Lista de Cálculo 4 Sequencias

Prévia do material em texto

INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Professor: Andre´s Mauricio Lo´pez Barraga´n
LISTA 1 SEQUEˆNCIAS E SE´RIES
IC 244 CA´LCULO IV
TURMA 01
A. Determine se a sequeˆncia dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
1.)
{
7−4n2
3+2n2
}
2.)
{
(−1)n3n2
n2+4n+5
}
3.)
{
en
n2
}
4.)
{
cosn
n
}
5.)
{
n−3
secn
}
6.)
{√
n2 + n− n}
7.) {(2/3)n}
8.) {(3/2)n}
9.)
{
3n−5n
3n+5n
}
10.)
{
n2
2n−1 − n
2
2n+1
}
11.)
{
n
√
2n + 3n
}
12.)
{
n+ lnn
n lnn
}
13.)
{(
n+3
n−1
)n+3}
B. Defina a1 = 1 e an+1 = 1 + 11+an . Suponha que an converge e calcule limn→∞ an.
C. Determine se as seguintes se´ries sa˜o convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
1.)
∞∑
n=1
1 + 2n
3n
2.)
∞∑
n=1
2
10n
3.)
∞∑
n=0
2n − 1
3n
4.)
∞∑
n=1
2n + 3n
4n
5.)
∞∑
n=1
e−2n
6.)
∞∑
n=0
(
e
pi
)n
7.)
∞∑
n=0
(
pi
e
)n
8.)
∞∑
k=3
(
3
4
)k−2
9.)
∞∑
n=2
(−4)n−254−n
10.)
∞∑
j=2
(−1)−j22j
6j+3
11.)
∞∑
n=2
22n5−3n
12.)
∞∑
n=2
(−3)n+123−4n
13.)
∞∑
n=1
2n+3 − 34+n
5n−2
14.)
∞∑
n=2
3−2n
(−6)4−n
15.)
∞∑
k=1
3−2k
(−6)4−k
16.)
∞∑
n=1
32n
(−6)4−n
17.)
∞∑
n=2
2
n2 − 1
18.)
∞∑
n=1
3
n(n+ 3)
19.)
∞∑
n=2
2
n2 + 4n+ 3
20.)
∞∑
n=1
4
(4n− 3)(4n+ 1)
21.)
∞∑
n=2
2n+ 1
n2(n+ 1)2
22.)
∞∑
n=2
ln
(
1− 1n2
)
D. Achar o valor de c para que a igualdade das seguintes se´ries seja satisfeita
1.)
∞∑
k=1
(2c)k−1 = 2
2.)
∞∑
n=2
(1 + c)−n = 2
E. Determine se as seguintes se´ries convergem ou divergem.
1.)
∞∑
n=1
1
n2+4
2.)
∞∑
n=1
n!
en
3.)
∞∑
n=1
n
n2+4
4.)
∞∑
n=2
5n
7n
5.)
∞∑
n=2
1
lnn
6.)
∞∑
n=2
(
1 + 1n
)n
7.)
∞∑
n=1
cos2 n
n3/2
8.)
∞∑
n=1
1−n
n2n
9.)
∞∑
n=1
n2
en
10.)
∞∑
n=1
2n
n!
11.)
∞∑
n=1
(n!)2
(2n)!
12.)
∞∑
n=1
1
(ln 2)n
13.)
∞∑
n=1
cos(npi)
n
√
n
14.)
∞∑
n=1
arctann
1+n2
15.)
∞∑
n=1
√
n
lnn
16.)
∞∑
n=2
(−1)n
lnn
17.)
∞∑
n=1
(
4n+3
3n−5
)n
18.)
∞∑
n=1
(n+3)!
3!n!3n
19.)
∞∑
n=1
(
1− 2n
)n2
20.)
∞∑
n=1
(−1)n
n3n
21.)
∞∑
n=1
n2(n+2)!
n!32n
22.)
∞∑
n=1
2nn!n!
(2n)!
23.)
∞∑
n=1
en
1+e2n
24.)
∞∑
n=1
(2n+1)!
n!
25.)
∞∑
n=1
ln2(n)
n3
26.)
∞∑
n=1
1√
n ln(n)
F. Os treˆs sobrinhos Huguinho, Zezinho e Luisinho teˆm uma mac¸a˜ e querem dividi-la. Seu Tı´o Patinhas McPato propo˜e
para eles dividir a mac¸a˜ em quatro partes iguais e que cada um fique com um pedac¸o, e o pedac¸o restante novamente
dividi-lo em quatro partes iguais e que cada um fique com um pedac¸o e assim por diante. Mostre que cada um deles
recebera´ a terceira parte da mac¸a˜.
G. Imagine que voceˆ salta a uma cama ela´stica gigante desde uma altura de 100m. Cada vez que voceˆ pula, voceˆ sobe
ate´ uma altura de 2/3 da sua altura anterior. Mostre que a distaˆncia total que voceˆ percorre ate´ ficar em repouso e´ de
500m.
H. Fazer o indicado em cada item:
(a) O valor do lim
n→∞
n∑
k=1
(
k
n2 − k
2
n3
)
e´:
i. 23
ii. 12
iii. 16
iv. 112
(b) O valor do lim
n→∞
n∑
k=0
k
k2+n2 e´:
i. 14 ln 2
ii. 12 ln 2
iii. ln 2
iv. 2 ln 2
I. DESCANSE...
Rta:
A. 1.) -2
2.) Div.
3.) Div.
4.) 0
5.) 0
6.) 1/2
7.) 0
8.) Div.
9.) -1
10.) 1/2
11.) 3
12.) 0
13.) e4
B.
√
2
C. 1.) 5/2
2.) 2/9
3.) 3/2
4.) 4
5.) 1
e2−1
6.) pipi−e
7.) Div
8.) 3
9.) 1259
10.) 1810
11.) 1615125
12.) − 2738
13.) − 174256
14.) 14860
15.) − 13240
16.) Div
17.) 3/2
18.) 11/6
19.) 7/12
20.) 1
21.) 1/4
22.) − ln(2)
D. 1.) 1/4 2.)
√
3−1
2
E. 1.) C
2.) D
3.) D
4.) C
5.) D
6.) D
7.) C
8.) C
9.) C
10.) C
11.) C
12.) D
13.) C
14.) C
15.) D
16.) C
17.) D
18.) C
19.) C
20.) C
21.) C
22.) C
23.) C
24.) D
25.) C Comp(1/n2)
26.) D Comp(1/n)