Álgebra Linear (Avaliação 2)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
CENTRO DE CIEˆNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
2.a Avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear
Data: 01/06/17
Aluno(a): Nota:
Prof.: Marcos Melo
1. (4 pontos) Seja P : R3 → R3 a projec¸a˜o ortogonal sobre o plano {(x, y, z) ∈ R3; y = x}.
a) Calcule as imagens dos elementos da base B = {(1, 1, 0), (0, 0, 1), (1,−1, 0)}.
b) Determine a matriz de P em relac¸a˜o a` base B.
c) Exiba P (x, y, z).
d) Determine a matriz de P em relac¸a˜o a` base canoˆnica de R3.
2. (3 pontos) Use o Teorema do Nu´cleo e da Imagem para responder a`s perguntas a seguir.
a) Existe aplicac¸a˜o linear A : R3 → R8 tal que dim Im(A) = 7? Justifique.
b) Se B : R8 → R3 e´ linear, quais sa˜o os poss´ıveis valores para dim Ker(B)?
c) E´ poss´ıvel construir uma aplicac¸a˜o linear C : R2 → R2 tal que Ker(C) e´ a reta de equac¸a˜o
y = −x? Justifique.
3. (3 pontos) Sejam S : X → Y e T : Y → Z aplicac¸o˜es lineares. Mostre que
dim Im(TS) ≤ min{dim Im(T ),dim Im(S)}.
Licenciatura em Matema´tica -1- UFC