Aritmética.Lista 1

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Universidade Federal de Sergipe
Disciplina: Aritme´tica-MA14
Mestrado Profissional em Matema´tica
Professor: Samuel Brito Silva
1a Lista de Exerc´ıcios
1. Mostre que:
(a) A soma de dois nu´meros ı´mpares e´ um nu´mero par.
(b) A soma de dois nu´meros pares e´ um nu´mero par.
(c) A soma de um nu´mero par e um nu´mero ı´mpar e´ um nu´mero
ı´mpar.
(d) O produto de dois nu´meros ı´mpares e´ um nu´mero ı´mpar.
(e) O produto de dois nu´meros e´ par se, e somente se, um dos fatores
do produto e´ par.
2. Discuta a paridade:
(a) da soma de dois nu´meros.
(b) da diferenc¸a de dois nu´meros.
(c) do produto de dois nu´meros.
(d) da poteˆncia de um nu´mero.
(e) da soma de n nu´meros ı´mpares.
3. Seja K um inteiro par. E´ poss´ıvel escrever o nu´mero 1 como uma soma
dos inversos de K inteiros ı´mpares ?
4. Mostre que o produto de n nu´meros inteiros positivos consecutivos e´
divis´ıvel por n!.
5. Mostre como, usando uma calculadora que so´ realiza as quatro operac¸o˜es,
pode-se efetuar a divisa˜o euclidiana de dois nu´meros naturais em ape-
nas treˆs passos. Aplique o seu me´todo para calcular o quociente e o
resto da divisa˜o de 3721056 por 18735.
6. Quais sa˜o os nu´meros que, quando divididos por 5, deixam resto igual
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(a) a` metade do quociente?
(b) ao quociente?
(c) ao dobro do quociente?
(d) ao triplo do quociente?
7. Mostre que:
(a) A cada treˆs nu´meros consecutivos um deles e´ divis´ıvel por 3.
(b) A cada dois nu´meros pares consecutivos um deles e´ divis´ıvel por
4.
8. Mostre que:
(a) Se n e´ ı´mpar, enta˜o n2 − 1 e´ divis´ıvel por 8.
(b) Se n na˜o e´ divis´ıvel por 2, nem por 3, enta˜o n2 − 1 e´ divis´ıvel por
24.
(c) ∀n ∈ N, 4 - n2 + 2.
9. Mostre que:
(a) Se um nu´mero a na˜o e´ divis´ıvel por 3, enta˜o a2 deixa resto 1 na
divisa˜o por 3.
(b) A partir desse fato, prove que, se a e b sa˜o inteiros tais que 3
divide a2 + b2, enta˜o a e b sa˜o divis´ıveis por 3.
10. Encontre um numero natural N que, ao ser dividido por 10, deixa resto
9, ao ser dividido por 9 deixa resto 8, e ao ser dividido por 8 deixa resto
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11. Qual o resto de n3 + 2n na divisao por 3?
12. Dados que p, p + 10 e p + 14 sao nu´meros primos, encontre p.
13. Mostre que 21 divide 58 − 28.
14. Mostre que 10 divide 116 − 1
15. Mostre que 248 − 1 e mu´ltiplo de 65 e de 63.
16. Mostre que 10x + y e´ divis´ıvel por 7 se e so se x− 2y tambe´m for.
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17. Dados treˆs nu´meros naturais a, b e c tais que a + b + c e´ divis´ıvel por
6, prove que a3 + b3 + c3 tambe´m e´ divis´ıvel por 6.
18. Quais os poss´ıveis restos de um nu´mero quadrado perfeito na divisao
por 4?
19. Mostre que nenhum elemento da sequeˆncia 11, 111, 1111, 11111, ... e´
um quadrado perfeito.
20. Dados treˆs nu´meros naturais x, y e z tais que x2 + y2 = z2, mostre que
x e y na˜o sa˜o ambos ı´mpares.
21. Uma terna de nu´meros primos da forma (a, a + 2, a + 4) e´ chamada
de terna de primos trigeˆmeos.
(a) Mostre que dados treˆs nu´meros inteiros a, a + 2 e a + 4, um e
apenas um deles e´ mu´ltiplo de 3.
(b) Mostre que a u´nica terna de primos trigeˆmeos e´ (3, 5, 7).
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