Resolução ogata capitulo 10 exercícios resolvidos passo a passo

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B10-1 
Considere o sistema definido por: 
 
onde 
 
Transforme as equações do sistema para (a) forma canônica controlável e (b) forma 
canônica observável. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down 
Considere, neste exercício, uma função de transferência dada por: 
 
Veja que a forma canônica controlável pode ser encontrada diretamente pela inspeção 
dos coeficientes. 
Assim, você encontrará este resultado: 
 
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_down 
Em seguida, observe que os estados e as saídas estão relacionados por meio das 
equações: 
 
 
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down 
Na sequência, notará que, uma vez obtida a forma canônica controlável, a forma 
canônica observável pode ser derivada: 
 
 
 
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down 
Então, com a representação em espaço de estados do problema, você poderá obter a 
função de transferência e, a partir dela, as formas canônicas procuradas. 
Acompanhe! 
(a) 
 
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down 
 
 
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down 
Por fim, verá que: 
(b) 
 
 
 
B10-2 
Considere o sistema definido por: 
 
onde 
 
Transforme as equações do sistema para a forma canônica observável. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
Nesta solução, observe que uma função de transferência é dada por: 
 
Primeiramente, note que a forma canônica controlável pode ser encontrada diretamente 
por meio da inspeção dos coeficientes. 
Assim, 
 
Depois, analise que os estados e as saídas estão relacionados por meio das 
equações: 
 
 
Então, uma vez obtida a forma canônica controlável, a forma canônica observável pode 
ser derivada: 
 
 
 
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
Sabendo qual é a representação em espaço de estados do problema, você poderá obter a 
função de transferência e, a partir dela, a forma canônica procurada. 
Dessa forma, verá que: 
 
Logo, 
 
 
B10-3 
Considere o sistema definido por: 
 
onde 
 
Usando o controle de realimentação de estado u = –Kx, desejamos ter os polos de malha 
fechada em s = – 2 ± j4, s = – 10. Determine a matriz de ganho K de realimentação de 
estado. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
Na realimentação de estados, os pólos de malha fechada podem ser alocados conforme 
especificações do projetista. Resolveremos esta questão utilizando os conhecimentos 
adquiridos neste capítulo do livro. Vamos lá! 
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
O polinômio característico do sistema realimentado é dado por: 
 
O polinômio característico com os pólos desejados é: 
 
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
Resolvendo-se a igualdade entre os dois polinômios, chega-se a: 
 
 
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
Portanto 
B10-4 
Resolva o Problema 10.3 com o MATLAB. 
Problema 10.3 
Considere o sistema definido por: 
 
onde 
 
Usando o controle de realimentação de estado u = –Kx, desejamos ter os polos de malha 
fechada em s = – 2 ± j4, s = – 10. Determine a matriz de ganho K de realimentação de 
estado. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
Nesta solução, observe que, na realimentação de estados, os polos de malha fechada 
podem ser alocados conforme especificações do projetista. 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
Com os dados da questão, inicialmente você terá de utilizar o programa Matlab capaz de 
realizar a alocação apropriada. 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Dessa forma, em seguida, você constatará que o vetor de ganhos é dado por: 
 
A = [0 1 0; 0 0 1; -1 -5 -6]; 
B = [0; 1; 1]; 
J = [-10 -2-i*4 -2+i*4]; 
K = acker(A,B,J) 
B10-5 
Considere o sistema definido por: 
 
Mostre que esse sistema não pode ser estabilizado pelo controle de realimentação de 
estado u = –Kx, qualquer que seja a matriz K escolhida. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
Neste exercício, você compreenderá que, na realimentação de estados, os polos de 
malha fechada podem ser alocados conforme especificações do projetista. Contudo, verá 
que existem sistemas que não podem ser estabilizados apenas com realimentação de 
estados. 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
Primeiramente, nessa solução, você irá constatar que o vetor de ganhos e o polinômio 
característico do sistema realimentado são dados por: 
 
 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Em seguida, perceberá que o polo no semiplano direito não pode ser modificado por 
quaisquer valores de ganhos. E notará que, para qualquer vetor de ganhos escolhido, 
o sistema é instável. 
B10-6 
Um sistema regulador tem a planta 
 
Defina as variáveis de estado como: 
 
Usando-se o controle de realimentação de estado u = –Kx, desejamos localizar os polos 
de malha fechada em: 
 
Determine a matriz de ganho K de realimentação de estado necessária. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
Na realimentação de estados, os pólos de malha fechada podem ser alocados conforme 
especificações do projetista. Resolveremos esta questão utilizando os conhecimentos 
adquiridos neste capítulo do livro. Vamos lá! 
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
O polinômio característico do sistema realimentado é dado por: 
 
O polinômio característico com os pólos desejados é: 
 
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
Resolvendo-se a igualdade entre os dois polinômios, chega-se a: 
 
 
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
Portanto 
B10-7 
Resolva o Problema 10.6 com o MATLAB. 
Problema 10.6 
Um sistema regulador tem a planta 
 
Defina as variáveis de estado como: 
 
Usando-se o controle de realimentação de estado u = –Kx, desejamos localizar os polos 
de malha fechada em: 
 
Determine a matriz de ganho K de realimentação de estado necessária. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
Nesta solução, você perceberá que, na realimentação de estados, os polos de malha 
fechada podem ser alocados conforme especificações do projetista. 
Acompanhe a resolução! 
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
Neste exercício, considerando as matrizes e , você compreenderá que o programa 
Matlab é capaz de realizar a alocação apropriada. 
Dessa forma, o vetor de ganhos é dado por: 
 
 
 
Observe, por fim, que: 
A = [0 1 0; 0 0 1; -6 -11 -6]; 
B = [0; 0; 10]; 
J = [-10 -2-i*2*sqrt(3) -2+i*2*sqrt(3)]; 
K = acker(A,B,J) 
B10-8 
Considere o servossistema do tipo 1 indicado na Figura 10.58. As matrizes A, B e C na 
Figura 10.58 são dadas por: 
 
Determine as constantes de ganho de realimentação k1, k2 e k3, de modo que os polos 
de malha fechada estejam localizados em: 
 
Obtenha a resposta ao degrau unitário e trace a curva de saída y(t) versus t. 
FIGURA 10.58 Servossistema do tipo 1. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
Na realimentação de estados, os pólos de malha fechada podem ser alocados conforme 
especificações do projetista. Resolveremos esta questão utilizando os conhecimentos 
adquiridos neste capítulo do livro. Vamos lá! 
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
O polinômio característico do sistema realimentado é dado por: 
 
O polinômio característico com os pólos desejados é: 
 
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
Resolvendo-se a igualdade entre os dois polinômios, chega-se a: 
 
 
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
O gráfico da resposta do sistema realimentado ao degrau unitário é visto na Figura 1. 
Este foi plotado utilizando o software Matlab. 
 
Figura 1: Resposta à entrada degrau unitário. 
A = [0 1 0;0 0 1;-200 -60 -14]; 
B = [0;0;200]; 
C = [10 0]; 
D = [0]; 
step(A,B,C,D) 
grid minor 
B10-9 
Considere o sistema de pêndulo invertido indicado na Figura 10.59. Suponha que 
 
Defina as variáveis de estado como: 
 
e as variáveis de saída como: 
 
Obtenha as equações no espaço de estados desse sistema. 
Deseja-se ter polos de malha fechada em 
 
Determine a matriz de ganho K de realimentação de estado. 
Usando a matriz de ganho K de realimentação de estado, assim determinada, examine o 
desempenho do sistema por meio de simulação por computador. Escreva um programa 
em MATLAB para obter a resposta do sistema a uma condição inicial arbitrária. 
Obtenha as curvas de resposta x1(t) versus t, x2(t) versus t, x3(t) versus t e x4(t) 
versus t para o seguinte conjunto de condições iniciais 
 
FIGURA 10.59 Sistema de pêndulo invertido. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down 
Tendo em vista o problema físico e os estados definidos obtêm-se as matrizes do espaço 
de estados a partir da dinâmica do sistema mecânico. Utilizaremos os conhecimentos 
adquiridos neste capítulo do livro para resolver este exercício. Vamos lá! 
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down 
Pela Lei de Newton temos que: 
 
 
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down 
Com os estados definidos no enunciado temos: 
 
 
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down 
Assumindo , o polinômio característico da função de transferência do 
sistema realimentado é dado por: 
 
O polinômio característico com os pólos desejados é: 
 
Resolvendo a igualdade entre os dois polinômios, chegamos a: 
 
 
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down 
O gráfico dos estados do sistema realimentado, quando aplicado o degrau unitário, pode 
ser visto na Figura 1. 
 
Figura 1: Respostas à entrada degrau unitário. 
M = 2; m = 0.5; l = 1; g = 10; 
x0 = [0 0 0 1]'; 
A = [0 1 0 0; (M+m)/M/l*g 0 0 0; 0 0 0 1; -m/M*g 0 0 0]; 
B = [0; -1/M/l; 0; 1/M]; 
C = [1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1]; 
D = [0; 0; 0; 0]; 
J = [-20 -20 -4-i*4 -4+i*4]; 
syms s k1 k2 k3 k4 
K = [k1 k2 k3 k4]; 
pretty(collect(det(s*eye(4)-A+B*K))) 
pretty(collect((s-J(1))*(s-J(2))*(s-J(3))*(s-J(4)))) 
Knum = acker(A,B,J) 
[y,t] = initial(ss(A-B*Knum,B,C,D),x0,[0:0.01:2]); 
figure 
plot(t,y(:,1),t,y(:,2),t,y(:,3),t,y(:,4)) 
legend('x1(t)','x2(t)','x3(t)','x4(t)') 
grid minor 
xlabel('Tempo (s)'); 
ylabel('Amplitude'); 
B10-10 
Considere o sistema definido por: 
 
onde 
 
Projete um observador de estado de ordem plena. Os polos desejados do observador 
são s = –5 e s = – 5. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
No projeto de um observador de estados, os pólos do observador podem ser alocados 
conforme especificações do projetista. Resolveremos esta questão utilizando os 
conhecimentos adquiridos neste capítulo do livro. Vamos lá! 
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
O polinômio característico é dado por: 
 
O polinômio característico com os pólos desejados é: 
 
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
Resolvendo-se a igualdade entre os dois polinômios, chega-se a: 
 
 
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
Portanto 
B10-11 
Considere o sistema definido por: 
 
onde 
 
Projete um observador de estado de ordem plena, supondo que os polos do observador 
estejam localizados em 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
No projeto de um observador de estados, os pólos do observador podem ser alocados 
conforme especificações do projetista. Resolveremos esta questão utilizando os 
conhecimentos adquiridos neste capítulo do livro. Vamos lá! 
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
O polinômio característico é dado por: 
 
O polinômio característico com os pólos desejados é: 
 
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
Resolvendo-se a igualdade entre os dois polinômios, chega-se a: 
 
 
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
Portanto 
B10-12 
Considere o sistema definido por: 
 
Dado o conjunto de polos desejados do observador como: 
 
projete um observador de ordem plena. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
No projeto de um observador de estados, os pólos do observador podem ser alocados 
conforme especificações do projetista. Resolveremos esta questão utilizando os 
conhecimentos adquiridos neste capítulo do livro. Vamos lá! 
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
O polinômio característico é dado por: 
 
O polinômio característico com os pólos desejados é: 
 
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
Resolvendo-se a igualdade entre os dois polinômios, chega-se a: 
 
 
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
Portanto 
B10-13 
Considere o sistema duplo integrador definido por: 
 
Se escolhermos as variáveis de estado como 
 
então a representação do sistema no espaço de estados ficará a seguinte: 
 
Deseja-se projetar um regulador para esse sistema. Utilizando o método de alocação de 
polos com observador, projete um controlador-observador. 
Para efeito de alocação, escolha os polos de malha fechada desejados em: 
 
e, admitindo que o observador utilizado seja de ordem mínima, escolha o polo do 
observador em: 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 6 keyboard_arrow_down 
Em um projeto de controlador observador é possível realizar a alocação dos pólos 
separadamente: pólos desejados do controlador e pólos desejados do observador. Vamos 
utilizar os conhecimentos adquiridos neste capítulo do livro para resolvermos este 
exercício. Mãos à obra! 
Passo 2 de 6 keyboard_arrow_down 
Para o Controlador: 
 
O polinômio característico com os pólos desejados é: 
 
Resolvendo-se a igualdade entre os dois polinômios, chegamos a: 
 
 
Passo 3 de 6 keyboard_arrow_down 
Para o Observador de ordem mínima: 
 
O polinômio característico com o pólo desejado é: 
 
Resolvendo-se a igualdade entre os dois polinômios, chegamos a: 
 
 
Passo 4 de 6 keyboard_arrow_down 
A função de transferência do controlador observador é dada por: 
 
Em que, 
 
 
Assim, 
 
Sendo, 
 
Chega-se a: 
 
Passo 5 de 6 keyboard_arrow_down 
Aplicando a Transformada de Laplace, podemos encontrar a função de transferência do 
controlador observador de ordem mínima: 
 
Passo 6 de 6 keyboard_arrow_down 
Portanto 
B10-14 
Considere o sistema 
 
onde 
 
Projete um sistema regulador pelo método de alocação de polos com observador. 
Admita que os polos de malha fechada desejados para efeito de alocação de polos 
estejam localizados em: 
 
Os polos desejados do observador estão situados em: 
 
Obtenha também a função de transferência do controlador-observador. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down 
Em um projeto de controlador observador é possível realizar a alocação dos pólos 
separadamente: pólos desejados do controlador e pólos desejados do observador. Vamos 
utilizar os conhecimentos adquiridos neste capítulo do livro para resolvermos este 
exercício. Mãos à obra! 
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down 
Para o Controlador: 
 
O polinômio característico com os pólos desejados é: 
 
Resolvendo a igualdade entre os dois polinômios, chegamos a: 
 
 
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down 
Para o Observador: 
 
O polinômio característico com os pólos desejados é: 
 
Resolvendo a igualdade entre os dois polinômios, chegamos a: 
 
 
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down 
A função de transferência do controlador observador é dada por: 
 
 
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down 
Portanto 
B10-15 
Utilizando o método de alocação de polos com observador, projete controladores-
observadores (um com umobservador de ordem plena e outro com um observador de 
ordem mínima) para o sistema mostrado na Figura 10.60. Os polos de malha fechada 
desejados para efeito de alocação de polos são: 
 
Os polos desejados do observador são 
 
Compare as respostas ao degrau unitário dos sistemas projetados. Compare também as 
bandas passantes de ambos os sistemas. 
FIGURA 10.60 Sistema de controle com controlador-observador no ramo direto. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 11 keyboard_arrow_down 
Em um projeto de controlador observador é possível realizar a alocação dos pólos 
separadamente: pólos desejados do controlador e pólos desejados do observador. Serão 
construídos observadores parcial e total e seus desempenhos serão comparados. 
Utilizaremos os conhecimentos adquiridos neste capítulo do livro para resolver este 
exercício. Vamos lá! 
Passo 2 de 11 keyboard_arrow_down 
Pela função de transferência do sistema, é possível escrever a representação em espaço 
de estados a seguir: 
 
Passo 3 de 11 keyboard_arrow_down 
Para o Controlador temos: 
 
O polinômio característico com os pólos desejados é: 
 
Resolvendo-se a igualdade entre os dois polinômios, chegamos a: 
 
Passo 4 de 11 keyboard_arrow_down 
Para o Observador temos: 
 
O polinômio característico com os pólos desejados é: 
 
Resolvendo-se a igualdade entre os dois polinômios, chega-se a: 
 
Passo 5 de 11 keyboard_arrow_down 
Para o Observador de ordem mínima temos: 
 
O polinômio característico com o pólo desejado é: 
 
Resolvendo-se a igualdade entre os dois polinômios, chega-se a: 
 
Passo 6 de 11 keyboard_arrow_down 
Para o Controlador observador total temos: 
Passo 7 de 11 keyboard_arrow_down 
 
Passo 8 de 11 keyboard_arrow_down 
Para o Controlador observador parcial temos: 
Passo 9 de 11 keyboard_arrow_down 
 
Passo 10 de 11 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe as respostas ao degrau unitário, bem como os Diagramas de Bode de 
ambos os sistemas projetados. 
Passo 11 de 11 keyboard_arrow_down 
 
 
B10-16 
Utilizando o método de alocação de polos com observador, projete os sistemas de 
controle mostrados nas figuras 10.61 (a) e (b). Suponha que os polos desejados de 
malha fechada para efeito de alocação de polos estejam localizados em 
 
e que os polos desejados do observador estejam localizados em 
 
FIGURA 10.61 Sistemas de controle com controlador-observador: (a) controlador-
observador no ramo direto; (b) controlador-observador no ramo de realimentação. 
 
Obtenha a função de transferência do controlador-observador. Compare as respostas ao 
degrau unitário de ambos os sistemas. [No sistema (b), determine a constante N de 
modo que a resposta em regime permanente y(∞) seja unitária quando a entrada for uma 
entrada em degrau unitário.] 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 8 keyboard_arrow_down 
Em um projeto de controlador observador é possível realizar a alocação dos pólos 
separadamente: pólos desejados do controlador e pólos desejados do observador. Vamos 
utilizar os conhecimentos adquiridos neste capítulo do livro para resolvermos este 
exercício. Mãos à obra! 
Passo 2 de 8 keyboard_arrow_down 
Para o Controlador: 
 
O polinômio característico com os pólos desejados é: 
 
Resolvendo-se a igualdade entre os dois polinômios, chegamos a: 
 
 
Passo 3 de 8 keyboard_arrow_down 
Para o Observador: 
 
O polinômio característico com o pólo desejado é: 
 
Resolvendo-se a igualdade entre os dois polinômios, chegamos a: 
 
 
Passo 4 de 8 keyboard_arrow_down 
A função de transferência do controlador observador é dada por: 
 
Passo 5 de 8 keyboard_arrow_down 
 
Passo 6 de 8 keyboard_arrow_down 
Para o Controlador observador no ramo direto temos: 
 
Para o Controlador observador na realimentação temos: 
 
Para erro nulo à entrada degrau unitário, temos que: 
 
 
Passo 7 de 8 keyboard_arrow_down 
As respostas ao degrau unitário dos dois sistemas são dadas na Figura 1. 
Passo 8 de 8 keyboard_arrow_down 
 
Figura 1: Respostas à entrada degrau unitário. 
B10-17 
Considere o sistema definido por: 
 
onde 
 
Determine o valor do parâmetro a para minimizar o índice de desempenho a seguir: 
 
Suponha que o estado inicial x(0) seja dado por: 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down 
O sistema descrito é um sistema autônomo, cuja solução é dependente da matriz de 
sistema e das condições iniciais. Minimizar o índice de desempenho significa buscar o 
menor custo, baseando-se no parâmetro disponível para ajuste, conforme vimos neste 
capítulo do livro. Mãos à obra! 
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down 
Veja que a solução da equação de estados é dada por: 
 
E a função custo é: 
 
 
 
 
 
Minimizando a função custo, teremos: 
 
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down 
Assim, temos a solução positiva da equação: 
 
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down 
Resolvendo a equação de segundo grau teremos: 
 
= 1,823 
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down 
Logo, o valor do parâmetro que minimiza a função custo deve ser 1,823. 
B10-18 
Considere o sistema indicado na Figura 10.62. Determine o valor do ganho K de modo 
que o coeficiente de amortecimento ζ do sistema de malha fechada seja igual a 0,5. Em 
seguida, determine também a frequência natural não amortecida ωn do sistema de malha 
fechada. Ao supor que e(0) = 1 e ė(0) = 0, calcule: 
 
FIGURA 10.62 Sistema de controle. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down 
No problema de controle, determina-se primeiro a função de transferência em malha 
fechada e ajusta-se o ganho para o amortecimento desejado. Em seguida, determina-se a 
integral do erro quadrático, conforme estudamos. Vamos lá! 
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down 
A função de transferência em malha fechada é dada por: 
 
Sendo , tem-se: 
 
 
 
 
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down 
A função de transferência em malha fechada é dada por: 
 
Sendo , temos que: 
 
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down 
Fazendo e : 
 
Assim, 
 
 
 
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down 
Resolvendo a equação matricial, temos: 
 
 
Logo, 
 
B10-19 
Determine o sinal de controle ótimo u do sistema definido por: 
 
onde 
 
de modo que o seguinte índice de desempenho seja minimizado: 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
O problema se baseia na minimização de um índice de desempenho, que penaliza a 
soma dos quadrados dos estados e do controle integrados ao longo do tempo. 
Utilizaremos os conhecimentos adquiridos neste capítulo para resolver este exercício. 
Vamos lá! 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
Seja: 
 
 
 
Resolvendo a equação de Riccati: 
 
 
 
 
 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Por fim, o controle ótimo é determinado por: 
 
B10-20 
Considere o sistema 
 
Deseja-se encontrar o sinal de controle ótimo u, de modo que o índice de desempenho 
 
seja minimizado. Determine o sinal ótimo u(t). 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
O problema baseia-se na minimização de um índice de desempenho, que penaliza a 
soma dos quadrados dos estados e do controle integrados ao longo do tempo. 
Utilizaremos os conhecimentos adquiridos neste capítulo para resolver este exercício. 
Vamos lá! 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
Seja, 
 
Resolve-se a equação de Riccati, 
 
 
 
 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Por fim, o controle ótimo é determinado por: 
 
B10-21 
Considere o sistema de pêndulo invertido indicado na Figura10.59. Deseja-se projetar 
um sistema regulador que mantenha o pêndulo invertido na posição vertical, na 
presença de perturbações em termos do ângulo θ e/ou velocidade angular . O sistema 
regulador é necessário para retornar o carro à sua posição de referência no final de cada 
processo. (Não há entrada de referência para o carro.) 
A equação no espaço de estados do sistema é dada por: 
 
onde 
 
Vamos usar o esquema de controle de realimentação de estado 
 
Usando o MATLAB, determine a matriz de ganho de realimentação de estado K = 
[kl k2 k3 k4], de modo que o seguinte índice de desempenho J seja minimizado: 
 
onde 
 
Em seguida, obtenha a resposta do sistema para a seguinte condição inicial: 
 
Trace as curvas de resposta θ versus t, versus t, x versus t e ẋ versus t. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
O problema se baseia na minimização de um índice de desempenho, que penaliza a 
soma dos quadrados dos estados e do controle integrados ao longo do tempo. 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
Por meio do código Matlab abaixo, é possível encontrar o vetor de ganhos : 
A = [0 1 0 0;... 
20.601 0 0 0;... 
0 0 0 1;... 
-0.4905 0 0 0]; 
B = [0;-1;0;0.5]; 
C = [0 0 0 0]; 
D = 0; 
Q = [100 0 0 0; 
0 1 0 0; 
0 0 1 0; 
0 0 0 1]; 
R = 1; 
K = lqr(A,B,Q,R); 
AMF = A-B*K; 
x0 = [0.1; 0; 0; 0]; 
[y,t,x] = initial(ss(AMF,B,C,D),x0,10); 
 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Dada a condição inicial, os estados podem ser observados na Figura 1. 
 
Figura 1: Estados do sistema.