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Propriedades Medidas de Posição e Dispersão Dados Não Agrupados Medidas de Posição Propriedades Dados Não Agrupados ● Média Aritmética – A soma algébrica dos desvios em relação a média é nula. onde – A soma dos quadrados dos desvios em relação a média é um mínimo. ∑ i=1 n d i=∑ i=1 n (x i−x)=0 ∑ i=1 n (x i−x) 2<∑ i=1 n (xi−x0) 2 d i=x i−x i=1, 2,... , n ● Média Aritmética – Se números tem média , se números tem média , … , se números tem média então: n1 x1 n2 x2 nk xk x= x1 .n1+ x2.n2+...+xk .nk n1+n2+...+nk x= ∑ j=1 k x j .n j ∑ j=1 n n j Medidas de Posição Propriedades Dados Não Agrupados ● Média Aritmética – Ao somar (ou subtrair) uma constante a cada elemento de uma série , a média fica somada (ou subtraída) por essa constante. – Ao multiplicar (ou dividir) uma constante a cada elemento de uma série , a média fica multiplicada (ou dividida) por essa constante. Y=X±X0⇒ y=x± x0 X0 X c X Y=c . X⇒ y=c .x Y= Xc ⇒ y= x c Medidas de Posição Propriedades Dados Não Agrupados ● Desvio Padrão – Ao somar (ou subtrair) uma constante a cada elemento de uma série , o desvio padrão não se altera. – Ao multiplicar (ou dividir) uma constante a cada elemento de uma série , o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por essa constante. Y=X±X0⇒SY=S X X0 X c X Y=c . X⇒SY=c . SX Y= X c ⇒SY= S X c Medidas de Dispersão Propriedades Dados Não Agrupados ● Variância – Ao somar (ou subtrair) uma constante a cada elemento de uma série , a variância não se altera. – Ao multiplicar (ou dividir) uma constante a cada elemento de uma série , a variância fica multipli- cada (ou dividida) pelo quadrado dessa constante. Y=X±X0⇒SY 2=S X 2 X0 X c X Y=c . X⇒SY 2=c2 . SX 2 Y= X c ⇒SY 2= S X 2 c2 Medidas de Dispersão Propriedades Dados Não Agrupados Análise Exploratória de Dados ● Medidas de Posição (tendência central) – Média – Moda (medida mais frequente) – Mediana (medida que ocupa a posição central) ● Medidas de Dispersão indicam se valores relativamente próximos um dos outros, ou separados em torno de uma medida de posição: a média. – Desvio padrão – Variância – Coeficiente de Variação Medidas de Posição Dados Agrupados ● Média – Distribuição de frequência por valores simples Faz-se a média aritmética de ponderados pelas respectivas frequências absolutas onde k: quantidade de elementos distintos. x1, x2 , x3 ,... , xn f 1, f 2, ... , f n . x= ∑ i=1 k x i . f i n n=∑ i=1 k f i Medidas de Posição Dados Agrupados ● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Calcular a média aritmética por valores simples 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20 123 84 43 44 45 92 100 51 52 54 57 116 120 981 x= ∑ i=1 13 x i . f i 20 =? Medidas de Posição Dados Agrupados ● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Calcular a média aritmética por valores simples x= ∑ i=1 13 x i . f i 20 = 981 20 =49,05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20 123 84 43 44 45 92 100 51 52 54 57 116 120 981 Medidas de Posição Dados Agrupados ● Média – Distribuição de frequência por classes Faz-se a média aritmética dos pontos médios de cada classe, ponderados pelas respectivas frequências absolutas onde k: quantidade de classes. x1 , x2 , x3 ,... , xn f 1, f 2, ... , f n . x= ∑ i=1 k x i . f i n n=∑ i=1 k f i Medidas de Posição Dados Agrupados ● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Calcular a média aritmética por classes x=? Classes Frequência 1 41 |-- 45 7 2 45 |-- 49 3 3 49 |-- 53 4 4 53 |-- 57 1 5 57 |-- 61 5 Total 20 Medidas de Posição Dados Agrupados ● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Calcular a média aritmética por classes Classes 1 41 |-- 45 7 2 45 |-- 49 3 3 49 |-- 53 4 4 53 |-- 57 1 5 57 |-- 61 5 Total 20 f i x i x i . f i x= ∑ i=1 5 x i . f i 20 =? Medidas de Posição Dados Agrupados ● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Calcular a média aritmética por classes x= ∑ i=1 5 x i . f i 20 = 996 20 =49,80 Classes 1 41 |-- 45 7 43 301 2 45 |-- 49 3 47 141 3 49 |-- 53 4 51 204 4 53 |-- 57 1 55 55 5 57 |-- 61 5 59 295 Total 20 996 f i x i x i . f i Medidas de Posição Dados Agrupados ● Moda – Distribuição de frequência por valores simples Faz-se pela simples observação do elemento que apresenta a maior frequência. Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Como a maior frequência é então Mo = 41. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20 f i=3 Medidas de Posição Dados Agrupados ● Moda – Distribuição de frequência por classes Temos diversos métodos para o cálculo da moda neste caso. Usaremos o Método de Czuber: ● Identifica-se a classe modal (maior frequência) Classe (Mo) ● Aplica-se a formula: Mo=li+h . Δ1 Δ2+Δ1 Medidas de Posição Dados Agrupados ● Moda – Distribuição de frequência por classes em que: Limite inferior da classe modal (freq. modal – freq. anterior) (freq. modal – freq. posterior) amplitude da classe modal Mo=li+h . Δ1 Δ2+Δ1 li : Δ1=f mo−f ant : Δ2=f mo−f post : h : Medidas de Posição Dados Agrupados ● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Calculando a moda por classes, temos: Classe (Mo) = ?, , , Classes 1 41 |-- 45 7 2 45 |-- 49 3 3 49 |-- 53 4 4 53 |-- 57 1 5 57 |-- 61 5 Total 20 f i li=? h=? Δ1=f mo−f ant=? Δ2= f mo−f post=? Mo=li+h . Δ1 Δ2+Δ1 Medidas de Posição Dados Agrupados ● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Calculando a moda por classes, temos: Classe (Mo) = 41 |-- 45, , , li=41 h=4 Δ1=f mo−f ant=7−0=7 Δ2=f mo−f post=7−3=4 Classes 1 41 |-- 45 7 2 45 |-- 49 3 3 49 |-- 53 4 4 53 |-- 57 1 5 57 |-- 61 5 Total 20 f i Mo=li+h . Δ1 Δ2+Δ1 Medidas de Posição Dados Agrupados ● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Calculando a moda por classes, temos: Classe (Mo) = 41 |-- 45, , , li=41 h=4 Δ1=f mo−f ant=7−0=7 Δ2=f mo−f post=7−3=4 Classes 1 41 |-- 45 7 2 45 |-- 49 3 3 49 |-- 53 4 4 53 |-- 57 1 5 57 |-- 61 5 Total 20 f i Mo=li+h . Δ1 Δ2+Δ1 =41+4 . 77+4 Mo=43,55 Medidas de Posição Dados Agrupados ● Mediana – Distribuição de frequência por valores simples Verifica-se se o número de observações é par ou impar para determinar o elemento mediano. – Em seguida, acrescentam-se as frequências acumuladas a tabela original para encontrar a localização doelemento mediano. Medidas de Posição Dados Agrupados ● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Calcular a mediana por valores simples 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20 3 5 6 7 8 10 12 13 14 15 16 18 20 EMe=? Me=? Medidas de Posição Dados Agrupados ● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Calcular a mediana por valores simples 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Total 41 42 43 44 45 46 50 51 52 54 57 58 60 3 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 20 3 5 6 7 8 10 12 13 14 15 16 18 20 EMe= 20 2 =10 Me= 46+50 2 =48 Medidas de Posição Dados Agrupados ● Mediana – Distribuição de frequência por classes Procedimento: ● Calcula-se o elemento mediano ● Pela identifica-se a classe com o valor da mediana – Classe (Me). Frequência acumulada. ● Aplica-se a formula: Me=li+h . EMe−Fant f Me EMe . Fi Fi : Medidas de Posição Dados Agrupados ● Mediana – Distribuição de frequência por classes em que: Limite inferior da classe mediana Amplitude da classe mediana Frequência acumulada anterior a classe mediana Frequência absoluta simples da classe mediana se n par se n impar li : Fant : h : f Me : Me=li+h . EMe−Fant f Me EMe= n 2 : EMe= n+1 2 : Medidas de Posição Dados Agrupados ● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Calculando a mediana por classes, temos: Classes 1 41 |-- 45 7 2 45 |-- 49 3 3 49 |-- 53 4 4 53 |-- 57 1 5 57 |-- 61 5 Total 20 f i Fant=? f Me=? Me=li+h . EMe−Fant f Me EMe=? , li=? ,h=? , Medidas de Posição Dados Agrupados ● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Calculando a mediana por classes, temos: Fant=? f Me=? Me=li+h . EMe−Fant f Me EMe=? , li=? ,h=? , Classes 1 41 |-- 45 7 7 2 45 |-- 49 3 10 3 49 |-- 53 4 14 4 53 |-- 57 1 15 5 57 |-- 61 5 20 Total 20 f i Fi Medidas de Posição Dados Agrupados ● Exemplo: nº de alunos em 20 turmas da UFC Calculando a mediana por classes, temos: Classe(Me) = 45|--49, Fant=7 f Me=3 Me=li+h . EMe−Fant f Me =49 EMe=10⇒ Classes 1 41 |-- 45 7 7 2 45 |-- 49 3 10 3 49 |-- 53 4 14 4 53 |-- 57 1 15 5 57 |-- 61 5 20 Total 20 f i Fi li=45,h=4,
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