√a = b − a√
b +
√
a
.
Assim,
√
b − √a > 0 como divisão de dois números > 0. Em particular, √a < √b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então √a ≤ √b.
Aula 11 Pré-Cálculo 100
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 101
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 102
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 103
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 104
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 105
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 106
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 107
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 108
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 109
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 110
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 111
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 112
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 113
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 114
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 115
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior, concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 116
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Demonstração. Sejam a,b ≥ 0. Inicialmente, observe que a + b ≥ 0 e √a + √b ≥ 0
como soma de dois números ≥ 0. Note também que √a · √b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
0 ≤ √a ·
√
b ⇒ 0 ≤ 2 · √a ·
√
b ⇒ a+ b ≤ a+ 2 · √a ·
√
b + b ⇒ a+ b ≤ (√a+
√
b)2.
Como 0 ≤ a+ b ≤ (√a+√b)2, usando a propriedade anterior,concluímos que
√
a+ b ≤
√
(
√
a+
√
b)2.
Mas, pela primeira propriedade,√
(
√
a+
√
b)2 = |√a+
√
b| = √a+
√
b.
Portanto, vale que
√
a+ b ≤ √a+√b.
Aula 11 Pré-Cálculo 117
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome,
por exemplo, a = 9 e b = 16:
√
a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 =
√
a +
√
b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11 Pré-Cálculo 118
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome,
por exemplo, a = 9 e b = 16:
√
a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 =
√
a +
√
b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11 Pré-Cálculo 119
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome,
por exemplo, a = 9 e b = 16:
√
a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 =
√
a +
√
b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11 Pré-Cálculo 120
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome,
por exemplo, a = 9 e b = 16:
√
a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 =
√
a +
√
b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11 Pré-Cálculo 121
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome,
por exemplo, a = 9 e b = 16:
√
a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 =
√
a +
√
b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11 Pré-Cálculo 122
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome,
por exemplo, a = 9 e b = 16:
√
a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 =
√
a +
√
b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11 Pré-Cálculo 123
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome,
por exemplo, a = 9 e b = 16:
√
a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 =
√
a +
√
b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11 Pré-Cálculo 124
Propriedade: demonstração
∀a,b ≥ 0,
√
a+ b ≤ √a+
√
b.
Observação. Note que, na expressão acima, nem sempre vale a igualdade! Tome,
por exemplo, a = 9 e b = 16:
√
a+ b = 5 < 7 = 3 + 4 =
√
a +
√
b. Quando vale
a igualdade?
Aula 11 Pré-Cálculo 125
Exercício
As funções f (x) =
√
x − 1
x − 2 e g(x) =
√
x − 1√
x − 2 são iguais?
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são
iguais:
f
∣∣∣∣
(2,+∞)
= g
∣∣∣∣
(2,+∞)
.
Aula 11 Pré-Cálculo 126
Exercício
As funções f (x) =
√
x − 1
x − 2 e g(x) =
√
x − 1√
x − 2 são iguais?
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são
iguais:
f
∣∣∣∣
(2,+∞)
= g
∣∣∣∣
(2,+∞)
.
Aula 11 Pré-Cálculo 127
Exercício
As funções f (x) =
√
x − 1
x − 2 e g(x) =
√
x − 1√
x − 2 são iguais?
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são
iguais:
f
∣∣∣∣
(2,+∞)
= g
∣∣∣∣
(2,+∞)
.
Aula 11 Pré-Cálculo 128
Exercício
As funções f (x) =
√
x − 1
x − 2 e g(x) =
√
x − 1√
x − 2 são iguais?
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são
iguais:
f
∣∣∣∣
(2,+∞)
= g
∣∣∣∣
(2,+∞)
.
Aula 11 Pré-Cálculo 129
Exercício
As funções f (x) =
√
x − 1
x − 2 e g(x) =
√
x − 1√
x − 2 são iguais?
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são
iguais:
f
∣∣∣∣
(2,+∞)
= g
∣∣∣∣
(2,+∞)
.
Aula 11 Pré-Cálculo 130
Exercício
As funções f (x) =
√
x − 1
x − 2 e g(x) =
√
x − 1√
x − 2 são iguais?
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são
iguais:
f
∣∣∣∣
(2,+∞)
= g
∣∣∣∣
(2,+∞)
.
Aula 11 Pré-Cálculo 131
Exercício
As funções f (x) =
√
x − 1
x − 2 e g(x) =
√
x − 1√
x − 2 são iguais?
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são
iguais:
f
∣∣∣∣
(2,+∞)
= g
∣∣∣∣
(2,+∞)
.
Aula 11 Pré-Cálculo 132
Exercício
As funções f (x) =
√
x − 1
x − 2 e g(x) =
√
x − 1√
x − 2 são iguais?
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são
iguais:
f
∣∣∣∣
(2,+∞)
= g
∣∣∣∣
(2,+∞)
.
Aula 11 Pré-Cálculo 133
Exercício
As funções f (x) =
√
x − 1
x − 2 e g(x) =
√
x − 1√
x − 2 são iguais?
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são
iguais:
f
∣∣∣∣
(2,+∞)
= g
∣∣∣∣
(2,+∞)
.
Aula 11 Pré-Cálculo 134
Exercício
As funções f (x) =
√
x − 1
x − 2 e g(x) =
√
x − 1√
x − 2 são iguais?
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞,1] ∪ (2,+∞) e Dg = (2,+∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2,+∞), as duas funções são
iguais:
f
∣∣∣∣
(2,+∞)
= g
∣∣∣∣
(2,+∞)
.
Aula 11 Pré-Cálculo 135
A distância euclidiana entre dois pontos
no plano
Aula 11 Pré-Cálculo136
A distância euclidiana entre dois pontos no plano
(Ir para o GeoGebra)
Aula 11 Pré-Cálculo 137
A equação do círculo no plano
Aula 11 Pré-Cálculo 138
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no
plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1.
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
0
x
y
1
(4,3)
(x , y)
Aula 11 Pré-Cálculo 139
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no
plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1.
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
0
x
y
1
(4,3)
(x , y)
Aula 11 Pré-Cálculo 140
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no
plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1.
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
0
x
y
1
(4,3)
(x , y)
Aula 11 Pré-Cálculo 141
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no
plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1.
d((x , y), (4,3)) = 1 ⇔
√
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1
⇔
(√
(x − 4)2 + (y − 3)2
)2
= 12
⇔ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
Aula 11 Pré-Cálculo 142
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no
plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1.
d((x , y), (4,3)) = 1 ⇔
√
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1
⇔
(√
(x − 4)2 + (y − 3)2
)2
= 12
⇔ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
Aula 11 Pré-Cálculo 143
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no
plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1.
d((x , y), (4,3)) = 1 ⇔
√
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1
⇔
(√
(x − 4)2 + (y − 3)2
)2
= 12
⇔ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
Aula 11 Pré-Cálculo 144
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no
plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1.
d((x , y), (4,3)) = 1 ⇔
√
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1
⇔
(√
(x − 4)2 + (y − 3)2
)2
= 12
⇔ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
Aula 11 Pré-Cálculo 145
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4,3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x , y) no
plano cuja distância até o centro (4,3) é igual ao raio 1.
d((x , y), (4,3)) = 1 ⇔
√
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1
⇔
(√
(x − 4)2 + (y − 3)2
)2
= 12
⇔ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
Aula 11 Pré-Cálculo 146
Funções reais cujos gráficos são
semicírculos
Aula 11 Pré-Cálculo 147
Funções reais cujos gráficos são semicírculos
Moral: o gráfico de y = f (x) =
√
a2 − x2 é o semicírculo superior de
centro na origem e raio |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 148
Funções reais cujos gráficos são semicírculos
Moral: o gráfico de y = f (x) =
√
a2 − x2 é o semicírculo superior de
centro na origem e raio |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 149
Funções reais cujos gráficos são semicírculos
Moral: o gráfico de y = f (x) =
√
a2 − x2 é o semicírculo superior de
centro na origem e raio |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 150
Funções reais cujos gráficos são semicírculos
Moral: o gráfico de y = f (x) =
√
a2 − x2 é o semicírculo superior de
centro na origem e raio |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 151
Funções reais cujos gráficos são semicírculos
Moral: o gráfico de y = f (x) =
√
a2 − x2 é o semicírculo superior de
centro na origem e raio |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 152
Funções reais cujos gráficos são semicírculos
Moral: o gráfico de y = f (x) =
√
a2 − x2 é o semicírculo superior de
centro na origem e raio |a|.
Aula 11 Pré-Cálculo 153
Função par e função ímpar
Aula 11 Pré-Cálculo 154
Função par
Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função par:
f : R → R
x 7→ f (x) = 1− x4 .
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 = f (x).
Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11 Pré-Cálculo 155
Função par
Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função par:
f : R → R
x 7→ f (x) = 1− x4 .
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 = f (x).
Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11 Pré-Cálculo 156
Função par
Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função par:
f : R → R
x 7→ f (x) = 1− x4 .
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 = f (x).
Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11 Pré-Cálculo 157
Função par
Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função par:
f : R → R
x 7→ f (x) = 1− x4 .
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = 1− (−x)4 = 1− x4 = f (x).
Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11 Pré-Cálculo 158
Função par
O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo y !
Aula 11 Pré-Cálculo 159
Função ímpar
Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função ímpar:
f : R → R
x 7→ f (x) = x5 + x .
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x).
Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11 Pré-Cálculo 160
Função ímpar
Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função ímpar:
f : R → R
x 7→ f (x) = x5 + x .
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x).
Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11 Pré-Cálculo 161
Função ímpar
Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função ímpar:
f : R → R
x 7→ f (x) = x5 + x .
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x).
Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11 Pré-Cálculo 162
Função ímpar
Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.
Definição
Exemplo de função ímpar:
f : R → R
x 7→ f (x) = x5 + x .
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x).
Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
Aula 11 Pré-Cálculo 163
Função ímpar
O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem!
Aula 11 Pré-Cálculo 164
Observações
Existem funções que não são pares e nem ímpares:
f : R → R
x 7→ f (x) = 2− x3 .
De fato:
f (−1) = 3 6= 1 = f (1) e f (−1) = 3 6= −1 = −f (1).
Aula 11 Pré-Cálculo 165
Observações
Existem funções que não são pares e nem ímpares:
f : R → R
x 7→ f (x) = 2− x3 .
De fato:
f (−1) = 3