Matemática Empresarial Ulbra

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ULBRA – 2017/2
MATEMÁTICA EMPRESARIAL
Atividade Discursiva 2 – Peso 3
Observações:
Caso necessite realizar qualquer operação matemática, deverá, obrigatoriamente, utilizar no mínimo 06 (seis) casas após a vírgula, como arredondamento.
Você deve resolver a referida atividade e enviar em UM único arquivo do tipo .doc, .pdf ou .jpeg para correção via Plataforma NetAula.
Questão: As funções de receita média e custo médio de uma empresa são Rme (q) = 3q2 – 30q + 259 e Cme (q) = -3q2 + 28q + 910, onde a variável "q" representa a quantidade e as funções Receita e o Custo são representadas em unidades monetárias. Determine o que se pede:
(0,4 pontos) A função custo;
Nesta questão usamos a definição da função custo médio para determinar a expressão da função custo, C(q) 
 (0,4 pontos) O valor da função custo para 12 unidades produzidas;
Assim, o custo da produção de 12 unidades é R$9.768,00.
(0,4 pontos) A função receita;
Nesta questão usamos a definição da função receita média para determinar a expressão da função custo, R(q) 
(0,4 pontos) O valor da função receita para 20 unidades vendidas;
Assim, a receita da venda de 12 unidades produzidas é R$17.180,00.
(0,6 pontos) A função lucro;
A função lucro é definida pela diferença entre a função receita e custo, ou seja, 
 
Sabendo que e substituímos as funções na expressão do lucro e teremos: 
Portanto a função lucro é 
 (0,8 pontos) O intervalo onde a função lucro é crescente;
Para determinar o intervalo onde a função lucro é crescente devemos estudar o comportamento da derivada da função ou ainda interpretar o gráfico da função.
Temos que a derivada dessa função é 
Função lucro é crescente quando . Iniciamos determinando os pontos críticos da função isto é os valores do domínio da função lucro onde Isto é:
Resolvendo por Báscara termos que: a=18 b=-116 e c=-651
=
Como a derivada da função lucro é uma parábola, e pelo cálculo realizado sabemos que essa parábola corta o eixo x quando q= -3.60 e 10.04 (valores arredondados para duas casas decimais). Ao observarmos o valor do multiplicador do termo de segundo grau identificado por a=18, observamos que seu valor é maior que zero (positivo), portanto a concavidade da parábola é positiva, que nos faz deduzir que os ramos da parábola onde a derivada da função lucro é positiva ocorre quando q<-3.60 e q>10.04.
Podemos construir o gráfico dessa função, identificando o vértice:
Assim os valores críticos da função L(q), isto é onde a função muda de comportamento são q=-3.22 e q=10.04. Observando o estudo do sinal da função derivada observamos que a derivada é positiva (maior que zero) quando q<-3.22 e q>10.04, logo a função lucro L(q) é crescente quando q<-3.22 e q>10.04. Como a variável q representa quantidade, a interpretação do resultado da derivada deve partir para os valores de q é maior que zero, ou seja para esse problema nos interessa somente o comportamento da função crescente quando q>0, portanto a conclusão é que a função lucro é crescente quando a quantidade assume valor positivo e tem derivada positiva, portanto quando q>10.04.
Para confirmar essa conclusão podemos construir o gráfico da função analisando valores na vizinhança dos pontos críticos da função lucro, isto é para q=-3.22 e q=10.04. Observe que na tabela abaixo escolhemos aleatoriamente valores do domínio antes e depois que os valores críticos encontrados pela solução da equação L’(x)=0.
A partir da representação no plano cartesiano desses pares ordenados e considerando o valor da imagem da função lucro para os pontos críticos q=-3.22 e q=10.04 temos a seguinte representação para o gráfico da função lucro.
Então observamos mais uma vez que a função lucro tem comportamento crescente para q<-3.22 e q>10.04 e aproveitamos para confirmar que tem comportamento decrescente para -3.22<q<10.04. Mas como já observado, com a grandeza representada para variável q está associada a quantidade só temos interpretação para a situação em que q é positivo.
Portanto a solução (do item f) é qualquer número real q>10.04 o que pode ser representado pelo intervalo (10.04, +) ou ]10.04, +[.