Análise da resposta de sistemas no domínio do tempo

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Principais características 
Prof. Ribas 
Sinais e Sistemas Lineares II 
Análise da resposta de sistemas 
no domínio do tempo 
Sistemas de segunda ordem 
ENGENHARIA DE CONTROLE E 
AUTOMAÇÃO 
Sistemas de segunda ordem 
 Diferentemente dos sistemas de primeira 
ordem, em que um parâmetro muda a velocidade 
de resposta, nos sistemas de segunda ordem, a 
mudança nos valores dos parâmetros pode mudar a 
forma da resposta no tempo. 
 O desempenho dos sistemas de controle são 
especificados em termos de resposta transitória* e 
resposta em regime permanente**. 
* Parte da resposta que desaparece no tempo. 
** Parte da resposta que ocorre muito tempo 
depois da aplicação de um sinal de entrada. 
2 
Sistemas de segunda ordem 
A forma geral de um sistema de segunda ordem é 
representado na Figura 01. 
Figura 01 – Forma geral de um sistema de segunda ordem. 
Neste caso, o termo do numerador é simplesmente um 
escalar ou um fator multiplicativo da entrada que pode 
ter qualquer valor sem afetar a forma dos resultados 
deduzidos. Atribuindo-se valores apropriados a a e b, 
pode-se mostrar todas as formas de onda possíveis de 
resposta transitória. 3 
Sistemas de segunda ordem – 
Resposta superamortecida 
 A Figura 02 contém um sistema de segunda 
ordem com resposta superamortecida. 
Figura 02 – Sistema com resposta superamortecida. 
99
9
2  ss
)146,1)(854,7(
9
)99(
9
)(
2 



ssssss
sY
Para a entrada a degrau unitário tem-se: 
Escrevendo de forma geral a resposta no tempo: 
tt eKeKKty 146,12
854,7
10)(
 
4 
Sistemas de segunda ordem – 
Resposta superamortecida 
Figura 03 – Polos do sistema no Plano S e esboço da resposta 
superamortecida. 
Observe que este tipo de sistema tem dois polos reais. 
tt eety 146,1854,7 171,1171,01)(  
5 
Sistemas de segunda ordem – 
Resposta subamortecida 
 Considere agora o sistema de segunda ordem da 
Figura 04. 
Figura 04 – Sistema com resposta subamortecida. 
)81)(81(
9
)92(
9
)(
2
jsjsssss
sY




Para a entrada a degrau unitário tem-se: 
Escrevendo de forma geral a resposta no tempo: 
)8cos()( 110   teKKty t9292  ss
6 
Sistemas de segunda ordem – 
Resposta subamortecida 
Figura 05 – Polos do sistema no Plano s e esboço da resposta 
subamortecida. 
 Este tipo de sistema possui uma ultrapassagem 
além da amplitude do valor do degrau. 7 
]8sen
8
8
8[cos1)( 1 ttety t  
]47,198[cos06,11 1   te t
Sistemas de segunda ordem – 
Resposta subamortecida 
Figura 06 – Componentes da resposta ao degrau de um sistema de 
segunda ordem gerados por polos complexos. 
Como pode ser observado, este tipo de sistema possui dois 
polos complexos. Esse tipo de sistema apresenta uma 
resposta como esboçado na Figura 06. 
8 
Sistemas de segunda ordem – 
Resposta sem amortecimento 
 A Figura 07 contém um sistema de segunda 
ordem com resposta sem amortecimento. 
Figura 07 – Sistema com resposta sem amortecimento. 
)3)(3(
9
)9(
9
)(
2 jsjssss
sY




Para a entrada a degrau unitário tem-se: 
A resposta no tempo deste sistema fica então: 
)3cos()( 10 tKKty 
9
9
2 s
9 
Sistemas de segunda ordem – 
Resposta sem amortecimento 
Figura 08 – Polos do sistema no Plano s e esboço da resposta 
sem amortecimento. 
Observe que neste sistema, os polos não possuem 
a parte real, o que implica que a resposta não 
apresenta um decaimento exponencial com o 
tempo. 
10 
)3cos(1)( tty 
Sistemas de segunda ordem – 
Resposta criticamente amortecida 
 Para o sistema com resposta criticamente 
amortecida, representado na Figura 09, 
Figura 09 – Sistema com resposta criticamente amortecida. 
22 )3(
9
)3)(3(
9
)96(
9
)(






ssssssss
sY
a aplicação de um degrau unitário na entrada resulta: 
A resposta no tempo deste sistema fica então: 
tt eKteKKty 32
3
10)(
 
96
9
2  ss
11 
Sistemas de segunda ordem – 
Resposta criticamente amortecida 
Figura 10 – Polos do sistema no Plano s e esboço da resposta 
criticamente amortecida. 
Veja que o sistema possui polos repetidos em –3. 
Respostas criticamente amortecidas são as mais 
rápidas possíveis sem a ultrapassagem que é a 
característica da resposta subamortecida. 
12 
tt etety 33 131)(  
Respostas ao degrau de sistemas de 
segunda ordem com amortecimento 
Figura 11 – Respostas ao degrau de sistemas de segunda 
ordem para os casos de amortecimento. 
13 
Exercício 01 
Escreva, por inspeção, a forma geral da resposta ao 
degrau unitário para cada uma das seguintes 
funções de transferência. 
 
20010
200
)(
2 

ss
sG
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
40012
400
)(
2 

ss
sG
90090
900
)(
2 

ss
sG
22530
225
)(
2 

ss
sG
625
625
)(
2 

s
sG
14 
Exercício 01 – Respostas )23,13cos()(
5
10   teKKty t
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
)08,19cos()( 610   teKKty t
tt eKeKKty 46,112
54,78
10)(
 
)25cos()( 10  tKKtytt teKeKKty 1521510)(  
15 
Sistemas de segunda ordem – Análise 
quantitativa 
Existem duas grandezas com significado físico 
que definem as especificações de resposta de 
um sistema de 2ª ordem: 
 Frequência natural (ou não amortecida), 
(ωn): é a frequência de oscilação do sistema 
sem amortecimento. 
 Relação de amortecimento (ou coeficiente 
de amortecimento), (ζ): 
 
)( natural Frequência
)( decaimento de
rad/s
rad/s )( lexponencia tempode Constante
)( natural Período
2
1
s
s

Frequência exponencial 
16 
Sistemas de segunda ordem – Análise 
quantitativa 
Considere o sistema: 
bs
b
sG


2
)(
bass
b
sG


2
)(
Sem amortecimento, os polos do sistema 
estariam sobre o eixo jω e a resposta seria uma 
senóide sem amortecimento. Para os polos 
serem puramente imaginários, a = 0. 
17 
Sistemas de segunda ordem – Análise 
quantitativa 
Por definição, a frequência natural (ωn) é a 
frequência de oscilação deste sistema. Como os 
polos estão sobre o eixo jω em , 
bj
Portanto: 
.bn 
.2 bn 
18 
Sistemas de segunda ordem – Análise 
quantitativa 
Supondo o sistema subamortecido, os polos 
complexos possuem uma parte real, σ (fator de 
atenuação), igual a –a/2. A magnitude deste 
valor é então a frequência de decaimento 
exponencial. Assim: 
e então: 
.2 na 
)( natural Frequência
)( decaimento de
rad/s
rad/s
Frequência exponencial 

nn
a

 2

19 
Sistemas de segunda ordem – Análise 
quantitativa 
A função de transferência de 2ª ordem genérica 
finalmente adquire a forma “forma-padrão”: 
Colocando na forma de diagrama de blocos 
22
2
2)(
)(
)(
nn
n
sssR
sY
sG 



Figura 12 – Sistema de segunda ordem. 
20 
Sistemas de segunda ordem – Análise 
quantitativa 
O comportamento dinâmico dos sistemas de 
segunda ordem é determinado pelos parâmetros ζ e 
ωn. Os polos da função de transferência acima são: 
1
2
442
2
222
2,1 

  nnnnns
21 
Sistemas de segunda ordem – Análise 
do parâmetro ζ 
Para que o sistema seja estável é necessário que os 
polos s1 e s2 estejam localizados no semiplano 
esquerdo (SPE) aberto do Plano s, isto é, o 
coeficiente de amortecimento ζ > 0 pode assumir 
os seguintes valores: 
• 0 < ζ < 1: os polos s1 e s2 são complexos 
conjugados e o sistema é subamortecido; 
• ζ = 1: os polos s1 e s2 são reais e iguais e diz-se 
que sistema tem amortecimentocrítico; 
• ζ > 1: os polos s1 e s2 são reais e diferentes e o 
sistema é superamortecido ou sobreamortecido; 
• Se o ζ = 0, o sistema não é estável e a resposta é 
oscilatória, isto é, sem amortecimento. 22 
Sistemas de segunda ordem – Análise 
do parâmetro ζ 
plano s 
plano s 
plano s 
plano s 
Polos Resposta ao degrau 
Não-amortecido 
Subamortecido 
Criticamente amortecido 
Superamortecido 
Figura 13 – Respostas de segunda ordem em função da relação de 
amortecimento. 
y(t) 
y(t) 
y(t) 
y(t) 
23 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
superamortecido: ζ > 1 
Para ζ > 1 os polos do sistema são reais e 
diferentes, ou seja: 
 121   nns . 122   nns
e 
Para ζ > 1 os polos do sistema são reais e 
diferentes, ou seja: 
24 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
superamortecido: ζ > 1 
Quando a entrada no diagrama de blocos da forma-
padrão é um degrau unitário, isto é, R(s) = 1/s, tem-
se: 
.
))(()2(
)(
21
2
22
2
ssssssss
sY n
nn
n







ns  ) 1( 21 
Aplicando a transformada de Laplace inversa 
ou: 
.0 para ;
1212
1)( 21
2
2
2
1


  te
s
e
s
ty
tsntsn




,
12
1)(
21
2
21










s
e
s
e
ty
tsts
n


com e 
.) 1( 22 ns  
25 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
superamortecido: ζ > 1 
ζ 
ζ 
Figura 14 – Respostas de segunda ordem para dois valores 
diferentes de ζ assumindo ωn constante. 
26 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
oscilatório: ζ = 0 
Quando ζ = 0, os polos do sistema são complexos 
conjugados (s1 = jωn, s2 = –jωn), e estão localizados 
no eixo imaginário. 
27 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
oscilatório: ζ = 0 
Fazendo ζ = 0 na FT padrão e aplicando um 
degrau unitário na entrada, tem-se: 
.
1
)(
)(
22
2
22
2
n
n
n
n
ssss
sY 







Aplicando a transformada de Laplace inversa 
.0 para );cos(1)(  ttty n
28 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
com amortecimento crítico: ζ = 1 
Quando ζ = 1, a FT padrão resulta em: 
.
)()2)(
)(
)(
2
2
22
2
n
n
nn
n
ssssR
sY
sG 







Nesse caso a FT tem dois polos reais negativos e 
iguais a –ωn. 
29 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
com amortecimento crítico: ζ = 1 
Aplicando R(s)= 1/s, na equação acima obtém-se: 
.
)(
11
)(
)(
22
2
n
n
nn
n
sssss
sY 









Aplicando a transformada de Laplace inversa 
.0 para ;1)(   tteety tn
t nn  
30 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
subamortecido: 0 < ζ < 1 
Quando 0 < ζ < 1, os polos são complexos 
conjugados, a resposta é subamortecida e os polos 
são: 
.
))(()(
)(
)(
2
dndn
n
jsjssR
sY
sG 



sendo 
dnnn jjs   22,1 1
01 2   nd
chamada de frequência natural amortecida. Nesse 
caso, Y(s)/R(s) pode ser escrita como: 
31 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
subamortecido: 0 < ζ < 1 
Os polos do sistema estão representados na figura a 
seguir: 
O coeficiente de amortecimento ζ é dado por: 
 1coscos 
32 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
subamortecido: 0 < ζ < 1 
Quando ζ varia com o valor de ωn constante, as 
raízes complexas conjugadas percorrerão um 
lugar circular conforme mostra a figura abaixo. 
ζ aumentando 
33 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
subamortecido: 0 < ζ < 1 
Para uma entrada a degrau na FT na forma-padrão, 
tem-se: 
.
2
21
)2(
)(
2222
2
nn
n
nn
n
ss
s
ssss
sY 








A partir de tabelas tem-se que: 
.0 para ;sen
1
cos1)(
2


  tetety d
t
d
t nn 
 
34 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
subamortecido: 0 < ζ < 1 
A figura a seguir é o gráfico da resposta ao degrau 
para ζ = 0,3. 
21 


 tne
21 


 tne
n

1

35 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
subamortecido: 0 < ζ < 1 
A figura a seguir é uma descrição de y(t) em função 
de ωnt para a FT padrão de 2ª ordem a uma entrada 
a degrau. 
36 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
subamortecido: 0 < ζ < 1 
Resposta transitória de um sistema de 2ª ordem a 
uma entrada em degrau, em função de ζ e ωnt. 
37 
Sistemas de segunda ordem – Localização 
das raízes no Plano s e a resposta transitória 
A figura abaixo contém a resposta impulsional para diversas 
localizações de raízes no plano s (a raiz conjugada não está mostrada). 
Raiz do sistema 
a malha fechada. 
38 
Sistemas de segunda ordem – Sistema 
subamortecido: 0 < ζ < 1 
Resposta transitória de um sistema de 2ª ordem a 
uma entrada impulso unitário, em função de ζ e ωnt. 
39 
Sistemas de ordem superior – com 
mais de dois polos 
Considere o sistema representado por: 
A FT de malha fechada é: 
Uma vez que esta equação pode ser reescrita em 
forma de polinômios em s, tem-se: 
.
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sY


.
)(
)(
1
1
10
1
1
10
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sY









40 
Sistemas de ordem superior – com 
mais de dois polos 
 Se todos os polos forem reais, para uma entrada 
a degrau unitário, pode-se reescrever esta equação 
como: 
onde ai é o resíduo do polo em s = –pi. 
Considerando que todos os polos de malha fechada 
estão no SPE do plano s, os resíduos determinarão a 
importância relativa dos componentes na forma 
expandida de Y(s). 
 

 

n
i i
i
ps
a
s
a
sY
1
)(
 Polos da FTMF são todos reais 
41 
Sistemas de ordem superior – com 
mais de dois polos 
 Se um par de polos e zero estiverem muito 
próximos, vão se cancelar. 
 Se um polo estiver localizado muito longe da 
origem, o resíduo será pequeno e vai contribuir 
pouco para a resposta transitória. 
42 
Sistemas de ordem superior – com 
mais de dois polos 
 Nesse caso, supondo que todos os polos a MF 
sejam distintos, tem-se: 
Pode ser visto que a resposta de um sistema de 
ordem superior é composta de uma série de termos 
que contém funções simples que são encontradas 
em respostas de 1ª e 2ª ordem. 








r
k kkk
kkkkkk
q
j j
j
nrq
ss
csb
ps
a
s
a
sY
1
22
2
1
).2( 
2
1)(
)( 

Polos da FTMF são reais e de pares complexos 
conjugados 
43 
Sistemas de ordem superior – com 
mais de dois polos 
Para uma entrada a degrau unitário e aplicando-se a 
transformada de Laplace inversa, tem-se: 
Assim, a curva de resposta de um sistema estável de 
ordem superior é a soma de uma série de curvas 
exponenciais e curvas senoidais amortecidas, ou 
seja a soma das respostas de sistemas de 1ª e 2ª 
ordem. 
.0 para ;1sen 
1cos)(
1
2
1
2
1










tte
teeaaty
r
k
kk
t
r
k
kk
t
q
j
tp
j
kk
kkj




44 
Exemplo 1 – Sistemas de ordem 
superior 
Considere os sistemas de 3ª ordem com ganho 
estático igual a 1 e sem zeros. 
G1(s) é de 2ª ordem com ζ = 0,28 e com ωn = 5 
rad/s. A parte real dos polos complexos conjugados 
é –ζωn = –1,4. Os sistemas G2(s), G3(s) e G4(s) são 
de 3ª ordem com polo real em s = –3, s= –7 e s = –
20, respectivamente. 
258,2
25
)(
21 

ss
sG
)258,2)(3(
75
)(
22 

sss
sG
)258,2)(20(
500
)(
24 

sss
sG
)258,2)(7(
175
)(
23 

sss
sG
45 
Exemplo 1 – Sistemas de ordem 
superior 
As respostas desses sistemas a uma entrada a degrau 
são mostradas na figura abaixo. 
46 
258,2
25
)(
21 

ss
sG
)258,2)(3(
75
)(
22 

sss
sG
)258,2)(20(
500
)(
24 

sss
sG
)258,2)(7(
175
)(
23 

sss
sG
Sistemas de segunda ordem com zeros 
Considere um sistema de 2ª ordem subamortecido 
com um zero no eixo real em s = –1/τ, cuja FT seja 
dada por: 
Aplicando um degrau unitário na entrada e 
calculando a transformada de Laplace inversa 
chega-se a: 
.
2
)1(
)(
)(
)(
22
2
nn
n
ss
s
sR
sY
sG 




.0 para ;)sen()cos(1)(
2











 
  tttety d
d
nn
d
tn 

47 
Sistemas de segunda ordem com zeros 
Analisando a equação anterior, verifica-se que 
quando τ é pequeno, ou seja, quando o zero real 
em s = 1/τ está distante dos polos complexos 
conjugados dominantes no plano s, tem-se que 
ζωn – ζωn
2τ ≈ ζωn. Assim a resposta será 
semelhante a um sistema de 2ª ordem sem zero, 
pois o zero terá pouca influência na resposta. 
48 
Exemplo 2 – Sistemas com zeros 
Considere os sistemas de 2ª ordem com as 
seguintes FT: 
G1(s) é de 2ª ordem com ζ = 0,28 e com ωn = 5 
rad/s. A parte real dos polos complexos conjugados 
é –ζωn = –1,4. Os sistemas G2(s), G3(s) e G4(s) 
possuem um zero real em s = –2, s = –20 e s = +2, 
respectivamente. 
258,2
25
)(
21 

ss
sG
)258,2(
)15,0(25
)(
22 


ss
s
sG
)258,2(
)15,0(25
)(
24 


ss
s
sG
)258,2(
)105,0(25
)(
23 


ss
s
sG
49 
Sistemas de segunda ordem com zeros 
As respostas desses sistemas a uma entrada a degrau 
são mostradas na figura abaixo. 
50 
258,2
25
)(
21 

ss
sG
)258,2(
)15,0(25
)(
22 


ss
s
sG
)258,2(
)15,0(25
)(
24 


ss
s
sG
)258,2(
)105,0(25
)(
23 


ss
s
sG
Resposta ao degrau de sistemas de 
segunda ordem com e sem zeros 
51 
Resposta ao degrau de sistemas de terceira ordem com para 
diferentes posições dos zeros e com polos reais 
52 
Características das respostas 
transitórias 
As respostas ao degrau têm importâncias porque 
na prática podem ser facilmente medidas, 
bastando para isso modificar o patamar das 
entradas e registrar as saídas. 
Na especificação das características transitórias 
de um sistema de controle a uma entrada em 
degrau unitário, são utilizados os parâmetros e 
seus nomes internacionais, conforme 
representados na figura a seguir. 
53 
Características das respostas 
transitórias 
Curva de resposta em degrau unitário que mostra, 
td, tr, tp, Mp e ts. 
54 
Características das respostas 
transitórias 
Os parâmetros que aparecem na figura anterior 
são: 
• Tempo de atraso, td (delay time); 
• Tempo de pico, tp (peak time); 
• Sobressinal máximo, Mp (overshoot ou 
maximum peak); 
• Tempo de acomodação, ts (settling time); 
• Tempo de subida, tr (rise time). 
 55 
Características das respostas 
transitórias 
 Tempo de atraso, td: é o tempo necessário 
para a resposta ao degrau alcançar a metade de 
seu valor final pela primeira vez, isto é, 0,5y( ). 
 Tempo de pico, tp: é o tempo necessário para 
a resposta ao degrau alcançar seu primeiro pico 
de sobressinal, que somente acontece em 
sistemas subamortecidos (0 < ζ < 1). É definido 
por: 

.
1 2 dn
pt 






56 
Características das respostas 
transitórias 
 Sobressinal máximo, Mp: é definido como o 
máximo valor de pico da resposta menos o valor 
final – em valor percentual do seu valor final, ou 
seja: 
%.100
)(
)()(
(%) 



y
yty
M
p
p
Para sistemas de 2ª ordem subamortecidos, 
tem-se: 
%.100(%)ou 
22 11

























eMeM pp
57 
Características das respostas 
transitórias 
Observação: caso Mp(%) seja conhecido, pode-
se manipular a equação anterior e encontrar ζ. 
Assim: 
.
]100/(%)[ln
]100/(%)ln[
22
p
p
M
M





58 
Características das respostas 
transitórias 
 Tempo de acomodação, ts: é o tempo 
necessário para as oscilações amortecidas 
transitórias atingirem e permanecerem em torno 
do valor final (regime estacionário) dentro de 
uma faixa (usualmente especificada em 
porcentagem do valor final (y( )) de ± 2% ou ± 
5% ). 
 Para casos específicos pode-se também 
utilizar a especificação da faixa de ± 1%. 

59 
Características das respostas 
transitórias 
Para sistemas de 2ª ordem subamortecidos, a 
resposta transitória ao degrau é representada pela 
seguinte figura: 
Constante de 
tempo das curvas 
60 
Características das respostas 
transitórias 
Para um critério de 2%, pode-se calcular o 
tempo de assentamento como: 
 
 
 
.
44
4
dn
st 
 
.
33
3
dn
st 
 
61 
Para um critério de 5%, tem-se: 
 
Para um critério de 1%, tem-se: 
 
.
6,46,4
6,4
dn
st 
 
Características das respostas 
transitórias 
 Tempo de subida, tr: para sistemas com 
amortecimento crítico (ou sistemas 
superamortecidos), o tempo de subida 
normalmente é definido como o tempo 
necessário para a resposta ao degrau ir de 10% a 
90% do seu valor final. 
* É difícil estabelecer uma equação para o 
cálculo de tr, porém, algumas equações podem 
aproximar bem este valor para uma determinada 
faixa de ζ. 
 62 
Características das respostas 
transitórias 
Para sistemas subamortecidos defini-se tr como o 
primeiro instante em que a resposta a degrau 
alcança 100% do seu valor final. 
Tem-se então (OGATA): 
Na equação acima, θ 
pode ser obtido, 
conforme a figura: 
.
1 2 dn
rt 


 




63 
Características das respostas 
transitórias 
Outra aproximação exata para calcular o tempo 
de subida para valores de 0,3 < ζ < 0,8 pode ser 
obtida com (DORF, BISHOP): 
.
6,016,2
n
rt 
 

64 
Características das respostas 
transitórias 
Relação de amortecimento 
T
em
p
o
 d
e 
su
b
id
a 
×
 F
re
q
u
ên
ci
a 
n
at
u
ra
l 
3,0 
2,8 
2,6 
2,4 
2,2 
2,0 
1,8 
1,6 
1,4 
1,2 
1,0 
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 
0,9 
0,8 
0,7 
0,6 
0,5 
0,4 
0,3 
0,2 
0,1 1,104 
1,203 
1,321 
1,463 
1,638 
1,854 
2,126 
2,467 
2,883 
Tempo de 
subida 
normalizado 
Coeficiente 
de 
amortecimento 
Uma terceira forma ainda pode ser usada, conforme 
mostra a figura a seguir, onde o tempo de subida está 
normalizado em função da fração de amortecimento para 
uma resposta subamortecida de 2ª ordem (NISE). 
65 
Características das respostas 
transitórias 
E por fim, se for considerada a curva com ζ = 0,5 
como uma média, o tempo de subida a partir de 
y = 0,1 a y = 0,9 é de aproximadamente ωntr = 
1,8. Assim, pode-se dizer que (Franklin, Powell e 
Emami-Naeini): 
.
8,1
n
rt


66 
* Essa relação pode ser melhorada se incluído o 
efeito de amortecimento. 
Características das respostas 
transitórias 
Pode-se relacionar as grandezas até aqui estudadas à 
localização dos polos que geram estas características,utilizando um gráfico que contenha os polos de um 
sistema de 2ª ordem subamortecido. 
 
dn
st 
 444 
dn
pt 






21
67 
plano s 
Características das respostas 
transitórias 
Nas equações acima, ωd é a parte imaginária do 
polo (frequência de oscilação amortecida) e σd é 
a magnitude da parte real do polo e é a 
frequência exponencial amortecida. 
 
68 
Características das respostas 
transitórias 
Na figura a seguir, estão representadas as linhas de 
valores constantes para tempo de pico, tp, tempo de 
assentamento, ts, e ultrapassagem percentual, Mp(%). 
Note que ts2 < ts1, tp2 < tp1 e 
Mp1(%) < Mp2(%). 
plano s Mp1(%) 
Mp2(%) 
tp2 
tp1 
ts2 ts1 
69 
a. com parte real constante; 
b. com parte imaginária 
constante; 
c. com relação de 
amortecimento constante. 
Características das respostas 
transitórias 
Respostas ao degrau de 
sistemas de segunda ordem 
subamortecidos à medida que 
os polos se movem: 
plano s 
plano s 
plano s 
Movimentação 
do polo 
Movimentação 
do polo 
Movimentação 
do polo 
A mesma envoltória 
A mesma frequência 
A mesma ultrapassagem 
70 
Resposta ao Degrau de Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos quando os polos se movem com parte real 
constante 
• Quando os polos se movem na direção vertical, a frequência aumenta, 
porém a envoltória permanece a mesma; 
• O tempo de assentamento é praticamente o mesmo para todas os sinais; 
• Quando o sobre valor aumenta, o tempo de subida diminui. 
Resposta ao Degrau de Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos quando os polos se movem com parte 
imaginária constante 
• Nesse caso, a frequência é constante ao longo de variação da faixa real; 
• Quando os polos são movidos da esquerda para a direita, a resposta de 
amortece rapidamente, enquanto a frequência permanece a mesma; 
• O tempo de pico permanece o mesmo, visto que a parte imaginária 
permanece inalterada. 
Resposta ao Degrau de Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos quando os polos se movem com fração de 
amortecimento constante 
• Neste caso, o sobre valor percentual permanece o mesmo; 
• Todas as respostas se parecem, exceto no que diz respeito as 
suas velocidades. Quando mais afastados da origem, mais rápida 
será a resposta. 
Características das respostas 
transitórias 
Exercício: Encontre a região admissível no plano 
s para os polos da função de transferência de um 
sistema, se as exigências para a resposta 
transitória do sistema são tr ≤ 0,6 s, Mp ≤ 10 % e 
ts ≤ 3 s. 
74