Aula 4.1 Flambagem com Carga Excentrica

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Resistência dos Materiais III 
 
Flambagem com Carga Excêntrica: 
 
A formula de Euler foi deduzida a partir da premissa que: 
- A carga é aplicada no centroide da área da seção transversal da coluna; 
- A coluna é perfeitamente reta. 
 
Estas premissas são considerações irreais, uma vez que: 
- Não se tem precisão da aplicação da carga sobre o centroide da seção transversal; 
- As colunas fabricadas não são perfeitamente retas em todo o comprimento linear. 
 
Por isso, na realidade, as colunas submetidas a cargas de compressão: 
- Nunca sofrem flambagem de forma repentina; 
- As colunas sofrem flexão imediatamente à aplicação da carga. 
 
Logo, 
 
O critério para identificação da carga de aplicação ficará limitado: 
- A uma deflexão específica da coluna ou 
- A uma tensão máxima na coluna que não ultrapasse a tensão admissível. 
 
Considere o exemplo abaixo: 
Carga aplicada a uma distância “e” do centroide da seção transversal. 
 
 
 
 
A carga P na coluna (a) 
é estaticamente igual 
à carga axial P e ao 
M´= Pe da figura (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Pelo diagrama Equação diferencial para a curva de deflexão 
na coluna: 
de corpo livre, 
 
o momento interno 
 
na coluna é: 
 
 
 
 
 
 
Solução geral da equação diferencial: 
 
 
 
 
Condição de contorno para identificação das constantes de integração: 
 
Para: X = 0 Y = 0 , C2 = e 
 
Para: X = L Y = 0 , resulta 
 
 
 
 
Usando identidades trigonométricas: 
 
 
 
Por consequência, a curva da deflexão (Y) pode ser expressa por: 
 
 
 
 
 
 
Deflexão máxima (Ʋmáx.) 
 
Ocorre para X = L / 2 
 
 
 
 
 
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Tensão Máxima (σ máx.) 
 
A tensão máxima na coluna pode ser determinada se considerarmos que: 
 
- A tensão máxima é provocada pela carga axial e pelo momento fletor; 
 
- A tensão máxima de compressão ocorre no lado côncavo interno da coluna; 
 
- O momento fletor máximo ocorre no ponto médio da coluna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A tensão máxima na coluna é de compressão e vale: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: 
- A deflexão máxima e o momento fletor máximo ocorrem no ponto médio da coluna. 
- As equações de Deflexão máxima e Tensão máxima, indicam que há uma relação não 
linear entre a carga e a tensão. 
- Em razão desta relação não linear, o fator de segurança (para o projeto) deve ser aplicado 
à carga e não à tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Gráfico com curvas do Índice de Excentricidade obtido a partir da equação da Tensão 
máxima: 
- Curvas obtidas entre a Tensão média (P/A) e o Índice de Esbeltez (L/r). 
- Exemplo: Aço estrutural A-36 σmáx. = σe = 250 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dimensionamento (projeto) em função da identificação do Índice de Excentricidade: 
- Determinar o índice de excentricidade. 
- Substituir na Equação da Secante, os dados da coluna: 
 
- Se for escolhido um valor de Tensão máx. = Tensão de Escoamento, a carga Pe 
(correspondente ao Escoamento), pode ser determinada por um procedimento de tentativa e 
erro. 
- Lembrando que neste caso, a carga Pe, é a carga a desenvolver uma tensão de 
compressão máxima nas fibras côncavas interna da coluna. 
- Devido à aplicação excêntrica, a carga Pe sempre será menor do que a carga crítica de 
Euler. 
- Uma vez obtido Pe, um fator de segurança deve ser aplicado para especificar a carga 
segura para a coluna. 
 
 
Referências bibliográficas: 
Resistência dos Materiais – R. C. Hibbeler