trigonometria plana

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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 17
4 de dezembro de 2010
Aula 17 Pré-Cálculo 1
Trigonometria
Aula 17 Pré-Cálculo 2
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo) (seno de um número real)
Aula 17 Pré-Cálculo 3
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo) (seno de um número real)
Aula 17 Pré-Cálculo 4
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo) (seno de um número real)
Aula 17 Pré-Cálculo 5
Trigonometria
trigonometria
triângulo retângulo funções trigonométricas
(seno de um ângulo) (seno de um número real)
Aula 17 Pré-Cálculo 6
Trigonometria no Triângulo Retângulo
Aula 17 Pré-Cálculo 7
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Aula 17 Pré-Cálculo 8
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Aula 17 Pré-Cálculo 9
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Aula 17 Pré-Cálculo 10
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Aula 17 Pré-Cálculo 11
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Aula 17 Pré-Cálculo 12
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Aula 17 Pré-Cálculo 13
O que é um ângulo?
Diversos autores dão definições diferentes!
Muitas definições são ambíguas!
Referência (leitura obrigatória): Ângulos: Uma “História” Escolar de Carlos
Roberto Vianna e Helena Noronha Cury, Revista História & Educação
Matemática, v. 1, n. 1, pp. 23-37, 2001 (disponível na página WEB do curso).
Aula 17 Pré-Cálculo 14
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =
cateto oposto
hipotenusa
=
b
a
, cos(B̂) =
cateto adjacente
hipotenusa
=
c
a
,
tg(B̂) =
cateto oposto
cateto adjacente
=
b
c
.
Aula 17 Pré-Cálculo 15
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =
cateto oposto
hipotenusa
=
b
a
, cos(B̂) =
cateto adjacente
hipotenusa
=
c
a
,
tg(B̂) =
cateto oposto
cateto adjacente
=
b
c
.
Aula 17 Pré-Cálculo 16
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =
cateto oposto
hipotenusa
=
b
a
, cos(B̂) =
cateto adjacente
hipotenusa
=
c
a
,
tg(B̂) =
cateto oposto
cateto adjacente
=
b
c
.
Aula 17 Pré-Cálculo 17
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =
cateto oposto
hipotenusa
=
b
a
, cos(B̂) =
cateto adjacente
hipotenusa
=
c
a
,
tg(B̂) =
cateto oposto
cateto adjacente
=
b
c
.
Aula 17 Pré-Cálculo 18
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =
cateto oposto
hipotenusa
=
b
a
, cos(B̂) =
cateto adjacente
hipotenusa
=
c
a
,
tg(B̂) =
cateto oposto
cateto adjacente
=
b
c
.
Aula 17 Pré-Cálculo 19
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =
cateto oposto
hipotenusa
=
b
a
, cos(B̂) =
cateto adjacente
hipotenusa
=
c
a
,
tg(B̂) =
cateto oposto
cateto adjacente
=
b
c
.
Aula 17 Pré-Cálculo 20
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
A
b
a
c
C
B
sen(B̂) =
cateto oposto
hipotenusa
=
b
a
, cos(B̂) =
cateto adjacente
hipotenusa
=
c
a
,
tg(B̂) =
cateto oposto
cateto adjacente
=
b
c
.
Aula 17 Pré-Cálculo 21
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não do
tamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b
′
a′
=
b
a
e
c′
a′
=
c
a
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Aula 17 Pré-Cálculo 22
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não do
tamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b
′
a′
=
b
a
e
c′
a′
=
c
a
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Aula 17 Pré-Cálculo 23
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não do
tamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b
′
a′
=
b
a
e
c′
a′
=
c
a
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Aula 17 Pré-Cálculo 24
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não do
tamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b
′
a′
=
b
a
e
c′
a′
=
c
a
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Aula 17 Pré-Cálculo 25
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não do
tamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b
′
a′
=
b
a
e
c′
a′
=
c
a
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Aula 17 Pré-Cálculo 26
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não do
tamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b
′
a′
=
b
a
e
c′
a′
=
c
a
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) =cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Aula 17 Pré-Cálculo 27
Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Importante: cos(B̂) e sen(B̂) dependem apenas do ângulo B̂ mas não do
tamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. De
fato:
∆ABC ∼ ∆A′B′C′ ⇒ b
′
a′
=
b
a
e
c′
a′
=
c
a
⇒ sen(B̂′) = sen(B̂) e cos(B̂′) = cos(B̂).
A semelhança de triângulos é a base de sustentação da Trigonometria!
A
b
c
C
B A
b
a
c
C
B
a
Aula 17 Pré-Cálculo 28
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(
cos(B̂)
)2
+
(
sen(B̂)
)2
=
c2
a2
+
b2
a2
=
b2 + c2
a2
(∗)
=
a2
a2
= 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Aula 17 Pré-Cálculo 29
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(
cos(B̂)
)2
+
(
sen(B̂)
)2
=
c2
a2
+
b2
a2
=
b2 + c2
a2
(∗)
=
a2
a2
= 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Aula 17 Pré-Cálculo 30
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(
cos(B̂)
)2
+
(
sen(B̂)
)2
=
c2
a2
+
b2
a2
=
b2 + c2
a2
(∗)
=
a2
a2
= 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Aula 17 Pré-Cálculo 31
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(
cos(B̂)
)2
+
(
sen(B̂)
)2
=
c2
a2
+
b2
a2
=
b2 + c2
a2
(∗)
=
a2
a2
= 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Aula 17 Pré-Cálculo 32
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(
cos(B̂)
)2
+
(
sen(B̂)
)2
=
c2
a2
+
b2
a2
=
b2 + c2
a2
(∗)
=
a2
a2
= 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Aula 17 Pré-Cálculo 33
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(
cos(B̂)
)2
+
(
sen(B̂)
)2
=
c2
a2
+
b2
a2
=
b2 + c2
a2
(∗)
=
a2
a2
= 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Aula 17 Pré-Cálculo 34
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(
cos(B̂)
)2
+
(
sen(B̂)
)2
=
c2
a2
+
b2
a2
=
b2 + c2
a2
(∗)
=
a2
a2
= 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Aula 17 Pré-Cálculo 35
Identidade trigonométrica fundamental
A
b
a
c
C
B
(
cos(B̂)
)2
+
(
sen(B̂)
)2
=
c2
a2
+
b2
a2
=
b2 + c2
a2
(∗)
=
a2
a2
= 1
onde, em (∗), usamos o Teorema de Pitágoras.
Aula 17 Pré-Cálculo 36
Notações
cos2(B̂) significa
(
cos(B̂)
)2
e sen2(B̂) significa
(
sen(B̂)
)2
.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Aula 17 Pré-Cálculo 37
Notações
cos2(B̂) significa
(
cos(B̂)
)2
e sen2(B̂) significa
(
sen(B̂)
)2
.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Aula 17 Pré-Cálculo 38
Notações
cos2(B̂) significa
(
cos(B̂)
)2
e sen2(B̂) significa
(
sen(B̂)
)2
.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Aula 17 Pré-Cálculo 39
Notações
cos2(B̂) significa
(
cos(B̂)
)2
e sen2(B̂) significa
(
sen(B̂)
)2
.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Aula 17 Pré-Cálculo 40
Notações
cos2(B̂) significa
(
cos(B̂)
)2
e sen2(B̂) significa
(
sen(B̂)
)2
.
A identidade trigonométrica fundamental fica então escrita assim:
cos2(B̂) + sen2(B̂) = 1.
Aula 17 Pré-Cálculo 41
Funções Trigonométricas
Aula 17 Pré-Cálculo 42
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html)
Aula 17 Pré-Cálculo 43
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), um
caminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
Aula 17 Pré-Cálculo 44
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), um
caminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
Aula 17 Pré-Cálculo 45
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), um
caminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
Aula 17 Pré-Cálculo 46
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E :R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), um
caminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
Aula 17 Pré-Cálculo 47
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), um
caminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
Aula 17 Pré-Cálculo 48
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), um
caminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
Aula 17 Pré-Cálculo 49
A função de Euler e a medida de ângulos em radianos
Sejam R o conjunto dos números reais e C o círculo unitário de centro na origem:
C = {(x , y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1}. A função de Euler E : R → C faz corresponder a
cada número real t o ponto E(t) = (x , y) de C do seguinte modo:
E(0) = (1,0).
Se t > 0, percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1,0), um
caminho de comprimento t , sempre andando no sentido positivo (contrário ao
movimento dos ponteiros de um relógio comum, ou seja, o sentido que nos leva
de (1,0) para (0,1) pelo caminho mais curto sobre C). O ponto final do caminho
será chamado E(t).
Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de comprimento
|t |, que parte do ponto (1,0) e percorre C sempre no sentido negativo (isto é, no
sentido do movimento dos ponteiros de um relógio usual).
A função de Euler E : R → C pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta,
identificada a um fio inextensível, sobre a circunferência C (pensada como um carretel)
de modo que o ponto 0 em R caia sobre o ponto (1,0) em C.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada t em R, P = E(t), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede t radianos.
Aula 17 Pré-Cálculo 50
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
Também é possível definir uma função G : R→ C pondo
G(s) = E
(
2pis
360
)
, para todo s real.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada s em R, P = G(s), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede s graus.
Aula 17 Pré-Cálculo 51
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
Também é possível definir uma função G : R→ C pondo
G(s) = E
(
2pis
360
)
, para todo s real.
Escrevendo A = (1,0), O = (0,0) e, para cada s em R, P = G(s), dizemos neste caso
que o ângulo AOP mede s graus.
Aula 17 Pré-Cálculo 52
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-euler-br.html)
Aula 17 Pré-Cálculo 53
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP tem
comprimento igual a 2pi/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele que
subtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano
= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2pi radianos e 360 graus, segue-se que
2pirad = 360◦, ou seja,
1rad =
(
360
2pi
)◦
= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Aula 17 Pré-Cálculo 54
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP tem
comprimento igual a 2pi/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele que
subtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano
= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2pi radianos e 360 graus, segue-se que
2pirad = 360◦, ou seja,
1rad =
(
360
2pi
)◦
= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Aula 17 Pré-Cálculo 55
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP tem
comprimento igual a 2pi/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele que
subtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano
= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2pi radianos e 360 graus, segue-se que
2pirad = 360◦, ou seja,
1rad =
(
360
2pi
)◦
= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Aula 17 Pré-Cálculo 56
A função de Euler e a medida de ângulos em graus
O ângulo AOP mede 1 grau quando B = G(1), ou seja, quando o arco AP tem
comprimento igual a 2pi/360. Em outras palavras, o ângulo de 1 grau é aquele que
subtende um arco igual a 1/360 da circunferência. Escreve-se 1 grau = 1◦ e 1 radiano
= 1 rad. Como a circunferência inteira tem 2pi radianos e 360 graus, segue-se que
2pirad = 360◦, ou seja,
1rad =
(
360
2pi
)◦
= 57.295779513082320876798154814105170332406... graus.
Aula 17 Pré-Cálculo 57
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html)
Aula 17 Pré-Cálculo 58
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função seno
respectivamente, são definidas pondo-se,para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a orde-
nada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real dá a
medida do ângulo AOP em radianos!.
Aula 17 Pré-Cálculo 59
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função seno
respectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a orde-
nada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real dá a
medida do ângulo AOP em radianos!.
Aula 17 Pré-Cálculo 60
Seno e cosseno de números reais (caso: radianos)
As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função cosseno e função seno
respectivamente, são definidas pondo-se, para cada t em R:
E(t) = (cos(t), sen(t)).
Noutras palavras, x = cos(t) e y = sen(t) são respectivamente a abscissa e a orde-
nada do ponto E(t) da circunferência unitária. Note que, aqui, o número real dá a
medida do ângulo AOP em radianos!.
Aula 17 Pré-Cálculo 61
Seno e cosseno de números reais (caso: graus)
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-def-br.html)
Aula 17 Pré-Cálculo 62
Seno e cosseno de números reais (caso: graus)
Nas definições das funções seno e cosseno dadas anteriormente, o número real t
dá a medida do ângulo AOP em radianos. Se, no lugar de medidas em radianos,
usarmos medidas em graus, obteremos outras funções que, por abuso de notação,
também serão representadas por cos e sen. Elas são definidas pondo-se, para cada
s em R:
G(s) = (cos(s), sen(s)).
Noutras palavras, x = cos(s) e y = sen(s) são respectivamente a abscissa e
a ordenada do ponto G(s) da circunferência unitária.
Aula 17 Pré-Cálculo 63
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Aula 17 Pré-Cálculo 64
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Aula 17 Pré-Cálculo 65
Identidades trigonométricas
(Ir para o GeoGebra)
Aula 17 Pré-Cálculo 66
O gráfico da função seno
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-seno-rad-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-seno-rad-br.html)
Aula 17 Pré-Cálculo 67
O gráfico da função cosseno
(http://www.uff.br/cdme/ftr/ftr-html/ftr-cosseno-rad-br.html ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/ftr/ftr-html/ftr-cosseno-rad-br.html)
Aula 17 Pré-Cálculo 68
	Trigonometria
	Trigonometria no Triângulo Retângulo
	Funções Trigonométricas